调整后的R平方：清晰解释与示例

线性回归是数据分析和数据科学中的一项强大工具。它用于量化因变量与一个或多个自变量之间的关系。如果您熟悉线性回归，您可能也了解常见的拟合优度指标R平方，它表示因变量方差中由自变量解释的比例。不过，您可能对调整后的R平方不太熟悉，它常用于包含多个预测变量的更复杂模型。 

本文将帮助您全面理解调整后的R平方、它在模型评估中的重要性、与R平方的关键差异，以及它在多元回归场景中的应用，从而更全面地掌握这些模型统计指标。开始之前，强烈推荐学习 DataCamp 的Python 中使用 statsmodels 的回归入门课程以及我们的R 语言中的回归入门课程，了解回归模型以及如何解读包括调整后的R平方在内的各类性能指标。

什么是调整后的R平方？

R平方衡量的是模型中的一个或多个自变量对因变量方差的解释比例。调整后的R平方同样用于解释方差，但它多考虑了一点：顾名思义，它会调整R平方的取值，对无关（这里特指高度共线）的变量进行惩罚。它通过同时考虑预测变量的数量和样本量来实现这一点。

要计算调整后的R平方，我们首先需要得到R平方。尽管求R平方有不同方法，下面的公式是最常见的一种：

R平方的公式

这里，R平方等于1减去残差平方和与总离差平方和之比。

其中：

• RSS = 残差平方和（观测值与预测值之差的平方之和）
• TSS = 总离差平方和（观测值与其均值之差的平方之和）

调整后的R平方公式

得到R平方后，我们即可计算调整后的R平方。方法是将R平方代入下面的公式。

其中：

• R^² = 模型的R平方
• n = 观测数（数据点数量）
• p = 预测变量数（自变量数量）

我们来做个练习。设想这样一个情景：我们有一个包含30个观测值的数据集，构建了一个包含5个预测变量的多元线性回归模型，得到R平方为0.8。下面展示如何据此求出调整后的R平方：

您可能会好奇，为什么等式的分子和分母里都有-1。解释如下：分子中的n−1体现自由度，用于修正用样本均值计算方差时的偏差。因为计算方差时通常用样本均值来估计总体均值，而样本均值并不等于真实总体均值，方差往往会被低估。为矫正这一偏差，我们将自由度减少1。 

在分母中，n−p−1用于根据模型中的预测变量个数p进行调整，其中p表示自变量数量。分母中的额外−1是为了修正对模型截距的估计，这同样会消耗一个自由度。请牢记，在回归模型中，我们既要估计预测变量的斜率系数，也要估计截距，以反映模型的完整复杂度。

调整后的R平方与R平方有何不同？

尽管R平方和调整后的R平方都用于评估回归模型性能，但两者存在关键区别。R平方在向模型添加更多预测变量时总是会增加或保持不变，即使这些变量并未显著提升模型的解释力。这会造成对模型有效性的误导性印象。

调整后的R平方会根据模型中的自变量数量对R平方进行校正。如果新引入的预测变量未能改善模型拟合，调整后的R平方可能会降低，因此它是更可靠的模型准确性度量。基于这一点，数据分析师可以借助调整后的R平方来帮助判断应纳入哪些预测变量。

何时使用调整后的R平方

在构建可靠模型时，了解何时应优先使用调整后的R平方十分重要。以下场景适合用调整后的R平方来评估模型：

• 多元回归： 一般而言，调整后的R平方更可靠，因为它会考虑预测变量的数量，从而更好地评估模型表现。
• 模型比较： 当比较不同预测变量数量的模型以选出表现最佳者时很有用。
• 防止过拟合： 调整后的R平方通过惩罚无关预测变量的引入来帮助控制，只保留能提升模型表现的变量。

总体来说，在多元回归模型中，由于调整后的R平方会考虑预测变量数量并惩罚加入无关变量，因此通常优于R平方。但在以下情形下，使用R平方依然可能合适：

• 模型之间的简单比较：如果您比较的模型具有相同数量的预测变量，R平方可用于衡量整体拟合优度，而无需担心过拟合，因为两者复杂度相同。
• 侧重解释力：如果您的目标只是理解自变量在多大程度上解释了因变量的变异，而不考虑预测变量数量，R平方能给出更直观的解读。

