R ile Zaman Serisi Analizi: Eğitim

Zaman Serisi, düzenli aralıklarla ölçülen bir ölçütün (metriğin) zaman içinde ölçülmesine verilen addır. Zaman Serisi Analizi örnekleri arasında Finans, Hisse senedi fiyatları, Hava durumu verileri, Fayda (utility) çalışmaları ve daha pek çoğu bulunur.

Zaman serisi modellemesi şunlarla yapılabilir:

• Gözlenen veriyi üreten temel güç ve yapıların anlaşılması.
• Bir modelin kurulması ve ardından tahmin, izleme ya da hatta geri besleme ve ileri besleme kontrolünün yapılması.

Bu derste, durağan ve durağan olmayan zaman serisi modellerine genel bir bakış sunulacaktır. Bir zaman serisini ACF ve PACF’ini hesaplayarak nasıl tanıyacağınız gösterilecektir. Bu fonksiyonların grafiklerinden, bir zaman serisinin durağan olup olmadığına karar verilebilir. Durağan olmayan bir seriyi fark alarak durağanlaştırabiliriz. Bir serinin doğasını bildiğimizde, serinin izlediği bir modelden gelecekteki değerleri tahmin etmek kolaylaşır. R’nin TSA paketinde bulunan gerçek verilerden bir örnek de bu dersin parçası olacaktır.

Durağan Süreçler

$X$ zamanla indekslenen (genellikle $t$ ile gösterilen) bir rassal değişken olsun; $\left\{x_t,\,t\in \textbf{N}\right\}$ gözlemleri bir zaman serisi olarak adlandırılır. Burada $\textbf{N}$ zaman indeks kümesi olarak alınan tamsayı kümesidir. $N$ bir zaman damgası da olabilir. Durağanlık zaman serisi modellerinde kritik bir varsayımdır ve seride homojenlik olduğunu, yani serinin zamandan bağımsız olarak benzer şekilde davrandığını; istatistiksel özelliklerinin zamanla değişmediğini ima eder. Durağanlığın iki biçimi vardır: güçlü ve zayıf.

Tanım 1

$\left\{x_t,\,t\in \textbf{N}\right\}$ süreci, zaman ölçeğinde bir kaydırmadan sonra istatistiksel dağılımları değişmeden kalıyorsa sıkı (katı) ya da güçlü biçimde durağan denir. Bir stokastik sürecin dağılımları sonlu boyutlu dağılım fonksiyonlarıyla tanımlandığından, sıkı durağanlık için alternatif bir tanım formüle edebiliriz. Her $n$ için, her zaman seçimi $t_1, t_2, \ldots, t_n\in \textbf{N}$ ve $t_{i+k}\in\textbf{N}$ olacak şekilde her zaman gecikmesi $k$ için, $n$ boyutlu rassal vektör $(X_{t_1+k}, X_{t_2+k}, \ldots, X_{t_n+k})$ vektör $(X_{t_1}, X_{t_2}, \ldots, X_{t_n})$ ile aynı dağıma sahipse süreç sıkı durağandır. Yani $h$ ve $x_i$ için

\begin{align*} P(X_{t_1}\leq x_1, X_{t_2}\leq x_2, \ldots, X_{t_k}\leq x_k) &= F(x_{t_1}, x_{t_2}, \ldots, x_{t_k})\\ &= F(x_{h+t_1}, x_{h+t_2}, \ldots, x_{h+t_k})\\ &= P(X_{h+t-1}\leq x_1, X_{h+t_2}\leq x_2, \ldots, X_{h+t_k}\leq x_k) \end{align*}

herhangi bir zaman kayması $h$ ve gözlem $x_j$ için. Eğer $\left\{X-t,\,t\in\textbf{N}\right\}$ sıkı durağansa, $X_t$’nin marjinal dağılımı $t$’den bağımsızdır. Ayrıca, $(X_{t_1}, X_{t_2})$’nin iki boyutlu dağılımları $t_1$ ve $t_2$’nin mutlak konumundan bağımsızdır; yalnızca $t_1-t_2$ uzaklığı önemlidir. Sonuç olarak, ortalama fonksiyonu $E(X)$ sabittir ve kovaryans $Cov(X_t,X_{t-k})$ yalnızca $k$’nın bir fonksiyonudur; $k$ ve $t$’nin mutlak konumlarının değil. Daha yüksek mertebe momentlerde, örneğin üçüncü momentte, $E[X_uX_tX_v]$, $s, t, u$’ya sabit bir zaman kayması eklense de değişmeden kalır.

