Curso
Análisis de series temporales en R
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Una serie temporal es una magnitud o métrica medida a intervalos regulares en el tiempo. Ejemplos de análisis de series temporales son las finanzas, los precios de acciones, datos meteorológicos, estudios de consumo, entre muchos otros.
El modelado de series temporales persigue dos objetivos:
- Entender las fuerzas y estructuras subyacentes que generan los datos observados.
- Ajustar un modelo para realizar previsiones, monitorizar o incluso aplicar control con retroalimentación (feedback y feedforward).
En este tutorial verás una panorámica de los modelos estacionarios y no estacionarios. Aprenderás a identificar una serie temporal calculando su ACF y PACF. Las gráficas de estas funciones permiten juzgar la estacionariedad de una serie. Podemos convertir una serie no estacionaria en estacionaria mediante diferenciación. Conociendo la naturaleza de una serie, es más sencillo predecir valores futuros a partir de un modelo que la serie sigue. También incluiremos un ejemplo con datos reales disponibles en el paquete TSA de R.
Procesos estacionarios
Sea $X$ una variable aleatoria indexada en el tiempo (normalmente denotado por $t$), las observaciones $\left\{x_t,\,t\in \textbf{N}\right\}$ constituyen una serie temporal. $\textbf{N}$ es el conjunto de enteros que aquí se considera como índice temporal. $N$ también puede ser una marca temporal (timestamp). La estacionariedad es un supuesto clave en los modelos de series temporales e implica homogeneidad: la serie se comporta de forma similar con independencia del momento, es decir, sus propiedades estadísticas no cambian en el tiempo. Hay dos formas de estacionariedad: fuerte y débil.
Definición 1
Un proceso estacionario $\left\{x_t,\,t\in \textbf{N}\right\}$ es estrictamente o fuertemente estacionario si sus distribuciones estadísticas permanecen invariables tras un desplazamiento en la escala temporal. Dado que las distribuciones de un proceso estocástico vienen definidas por las distribuciones finito-dimensionales, podemos formular una definición alternativa de estacionariedad estricta. Si para todo $n$, toda elección de tiempos $t_1, t_2, \ldots, t_n\in \textbf{N}$ y todo desfase $k$ tal que $t_{i+k}\in\textbf{N}$, el vector aleatorio $n$-dimensional $(X_{t_1+k}, X_{t_2+k}, \ldots, X_{t_n+k})$ tiene la misma distribución que el vector $(X_{t_1}, X_{t_2}, \ldots, X_{t_n})$, entonces el proceso es estrictamente estacionario. Es decir, para $h$ y $x_i$
\begin{align*} P(X_{t_1}\leq x_1, X_{t_2}\leq x_2, \ldots, X_{t_k}\leq x_k) &= F(x_{t_1}, x_{t_2}, \ldots, x_{t_k})\\ &= F(x_{h+t_1}, x_{h+t_2}, \ldots, x_{h+t_k})\\ &= P(X_{h+t-1}\leq x_1, X_{h+t_2}\leq x_2, \ldots, X_{h+t_k}\leq x_k) \end{align*}
para cualquier desplazamiento temporal $h$ y observación $x_j$. Si $\left\{X-t,\,t\in\textbf{N}\right\}$ es estrictamente estacionario, entonces la distribución marginal de $X_t$ es independiente de $t$. Asimismo, las distribuciones bidimensionales de $(X_{t_1}, X_{t_2})$ son independientes de la ubicación absoluta de $t_1$ y $t_2$; solo importa la distancia $t_1-t_2$. En consecuencia, la función media $E(X)$ es constante, y la covarianza $Cov(X_t,X_{t-k})$ depende únicamente de $k$, no de la ubicación absoluta de $k$ y $t$. En momentos de orden superior, como el tercer momento, $E[X_uX_tX_v]$ permanece inalterado si se añade un desplazamiento temporal constante a $s, t, u$.