实践中如何解读调整后的R平方

考虑一个示例，帮助对比R平方与调整后的R平方的差异。假设我们有以下两个回归模型：

• 模型1 的R平方为0.9，调整后的R平方为0.75。
• 模型2 的R平方为0.85，调整后的R平方为0.8。

我们或许会说，模型1的R平方更高，似乎对数据的总体方差解释更多。但我们也必须考虑，模型2可能更好地解释了变量之间的真实关系，因为它考虑了无关预测变量的影响。模型2较高的调整后R平方表明，其通过惩罚不必要的复杂度而提供了更可靠的拟合，同时也更不易过拟合。就我个人而言，在缺乏其他信息时，我会选择模型2。

R 与 Python 中的调整后的R平方

下面我们在 R 与 Python 中演示如何计算调整后的R平方。我们将使用 Kaggle 上的“Fish Market”数据集，用于根据鱼的品种和各项物理测量来估计其重量。为简化演示，我们将输出结果四舍五入到小数点后五位。

R 中的调整后的R平方

下载数据集并保存在您的工作目录中。使用以下代码，将鱼的重量作为因变量，拟合包含多个变量的线性模型，包括Length1、Height、Width和Length3，它们分别表示鱼的垂直长度、高度、对角宽度和交叉长度。

# Load the dataset
data <- read.csv("data/Fish.csv")

# Remove rows with missing values
data <- na.omit(data)

# Model 1: Using 4 predictors ('Length1', 'Height', 'Width', 'Length3')
model1 <- lm(Weight ~ Length1 + Height + Width + Length3, data = data)

现在，我们查看R平方和调整后的R平方，结果如下。调整后的R平方非常接近R平方，仅略低一些。

r_squared_model1 <- round(summary(model1)$r.squared, 4)
r_squared_model1 <- round(summary(model1)$adj.r.squared, 4)

0.88527
0.88229

如果我们再添加一个预测变量呢？这次我们构建第二个模型，加入Length2（鱼的对角长度）。与之前相同，我们可以查看新模型的R平方和调整后的R平方。

# Model 2: Adding one more predictor ('Length2')
model2 <- lm(Weight ~ Length1 + Height + Width + Length3 + Length2, data = data)

r_squared_model2 <- round(summary(model1)$r.squared, 4)
r_squared_model2 <- round(summary(model1)$adj.r.squared, 4)

0.88529
0.88154

对于模型2，我们可以看到与模型1相比，R平方几乎没有增加。同时，调整后的R平方下降了，而且其下降幅度超过了R平方的上升幅度。这表明我们新增的预测变量并不好。 

想一想，Length2（鱼的对角长度）很可能与模型中的其他变量或它们的线性组合高度相关。尤其是，我们预期鱼的对角长度与鱼的长度和交叉长度高度相关。因此，这个新变量并未带来新的、相关的信息。

为了更完整，我们也可以演示如何手工计算调整后的R平方。使用R平方值和模型参数，按照前文给出的公式计算即可。

# Save R-squared as a variable
r_squared_model2 <- summary(model2)$r.squared

# Get the number of observations (n) for both models
n <- nrow(data)  # Same for both models

# Get the number of predictors (excluding intercept) for each model
p_model1 <- length(coef(model1)) - 1
p_model2 <- length(coef(model2)) - 1

# Adjusted r-squared formula for Model 1
adjusted_r_squared_model1 <- 1 - ((1 - r_squared_model1) * (n - 1)) / (n - p_model1 - 1)

# Adjusted r-squared formula for Model 2
adjusted_r_squared_model2 <- 1 - ((1 - r_squared_model2) * (n - 1)) / (n - p_model2 - 1)

# Print R-squared values for both models
cat("R-Squared for Model 1:", r_squared_model1, "\n")
cat("R-Squared for Model 2:", r_squared_model2, "\n")

# Print the Adjusted R-Squared values for both models
cat("Adjusted R-Squared for Model 1:", adjusted_r_squared_model1, "\n")
cat("Adjusted R-Squared for Model 2:", adjusted_r_squared_model2, "\n")