Tanım 2

Tek değişkenli bir zaman serisi $X_t$, ortalaması, varyansı ve kovaryansı zamandan bağımsız ise durağandır. Buna göre, $X_t$ $t=1,2,3,\ldots, n$ ve $t=0, -1, -2, -3, \ldots$ için tanımlı bir zaman serisi (veya zaman içinde sıralanmış rassal değişkenler anlamına gelen stokastik süreç) ise, $X_t$ matematiksel olarak zayıf durağan olur eğer

\begin{align} (i) & E[X_t] = \mu\\ (ii) & E\left[(X-\mu)^2\right] = Var(X_t) = \gamma(0) = \sigma^2\\ (iii) & E\left[(X_t-\mu)(X_{t-k}-\mu)\right] = Cov(X_t, X_{t-k}) = \gamma(k) \end{align}

İlk iki koşul ($(i)$ ve $(ii)$) sırasıyla sürecin sabit ortalama ve sabit varyansa sahip olmasını gerektirirken, $(iii)$ koşulu herhangi iki değerin kovaryansının (resmi adıyla kovaryans fonksiyonu) yalnızca bu iki değer arasındaki $k$ zaman aralığına bağlı olmasını ve zaman noktası $t$’ye bağlı olmamasını gerektirir.

Eğer bir süreç sonlu ikinci momentlere sahip Gauss ise, zayıf durağanlık güçlü durağanlığa denktir. Sıkı (katı) durağanlık, yalnızca gerekli momentler mevcutsa zayıf durağanlığı ima eder. Güçlü durağanlık ayrıca dağılımsal varsayımlar gerektirir. Güçlü biçim genellikle fazla katı kabul edilir; bu nedenle çoğunlukla zayıf durağanlıkla, diğer adlarıyla kovaryans durağanlığı, geniş anlamda durağanlık veya ikinci derece durağanlık ile ilgileneceksiniz.

Durağanlık ve Rassal Zaman Serisi (Stokastik Süreç)

Gözlemlerin sabit bir ortalama etrafında dalgalandığı, varyansın sabit olduğu ve rassal olarak bağımsız olduğu bir zaman serisi bir rassal zaman serisidir. Böyle seriler bir desen göstermez:

• Gözlemler yukarı ya da aşağı yönlü eğilim göstermez
• Varyans zamanla artmaz ya da azalmaz
• Gözlemler bazı dönemlerde diğerlerine göre daha büyük olma eğiliminde değildir

Durağan bir rassal modele örnek şu şekilde yazılabilir

$$X_t = \mu+\varepsilon_t$$ burada $\mu$, $E[X_t] = \mu$ olacak şekilde sabit bir ortalamadır ve $\varepsilon_t$ ortalaması sıfır, varyansı sabit ve bağımsız olduğu varsayılan gürültü terimidir (beyaz gürültü olarak da bilinir).

Rassal Bir Zaman Serisinin Simülasyonu

# purely random process with mean 0 and standard deviation 1.5
eps <- rnorm(100, mean = 0, sd = 1)
mu <- 2 # the constant mean
# The process
X_t <- mu + eps

# plotting the time series
ts.plot(X_t, main = "Example of (random) stationary time series", ylab = expression(X[t]))

Simüle edilen süreç $\mu = 2$ sabit ortalaması etrafında dalgalanır.

