Chi-kwadraattoets in Spreadsheets

Chi-kwadraattoets

De chi-kwadraattoets is een statistische toets waarmee je kunt bepalen of waargenomen frequenties significant afwijken van verwachte frequenties in één of meer categorieën (Bron). In wiskundige termen is het de verhouding tussen experimenteel waargenomen resultaten/frequenties (O) en de theoretisch verwachte resultaten (E) op basis van bepaalde hypothesen, of het wordt berekend door de totale afwijking tussen de waargenomen en verwachte frequenties te delen door de verwachte frequenties.

Als er geen verschil is tussen waargenomen en verwachte frequenties, is de chi-kwadraatwaarde nul. Als er wel een verschil is, is de chi-kwadraatwaarde groter dan nul.

Bij het vergelijken van de berekende waarde met de tabelwaarden moet je de vrijheidsgraden berekenen. Daarna kun je vergelijken en een conclusie trekken.

Chi-kwadraat kansverdelingsgrafiek: Beeldbron:

Er zijn drie soorten chi-kwadraattoetsen:

• Goodness of fit
• Onafhankelijkheidstoets
• Homogeniteitstoets

Terminologie

• Contingentietabel: Dit is een kruistabel of tweerichtingtabel. Je zet één variabele in de rijen en een andere in de kolommen met hun frequentietelling. Het is een soort frequentieverdelingstabel van categorische variabelen.

• Waargenomen frequenties: Tellingen afkomstig uit experimentele data. Met andere woorden: je observeert wat er gebeurt en meet dit.

• Verwachte frequenties: Tellingen berekend met behulp van waarschijnlijkheidstheorie. Verwachte frequenties worden voor elke cel in de contingentietabel berekend.

Waarbij,

• Eij: Verwachte frequentie voor de ith rij en jth kolom
• Ti: Totaal in de ith rij
• Tj: Totaal in de jth rij
• N: Grand total

Ofwel: (rijtotaal * kolomtotaal) / grand total

• Nulhypothese (H0): Stelt dat er geen verband bestaat tussen de twee gekruistabuleerde variabelen in de populatie. De variabelen zijn dus statistisch onafhankelijk. Bijvoorbeeld: als je twee methoden A en B vergelijkt op geschiktheid of welke beter werkt, en je gaat ervan uit dat beide methoden even goed zijn, dan heet die aanname de nulhypothese.

• Alternatieve hypothese (HA): Stelt dat de twee variabelen in de populatie wél samenhangen. Als je aanneemt dat van twee methoden methode A beter is dan B of omgekeerd, dan heet die aanname de alternatieve hypothese.

• Vrijheidsgraden: Het aantal onafhankelijke variabelen dat de statistiek vormt, staat bekend als het aantal vrijheidsgraden van die statistiek.

Waarbij,

• r = aantal rijen
• c = aantal kolommen

Dit gebruik je bij de onafhankelijkheidstoets en de homogeniteitstoets, niet bij de goodness of fit.

• Chi-kwadraat toetsstatistiek: Een enkel getal dat aangeeft hoeveel verschil er is tussen je waargenomen tellingen en de tellingen die je zou verwachten als er in de populatie helemaal geen relatie is.
• Chi-kwadraat p-waarde: De p-waarde van de chi-kwadraattoets vertelt je of je testresultaten significant zijn of niet.

Soorten chi-kwadraattoetsen

1. Goodness of fit: De chi-kwadraat goodness of fit-toets is een niet-parametrische toets die wordt gebruikt om te bepalen in hoeverre de waargenomen waarde van een verschijnsel significant afwijkt van de verwachte waarde. In deze toets heb je slechts één variabele uit één populatie.

   • Nulhypothese (H0): Bij de chi-kwadraat goodness of fit-toets gaat de nulhypothese uit van geen significant verschil tussen de waargenomen en de verwachte waarde.

   • Alternatieve hypothese (Ha): Bij de chi-kwadraat goodness of fit-toets gaat de alternatieve hypothese uit van een significant verschil tussen de waargenomen en de verwachte waarde.

   • Bijv.: je gooit 120 keer met een eerlijke zeszijdige dobbelsteen en krijgt de volgende waargenomen frequenties.

Dus,

• H0 = De kansen om alle getallen met dezelfde frequentie te krijgen zijn gelijk, of de data is consistent met de verwachting.

          p1 = p2 = p3 = p4 = p5 = p6 = 1/6
  

• Ha = Ten minste één p is niet gelijk aan 1/6, of de data is niet consistent met de verwachting.

  • Criteria en beslisregel: Het verwerpingsgebied is altijd rechtszijdig met de χ2-verdeling met (k-1) vrijheidsgraden. (k = aantal categorieën) Verwerp H0 als χ2berekend > χ2getabelleerd DOF = k-1

• Onafhankelijkheidstoets gebruik je om te testen of twee categorische variabelen onafhankelijk zijn. Bijv.: geslacht vs. mening.

H0: De rijvariabele is onafhankelijk van de kolomvariabele, oftewel er is geen significante relatie tussen variabelen. Ha: De relatie is significant.

