E-tablolarda Ki-kare Testi

Ki-kare testi

Ki-kare testi, bir veya daha fazla kategoride gözlenen frekansların beklenen frekanslardan anlamlı derecede farklı olup olmadığını belirlemek için kullanılan bir istatistiksel testtir (Kaynak). Matematiksel olarak, belirli hipotezlere dayalı olarak deneysel olarak gözlenen sonuçların/frekansların (O) teorik olarak beklenen sonuçlara (E) oranıdır ya da gözlenen ve beklenen frekanslar arasındaki toplam sapmanın beklenen frekanslara bölünmesiyle hesaplanır.

Gözlenen ve beklenen frekanslar arasında fark yoksa ki-kare değeri sıfır olur. Fark varsa ki-kare değeri sıfırdan büyük olur.

Hesaplanan değeri tablo değerleriyle karşılaştırırken serbestlik derecesini hesaplamanız gerekir. Sonrasında karşılaştırma yapıp bir sonuca varabilirsiniz.

Ki-kare olasılık dağılım grafiği: Görsel Kaynağı:

Üç tür ki-kare testi vardır:

• Uygunluk iyiliği
• Bağımsızlık testi
• Homojenlik testi

Terimler

• Çapraz tablo (contingency table): Bu bir çapraz tablo ya da iki yönlü tablodur. Bir değişkeni satırda, diğerini sütunda frekans sayımlarıyla birlikte gösterirsiniz. Kategorik değişkenlere ait bir tür frekans dağılım tablosudur.

• Gözlenen frekanslar: Deneysel verilerden elde edilen sayımlardır. Başka bir deyişle, gerçekleşen verileri gözlemler ve ölçüm yaparsınız.

• Beklenen frekanslar: Olasılık kuramı kullanılarak hesaplanan sayımlardır. Beklenen frekanslar, çapraz tablodaki her bir hücre için hesaplanır.

Burada,

• Eij: i. satır ve j. sütun için beklenen frekans
• Ti: i. satırdaki toplam
• Tj: j. satırdaki toplam
• N: Genel Toplam

Ya da bunu (satır toplamı * sütun toplamı) / genel toplam olarak düşünebilirsiniz

• Null Hipotez (H0): Anakütlede çapraz tablolanmış iki değişken arasında hiçbir ilişki olmadığını ifade eder. Dolayısıyla değişkenler istatistiksel olarak bağımsızdır. Örneğin A ve B yöntemlerini hangisinin daha iyi olduğu ya da uygunluğu açısından karşılaştırıyor ve her iki yöntemin de eşit derecede iyi olduğunu varsayıyorsanız, bu varsayım Null Hipotez olarak adlandırılır.

• Alternatif Hipotez (HA): İki değişkenin anakütlede ilişkili olduğunu öne sürer. İki yöntemden A yönteminin B yönteminden üstün olduğunu ya da B yönteminin A yönteminden üstün olduğunu varsayıyorsanız, bu varsayım Alternatif Hipotez olarak adlandırılır.

• Serbestlik Derecesi: Bir istatistiği oluşturan bağımsız değişken sayısına o istatistiğin serbestlik derecesi denir.

Burada,

• r=satır sayısı
• c=sütun sayısı

Bu, uygunluk iyiliğinde değil, bağımsızlık testi ve homojenlik testinde kullanılacaktır.

• Ki-kare test istatistiği: Ki-kare istatistiği, gözlenen sayımlar ile anakütlede hiçbir ilişki olmadığında bekleyeceğiniz sayımlar arasındaki farkın büyüklüğünü gösteren tek bir sayıdır.
• Ki-kare p-değeri: Ki-kare p-değeri, test sonuçlarınızın anlamlı olup olmadığını gösterir.

Ki-kare testinin türleri

1. Uygunluk iyiliği: Ki-kare uygunluk iyiliği testi, belirli bir olgunun gözlenen değerinin beklenen değerden anlamlı ölçüde farklı olup olmadığını bulmak için kullanılan parametrik olmayan bir testtir. Bu testte tek bir anakütleden tek bir değişkeniniz vardır.