Otokovaryans Fonksiyonu

Durağan bir stokastik sürecin teorik otokovaryans fonksiyonu (ACF), zaman serilerinin özelliklerini değerlendirmek için önemli bir araçtır. $X_t$ ortalaması $\mu$, varyansı $\sigma^2$ olan durağan bir stokastik süreç olsun. $k$ gecikmesindeki ACF, $\gamma(k)$, $$\gamma(k) = \frac{\gamma(k)}{\gamma(0)} = \frac{\gamma(k)}{\sigma^2}$$

ACF fonksiyonu, otokovaryansın normalize edilmiş bir ölçüsüdür ve çeşitli özelliklere sahiptir.

ACF’nin Özellikleri

1. $\rho(0) = 1$
2. ACF gecikmelerin çift (even) bir fonksiyonudur. Yani $\rho(k) = \rho(-k)$
3. $|\rho(-k)| \leq 1$

Yukarıdaki sürecin ACF’si aşağıdaki şekilde gösterilmiştir.

# Auto-covariance function of the simulated stationary random time series
acf(X_t, main = "Auto-covariance function of X")

Not 1. Tekillik eksikliği ACF’nin karakteristik bir özelliğidir. Verilen bir rassal sürecin kovaryans yapısı benzersiz olsa bile, tersi genellikle doğru değildir: Aynı ACF’ye sahip birden fazla stokastik süreç bulmak mümkündür. Bu durum, [@jenkinsd]’de gösterildiği gibi tanımlama sorunlarına yol açar.

Not 2: Durağan bir sürecin otokorelasyon fonksiyonundan çok özel bir matris elde edilir. Toeplitz matrisi olarak adlandırılır. Mertebesi $m = t-k$ olan (gecikme; $m-1$’e kadar otokorelasyonları içerir) bir tür varyans ve kovaryans matrisidir; dolayısıyla köşegen, simetrik ve pozitif tanımlıdır.

\begin{equation} \begin{pmatrix} 1 & \rho(1) & \rho(2) & \cdots & \rho(m-1)\\ \rho(1) & 1 & \rho(1) & \cdots & \rho(m-2)\\ \cdots &\cdots &\cdots &\cdots &\cdots\\ \rho(m-1) & \rho(m-2) & \cdots & \rho(1) & 1 \end{pmatrix} \end{equation}

Tamamen Rassal Süreç veya Beyaz Gürültü

$\left\{Z_t\right\}$ ayrık süreci, $Z_t$ rassal değişkenleri karşılıklı bağımsız ve özdeş dağılmış (i.i.d.) bir dizi oluşturuyorsa tamamen rassal süreç olarak adlandırılır. Tanım, sürecin sabit ortalama ve varyansa sahip olduğunu ima eder.

$$\gamma(k) = cov(Z_t, Z_{t+k}) = 0,\quad\forall k\in -3,-2,-1,0,1,2,3, \ldots$$ Ortalama ve otokovaryans fonksiyonu (acvf) zamana bağlı olmadığından, süreç ikinci mertebeden durağandır.

Rassal Yürüyüş Süreci

$\left\{X_t\right\}$ süreci, $X_t = X_{t-1}+Z_t$ ise, burada $Z_t$ ortalaması $\mu$ ve varyansı $\sigma^2_Z$ olan tamamen rassal bir süreçtir, rassal yürüyüş süreci olarak adlandırılır. Süreç genellikle $t = 0$’da başlatılır ve $X_1 = Z_0$ olur; bu da $X_0 = 0$ anlamına gelir. Şöyle elde ederiz

\begin{align*} X_1 &= X_0 + Z_1, \quad\text{t } = 1\\ X_2 &= X_1 + Z_2 = X_0 + Z_1+ Z_2, \quad\text{t } = 2\\ X_3 &= X_2 + Z_3 = X_0 + Z_1+ Z_2 + Z_3, \quad\text{t } = 3\\ &\cdots\\ X_t &= X_0 + \sum_{i = 1}^tZ_i \end{align*}

Bu sürecin birinci dereceden momenti (beklenen değeri) $$E[X_t] = X_0 +\sum_{i = 1}^tE[Z_i] = X_0 + t\mu_z = t\mu_z$$ ve varyansı $$Var(X_t) = t\sigma^2_Z$$ olur. Ortalama ve varyansın zamanla değiştiğine dikkat edin; dolayısıyla süreç \textbf{durağan değildir}. Rassal yürüyüş gibi davranan zaman serilerine örnek olarak hisse senedi fiyatları verilebilir.