Python 中的调整后的R平方

以下代码演示用 Python 进行相同示例的实现。

# Import requied libraries
import pandas as pd
import statsmodels.api as sm

# Load the dataset
data = pd.read_csv('data/Fish.csv')

# Drop rows with missing values if any exist
data = data.dropna()

# Define predictors for Model 1 (4 variables)
X1 = data[['Length1', 'Height', 'Width', 'Length3']]

# Add a constant (intercept)
X1 = sm.add_constant(X1)

# Define the target variable 'Weight'
y = data['Weight']

# Fit Model 1
model1 = sm.OLS(y, X1).fit()

# Define predictors for Model 2 (5 variables)
X2 = data[['Length1', 'Height', 'Width', 'Length3', 'Length2']]

# Add a constant (intercept)
X2 = sm.add_constant(X2)

# Fit Model 2
model2 = sm.OLS(y, X2).fit()

# Save r-squared as a variable
r_squared_model1 = model1.rsquared  # R-Squared for Model 1
r_squared_model2 = model2.rsquared  # R-Squared for Model 2

# Get the number of observations
n = X1.shape[0]  # Same for both models

# Get the number of predictors (excluding intercept) for each model
p_model1 = X1.shape[1] - 1  # Number of predictors for Model 1
p_model2 = X2.shape[1] - 1  # Number of predictors for Model 2

# Adjusted R-Squared formula for Model 1
adjusted_r_squared_model1 = 1 - ((1 - r_squared_model1) * (n - 1)) / (n - p_model1 - 1)

# Adjusted R-Squared formula for Model 2
adjusted_r_squared_model2 = 1 - ((1 - r_squared_model2) * (n - 1)) / (n - p_model2 - 1)

# Print R-squared for both models
print("R-Squared for Model 1:", r_squared_model1)
print("R-Squared for Model 2:", r_squared_model2)

# Print the Adjusted R-Squared values for both models
print("Adjusted R-Squared for Model 1:", adjusted_r_squared_model1)
print("Adjusted R-Squared for Model 2:", adjusted_r_squared_model2)

我们也可以直接使用 Python 的函数来获取回归模型的R平方与调整后的R平方：

# Model 1
print("Model 1 R-Squared:", model1.rsquared)
print("Model 1 Adjusted R-Squared:", model1.rsquared_adj)

# Model 2
print("Model 2 R-Squared:", model2.rsquared)
print("Model 2 Adjusted R-Squared:", model2.rsquared_adj)

如果您在以上代码部分遇到任何问题，请参阅我们的教程：Python 线性回归基础和如何在 R 中进行线性回归，按步骤学习如何实现并解读回归模型的不同指标。如果您更偏好使用 Excel 进行分析，请查看我们的教程Excel 线性回归：新手完整指南，学习如何在 Excel 中实现并可视化线性回归模型。

调整后的R平方、R平方与预测R平方

讨论调整后的R平方时，也需要厘清相关术语。一些看起来相似的术语用途不同。下面有一张表，比较了几个名称相近但概念不同的指标：R平方、调整后的R平方与预测R平方。

关于调整后的R平方的常见误解

最后，我们来看一些常见错误，因为在回归中关于它的用法经常被误解。

• 调整后的R平方低就代表模型差：调整后的R平方低并不一定意味着模型不好或无关。低值可能仅表示模型中的自变量对因变量方差的解释比例不大，但在某些领域这可能是预期的。
• 调整后的R平方不可能为负：在模型对因变量方差解释极少、且同时使用了许多预测变量的情况下，惩罚项可能导致调整后的R平方为负，这在技术上是可能的。
• 加入变量时调整后的R平方总会降低：如果新变量没有提升模型表现，调整后的R平方会降低；但若新变量确实为模型增益，调整后的R平方会提高。想象一个只有一个不良预测变量的模型，当您再加入一个优秀变量时，调整后的R平方会提升。

结语：关于调整后的R平方

调整后的R平方是评估回归模型性能的重要指标，尤其是在涉及多个自变量的情况下。与R平方相比，当包含多个预测变量时，它能更真实、更可靠地反映模型的准确性。 

如果您想了解 R 与 Python 如何求解线性回归模型的系数，请查看以下教程：线性回归的正规方程教程与机器学习中的QR分解：详细指南。