Análise de séries temporais em R: tutorial

Série temporal é uma métrica medida em intervalos regulares de tempo. Exemplos clássicos de análise de séries temporais incluem finanças, preços de ações, dados meteorológicos, estudos de consumo e muito mais.

Você pode trabalhar com modelos de série temporal de duas formas:

• Entendendo as forças e estruturas subjacentes que geraram os dados observados.
• Ajustando um modelo e realizando previsão, monitoramento ou até controle por feedback e feedforward.

Neste tutorial, você terá uma visão geral de modelos estacionários e não estacionários. Você verá como identificar uma série temporal calculando sua ACF e PACF. As figuras dessas funções permitem avaliar a estacionariedade de uma série. Podemos tornar uma série não estacionária em estacionária por diferenciação. Conhecendo a natureza da série, fica mais fácil prever valores futuros a partir de um modelo que ela segue. Uma ilustração com dados reais do pacote TSA do R também fará parte deste tutorial.

Processos estacionários

Seja $X$ uma variável aleatória indexada no tempo (geralmente denotado por $t$); as observações $\left\{x_t,\,t\in \textbf{N}\right\}$ formam uma série temporal. $\textbf{N}$ é o conjunto dos inteiros, considerado aqui como conjunto de índices de tempo. $N$ também pode ser um timestamp. Estacionariedade é uma hipótese crucial em modelos de séries temporais e implica homogeneidade: a série se comporta de forma semelhante ao longo do tempo, ou seja, suas propriedades estatísticas não mudam. Há duas formas de estacionariedade: forte e fraca.

Definição 1

Um processo estacionário $\left\{x_t,\,t\in \textbf{N}\right\}$ é dito estritamente (ou fortemente) estacionário se suas distribuições estatísticas permanecem inalteradas após um deslocamento na escala de tempo. Como as distribuições de um processo estocástico são definidas por distribuições finito-dimensionais, podemos formular uma definição alternativa: para todo $n$, toda escolha de tempos $t_1, t_2, \ldots, t_n\in \textbf{N}$ e todo defasagem $k$ tal que $t_{i+k}\in\textbf{N}$, o vetor aleatório $n$-dimensional $(X_{t_1+k}, X_{t_2+k}, \ldots, X_{t_n+k})$ tem a mesma distribuição que $(X_{t_1}, X_{t_2}, \ldots, X_{t_n})$. Isto é, para $h$ e $x_i$

\begin{align*} P(X_{t_1}\leq x_1, X_{t_2}\leq x_2, \ldots, X_{t_k}\leq x_k) &= F(x_{t_1}, x_{t_2}, \ldots, x_{t_k})\\ &= F(x_{h+t_1}, x_{h+t_2}, \ldots, x_{h+t_k})\\ &= P(X_{h+t-1}\leq x_1, X_{h+t_2}\leq x_2, \ldots, X_{h+t_k}\leq x_k) \end{align*}

para qualquer deslocamento temporal $h$ e observação $x_j$. Se $\left\{X-t,\,t\in\textbf{N}\right\}$ é estritamente estacionário, então a distribuição marginal de $X_t$ é independente de $t$. Além disso, as distribuições bidimensionais de $(X_{t_1}, X_{t_2})$ são independentes da posição absoluta de $t_1$ e $t_2$; apenas a distância $t_1-t_2$ importa. Como consequência, a função média $E(X)$ é constante, e a covariância $Cov(X_t,X_{t-k})$ depende apenas de $k$, não da localização absoluta de $k$ e $t$. Em momentos de ordem superior, como o de terceira ordem, $E[X_uX_tX_v]$ permanece inalterado se adicionarmos um deslocamento temporal constante a $s, t, u$.

Definição 2

Uma série temporal univariada $X_t$ é estacionária se sua média, variância e covariância forem independentes do tempo. Assim, se $X_t$ é uma série temporal (ou processo estocástico, isto é, variáveis aleatórias ordenadas no tempo) definido para $t=1,2,3,\ldots, n$ e para $t=0, -1, -2, -3, \ldots$, então $X_t$ é fracamente estacionário se

\begin{align} (i) & E[X_t] = \mu\\ (ii) & E\left[(X-\mu)^2\right] = Var(X_t) = \gamma(0) = \sigma^2\\ (iii) & E\left[(X_t-\mu)(X_{t-k}-\mu)\right] = Cov(X_t, X_{t-k}) = \gamma(k) \end{align}

As duas primeiras condições ($(i)$ e $(ii)$) exigem média e variância constantes; $(iii)$ exige que a covariância entre quaisquer dois valores dependa apenas do intervalo $k$ entre eles, e não do instante $t$.