Rassal Yürüyüş Süreci Simülasyonu

# seed X_0 = 0
X <- 0

# purely random process with mean 0 and standard deviation 1.5
Z <- rnorm(100, mean = 0.5, sd = 1.5)

# the process
for (i in 2:length(Z)){
  X[i] <- X[i-1] + Z[i]
}

# process plotting
ts.plot(X, main = "Random walk process")

Fark Alma

Fark alma, bir zaman serisini durağan hale getirmenin en yaygın yöntemidir. Bu, özellikle trendi gidermede önemli olan özel bir filtreleme türüdür. Mevsimsel verilerde, birinci dereceden fark almak genellikle ortalamada durağanlığı sağlamak için yeterlidir. $X_t = \left\{X_1, X_2,\ldots, X_n\right\}$ durağan olmayan bir zaman serisi olsun. Durağan seri şu şekilde elde edilir

$$\Delta X_{t+1} = X_{t+1}-X_t\quad\text{ya da }\,\Delta X_{t} =X_t-X_{t-1}$$ ki buna basitçe birinci dereceden fark denir. Eğer ikinci dereceden farka ihtiyaç varsa, $\Delta^2$ operatörünü, birinci dereceden farkların farkı olarak kullanabilirsiniz

$$\Delta^2X_{t+2} = \Delta X_{t+2} - \Delta X_{t+1}$$

# differencing and plotting of the random walk process
ts.plot(diff(X))

Ortaya çıkan birinci dereceden farkın sabit 0 ortalaması etrafında dalgalandığını bilirsiniz. Bunun nedeni matematiksel olarak

$$\Delta X_{t+1} = X_{t+1}-X_t = Z_t$$ olmasıdır; bu da sabit ortalama ve sabit varyansa sahip tamamen rassal bir süreç olduğundan durağandır.

Merkezi Ortalama (Hareketli Ortalama) Derecesi $q$: MA($q$)

$\left\{Z_t\right\}$ ortalaması sıfır ve varyansı $\sigma^2_Z$ olan tamamen rassal bir süreç olsun. Süreç, derece #q# bir Hareketli Ortalama ise

$$X_t = \beta_0Z_t-\beta_1Z_{t-1}-\cdots-\beta_q Z_{t-q}$$ burada $\beta_i,\, i = 1,2,\ldots,q$ sabitlerdir. $Z_t, \,t\in\textbf{N}$ rassal değişkenleri genellikle $\beta_0=1$ olacak şekilde ölçeklendirilir.

Birinci Dereceden MA Simülasyonu

# purely random process with mean 0 and standard deviation 1.5 (arbitrary choice)
Z <- rnorm(100, mean = 0, sd = 1.5)

# process simulation
X <- c()
for (i in 2:length(Z)) {
  X[i] <- Z[i] - 0.45*Z[i-1]
}

# process plotting
ts.plot(X, main = "Moving Average or order 1 process")

MA(1) süreci için 3 koşul şu şekilde doğrulanabilir:

\begin{align} E[X_t] &= 0\\ Var(X_t) &= E[X_t^2] - 0 = E\left[Z_t^2-2\beta Z_tZ_{t-1}+\beta^2Z_{t-1}^2\right]= \sigma^2_Z+\beta^2\sigma^2_Z\\ \gamma(k) &= cov(X_t, X_{t+k}) = E[X_tX_{t+k}] - E[X_t]E[X_{t+k}] = E[X_tX_{t+k}]\\ &= E\left[(Z_t-\beta Z_{t-1})(Z_{t+k}-\beta Z_{t-1+k})\right]\\ &= E\left[Z_tZ_{t+k} - \beta Z_tZ_{t-1+k} -\beta Z_{t-1}Z_{t+k} + \beta^2 Z_{t-1}Z_{t-1+k}\right]\\ \end{align}