   • Null hipotez (H0): Ki-kare uygunluk iyiliği testinde null hipotez, gözlenen değer ile beklenen değer arasında anlamlı bir fark olmadığını varsayar

   • Alternatif hipotez (Ha): Ki-kare uygunluk iyiliği testinde alternatif hipotez, gözlenen değer ile beklenen değer arasında anlamlı bir fark olduğunu varsayar.

   • Örn., Basit bir örnek verelim: Adil bir 6 yüzlü zarı 120 kez attınız ve gözlenen frekansları elde ettiniz.

Dolayısıyla,

• H0 = Tüm sayıların aynı sıklıkta gelme olasılıkları eşittir ya da veri beklenenle tutarlıdır.

          p1 = p2 = p3 = p4 = p5 = p6 = 1/6
  

• Ha = En az bir p 1/6'ya eşit değildir ya da veri beklenenle tutarlı değildir.

  • Kriter ve Karar Kuralı: Red bölgesi, (k-1) serbestlik dereceli χ2 dağılımı kullanılarak her zaman sağ kuyruktadır. (k = kategori sayısı) H0'ı reddedin eğer χ2hesaplanan > χ2tablo SD = k-1

• Bağımsızlık testi iki kategorik değişkenin bağımsız olup olmadığını test etmek için kullanılır. Örn., cinsiyet ile görüş bağımsızlığı.

H0: Satır değişkeni sütun değişkeninden bağımsızdır ya da değişkenler arasında anlamlı bir ilişki yoktur Ha: İlişki anlamlıdır.

• Kriter ve Karar Kuralı: Red bölgesi, (r-1)(c-1) serbestlik dereceli χ2 dağılımı kullanılarak her zaman sağ kuyruktadır. (r = satır sayısı, c = sütun sayısı)

  H0'ı reddedin eğer χ2hesaplanan > χ2tablo

  SD = (r-1)(c-1)

1. Homojenlik testi: Farklı anakütlelerdeki frekansların özdeş dağılıp dağılmadığını test etmek istediğinizde kullanılır. Bu gibi durumlarda homojenlik testi yaparsınız. Bunu daha somut kavramak için bir örnek ele alalım. Bir ankette geliri düşük, orta veya yüksek olarak sordunuz. Bu ankette erkekler ve kadınlar gibi iki farklı anakütle vardır. Bu gibi durumlarda, erkek ve kadın gelirlerinin anlamlı ölçüde farklı olup olmadığını belirlemek için ki-kare homojenlik testi yaparsınız.

H0: Anakütle genelinde frekans sayımı aynıdır. Ha: Anakütle genelinde frekans sayımı farklıdır.

• Kriter ve Karar Kuralı: Red bölgesi, (r-1)(c-1) serbestlik dereceli χ2 dağılımı kullanılarak her zaman sağ kuyruktadır. (r = satır sayısı, c = sütun sayısı)

  H0'ı reddedin eğer χ2hesaplanan > χ2tablo

  SD = (r-1)(c-1)

Ki-kare testine örnek

Bir üretim tesisinde üretilen mobilyalardaki kusurları, kusur türüne ve üretim vardiyasına göre sınıflandırmak istediğinizi varsayalım. Toplam 390 mobilya kusuru kaydedildi ve kusurlar A, B, C ve D olmak üzere dört türden biri olarak sınıflandırıldı. Aynı zamanda, her kusurlu mobilya parçası üretim vardiyasına göre tanımlandı.

Kaynak: Engineering Statistics kitabı

Çözüm: Kusur türlerinin üretim vardiyasına bağlı olup olmadığını incelemeniz gerekir. Öyleyse bunu Excel kullanarak çözelim.