Se um processo é Gaussiano com momentos de segunda ordem finitos, então estacionariedade fraca é equivalente à forte. Estacionariedade estrita implica estacionariedade fraca apenas se os momentos necessários existirem. A forma forte também exige suposições sobre a distribuição. Em geral, a forma forte é considerada rigorosa demais; por isso, focamos na estacionariedade fraca, também chamada de estacionariedade em covariância, em sentido amplo ou de segunda ordem.

Estacionariedade e série temporal aleatória (processo estocástico)

Uma série temporal cujas observações flutuam ao redor de uma média constante, têm variância estável e são estocasticamente independentes é uma série temporal aleatória. Uma série assim não apresenta padrão:

• As observações não tendem a subir nem a cair ao longo do tempo
• A variância não aumenta nem diminui com o tempo
• As observações não tendem a ser maiores em certos períodos do que em outros

Um exemplo de modelo aleatório estacionário pode ser escrito como

$$X_t = \mu+\varepsilon_t$$ em que $\mu$ é a média constante tal que $E[X_t] = \mu$ e $\varepsilon_t$ é o termo de ruído com média zero, variância constante e independente (ruído branco).

Simulação de uma série temporal aleatória

# purely random process with mean 0 and standard deviation 1.5
eps <- rnorm(100, mean = 0, sd = 1)
mu <- 2 # the constant mean
# The process
X_t <- mu + eps

# plotting the time series
ts.plot(X_t, main = "Example of (random) stationary time series", ylab = expression(X[t]))

O processo simulado oscila ao redor da média constante $\mu = 2$.

Função de autocovariância

A função teórica de autocovariância (ACF) de um processo estocástico estacionário é uma ferramenta importante para avaliar propriedades de séries temporais. Seja $X_t$ um processo estacionário com média $\mu$ e variância $\sigma^2$. A ACF na defasagem $k$, $\gamma(k)$, é $$\gamma(k) = \frac{\gamma(k)}{\gamma(0)} = \frac{\gamma(k)}{\sigma^2}$$

A ACF é uma medida normalizada da autocovariância e possui várias propriedades.

Propriedades da ACF

1. $\rho(0) = 1$
2. A ACF é uma função par das defasagens, ou seja, $\rho(k) = \rho(-k)$
3. $|\rho(-k)| \leq 1$

A ACF do processo acima é representada na figura a seguir.

# Auto-covariance function of the simulated stationary random time series
acf(X_t, main = "Auto-covariance function of X")

Observação 1. A falta de unicidade é uma característica da ACF. Mesmo que um processo aleatório tenha uma estrutura de covariância única, o contrário geralmente não é verdadeiro: é possível encontrar mais de um processo estocástico com a mesma ACF. Esse problema de especificação é ilustrado em [@jenkinsd].

Observação 2. A função de autocorrelação de um processo estacionário gera uma matriz muito especial, chamada matriz de Toeplitz. É um tipo de matriz de variâncias e covariâncias de ordem $m = t-k$ (a defasagem, incluindo autocorrelações até lag $m-1$); portanto, é diagonal por blocos, simétrica e definida positiva.

\begin{equation} \begin{pmatrix} 1 & \rho(1) & \rho(2) & \cdots & \rho(m-1)\\ \rho(1) & 1 & \rho(1) & \cdots & \rho(m-2)\\ \cdots &\cdots &\cdots &\cdots &\cdots\\ \rho(m-1) & \rho(m-2) & \cdots & \rho(1) & 1 \end{pmatrix} \end{equation}

Processo puramente aleatório ou ruído branco

Um processo discreto $\left\{Z_t\right\}$ é puramente aleatório se as variáveis $Z_t$ formam uma sequência i.i.d. (independentes e identicamente distribuídas). A definição implica média e variância constantes.

$$\gamma(k) = cov(Z_t, Z_{t+k}) = 0,\quad\forall k\in -3,-2,-1,0,1,2,3, \ldots$$ Como a média e a função de autocovariância (acvf) não dependem do tempo, o processo é estacionário de segunda ordem.

