Test chi quadrato nei fogli di calcolo

Test chi quadrato

Il test chi quadrato è un test statistico che consente di determinare se le frequenze osservate sono significativamente diverse da quelle attese in una o più categorie (Fonte). In termini matematici, è il rapporto tra i risultati/frequenze osservati sperimentalmente (O) e i risultati attesi teoricamente (E) sulla base di determinate ipotesi, oppure si calcola dividendo lo scostamento complessivo tra frequenze osservate e attese per le frequenze attese.

Se non c’è differenza tra frequenze osservate e attese, allora il valore del chi quadrato è zero. Se c’è differenza, il valore del chi quadrato è maggiore di zero.

Nel confronto tra il valore calcolato e i valori tabulati, devi calcolare i gradi di libertà. Solo così potrai confrontare e trarre una conclusione.

Grafico della distribuzione del chi quadrato: Fonte immagine:

Esistono tre tipi di test chi quadrato:

• Bontà dell’adattamento
• Test di indipendenza
• Test di omogeneità

Terminologia

• Tabella di contingenza: È una tabella incrociata o a doppia entrata. La usi per mostrare una variabile sulle righe e un’altra sulle colonne con i rispettivi conteggi di frequenza. È un tipo di tabella di distribuzione di frequenza per variabili categoriali.

• Frequenze osservate: Sono conteggi rilevati dai dati sperimentali. In altre parole, osservi ciò che accade e prendi misure.

• Frequenze attese: Sono conteggi calcolati usando la teoria della probabilità. Le frequenze attese si calcolano per ogni cella della tabella di contingenza.

Dove,

• Eij: Frequenza attesa per la riga i e la colonna j
• Ti: Totale nella riga i
• Tj: Totale nella riga j
• N: Totale complessivo

Oppure puoi pensarla come (totale di riga * totale di colonna) / totale complessivo

• Ipotesi nulla (H0): Afferma che non esiste alcuna associazione tra le due variabili incrociate nella popolazione. Quindi, le variabili sono statisticamente indipendenti. Per esempio, se confronti due metodi A e B per valutarne la bontà o quale funzioni meglio, e assumi che entrambi i metodi siano ugualmente validi, questa assunzione è l’ipotesi nulla.

• Ipotesi alternativa (HA): Propone che le due variabili siano correlate nella popolazione. Se assumi che, tra due metodi, il metodo A sia superiore al B o viceversa, questa è l’ipotesi alternativa.

• Gradi di libertà: Il numero di variabili indipendenti che compongono la statistica è detto grado di libertà di quella statistica.

Dove,

• r = numero di righe
• c = numero di colonne

Questo verrà usato nel test di indipendenza e nel test di omogeneità, non nella bontà dell’adattamento.

• Statistica del test chi quadrato: È un singolo numero che indica quanto differiscono i conteggi osservati dai conteggi attesi se non ci fosse alcuna relazione nella popolazione.
• p-value del chi quadrato: Il p-value del chi quadrato ti dice se i risultati del test sono significativi o meno.

Tipi di test chi quadrato

1. Bontà dell’adattamento: Il test di bontà dell’adattamento chi quadrato è un test non parametrico usato per verificare quanto il valore osservato di un fenomeno differisca in modo significativo dal valore atteso. In questo test hai una sola variabile da una singola popolazione.

   • Ipotesi nulla (H0): Nel test di bontà dell’adattamento chi quadrato, l’ipotesi nulla suppone che non ci sia una differenza significativa tra valore osservato e valore atteso

   • Ipotesi alternativa (Ha): Nel test di bontà dell’adattamento chi quadrato, l’ipotesi alternativa suppone che ci sia una differenza significativa tra valore osservato e valore atteso.

   • es., Prendiamo un esempio semplice: lanci un dado equo a 6 facce 120 volte e ottieni le frequenze osservate.

Quindi,

• H0 = Le probabilità di ottenere tutti i numeri con la stessa frequenza sono uguali, ovvero i dati sono coerenti con quelli attesi.

          p1 = p2 = p3 = p4 = p5 = p6 = 1/6
  

• Ha = Almeno una p è diversa da 1/6, ovvero i dati non sono coerenti con quelli attesi.

  • Criterio e regola decisionale: La regione di rifiuto è sempre a destra usando la distribuzione χ2 con (k-1) gradi di libertà. (k = numero di categorie) Rifiuta H0 se χ2 calcolato > χ2 tabulato DOF = k-1

• Test di indipendenza lo usi per verificare se due variabili categoriali sono indipendenti o no. Es., indipendenza tra genere e opinione.

H0: La variabile di riga è indipendente dalla variabile di colonna, oppure non c’è una relazione significativa tra le variabili Ha: La relazione è significativa.