$k = 0$ için, $\gamma(0) = Var(X_t) = \sigma^2_Z(1+\beta^2)$

$k = 1$ için, $\gamma(1) = E\left[Z_tZ_{t+1} - \beta Z_t^2 -\beta Z_{t-1}Z_{t+1} + \beta^2 Z_{t-1}Z_{t}\right] = -\beta\sigma^2_Z$

ve $k>1$ için, $\gamma(k) = 0.$

Dolayısıyla, MA(1) süreci, kayma bir dönemden fazla olduğunda kovaryansı sıfırdır. Yani yalnızca bir dönemlik bir hafızaya sahiptir.

MA(1) için ACF şu hâlde

$$\rho(k) = \frac{\gamma(k)}{\gamma(0)} = \begin{cases}1, &\text{k }=0\\\frac{-\beta}{1+\beta^2}, & \text{k }\pm 1\end{cases}$$

Soru: MA(2) için çalışmayı yeniden yapın

MA(q) süreci için örnek otokorelasyon fonksiyonunun, neden model derecesini belirtmede faydalı olabileceği görülebilir: MA(q) için otokorelasyon fonksiyonu (k), $q$ adet sıfırdan farklı (anlamlı) değere sahiptir ve $k > q$ için sıfırdır. MA’nın durağan olması için $\left\{\beta_i\right\}$ üzerinde kısıtlama gerekmez. Ancak, tersinirlik sağlamak için $\left\{\beta_i\right\}$ üzerinde kısıtlamalar gerekir.

Derecesi $p$ Olan Otoregresyon: AR($p$)

$\left\{Z_t\right\}$ ortalaması sıfır ve varyansı $\sigma_Z^2$ olan tamamen rassal bir süreç olsun. $\left\{X_t\right\}$ süreci, $$X_t = \alpha_1X_{t-1}+\alpha_2X_{t-2}+\cdots+\alpha_pX_{t-p}+Z_t$$ ise derecesi $p$ olan bir otoregresif süreç olarak adlandırılır. Derecesi $p$ olan otoregresif süreçte, güncel gözlem $X_t$ (örneğin bugünün getirisi), geçmiş $p$ döneme kadar olan gözlemlerin ağırlıklı ortalamasından ve geçmiş $X_t$ değerlerine bağlı bağımsız bir rassal değişkenden üretilir; dolayısıyla otoregresiftir. Bu tür süreçler [@greenwood1920inquiry] tarafından tanıtılmıştır. Yukarıdaki AR($p$), sabit bir ortalama ile şöyle yazılabilir

$$X_t = \delta+\alpha_1X_{t-1}+\alpha_2X_{t-2}+\cdots+\alpha_pX_{t-p}+Z_t$$ burada $\mu$ zaman serisinin ortalamasıyla ilişkili sabit terimdir ve $\alpha_1, \alpha_2,\ldots, \alpha_p$ pozitif ya da negatif olabilir. AR($p$), $E[X_t] = E[X_{t-1}] = \cdots = E[X_p] = \mu$ ise durağandır. Dolayısıyla,

\begin{align*} E[X_t] = \mu &= \delta + \alpha_1\mu+\alpha_2\mu+\cdots+\alpha_p\mu+ 0\\ \Rightarrow \mu &= \frac{\delta}{1-\alpha_1-\alpha_2-\cdots-\alpha_p} \end{align*} Son formülün sabit olması için $\alpha_1+\alpha_2+\cdots+\alpha_p<1$ koşulunu dikkate alırız.