Passeio aleatório (random walk)

Um processo $\left\{X_t\right\}$ é um passeio aleatório se $X_t = X_{t-1}+Z_t$, com $Z_t$ um processo puramente aleatório de média $\mu$ e variância $\sigma^2_Z$. Geralmente iniciamos em $t = 0$, com $X_1 = Z_0$ e $X_0 = 0$. Temos

\begin{align*} X_1 &= X_0 + Z_1, \quad\text{em } t = 1\\ X_2 &= X_1 + Z_2 = X_0 + Z_1+ Z_2, \quad\text{em } t = 2\\ X_3 &= X_2 + Z_3 = X_0 + Z_1+ Z_2 + Z_3, \quad\text{em } t = 3\\ &\cdots\\ X_t &= X_0 + \sum_{i = 1}^tZ_i \end{align*}

O primeiro momento (valor esperado) é $$E[X_t] = X_0 +\sum_{i = 1}^tE[Z_i] = X_0 + t\mu_z = t\mu_z$$ e a variância $$Var(X_t) = t\sigma^2_Z$$ Note que média e variância mudam com o tempo; portanto, o processo é não estacionário. Um exemplo de série que se comporta como passeio aleatório são preços de ações.

Simulação de passeio aleatório

# seed X_0 = 0
X <- 0

# purely random process with mean 0 and standard deviation 1.5
Z <- rnorm(100, mean = 0.5, sd = 1.5)

# the process
for (i in 2:length(Z)){
  X[i] <- X[i-1] + Z[i]
}

# process plotting
ts.plot(X, main = "Random walk process")

Diferença

A diferenciação é o método mais comum para tornar uma série estacionária. É um tipo de filtragem especialmente útil para remover tendência. Para dados sazonais, geralmente a primeira diferença já basta para atingir estacionariedade na média. Seja $X_t = \left\{X_1, X_2,\ldots, X_n\right\}$ uma série não estacionária. A série estacionária é obtida como

$$\Delta X_{t+1} = X_{t+1}-X_t\quad\text{ou }\,\Delta X_{t} =X_t-X_{t-1}$$ que é a primeira diferença. Se for preciso a segunda diferença, use o operador $\Delta^2$, a diferença das primeiras diferenças:

$$\Delta^2X_{t+2} = \Delta X_{t+2} - \Delta X_{t+1}$$

# differencing and plotting of the random walk process
ts.plot(diff(X))

O resultado da primeira diferença flutua em torno da média constante 0. Matematicamente,

$$\Delta X_{t+1} = X_{t+1}-X_t = Z_t$$ que é estacionária, pois é um processo puramente aleatório com média e variância constantes.

Média móvel de ordem $q$: MA($q$)

Seja $\left\{Z_t\right\}$ um processo puramente aleatório com média zero e variância $\sigma^2_Z$. Dizemos que $X_t$ é uma média móvel de ordem $q$ se

$$X_t = \beta_0Z_t-\beta_1Z_{t-1}-\cdots-\beta_q Z_{t-q}$$ onde $\beta_i,\, i = 1,2,\ldots,q$ são constantes. As variáveis $Z_t, \,t\in\textbf{N}$ são geralmente escalonadas com $\beta_0=1$

Simulação de MA de primeira ordem

# purely random process with mean 0 and standard deviation 1.5 (arbitrary choice)
Z <- rnorm(100, mean = 0, sd = 1.5)

# process simulation
X <- c()
for (i in 2:length(Z)) {
  X[i] <- Z[i] - 0.45*Z[i-1]
}

# process plotting
ts.plot(X, main = "Moving Average or order 1 process")

Para o processo MA(1), podemos verificar as 3 condições assim:

\begin{align} E[X_t] &= 0\\ Var(X_t) &= E[X_t^2] - 0 = E\left[Z_t^2-2\beta Z_tZ_{t-1}+\beta^2Z_{t-1}^2\right]= \sigma^2_Z+\beta^2\sigma^2_Z\\ \gamma(k) &= cov(X_t, X_{t+k}) = E[X_tX_{t+k}] - E[X_t]E[X_{t+k}] = E[X_tX_{t+k}]\\ &= E\left[(Z_t-\beta Z_{t-1})(Z_{t+k}-\beta Z_{t-1+k})\right]\\ &= E\left[Z_tZ_{t+k} - \beta Z_tZ_{t-1+k} -\beta Z_{t-1}Z_{t+k} + \beta^2 Z_{t-1}Z_{t-1+k}\right]\\ \end{align}

para $k = 0,\, \gamma(0) = Var(X_t) = \sigma^2_Z(1+\beta^2)$

para $k = 1,\, \gamma(1) = E\left[Z_tZ_{t+1} - \beta Z_t^2 -\beta Z_{t-1}Z_{t+1} + \beta^2 Z_{t-1}Z_{t}\right] = -\beta\sigma^2_Z$

e para $k>1,\, \gamma(k) = 0.$

Assim, o MA(1) tem covariância zero quando a defasagem é maior que um período. Ou seja, tem memória de apenas um período.