• Criterio e regola decisionale: La regione di rifiuto è sempre a destra usando la distribuzione χ2 con (r-1)(c-1) gradi di libertà. (r = numero di righe, c = numero di colonne)

  Rifiuta H0 se χ2 calcolato > χ2 tabulato

  DOF = (r-1)(c-1)

1. Test di omogeneità: Quando vuoi verificare se le frequenze di popolazioni diverse sono distribuite in modo identico o no. In questi casi, esegui il test di omogeneità. Consideriamo un esempio pratico: in un sondaggio chiedi il reddito come basso, medio o alto. Nel sondaggio, le due popolazioni sono diverse, ad esempio maschi e femmine. In questi casi, esegui un test chi quadrato di omogeneità per determinare se il reddito di uomini e donne differisce in modo significativo.

H0: Il conteggio delle frequenze tra le popolazioni è lo stesso. Ha: Il conteggio delle frequenze tra le popolazioni è diverso.

• Criterio e regola decisionale: La regione di rifiuto è sempre a destra usando la distribuzione χ2 con (r-1)(c-1) gradi di libertà. (r = numero di righe, c = numero di colonne)

  Rifiuta H0 se χ2 calcolato > χ2 tabulato

  DOF = (r-1)(c-1)

Esempio di test chi quadrato

Supponi di voler classificare i difetti nei mobili prodotti da uno stabilimento in base al tipo di difetto e al turno di produzione. Sono stati registrati in totale 390 difetti dei mobili, classificati in quattro tipi A, B, C e D. Allo stesso tempo, ogni pezzo difettoso è stato identificato in base al turno di produzione.

Fonte: Engineering Statistics book

Soluzione: devi verificare se i tipi di difetto dipendono dal turno di produzione oppure no. Quindi, risolviamolo con Excel.

Risoluzione dell’esempio con il test chi quadrato nei fogli di calcolo

Inseriamo prima questi dati nel foglio di calcolo

Definizione dell’ipotesi nulla e alternativa

Per definire l’ipotesi nulla e alternativa come nella sezione sopra. L’obiettivo principale è verificare se i difetti dei mobili sono indipendenti dal turno di produzione o no:

• H0 = Tipo di difetto e turno di produzione sono indipendenti
• Ha = Tipo di difetto e turno di produzione sono dipendenti

Calcolo delle frequenze attese

• Prima di calcolare le frequenze attese, calcola la somma per riga degli elementi di ciascuna riga e la somma per colonna degli elementi di ciascuna colonna usando la funzione SOMMA(), note rispettivamente come totale di riga e totale di colonna. Calcola anche il totale dei totali di riga e dei totali di colonna. Totale di riga e totale di colonna saranno uguali.

• Come sai, frequenza attesa = (totale di riga * totale di colonna) / totale

Non dimenticare di rendere assoluti i riferimenti di cella quando applichi la formula, in modo da poterla copiare e incollare per tutti i valori attesi.

Calcolo del valore della statistica chi

Prima di calcolare il valore della statistica chi o il p-value, definiamo il livello di significatività. Ovvero, a quale livello di significatività vuoi conoscere la risposta. Supponiamo livello di significatività α = 0,05. Inoltre, i gradi di libertà saranno = (r-1)(c-1) = (3-1)(4-1) = 6.

Ci sono due modi per calcolare il valore della statistica chi: con la formula χ^2 = ∑(O-E)^2/E oppure usando la funzione di Excel per ottenere il valore della statistica chi quadrato.

Calcoliamo prima usando la formula. Per questo, devi calcolare ∑(O-E)^2/E in Excel. Puoi farlo seguendo il passaggio qui sotto –

Puoi ottenere tutti i valori copiando e incollando questa formula in tutte le celle.

Per ottenere il valore di χ^2, fai la somma di tutti i valori: questo ci darà il valore calcolato della statistica chi quadrato.

In base al valore tabulato e a quello calcolato, puoi concludere che i tipi di difetto e i turni sono dipendenti.

Ora calcoliamo con la funzione di Excel. La funzione CHISQ.TEST() restituisce il p-value, che può essere confrontato direttamente con il livello di significatività per trarre le conclusioni.

In base al p-value, puoi concludere che il difetto dipende dal turno di produzione.

Pro e contro

Pro:

• È più semplice da calcolare.
• Può essere usato anche con dati nominali.
• Non fa assunzioni sulla distribuzione dei dati.

Contro:

• Il numero di osservazioni dovrebbe essere superiore a 20.
• I dati devono essere dati di frequenza.
• Assume il campionamento casuale. Significa che il campione deve essere selezionato casualmente.
• È sensibile a frequenze piccole, il che può portare a conclusioni errate.
• È anche sensibile alla dimensione del campione.

Conclusione

Complimenti, sei arrivato alla fine di questo tutorial!

In questo tutorial hai visto molti dettagli sul test chi quadrato. Hai imparato cos’è il chi quadrato, la terminologia usata nel test chi quadrato, i tipi di test chi quadrato, esempi di test chi quadrato e un esempio su come risolvere un test chi quadrato nei fogli di calcolo. Inoltre, hai visto pro e contro.

Ora dovresti essere in grado di usare i concetti del chi quadrato per testare le ipotesi. Grazie per aver letto questo tutorial!

Dai un’occhiata al nostro tutorial Getting Started with Spreadsheets.

Se vuoi approfondire le statistiche nei fogli di calcolo, segui il corso di DataCamp Statistics in Spreadsheets.