  </1>

Birinci Dereceden AR Süreci: AR(1)

$p=1$ durumunu ele alalım, o hâlde $$X_t = \alpha X_{t-1}+Z_t$$ birinci dereceden otoregresif AR(1) olur ve Markov süreci olarak da bilinir. Geri kaydırma operatörü $BX_t = X_{t-1}$ kullanılarak AR(1) sonsuz bir MA süreci olarak ifade edilebilir. $$(1 - \alpha B)X_t = Z_t$$ elde ederiz; dolayısıyla, \begin{align*} X_t &= \frac{Z_t}{1-\alpha B}\\ &= (1+\alpha B +\alpha^2B^2+ \cdots)Z_t\\ &=Z_t+\alpha Z_{t-1}+\alpha^2Z_{t-2}+\cdots\\ &=Z_t+\beta_1 Z_{t-1}+\beta_2 Z_{t-2}+\cdots\\ \end{align*}

Bu durumda $E[X_t] = 0$ ve $Var(X_t) = \sigma^2_Z(1+\alpha^2+\alpha^4+\cdots)$. Seri $|\alpha|<1$ koşuluyla yakınsar.

Soru: $X_t = \alpha_1X_1+Z_t$ AR(1) sürecinin ortalaması sıfır ve varyansı $\sigma^2_Z$ olan tamamen rassal bir süreç olduğunu ve $\alpha$’nın gerekli koşulları sağladığını varsayarak, $X_t$’nin varyansını ve otokovaryans fonksiyonunu türetiniz.

AR(1) Simülasyonu

# constant alpha
alpha = 0.5

# purely random process with mean 0 and standard deviation 1.5
Z <- rnorm(100, mean = 0, sd = 1.5)

# seed
X <- rnorm(1)

# the process
for (i in 2:length(Z)) {
  X[i] <- 0.7*X[i-1]+Z[i]
}

# process plotting
ts.plot(X)

Soru: AR (2) modelinin istasyonerlik koşulunu parametre değerleri açısından ifade ediniz. Yani, aşağıdaki koşulları gösteriniz:

Ayrıca, sonlu dereceli bir AR sürecini, örneğin p, sonsuz dereceli bir MA süreci olarak da ifade edebilirsiniz. Bu, ardışık yerine koyma ile veya geri kaydırma operatörü kullanılarak yapılabilir.

Otoregresif Hareketli Ortalama Süreci: ARMA($p,q$)

Model kurmada, hem AR hem de MA terimlerini bir arada kullanmak gerekebilir. Bu, karma otoregresif – hareketli ortalamalı (ARMA) sürece yol açar. $p$ adet otoregresif terim ve $q$ adet hareketli ortalama terimi içeren bir ARMA süreci $(p, q)$ derecesinde denir ve şu şekilde verilir

$$X_t = \alpha_1X_{t-1}+\alpha_2X_{t-2}+\cdots+\alpha_pX_{t-p}+Z_t-\beta_1Z_{t-1}-\beta_2Z_{t-2}-\cdots-\beta_qZ_{t-q}$$ Geri kaydırma operatörü B kullanılarak denklem şöyle yazılabilir

$$\alpha_p(B)X_t = \beta_q(B)Z_t$$ burada $\alpha_p(B)$ ve $\beta_q(B)$ sırasıyla $p$ ve $q$ dereceli polinomlardır ve

\begin{align*} \alpha_p(B) &= \left(1-\alpha_1 B-\cdots-\alpha_p B^p\right)\\ \beta_q(B) &= \left(1-\beta_1 B-\cdots-\beta_p B^p\right) \end{align*}

Sürecin tersinir olabilmesi için $\beta_q(B)$’nin kökleri birim çemberin dışında yer almalıdır. Durağan olması için $\alpha_p(B)=0$’ın köklerinin birim çemberin dışında olması gerekir. Ayrıca $\alpha_p(B)=0$ ve $\beta_q(B) = 0$’ın ortak kökleri olmadığı varsayılır.