Definición 2
Una serie temporal univariante $X_t$ es estacionaria si su media, varianza y covarianza son independientes del tiempo. Así, si $X_t$ es una serie temporal (o proceso estocástico, es decir, variables aleatorias ordenadas en el tiempo) definida para $t=1,2,3,\ldots, n$ y para $t=0, -1, -2, -3, \ldots$, entonces $X_t$ es débilmente estacionaria si
\begin{align} (i) & E[X_t] = \mu\\ (ii) & E\left[(X-\mu)^2\right] = Var(X_t) = \gamma(0) = \sigma^2\\ (iii) & E\left[(X_t-\mu)(X_{t-k}-\mu)\right] = Cov(X_t, X_{t-k}) = \gamma(k) \end{align}
Las dos primeras condiciones ($(i)$ y $(ii)$) exigen que el proceso tenga media y varianza constantes, respectivamente, mientras que $(iii)$ requiere que la covarianza entre dos valores cualesquiera (formalmente llamada función de covarianza) dependa solo del intervalo temporal $k$ entre esos dos valores y no del instante $t$.
Si un proceso es gaussiano con momentos de segundo orden finitos, la estacionariedad débil es equivalente a la fuerte. La estacionariedad estricta implica la débil solo si existen los momentos necesarios. La forma fuerte también requiere supuestos de distribución. En general se considera demasiado estricta, por lo que nos centraremos en la estacionariedad débil, también llamada estacionariedad en covarianza, en sentido amplio o de segundo orden.
Estacionariedad y series temporales aleatorias (proceso estocástico)
Una serie temporal en la que las observaciones fluctúan alrededor de una media constante, con varianza constante e independencia estocástica, es una serie temporal aleatoria. Este tipo de series no muestran patrón alguno:
- Las observaciones no tienden a subir ni a bajar
- La varianza no aumenta ni disminuye con el tiempo
- Las observaciones no tienden a ser mayores en unos periodos que en otros
Un ejemplo de modelo aleatorio estacionario puede escribirse como
$$X_t = \mu+\varepsilon_t$$ donde $\mu$ es una media constante tal que $E[X_t] = \mu$ y $\varepsilon_t$ es el término de ruido, con media cero, varianza constante e independencia (también conocido como ruido blanco).
Simulación de una serie temporal aleatoria
# purely random process with mean 0 and standard deviation 1.5
eps <- rnorm(100, mean = 0, sd = 1)
mu <- 2 # the constant mean
# The process
X_t <- mu + eps
# plotting the time series
ts.plot(X_t, main = "Example of (random) stationary time series", ylab = expression(X[t]))El proceso simulado fluctúa alrededor de la media constante $\mu = 2$.
Función de autocovarianza
La función teórica de autocovarianza (ACF) de un proceso estocástico estacionario es una herramienta clave para analizar series temporales. Sea $X_t$ un proceso estocástico estacionario con media $\mu$ y varianza $\sigma^2$. La ACF en el retardo $k$, $\gamma(k)$, es $$\gamma(k) = \frac{\gamma(k)}{\gamma(0)} = \frac{\gamma(k)}{\sigma^2}$$
La función ACF es una medida normalizada de la autocovarianza y posee varias propiedades.
Propiedades de la ACF
- $\rho(0) = 1$
- La ACF es una función par de los retardos, es decir, $\rho(k) = \rho(-k)$
- $|\rho(-k)| \leq 1$
La ACF del proceso anterior se representa en la siguiente figura.
# Auto-covariance function of the simulated stationary random time series
acf(X_t, main = "Auto-covariance function of X")Nota 1. La falta de unicidad es una característica de la ACF. Aunque un proceso aleatorio dado tenga una estructura de covarianza única, lo contrario no es cierto en general: es posible encontrar más de un proceso estocástico con la misma ACF. Estos problemas de especificación se ilustran en [@jenkinsd].