• Criteria en beslisregel: Het verwerpingsgebied is altijd rechtszijdig met de χ2-verdeling met (r-1)(c-1) vrijheidsgraden. (r = aantal rijen, c = aantal kolommen)

  Verwerp H0 als χ2berekend > χ2getabelleerd

  DOF = (r-1)(c-1)

1. Homogeniteitstoets: Telkens wanneer je wilt testen of die frequenties van verschillende populaties identiek verdeeld zijn of niet. In zulke gevallen voer je de homogeniteitstoets uit. Neem een voorbeeld om dit concreter te maken. In een enquête vraag je naar inkomen als laag, midden of hoog. In deze enquête zijn beide populaties divers, zoals mannen en vrouwen. In dergelijke gevallen voer je een chi-kwadraat homogeniteitstoets uit om te bepalen of het inkomen van mannen en vrouwen significant verschilt.

H0: De frequentietelling is gelijk over de populaties. Ha: De frequentietelling verschilt tussen de populaties.

• Criteria en beslisregel: Het verwerpingsgebied is altijd rechtszijdig met de χ2-verdeling met (r-1)(c-1) vrijheidsgraden. (r = aantal rijen, c = aantal kolommen)

  Verwerp H0 als χ2berekend > χ2getabelleerd

  DOF = (r-1)(c-1)

Voorbeeld van de chi-kwadraattoets

Stel dat je defecten in de door een fabriek geproduceerde meubels wilt classificeren op basis van het type defect en de productieshift. In totaal zijn 390 meubeldefecten geregistreerd, en de defecten zijn ingedeeld in vier typen A, B, C en D. Tegelijkertijd is elk defect meubelstuk gekoppeld aan de productieshift.

Bron: Engineering Statistics book

Oplossing: je moet nagaan of de defecttypen afhankelijk zijn van de productieshift of niet. Laten we dit oplossen met Excel.

Het voorbeeld oplossen met de chi-kwadraattoets in Spreadsheets

Laten we deze data eerst in het spreadsheet zetten

De nulhypothese en alternatieve hypothese definiëren

Om de nul- en alternatieve hypothese te definiëren in bovenstaande sectie. Het hoofddoel is te controleren of de meubeldefecten onafhankelijk zijn van de productieshift of niet:

• H0 = Defecttype en productieshift zijn onafhankelijk
• Ha = Defecttype en productieshift zijn afhankelijk

Verwachte frequenties berekenen

• Voordat je de verwachte frequenties berekent: bereken eerst de rijsom voor elke rij en de kolomsom voor elke kolom met de functie SUM(), respectievelijk bekend als rijtotaal en kolomtotaal. Bereken ook het totaal van de rij- en kolomtotaal. Rijtotaal en kolomtotaal zijn beide gelijk.

• Zoals je weet: verwachte frequentie = (rijtotaal * kolomtotaal) / totaal

Vergeet niet om cellen absoluut te maken bij het toepassen van de formule, zodat je de formule kunt kopiëren en plakken voor alle verwachte waarden.

Chi-statistiekwaarde berekenen

Voordat je de Chi-statistiek of p-waarde berekent, stel eerst het significantieniveau vast. Dit betekent: bij welk significantieniveau wil je het antwoord weten? Laten we aannemen dat het significantieniveau α = 0,05 is. Ook zijn de vrijheidsgraden = (r-1)(c-1) = (3-1)(4-1) = 6.

Er zijn nu twee manieren om de chi-statistiek te berekenen: via de formule χ^2 = ∑(O-E)^2/E of met de Excel-functie om de chi-kwadraatstatistiek te krijgen.

Laten we eerst met de formule rekenen. Hiervoor moet je ∑(O-E)^2/E in Excel berekenen. Dat kan via de onderstaande stap –

Je kunt alle waarden krijgen door deze formule te kopiëren en te plakken naar alle cellen.

Neem de som van alle waarden om de χ^2-waarde te krijgen; dit geeft ons de berekende chi-kwadraatstatistiek.

Op basis van de getabelleerde en berekende waarde kun je concluderen dat de defecttypen en shifttijden afhankelijk zijn.

Laten we nu met de Excel-functie rekenen. De functie CHISQ.TEST() geeft de p-waarde, die je direct kunt vergelijken met het significantieniveau om te concluderen.

Op basis van de p-waarde kun je concluderen dat het defect afhankelijk is van de productieshifttijd.

Plus- en minpunten

Pluspunten:

• Hij is eenvoudig te berekenen.
• Kan ook met nominale data worden gebruikt.
• Maakt geen aannames over de dataverdeling.

Minpunten:

• Het aantal observaties moet meer dan 20 zijn.
• Data moet frequentiedata zijn.
• Gaat uit van aselecte steekproeven. Dat betekent dat de steekproef willekeurig moet zijn getrokken.
• Is gevoelig voor kleine frequenties, wat tot foutieve conclusies kan leiden.
• Is ook gevoelig voor steekproefgrootte.

Conclusie

Gefeliciteerd, je bent aan het einde van deze tutorial gekomen!

In deze tutorial heb je veel details over de chi-kwadraattoets behandeld. Je hebt geleerd wat chi-kwadraat is, welke termen in de chi-kwadraattoets worden gebruikt, de soorten chi-kwadraattoetsen, voorbeelden van chi-kwadraattoetsen en een voorbeeld van hoe je een chi-kwadraattoets in spreadsheets oplost. Ook heb je de plus- en minpunten bekeken.

Hopelijk kun je nu de chi-kwadraatconcepten gebruiken om hypothesen te toetsen. Bedankt voor het lezen van deze tutorial!

Bekijk ook onze tutorial Aan de slag met Spreadsheets.

Als je meer wilt leren over statistiek in spreadsheets, volg dan DataCamp's cursus Statistics in Spreadsheets.