ARMA(1,1) Süreci

Bu süreç $(1,1)$ derecesindedir ve $$X_t = \alpha_1X_{t-1}+Z_t-\beta_1Z_{t-1}$$ denklemiyle verilir.

Durağanlık ve tersinirlik kanıtı için $|\alpha_1|<1$ ve $|\beta_1|<1$ koşulları gerekir. $\alpha < 0$ olduğunda ARMA(1,1), MA(1)’e indirgenir ve $\beta_1<0$ olduğunda AR(1) elde ederiz. ARMA(1,1) süreci geri kaydırma operatörü kullanılarak saf bir otoregresif gösterime dönüştürülebilir:

$$(1-\alpha_1B)X_t = (1-\beta_1B)Z_t$$

Şuna ulaşırız

\begin{align*} \frac{1-\alpha_1B}{1-\beta_1B}X_t &= Z_t\\ \pi(B)X_t &= Z_t \end{align*}

şu hâlde

\begin{align*} \pi(B) = 1-\pi_1B-\pi_2B^2-\ldots &= \frac{1-\alpha_1B}{1-\beta_1B}\\ (1-\beta_1B)(1-\pi_1B-\pi_2B^2-\ldots) &= 1-\alpha_1B\\ 1-\left[(\pi_1+\beta_1)B - (\pi_2+\beta_2)B^2 - (\pi_3+\beta_3)B^3\right] & = 1-\alpha_1B \end{align*}

Denklemin her iki tarafındaki B katsayılarını özdeşleştirerek, bilinmeyen terimleri $$\pi_j = \beta_1^{j-1}(\alpha_1-\beta_1),\,\text{for }\, j\geq1$$ olarak elde ederiz.

ARMA (1, 1)’in Otokorelasyon Fonksiyonu

$X_t$’nin beklenen değeri $E[X_t] = \alpha_1E[X_{t-1}]$ ile verilir ve durağanlık varsayımı altında $E[X_t] = E[X_{t-1}] = \mu = 0$ elde ederiz. Bu, aşağıdaki gibi elde edilen otokovaryans fonksiyonunun hesaplanmasında kullanışlıdır:

1. $X_tX_{t-k} = \alpha_1X_{t-k}X_{t-1}+X_{t-k}Z_t-\beta_1X_{t-k}Z_{t-1}$
2. Her iki tarafın beklentisini alırsak: \begin{align*} E\left[X_tX_{t-k}\right] &= E\left[\alpha_1X_{t-k}X_{t-1}\right]+E\left[X_{t-k}Z_t\right]-\beta_1E\left[X_{t-k}Z_{t-1}\right]\\ \gamma(k)&=\alpha_1\gamma(k-1)+E\left[X_{t-k}Z_t\right]-\beta_1E\left[X_{t-k}Z_{t-1}\right] \end{align*}

$k = 0$ için,

\begin{align*} \gamma(1)&=\alpha_1\gamma(0)+E\left[X_{t-1}Z_t\right]-\beta_1E\left[X_{t-1}Z_{t-1}\right]\\ &=\alpha_1\left(\alpha_1\gamma(1)+ \sigma^2_Z - \beta_1(\alpha_1-\beta_1)\sigma^2_Z\right)-\beta_1\sigma^2_Z\\ &= \alpha^2\gamma(1)+(\alpha_1-\beta_1)(1-\alpha_1\beta_1)\sigma^2_Z\\ \Rightarrow \gamma(1)&=\frac{(\alpha_1-\beta_1)(1-\alpha_1\beta_1)\sigma^2_Z}{1-\alpha^2}\\ \Rightarrow \gamma(0)&=\alpha_1\frac{(\alpha_1-\beta_1)(1-\alpha_1\beta_1)\sigma^2_Z}{1-\alpha^2}+ \sigma^2_Z - \beta_1(\alpha_1-\beta_1)\sigma^2_Z\\ &=\frac{\left(1+\beta_1^2-2\alpha_1\beta_1\right)\sigma_Z^2}{1-\alpha^2} \end{align*}