Nota 2. La función de autocorrelación de un proceso estacionario genera una matriz muy especial: la matriz de Toeplitz. Es un tipo de matriz de varianzas y covarianzas de orden $m = t-k$ (el retardo, incluyendo autocorrelaciones hasta el retardo $m-1$), por lo que es diagonal por bandas, simétrica y definida positiva.
\begin{equation} \begin{pmatrix} 1 & \rho(1) & \rho(2) & \cdots & \rho(m-1)\\ \rho(1) & 1 & \rho(1) & \cdots & \rho(m-2)\\ \cdots &\cdots &\cdots &\cdots &\cdots\\ \rho(m-1) & \rho(m-2) & \cdots & \rho(1) & 1 \end{pmatrix} \end{equation}
Proceso puramente aleatorio o ruido blanco
Un proceso discreto $\left\{Z_t\right\}$ es puramente aleatorio si las variables aleatorias $Z_t$ forman una secuencia de variables independientes e idénticamente distribuidas (i.i.d.). Por definición, el proceso tiene media y varianza constantes.
$$\gamma(k) = cov(Z_t, Z_{t+k}) = 0,\quad\forall k\in -3,-2,-1,0,1,2,3, \ldots$$ Dado que la media y la función de autocovarianza (acvf) no dependen del tiempo, el proceso es estacionario de segundo orden.
Proceso de paseo aleatorio (random walk)
Un proceso $\left\{X_t\right\}$ es un paseo aleatorio si $X_t = X_{t-1}+Z_t$, con $Z_t$ un proceso puramente aleatorio con media $\mu$ y varianza $\sigma^2_Z$. El proceso suele iniciarse en $t = 0$ y tenemos $X_1 = Z_0$, lo que implica $X_0 = 0$. Se cumple
\begin{align*} X_1 &= X_0 + Z_1, \quad\text{en } t = 1\\ X_2 &= X_1 + Z_2 = X_0 + Z_1+ Z_2, \quad\text{en } t = 2\\ X_3 &= X_2 + Z_3 = X_0 + Z_1+ Z_2 + Z_3, \quad\text{en } t = 3\\ &\cdots\\ X_t &= X_0 + \sum_{i = 1}^tZ_i \end{align*}
El primer momento (o valor esperado) de este proceso es $$E[X_t] = X_0 +\sum_{i = 1}^tE[Z_i] = X_0 + t\mu_z = t\mu_z$$ y la varianza $$Var(X_t) = t\sigma^2_Z$$ Observa que la media y la varianza cambian con el tiempo, por lo que el proceso es no estacionario. Un ejemplo de series que se comportan como random walks son los precios de las acciones.
Simulación de un paseo aleatorio
# seed X_0 = 0
X <- 0
# purely random process with mean 0 and standard deviation 1.5
Z <- rnorm(100, mean = 0.5, sd = 1.5)
# the process
for (i in 2:length(Z)){
X[i] <- X[i-1] + Z[i]
}
# process plotting
ts.plot(X, main = "Random walk process")Diferenciación
La diferenciación es el método más común para convertir una serie temporal en estacionaria. Es un tipo especial de filtrado, especialmente útil para eliminar una tendencia. En datos estacionales, la primera diferencia suele ser suficiente para lograr estacionariedad en la media. Sea $X_t = \left\{X_1, X_2,\ldots, X_n\right\}$ una serie no estacionaria. La serie estacionaria se obtiene como
$$\Delta X_{t+1} = X_{t+1}-X_t\quad\text{o }\,\Delta X_{t} =X_t-X_{t-1}$$ lo que se denomina la primera diferencia. Si se requiere la segunda diferencia, se usa el operador $\Delta^2$, que es la diferencia de primeras diferencias:
$$\Delta^2X_{t+2} = \Delta X_{t+2} - \Delta X_{t+1}$$
# differencing and plotting of the random walk process
ts.plot(diff(X))Sabrás que la primera diferencia resultante fluctúa alrededor de una media constante 0. Matemáticamente,
$$\Delta X_{t+1} = X_{t+1}-X_t = Z_t$$ que es estacionaria porque es un proceso puramente aleatorio con media y varianza constantes.
Media móvil de orden $q$: MA($q$)
Sea $\left\{Z_t\right\}$ un proceso puramente aleatorio con media cero y varianza $\sigma^2_Z$. Diremos que el proceso es una media móvil de orden $q$ si
$$X_t = \beta_0Z_t-\beta_1Z_{t-1}-\cdots-\beta_q Z_{t-q}$$ donde $\beta_i,\, i = 1,2,\ldots,q$ son constantes. Las variables aleatorias $Z_t, \,t\in\textbf{N}$ se suelen escalar de modo que $\beta_0=1$
Simulación de una MA de primer orden
# purely random process with mean 0 and standard deviation 1.5 (arbitrary choice)
Z <- rnorm(100, mean = 0, sd = 1.5)
# process simulation
X <- c()
for (i in 2:length(Z)) {
X[i] <- Z[i] - 0.45*Z[i-1]
}
# process plotting
ts.plot(X, main = "Moving Average or order 1 process")Para el proceso MA(1), las 3 condiciones se verifican así:
\begin{align} E[X_t] &= 0\\ Var(X_t) &= E[X_t^2] - 0 = E\left[Z_t^2-2\beta Z_tZ_{t-1}+\beta^2Z_{t-1}^2\right]= \sigma^2_Z+\beta^2\sigma^2_Z\\ \gamma(k) &= cov(X_t, X_{t+k}) = E[X_tX_{t+k}] - E[X_t]E[X_{t+k}] = E[X_tX_{t+k}]\\ &= E\left[(Z_t-\beta Z_{t-1})(Z_{t+k}-\beta Z_{t-1+k})\right]\\ &= E\left[Z_tZ_{t+k} - \beta Z_tZ_{t-1+k} -\beta Z_{t-1}Z_{t+k} + \beta^2 Z_{t-1}Z_{t-1+k}\right]\\ \end{align}
para $k = 0,\, \gamma(0) = Var(X_t) = \sigma^2_Z(1+\beta^2)$
para $k = 1,\, \gamma(1) = E\left[Z_tZ_{t+1} - \beta Z_t^2 -\beta Z_{t-1}Z_{t+1} + \beta^2 Z_{t-1}Z_{t}\right] = -\beta\sigma^2_Z$
y para $k>1,\, \gamma(k) = 0.$
Así, el proceso MA(1) tiene covarianza nula cuando el desfase es mayor que un periodo. Es decir, solo tiene memoria de un periodo.
La ACF para MA(1) es, por tanto,
$$\rho(k) = \frac{\gamma(k)}{\gamma(0)} = \begin{cases}1, &\text{k }=0\\\frac{-\beta}{1+\beta^2}, & \text{k }\pm 1\end{cases}$$
Pregunta: repite el desarrollo para MA(2).
Se entiende así por qué la función de autocorrelación muestral puede ayudar a especificar el orden de un proceso de media móvil: la función de autocorrelación $\rho(k)$ para un proceso MA(q) tiene q valores distintos de cero (significativamente distintos de cero) y es cero para $k > q$. No se requieren restricciones sobre $\left\{\beta_i\right\}$ para que MA sea estacionario. Sin embargo, $\left\{\beta_i\right\}$ deben restringirse para garantizar la invertibilidad.
Autorregresión de orden $p$: AR($p$)
Sea $\left\{Z_t\right\}$ un proceso puramente aleatorio con media cero y varianza $\sigma_Z^2$. Un proceso $\left\{X_t\right\}$ se denomina autorregresivo de orden $p$ si $$X_t = \alpha_1X_{t-1}+\alpha_2X_{t-2}+\cdots+\alpha_pX_{t-p}+Z_t$$ En el proceso autorregresivo de orden $p$, la observación actual $X_t$ (por ejemplo, el rendimiento de hoy) se genera como un promedio ponderado de observaciones pasadas hasta $p$ periodos atrás, junto con una variable aleatoria independiente; depende de valores pasados de $X_t$ y por tanto es autorregresivo. Este tipo de procesos fue introducido por [@greenwood1920inquiry]. El AR($p$) anterior puede escribirse con una media constante:
$$X_t = \delta+\alpha_1X_{t-1}+\alpha_2X_{t-2}+\cdots+\alpha_pX_{t-p}+Z_t$$ donde $\mu$ es un término constante relacionado con la media de la serie y $\alpha_1, \alpha_2,\ldots, \alpha_p$ pueden ser positivos o negativos. El AR($p$) es estacionario si $E[X_t] = E[X_{t-1}] = \cdots = E[X_p] = \mu$. Así,
\begin{align*} E[X_t] = \mu &= \delta + \alpha_1\mu+\alpha_2\mu+\cdots+\alpha_p\mu+ 0\\ \Rightarrow \mu &= \frac{\delta}{1-\alpha_1-\alpha_2-\cdots-\alpha_p} \end{align*} Para que la última expresión sea constante, consideramos la condición $\alpha_1+\alpha_2+\cdots+\alpha_p<1$.
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Proceso AR de primer orden: AR(1)
Si $p=1$, entonces $$X_t = \alpha X_{t-1}+Z_t$$ es el autorregresivo de primer orden AR(1), también conocido como proceso de Markov. Usando el operador de retardo $BX_t = X_{t-1}$, puedes expresar AR(1) como un proceso MA infinito. Tenemos $$(1 - \alpha B)X_t = Z_t$$ por lo que \begin{align*} X_t &= \frac{Z_t}{1-\alpha B}\\ &= (1+\alpha B +\alpha^2B^2+ \cdots)Z_t\\ &=Z_t+\alpha Z_{t-1}+\alpha^2Z_{t-2}+\cdots\\ &=Z_t+\beta_1 Z_{t-1}+\beta_2 Z_{t-2}+\cdots\\ \end{align*}
Entonces $E[X_t] = 0$ y $Var(X_t) = \sigma^2_Z(1+\alpha^2+\alpha^4+\cdots)$. La serie converge si $|\alpha|<1$.
Pregunta: Dado un proceso AR(1) $X_t = \alpha_1X_1+Z_t$ puramente aleatorio con media cero y varianza $\sigma^2_Z$, y $\alpha$ constante con las condiciones necesarias, deriva la varianza y la función de autocovarianza de $X_t$.
Simulación de un AR(1)
# constant alpha
alpha = 0.5
# purely random process with mean 0 and standard deviation 1.5
Z <- rnorm(100, mean = 0, sd = 1.5)
# seed
X <- rnorm(1)
# the process
for (i in 2:length(Z)) {
X[i] <- 0.7*X[i-1]+Z[i]
}
# process plotting
ts.plot(X)Pregunta: Expresa la condición de estacionariedad del modelo AR(2) en términos de los valores de los parámetros. Es decir, demuestra las siguientes condiciones:
También puedes expresar un proceso AR de orden finito, digamos p, como un proceso MA de orden infinito. Esto puede hacerse por sustituciones sucesivas o usando el operador de desplazamiento hacia atrás.
Proceso autorregresivo de medias móviles: ARMA($p,q$)
Al construir modelos, puede ser necesario combinar términos AR y MA. Esto conduce a procesos mixtos autorregresivos – de medias móviles (ARMA). Un proceso ARMA que contiene $p$ términos autorregresivos y $q$ términos de media móvil es de orden $(p, q)$ y viene dado por
$$X_t = \alpha_1X_{t-1}+\alpha_2X_{t-2}+\cdots+\alpha_pX_{t-p}+Z_t-\beta_1Z_{t-1}-\beta_2Z_{t-2}-\cdots-\beta_qZ_{t-q}$$ Usando el operador de retardo B, la ecuación puede escribirse como
$$\alpha_p(B)X_t = \beta_q(B)Z_t$$ donde $\alpha_p(B)$ y $\beta_q(B)$ son polinomios de orden $p$ y $q$ respectivamente, tales que
\begin{align*} \alpha_p(B) &= \left(1-\alpha_1 B-\cdots-\alpha_p B^p\right)\\ \beta_q(B) &= \left(1-\beta_1 B-\cdots-\beta_p B^p\right) \end{align*}
Para que el proceso sea invertible, las raíces de $\beta_q(B)$ deben estar fuera del círculo unidad. Para ser estacionario, requerimos que las raíces de $\alpha_p(B)=0$ estén fuera del círculo unidad. También se asume que $\alpha_p(B)=0$ y $\beta_q(B) = 0$ no comparten raíces.
Proceso ARMA(1,1)
Este proceso es de orden $(1,1)$ y está dado por la ecuación $$X_t = \alpha_1X_{t-1}+Z_t-\beta_1Z_{t-1}$$
con las condiciones $|\alpha_1|<1$ y $|\beta_1|<1$ para la prueba de estacionariedad e invertibilidad. Cuando $\alpha < 0$, el ARMA(1,1) se reduce a MA(1) y cuando $\beta_1<0$, obtenemos un AR(1). Un proceso ARMA(1,1) puede transformarse en una representación puramente autorregresiva usando el operador de retardo:
$$(1-\alpha_1B)X_t = (1-\beta_1B)Z_t$$
Tenemos
\begin{align*} \frac{1-\alpha_1B}{1-\beta_1B}X_t &= Z_t\\ \pi(B)X_t &= Z_t \end{align*}
con
\begin{align*} \pi(B) = 1-\pi_1B-\pi_2B^2-\ldots &= \frac{1-\alpha_1B}{1-\beta_1B}\\ (1-\beta_1B)(1-\pi_1B-\pi_2B^2-\ldots) &= 1-\alpha_1B\\ 1-\left[(\pi_1+\beta_1)B - (\pi_2+\beta_2)B^2 - (\pi_3+\beta_3)B^3\right] & = 1-\alpha_1B \end{align*}
Identificando coeficientes de $B$ en ambos lados, obtenemos los términos desconocidos como $$\pi_j = \beta_1^{j-1}(\alpha_1-\beta_1),\,\text{para }\, j\geq1$$
Función de autocorrelación del ARMA(1,1)
La esperanza de $X_t$ viene dada por $E[X_t] = \alpha_1E[X_{t-1}]$ y, bajo estacionariedad, $E[X_t] = E[X_{t-1}] = \mu = 0$. Esto es útil para calcular la función de autocovarianza, que se obtiene así:
- $X_tX_{t-k} = \alpha_1X_{t-k}X_{t-1}+X_{t-k}Z_t-\beta_1X_{t-k}Z_{t-1}$
- Tomando esperanza en ambos lados: \begin{align*} E\left[X_tX_{t-k}\right] &= E\left[\alpha_1X_{t-k}X_{t-1}\right]+E\left[X_{t-k}Z_t\right]-\beta_1E\left[X_{t-k}Z_{t-1}\right]\\ \gamma(k)&=\alpha_1\gamma(k-1)+E\left[X_{t-k}Z_t\right]-\beta_1E\left[X_{t-k}Z_{t-1}\right] \end{align*}
Para $k = 0$,
\begin{align*} \gamma(1)&=\alpha_1\gamma(0)+E\left[X_{t-1}Z_t\right]-\beta_1E\left[X_{t-1}Z_{t-1}\right]\\ &=\alpha_1\left(\alpha_1\gamma(1)+ \sigma^2_Z - \beta_1(\alpha_1-\beta_1)\sigma^2_Z\right)-\beta_1\sigma^2_Z\\ &= \alpha^2\gamma(1)+(\alpha_1-\beta_1)(1-\alpha_1\beta_1)\sigma^2_Z\\ \Rightarrow \gamma(1)&=\frac{(\alpha_1-\beta_1)(1-\alpha_1\beta_1)\sigma^2_Z}{1-\alpha^2}\\ \Rightarrow \gamma(0)&=\alpha_1\frac{(\alpha_1-\beta_1)(1-\alpha_1\beta_1)\sigma^2_Z}{1-\alpha^2}+ \sigma^2_Z - \beta_1(\alpha_1-\beta_1)\sigma^2_Z\\ &=\frac{\left(1+\beta_1^2-2\alpha_1\beta_1\right)\sigma_Z^2}{1-\alpha^2} \end{align*}
Para $k \geq 2$,
\begin{align*} \gamma(2)&=\alpha_1\gamma(k-1) \end{align*}
Por tanto, la ACF de ARMA(1,1) es:
$$\rho(k) = \begin{cases} 1, &\text{para }\,k=0\\ \frac{(\alpha_1-\beta_1)(1-\alpha_1\beta_1)}{1+\beta_1^2-2\alpha_1\beta_1},&\text{para }\,k=1\\ \alpha_1\rho(k-1), &\text{para }\,k\geq2\\ \end{cases} $$ La ACF de ARMA(1,1) combina las características de AR(1) y MA(1). Los parámetros de MA(1) y AR(1) aparecen en $\rho(1)$. A partir de $\rho(1)$, la ACF de un modelo ARIMA(1,1) sigue el mismo patrón que la ACF de un AR(1).
Pregunta: Encuentra la función de autocorrelación parcial (PACF) del proceso ARMA(1,1).
Nota: Las características de los procesos de series temporales se describen mediante su ACF y PACF. El paso más crítico del análisis de series temporales es identificar y construir un modelo a partir de los datos disponibles, donde la ACF y la PACF son desconocidas.
Simulación de un proceso ARMA(1,1)
# purely random process with mean 0 and standard deviation 1.5
Z <- rnorm(100, mean = 0, sd = 1.5)
# Process
X <- rnorm(1)
for (i in 2:length(Z)) {
X[i] <- 0.35*X[i-1] + Z[i] + 0.4*Z[i-1]
}
# process plotting
ts.plot(X, main = "ARMA(1,1) process")
# ACF et PACF
par(mfrow = c(1,2))
acf(X); pacf(X)Proceso ARIMA($p,d,q$)
Los modelos autorregresivos integrados de medias móviles son series temporales definidas por la ecuación:
Proceso SARIMA(p,d,q)(P,D,Q)
Previsión
En esta sección, usarás series temporales reales para ajustar el modelo óptimo. Para ello, utilizarás el paquete forecast. La función auto.arima ajusta y selecciona el modelo óptimo a partir de los datos y la función forecast permite predecir h periodos por delante.
# R packages to be used
library(forecast)
library(TSA)Ejemplo 1:
# Data from TSA package
data("co2")
data("boardings")
# fitting
fit <- auto.arima(co2)
# Time series plot
plot(fc <- forecast(fit, h = 15))Ejemplo 2:
data("boardings")
# fitting
fit2 <- auto.arima(boardings[,"log.price"])
# forecasting
plot(fc2 <- forecast(fit2, h = 15))Referencias
Greenwood, Major, y G Udny Yule. 1920. “An Inquiry into the Nature of Frequency Distributions Representative of Multiple Happenings with Particular Reference to the Occurrence of Multiple Attacks of Disease or of Repeated Accidents.” Journal of the Royal Statistical Society 83 (2). JSTOR: 255–79.
Jenkins, GM. s. f. “D. G. Watts (1968) Spectral Analysis and Its Applications.” San Francisco.
Conclusión
En este tutorial has visto muchos aspectos de las series temporales en R. Has aprendido qué es un proceso estacionario, cómo simular variables aleatorias y series temporales aleatorias, el proceso de paseo aleatorio y más. También cubriste la autorregresión de orden p: AR(p), el proceso SARIMA(p,d,q)(P,D,Q) y la previsión.
Si quieres aprender más sobre series temporales en R, echa un vistazo a estos cursos de DataCamp:
