स्प्रेडशीट्स में Chi-square परीक्षण

Chi-square परीक्षण

Chi-square परीक्षण एक सांख्यिकीय परीक्षण है जिसका उपयोग यह निर्धारित करने के लिए किया जा सकता है कि एक या अधिक श्रेणियों में देखी गई आवृत्तियाँ अपेक्षित आवृत्तियों से महत्वपूर्ण रूप से भिन्न हैं या नहीं (Source)। गणितीय अभिव्यक्ति में, यह प्रायोगिक रूप से देखे गए परिणाम/आवृत्ति (O) और कुछ परिकल्पनाओं के आधार पर सैद्धांतिक रूप से अपेक्षित परिणाम (E) का अनुपात है, या इसे देखी गई और अपेक्षित आवृत्तियों के समग्र विचलन को अपेक्षित आवृत्तियों से भाग देकर निकाला जाता है।

यदि देखी गई और अपेक्षित आवृत्तियों में कोई अंतर नहीं है, तो chi-square का मान शून्य होगा। यदि अंतर है, तो chi-square का मान शून्य से अधिक होगा।

गणना किए गए मान की तुलना टेबल मानों से करते समय, आपको degree of freedom की गणना करनी होगी। तब आप तुलना कर पाएँगे और निष्कर्ष निकाल पाएँगे।

Chi-square प्रायिकता वितरण ग्राफ: Image Source:

Chi-square परीक्षण के तीन प्रकार हैं:

• Goodness of fit
• Test of independence
• Test of homogeneity

शब्दावली

• Contingency table: यह एक क्रॉस टेबल या टू-वे टेबल है। आप एक चर को पंक्ति में और दूसरे को स्तंभ में उनकी आवृत्ति गणना के साथ दिखाते हैं। यह श्रेणीबद्ध चर की एक प्रकार की आवृत्ति वितरण तालिका है।

• Observed frequencies: प्रायोगिक डेटा से की गई गणनाएँ। दूसरे शब्दों में, आप डेटा को घटित होते हुए देखते हैं और माप लेते हैं।

• Expected frequencies: प्रायिकता सिद्धांत का उपयोग करके गणना की गई गणनाएँ। अपेक्षित आवृत्तियाँ contingency table की प्रत्येक सेल के लिए गणना की जाती हैं।

जहाँ,

• Eij: iवीं पंक्ति और jवें स्तंभ के लिए अपेक्षित आवृत्ति
• Ti: iवीं पंक्ति में कुल
• Tj: jवीं पंक्ति में कुल
• N: कुल योग

या आप इसे इस तरह समझ सकते हैं: (row total * column total) / grand total

• शून्य परिकल्पना (H0): यह बताती है कि जनसंख्या में दो क्रॉस-टैब्युलेटेड चर के बीच कोई संबंध मौजूद नहीं है। अतः, चर सांख्यिकीय रूप से स्वतंत्र हैं। उदाहरण के लिए, यदि आप दो विधियों A और B की श्रेष्ठता की तुलना करते हैं, और यदि धारणा यह है कि दोनों विधियाँ समान रूप से अच्छी हैं, तो इस धारणा को शून्य परिकल्पना कहा जाता है।

• वैकल्पिक परिकल्पना (HA): यह प्रस्तावित करती है कि दोनों चर जनसंख्या में संबंधित हैं। यदि आप मानते हैं कि दो विधियों में से विधि A, विधि B से बेहतर है या विधि B, विधि A से बेहतर है, तो इस धारणा को वैकल्पिक परिकल्पना कहा जाता है।

• Degree of Freedom: किसी सांख्यिकी को बनाने वाले स्वतन्त्र चलों की संख्या उस सांख्यिकी की degree of freedom कहलाती है।

जहाँ,

• r = पंक्तियों की संख्या
• c = स्तंभों की संख्या

यह independence के परीक्षण और homogeneity के परीक्षण में उपयोग होगा, goodness of fit में नहीं।

• Chi-square परीक्षण सांख्यिकी: एक एकल संख्या जो बताती है कि आपकी देखी गई गणनाओं और उन गणनाओं के बीच कितना अंतर है जिन्हें आप अपेक्षा करते यदि जनसंख्या में बिल्कुल भी संबंध न होता।
• Chi-Square p-value: Chi-square P-value आपको बताएगा कि आपके परीक्षण के परिणाम महत्वपूर्ण हैं या नहीं।

Chi-square परीक्षण के प्रकार

1. Goodness of fit: Chi-Square goodness of fit परीक्षण एक नॉन-पैरामीट्रिक परीक्षण है जिसका उपयोग यह पता लगाने के लिए किया जाता है कि दिए गए परिघटना का देखा गया मान अपेक्षित मान से महत्वपूर्ण रूप से भिन्न है या नहीं। इस परीक्षण में, आपके पास एक ही जनसंख्या से केवल एक चर होता है।

   • शून्य परिकल्पना (H0): Chi-Square goodness of fit परीक्षण में, शून्य परिकल्पना मानती है कि देखे गए और अपेक्षित मान के बीच कोई महत्वपूर्ण अंतर नहीं है।

   • वैकल्पिक परिकल्पना (Ha): Chi-Square goodness of fit परीक्षण में, वैकल्पिक परिकल्पना मानती है कि देखे गए और अपेक्षित मान के बीच एक महत्वपूर्ण अंतर है।

   • उदा., एक सरल उदाहरण लें, आपने एक निष्पक्ष 6-पक्षीय पासा 120 बार फेंका और देखी गई आवृत्तियाँ प्राप्त कीं।

अतः,

• H0 = सभी अंकों के समान आवृत्ति में आने की संभावनाएँ समान हैं, या डेटा अपेक्षित के अनुरूप है।

          p1 = p2 = p3 = p4 = p5 = p6 = 1/6
  संचालित द्वारा

• Ha = कम से कम एक p, 1/6 के बराबर नहीं है, या डेटा अपेक्षित के अनुरूप नहीं है।

  • मानदंड और निर्णय नियम: अस्वीकृति क्षेत्र हमेशा दाएँ-पूंछ वाला होता है, और (k-1) degree of freedom के साथ χ2 वितरण का उपयोग करता है। (k = श्रेणियों की संख्या) H0 को अस्वीकार करें यदि χ2calulated > χ2tabulated DOF = k-1

• Test of independence आप इसका उपयोग यह जाँचने के लिए करते हैं कि दो श्रेणीबद्ध चर स्वतंत्र हैं या नहीं। उदा., लिंग बनाम राय स्वतंत्रता।

H0: पंक्ति चर स्तंभ चर से स्वतंत्र है, या चर के बीच कोई महत्वपूर्ण संबंध नहीं है Ha: संबंध महत्वपूर्ण है।

• मानदंड और निर्णय नियम: अस्वीकृति क्षेत्र हमेशा दाएँ-पूंछ वाला होता है, और (r-1)(c-1) degree of freedom के साथ χ2 वितरण का उपयोग करता है। (r = पंक्तियों की संख्या, c = स्तंभों की संख्या)

  H0 को अस्वीकार करें यदि χ2calulated > χ2tabulated

  DOF = (r-1)(c-1)

1. Test of homogeneity: जब भी आप यह जाँचना चाहते हैं कि विभिन्न जनसंख्याओं की आवृत्तियाँ समान रूप से वितरित हैं या नहीं। ऐसे मामलों में, आप homogeneity का परीक्षण करते हैं। इसे अधिक व्यावहारिक रूप से समझने के लिए एक उदाहरण पर विचार करें। एक सर्वेक्षण में, आपने आय को निम्न, मध्यम या उच्च के रूप में पूछा। इस सर्वेक्षण में, दोनों जनसंख्याएँ विविध हैं जैसे पुरुष और महिला। ऐसे मामलों में, आप यह निर्धारित करने के लिए chi-square homogeneity परीक्षण करते हैं कि पुरुष और महिला की आय में महत्वपूर्ण अंतर है या नहीं।

H0: जनसंख्या में आवृत्ति गणना समान है। Ha: जनसंख्या में आवृत्ति गणना भिन्न है।

• मानदंड और निर्णय नियम: अस्वीकृति क्षेत्र हमेशा दाएँ-पूंछ वाला होता है, और (r-1)(c-1) degree of freedom के साथ χ2 वितरण का उपयोग करता है। (r = पंक्तियों की संख्या, c = स्तंभों की संख्या)

  H0 को अस्वीकार करें यदि χ2calulated > χ2tabulated

  DOF = (r-1)(c-1)

Chi-square परीक्षण का उदाहरण

मान लीजिए आप एक विनिर्माण संयंत्र द्वारा उत्पादित फर्नीचर में दोषों को, दोष के प्रकार और उत्पादन शिफ्ट के आधार पर, वर्गीकृत करना चाहते हैं। कुल 390 फर्नीचर दोष दर्ज किए गए, और दोषों को चार प्रकार A, B, C, और D में वर्गीकृत किया गया। साथ ही, प्रत्येक दोषपूर्ण फर्नीचर को उत्पादन शिफ्ट के अनुसार पहचाना गया।

स्रोत: Engineering Statistics पुस्तक

समाधान: आपको यह देखना है कि क्या दोष के प्रकार उत्पादन शिफ्ट पर निर्भर हैं या नहीं। तो, आइए इसे excel का उपयोग करके हल करें।

स्प्रेडशीट्स में Chi-square परीक्षण का उपयोग करके उदाहरण हल करना

सबसे पहले इस डेटा को स्प्रेडशीट में डालते हैं

शून्य परिकल्पना और वैकल्पिक परिकल्पना को परिभाषित करना

ऊपर दिए गए अनुभाग में शून्य और वैकल्पिक परिकल्पना को परिभाषित करें। मुख्य उद्देश्य यह जाँचना है कि फर्नीचर के दोष उत्पादन शिफ्ट से स्वतंत्र हैं या नहीं:

• H0 = दोष का प्रकार और विनिर्माण शिफ्ट स्वतंत्र हैं
• Ha = दोष का प्रकार और विनिर्माण शिफ्ट परस्पर निर्भर हैं

अपेक्षित आवृत्तियाँ गणना करना

• अपेक्षित आवृत्तियाँ निकालने से पहले, प्रत्येक पंक्ति के लिए आइटमों का पंक्ति-वार योग और प्रत्येक स्तंभ के लिए आइटमों का स्तंभ-वार योग SUM() फ़ंक्शन का उपयोग करके निकालें, जिन्हें क्रमशः row total और column total कहा जाता है। साथ ही, row total और column total का कुल निकालें। row और column total दोनों समान होंगे।

• जैसा कि आप जानते हैं, अपेक्षित आवृत्ति = (row total * column total) / total

सूत्र लागू करते समय सेल्स को absolute बनाना न भूलें, ताकि आप सभी अपेक्षित मानों के लिए सूत्र को कॉपी-पेस्ट कर सकें।

Chi-सांख्यिकी मान की गणना

अब Chi–सांख्यिकी मान या p-value की गणना करने से पहले, पहले महत्त्व स्तर मान लें। इसका अर्थ है कि आप किस महत्त्व स्तर पर उत्तर जानना चाहते हैं। मान लें, महत्त्व स्तर α = 0.05। साथ ही, degree of freedom = (r-1)(c-1) = (3-1)(4-1) = 6 होगा।

अब chi-सांख्यिकी मान निकालने के दो तरीके हैं: एक तो सूत्र χ^2 = ∑(O-E)^2/E से, या excel फ़ंक्शन का उपयोग करके chi-square सांख्यिकी मान प्राप्त करें।

पहले सूत्र का उपयोग करके गणना करते हैं। इसके लिए, आपको excel में ∑(O-E)^2/E की गणना करनी होगी। यह नीचे दिए गए चरण से किया जा सकता है –

आप इस सूत्र को सभी सेल्स में कॉपी-पेस्ट करके सभी मान प्राप्त कर सकते हैं।

χ^2 मान प्राप्त करने के लिए सभी मानों का योग लें, यह हमें chi-square सांख्यिकी का गणना किया गया मान देगा।

टेबल और गणना किए गए मान के आधार पर, आप निष्कर्ष निकाल सकते हैं कि दोष के प्रकार और शिफ्ट समय परस्पर निर्भर हैं।

अब excel फ़ंक्शन का उपयोग करके गणना करते हैं। CHISQ.TEST() फ़ंक्शन p-value देगा, जिसे सीधे महत्त्व स्तर से तुलना कर परिणाम निकाले जा सकते हैं।

p-value के आधार पर, आप निष्कर्ष निकाल सकते हैं कि दोष विनिर्माण शिफ्ट समय पर निर्भर है।

फायदे और नुकसान

फायदे:

• इसे गणना करना आसान है।
• इसे नाममात्र (nominal) डेटा के साथ भी उपयोग किया जा सकता है।
• यह डेटा वितरण के बारे में कोई धारणा नहीं बनाता।

नुकसान:

• प्रेक्षणों की संख्या 20 से अधिक होनी चाहिए।
• डेटा आवृत्ति डेटा होना चाहिए।
• यह रैंडम सैम्पलिंग मानता है। अर्थात सैंपल यादृच्छिक रूप से चुना जाना चाहिए।
• यह छोटी आवृत्तियों के प्रति संवेदनशील है, जिससे गलत निष्कर्ष निकल सकते हैं।
• यह सैंपल आकार के प्रति भी संवेदनशील है।

निष्कर्ष

बधाई हो, आप इस ट्यूटोरियल के अंत तक पहुँच गए हैं!

इस ट्यूटोरियल में, आपने Chi-square परीक्षण के कई विवरण कवर किए। आपने सीखा कि Chi-square क्या है, Chi-square परीक्षण में प्रयुक्त शब्दावली, Chi-square परीक्षण के प्रकार, Chi-square परीक्षण के उदाहरण, और स्प्रेडशीट्स में Chi-square परीक्षण कैसे हल करें का एक उदाहरण। साथ ही, आपने इसके फायदे और नुकसान भी देखे।

आशा है, अब आप परिकल्पना की जाँच के लिए Chi-Square अवधारणाओं का उपयोग कर सकते हैं। इस ट्यूटोरियल को पढ़ने के लिए धन्यवाद!

हमारा Getting Started with Spreadsheets ट्यूटोरियल देखें।

यदि आप स्प्रेडशीट में सांख्यिकी के बारे में और सीखना चाहते हैं, तो DataCamp का Statistics in Spreadsheets कोर्स करें।