A ACF para MA(1) é, portanto,

$$\rho(k) = \frac{\gamma(k)}{\gamma(0)} = \begin{cases}1, &\text{k }=0\\\frac{-\beta}{1+\beta^2}, & \text{k }\pm 1\end{cases}$$

Pergunta: repita o desenvolvimento para MA(2)

Fica claro por que a função de autocorrelação amostral ajuda a definir a ordem de um processo de média móvel: a função de autocorrelação $\rho(k)$ para MA(q) tem q valores diferentes de zero (significativamente) e é zero para $k > q$. Não são necessárias restrições sobre $\left\{\beta_i\right\}$ para MA ser estacionário. Porém, $\left\{\beta_i\right\}$ precisam obedecer restrições para garantir a invertibilidade.

Auto-regressão de ordem $p$: AR($p$)

Seja $\left\{Z_t\right\}$ um processo puramente aleatório com média zero e variância $\sigma_Z^2$. Um processo $\left\{X_t\right\}$ é autoregressivo de ordem $p$ se $$X_t = \alpha_1X_{t-1}+\alpha_2X_{t-2}+\cdots+\alpha_pX_{t-p}+Z_t$$ No AR($p$), a observação atual $X_t$ (por exemplo, o retorno de hoje) é gerada por uma média ponderada das $p$ observações passadas, junto com um termo aleatório independente; como depende de valores passados de $X_t$, é autoregressivo. Esses processos foram introduzidos por [@greenwood1920inquiry]. O AR($p$) acima pode incluir termo constante:

$$X_t = \delta+\alpha_1X_{t-1}+\alpha_2X_{t-2}+\cdots+\alpha_pX_{t-p}+Z_t$$ onde $\mu$ é um termo constante relacionado à média da série, e $\alpha_1, \alpha_2,\ldots, \alpha_p$ podem ser positivos ou negativos. O AR($p$) é estacionário se $E[X_t] = E[X_{t-1}] = \cdots = E[X_p] = \mu$. Assim,

\begin{align*} E[X_t] = \mu &= \delta + \alpha_1\mu+\alpha_2\mu+\cdots+\alpha_p\mu+ 0\\ \Rightarrow \mu &= \frac{\delta}{1-\alpha_1-\alpha_2-\cdots-\alpha_p} \end{align*} Para que a última expressão seja constante, consideramos a condição $\alpha_1+\alpha_2+\cdots+\alpha_p<1$.

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AR de primeira ordem: AR(1)

Para $p=1$, $$X_t = \alpha X_{t-1}+Z_t$$ é o AR(1), também conhecido como processo de Markov. Usando o operador de defasagem $BX_t = X_{t-1}$, você pode expressar AR(1) como um MA infinito. Temos $$(1 - \alpha B)X_t = Z_t$$ logo, \begin{align*} X_t &= \frac{Z_t}{1-\alpha B}\\ &= (1+\alpha B +\alpha^2B^2+ \cdots)Z_t\\ &=Z_t+\alpha Z_{t-1}+\alpha^2Z_{t-2}+\cdots\\ &=Z_t+\beta_1 Z_{t-1}+\beta_2 Z_{t-2}+\cdots\\ \end{align*}

Então $E[X_t] = 0$ e $Var(X_t) = \sigma^2_Z(1+\alpha^2+\alpha^4+\cdots)$. A série converge sob $|\alpha|<1$.

Pergunta: Dado um AR(1) $X_t = \alpha_1X_1+Z_t$ com ruído branco de média zero e variância $\sigma^2_Z$, e $\alpha$ constante com as condições necessárias, derive a variância e a função de autocovariância de $X_t$.

Simulando um AR(1)

# constant alpha
alpha = 0.5

# purely random process with mean 0 and standard deviation 1.5
Z <- rnorm(100, mean = 0, sd = 1.5)

# seed
X <- rnorm(1)

# the process
for (i in 2:length(Z)) {
  X[i] <- 0.7*X[i-1]+Z[i]
}

# process plotting
ts.plot(X)

Pergunta: Expresse a condição de estacionariedade do modelo AR(2) em termos dos parâmetros. Mostre as condições a seguir:

Também é possível expressar um AR de ordem finita, digamos p, como um MA de ordem infinita. Isso pode ser feito por substituições sucessivas ou usando o operador de defasagem.

Processo autorregressivo de médias móveis: ARMA($p,q$)

No desenvolvimento de modelos, pode ser necessário combinar termos AR e MA. Isso leva ao processo ARMA. Um ARMA com $p$ termos autoregressivos e $q$ termos de média móvel é de ordem $(p, q)$ e é dado por

$$X_t = \alpha_1X_{t-1}+\alpha_2X_{t-2}+\cdots+\alpha_pX_{t-p}+Z_t-\beta_1Z_{t-1}-\beta_2Z_{t-2}-\cdots-\beta_qZ_{t-q}$$ Usando o operador de defasagem B, a equação pode ser escrita como

$$\alpha_p(B)X_t = \beta_q(B)Z_t$$ onde $\alpha_p(B)$ e $\beta_q(B)$ são polinômios de ordem $p$ e $q$, respectivamente:

\begin{align*} \alpha_p(B) &= \left(1-\alpha_1 B-\cdots-\alpha_p B^p\right)\\ \beta_q(B) &= \left(1-\beta_1 B-\cdots-\beta_p B^p\right) \end{align*}

Para que o processo seja invertível, as raízes de $\beta_q(B)$ devem estar fora do círculo unitário. Para ser estacionário, exigimos que as raízes de $\alpha_p(B)=0$ estejam fora do círculo unitário. Assume-se também que $\alpha_p(B)=0$ e $\beta_q(B) = 0$ não compartilham raízes.

Processo ARMA(1,1)

Este processo é de ordem $(1,1)$ e é dado por $$X_t = \alpha_1X_{t-1}+Z_t-\beta_1Z_{t-1}$$

com condições $|\alpha_1|<1$ e $|\beta_1|<1$ para estacionariedade e invertibilidade. Quando $\alpha < 0$, o ARMA(1,1) se reduz a MA(1), e quando $\beta_1<0$, teremos um AR(1). Um ARMA(1,1) pode ser transformado em representação puramente autoregressiva usando o operador de defasagem:

$$(1-\alpha_1B)X_t = (1-\beta_1B)Z_t$$

Temos

\begin{align*} \frac{1-\alpha_1B}{1-\beta_1B}X_t &= Z_t\\ \pi(B)X_t &= Z_t \end{align*}

com

\begin{align*} \pi(B) = 1-\pi_1B-\pi_2B^2-\ldots &= \frac{1-\alpha_1B}{1-\beta_1B}\\ (1-\beta_1B)(1-\pi_1B-\pi_2B^2-\ldots) &= 1-\alpha_1B\\ 1-\left[(\pi_1+\beta_1)B - (\pi_2+\beta_2)B^2 - (\pi_3+\beta_3)B^3\right] & = 1-\alpha_1B \end{align*}

Por identificação dos coeficientes de B em ambos os lados, obtemos $$\pi_j = \beta_1^{j-1}(\alpha_1-\beta_1),\,\text{para }\, j\geq1$$

Função de autocorrelação do ARMA(1,1)

A esperança de $X_t$ é $E[X_t] = \alpha_1E[X_{t-1}]$ e, sob estacionariedade, $E[X_t] = E[X_{t-1}] = \mu = 0$. Isso é útil para calcular a autocovariância, obtida assim:

1. $X_tX_{t-k} = \alpha_1X_{t-k}X_{t-1}+X_{t-k}Z_t-\beta_1X_{t-k}Z_{t-1}$
2. Tomando esperança em ambos os lados: \begin{align*} E\left[X_tX_{t-k}\right] &= E\left[\alpha_1X_{t-k}X_{t-1}\right]+E\left[X_{t-k}Z_t\right]-\beta_1E\left[X_{t-k}Z_{t-1}\right]\\ \gamma(k)&=\alpha_1\gamma(k-1)+E\left[X_{t-k}Z_t\right]-\beta_1E\left[X_{t-k}Z_{t-1}\right] \end{align*}

Para $k = 0$,

\begin{align*} \gamma(1)&=\alpha_1\gamma(0)+E\left[X_{t-1}Z_t\right]-\beta_1E\left[X_{t-1}Z_{t-1}\right]\\ &=\alpha_1\left(\alpha_1\gamma(1)+ \sigma^2_Z - \beta_1(\alpha_1-\beta_1)\sigma^2_Z\right)-\beta_1\sigma^2_Z\\ &= \alpha^2\gamma(1)+(\alpha_1-\beta_1)(1-\alpha_1\beta_1)\sigma^2_Z\\ \Rightarrow \gamma(1)&=\frac{(\alpha_1-\beta_1)(1-\alpha_1\beta_1)\sigma^2_Z}{1-\alpha^2}\\ \Rightarrow \gamma(0)&=\alpha_1\frac{(\alpha_1-\beta_1)(1-\alpha_1\beta_1)\sigma^2_Z}{1-\alpha^2}+ \sigma^2_Z - \beta_1(\alpha_1-\beta_1)\sigma^2_Z\\ &=\frac{\left(1+\beta_1^2-2\alpha_1\beta_1\right)\sigma_Z^2}{1-\alpha^2} \end{align*}

Para $k \geq 2$,

\begin{align*} \gamma(2)&=\alpha_1\gamma(k-1) \end{align*}

Logo, a ACF do ARMA(1,1) é:

$$\rho(k) = \begin{cases} 1, &\text{para }\,k=0\\ \frac{(\alpha_1-\beta_1)(1-\alpha_1\beta_1)}{1+\beta_1^2-2\alpha_1\beta_1},&\text{para }\,k=1\\ \alpha_1\rho(k-1), &\text{para }\,k\geq2\\ \end{cases} $$ A ACF do ARMA(1,1) combina características de AR(1) e MA(1). Os parâmetros de MA(1) e AR(1) aparecem em $\rho(1)$. Para além de $\rho(1)$, a ACF de um ARMA(1,1) segue o mesmo padrão da ACF de um AR(1).

Pergunta: Encontre a função de autocorrelação parcial (PACF) do processo ARMA(1,1).

Observação: Características de processos de séries temporais são dadas em termos de suas ACF e PACF. Um passo crucial na análise é identificar e construir um modelo com base nos dados disponíveis, quando ACF e PACF verdadeiras são desconhecidas.

Simulação de ARMA(1,1)

# purely random process with mean 0 and standard deviation 1.5
Z <- rnorm(100, mean = 0, sd = 1.5)

# Process
X <- rnorm(1)

for (i in 2:length(Z)) {
  X[i] <- 0.35*X[i-1] + Z[i] + 0.4*Z[i-1]
}

# process plotting
ts.plot(X, main = "ARMA(1,1) process")

# ACF et PACF
par(mfrow = c(1,2))
acf(X); pacf(X)

Processo ARIMA($p,d,q$)

Modelos autorregressivos integrados de médias móveis são séries temporais definidas pela equação:

Processo SARIMA(p,d,q)(P,D,Q)

Previsão

Nesta seção, você vai usar séries reais para ajustar o modelo ideal. Para isso, use o pacote forecast. A função auto.arima ajusta e seleciona o melhor modelo a partir dos dados, e a função forecast permite prever h períodos à frente.

# R packages to be used
library(forecast)
library(TSA)

Exemplo 1:

# Data from TSA package
data("co2")
data("boardings")

# fitting
fit <- auto.arima(co2)

# Time series plot
plot(fc <- forecast(fit, h = 15))

Exemplo 2:

data("boardings")

# fitting
fit2 <- auto.arima(boardings[,"log.price"])

# forecasting
plot(fc2 <- forecast(fit2, h = 15))

Referências

Greenwood, Major, and G Udny Yule. 1920. “An Inquiry into the Nature of Frequency Distributions Representative of Multiple Happenings with Particular Reference to the Occurrence of Multiple Attacks of Disease or of Repeated Accidents.” Journal of the Royal Statistical Society 83 (2). JSTOR: 255–79.

Jenkins, GM. s.d. “D. G. Watts (1968) Spectral Analysis and Its Applications.” San Francisco.

Conclusão

Neste tutorial, você viu vários aspectos de séries temporais em R. Aprendeu o que é um processo estacionário, simulação de variáveis aleatórias, simulação de séries temporais aleatórias, passeio aleatório e mais. Também cobrimos auto-regressão de ordem p: AR(p), SARIMA(p,d,q)(P,D,Q) e previsão.

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