Örneği E-tablolarda Ki-kare testi kullanarak çözmek

Önce bu verileri E-tablosuna girelim

Null hipotez ve alternatif hipotezi tanımlama

Yukarıdaki bölümde null ve alternatif hipotezi tanımlayalım. Ana amaç, mobilya kusurlarının üretim vardiyasından bağımsız olup olmadığını kontrol etmektir:

• H0 = Kusur türü ile üretim vardiyası bağımsızdır
• Ha = Kusur türü ile üretim vardiyası bağımlıdır

Beklenen frekansların hesaplanması

• Beklenen frekansları hesaplamadan önce, her satır için satır bazında kalem toplamını ve her sütun için sütun bazında kalem toplamını, sırasıyla satır toplamı ve sütun toplamı olarak adlandırılan SUM() işlevini kullanarak hesaplayın. Ayrıca satır toplamı ile sütun toplamının genel toplamını hesaplayın. Satır ve sütun toplamları birbirine eşit olacaktır.

• Bildiginiz gibi beklenen frekans = (satır toplamı * sütun toplamı) / toplam

Formülü uygularken hücreleri mutlak yapmayı unutmayın, böylece formülü tüm beklenen değerler için kopyalayıp yapıştırabilirsiniz.

Ki istatistik değerini hesaplayın

Şimdi Ki istatistik değerini veya p-değerini hesaplamadan önce, anlamlılık düzeyini varsayalım. Bu, yanıtı hangi anlamlılık düzeyinde öğrenmek istediğinizdir. Anlamlılık düzeyini α = 0,05 olarak varsayalım. Ayrıca serbestlik derecesi = (r-1)(c-1) = (3-1)(4-1) = 6 olacaktır.

Ki istatistik değerini hesaplamanın iki yolu vardır: ya χ^2= ∑(O-E)^2/E formülüyle ya da ki-kare istatistik değerini elde etmek için Excel işlevini kullanarak.

Önce formülle hesaplayalım. Bunun için Excel kullanarak ∑(O-E)^2/E hesaplamanız gerekir. Bu aşağıdaki adımla yapılabilir –

Tüm hücrelere bu formülü kopyalayıp yapıştırarak tüm değerleri elde edebilirsiniz.

χ^2 değerini elde etmek için tüm değerlerin toplamını alın; bu bize hesaplanan ki-kare istatistik değerini verecektir.

Tablo ve hesaplanan değere dayanarak, kusur türleri ile vardiya saatlerinin bağımlı olduğu sonucuna varabilirsiniz.

Şimdi Excel işlevini kullanarak hesaplayalım. CHISQ.TEST() işlevi p-değerini verir; bu değer doğrudan anlamlılık düzeyi ile karşılaştırılarak sonuca varılabilir.

P-değerine dayanarak, kusurun üretim vardiya saatine bağlı olduğu sonucuna varabilirsiniz.

Artılar ve Eksiler

Artılar:

• Hesaplaması daha kolaydır.
• Nominal verilerle de kullanılabilir.
• Veri dağılımı hakkında bir varsayımda bulunmaz.

Eksiler:

• Gözlem sayısı 20'den fazla olmalıdır.
• Veri frekans verisi olmalıdır.
• Rastgele örnekleme varsayar. Yani örneklem rastgele seçilmelidir.
• Küçük frekanslara duyarlıdır; bu da hatalı sonuçlara yol açabilir.
• Örneklem büyüklüğüne de duyarlıdır.

Sonuç

Tebrikler, bu eğitimin sonuna geldiniz!

Bu eğitimde Ki-kare testinin birçok ayrıntısını ele aldınız. Ki-karenin ne olduğunu, Ki-kare testinde kullanılan terimleri, Ki-kare testlerinin türlerini, Ki-kare testlerine örnekleri ve e-tablolarda Ki-kare testinin nasıl çözüleceğine dair bir örneği öğrendiniz. Ayrıca artı ve eksilerine göz attınız.

Umarız artık hipotez test etmek için Ki-kare kavramlarını kullanabilirsiniz. Bu eğitimi okuduğunuz için teşekkürler!

E-tablolara Başlangıç eğitimimize göz atın.

E-tablolarda istatistik hakkında daha fazla bilgi edinmek istiyorsanız, DataCamp'in Spreadsheets'te İstatistik kursunu alın.