$k \geq 2$ için,

\begin{align*} \gamma(2)&=\alpha_1\gamma(k-1) \end{align*}

Dolayısıyla, ARMA(1,1)’in ACF’si şöyledir:

$$\rho(k) = \begin{cases} 1, &\text{for }\,k=0\\ \frac{(\alpha_1-\beta_1)(1-\alpha_1\beta_1)}{1+\beta_1^2-2\alpha_1\beta_1},&\text{for }\,k=1\\ \alpha_1\rho(k-1), &\text{for }\,k\geq2\\ \end{cases} $$ ARMA(1,1)’in ACF’si hem AR(1) hem de MA(1) süreçlerinin özelliklerini birleştirir. $\rho(1)$ içinde hem MA(1) hem de AR(1) parametreleri yer alır. $\rho(1)$’in ötesinde, ARIMA(1,1) modelinin ACF’si AR(1)’in ACF’siyle aynı deseni izler.

Soru: ARMA(1,1) sürecinin kısmi otokorelasyon fonksiyonunu (PACF) bulun.

Not: Zaman serisi süreçlerinin özellikleri ACF ve PACF cinsinden verilir. Zaman serisi analizindeki en kritik adımlar, ACF ve PACF’nin bilinmediği mevcut verilere dayanarak bir model belirlemek ve inşa etmektir.

ARMA(1,1) süreci simülasyonu

# purely random process with mean 0 and standard deviation 1.5
Z <- rnorm(100, mean = 0, sd = 1.5)

# Process
X <- rnorm(1)

for (i in 2:length(Z)) {
  X[i] <- 0.35*X[i-1] + Z[i] + 0.4*Z[i-1]
}

# process plotting
ts.plot(X, main = "ARMA(1,1) process")

# ACF et PACF
par(mfrow = c(1,2))
acf(X); pacf(X)

ARIMA($p,d,q$) süreci

Bütünleşik Otoregresif Hareketli Ortalama Modelleri aşağıdaki denklemle tanımlanan zaman serileridir:

SARIMA(p,d,q)(P,D,Q) süreci

Tahminleme

Bu bölümde, gerçek bir zaman serisini kullanarak ondan en uygun modeli uyarlayacaksınız. Bunun için forecast paketini kullanacaksınız. auto.arima fonksiyonu veriden en uygun modeli kurup seçer ve forecast fonksiyonu h dönem ileriye tahmin yapmaya imkân tanır.

# R packages to be used
library(forecast)
library(TSA)

Örnek 1:

# Data from TSA package
data("co2")
data("boardings")

# fitting
fit <- auto.arima(co2)

# Time series plot
plot(fc <- forecast(fit, h = 15))

Örnek 2:

data("boardings")

# fitting
fit2 <- auto.arima(boardings[,"log.price"])

# forecasting
plot(fc2 <- forecast(fit2, h = 15))

Kaynaklar

Greenwood, Major, and G Udny Yule. 1920. “An Inquiry into the Nature of Frequency Distributions Representative of Multiple Happenings with Particular Reference to the Occurrence of Multiple Attacks of Disease or of Repeated Accidents.” Journal of the Royal Statistical Society 83 (2). JSTOR: 255–79.

Jenkins, GM. n.d. “D. G. Watts (1968) Spectral Analysis and Its Applications.” San Francisco.

Sonuç

Bu derste R’de Zaman Serilerine ilişkin pek çok ayrıntıyı ele aldınız. Durağan sürecin ne olduğunu, rassal değişken simülasyonunu, rassal zaman serisi simülasyonunu, rassal yürüyüş sürecini ve daha fazlasını öğrendiniz. Ayrıca, derecesi pp olan Otoregresyon: Ar(pp), SARIMA(p,d,q)(P, D, Q) süreci ve tahminlemeyi kapsadınız.

R’de Zaman Serileri hakkında daha fazla öğrenmek isterseniz, şu DataCamp kurslarını alın: