Meetkundig Gemiddelde: een maat voor groei en samengestelde effecten

Heb je ooit het gemiddelde van je jaarlijkse beleggingsrendementen berekend, om er vervolgens achter te komen dat je werkelijke totale rendement niet helemaal klopt? Deze veelvoorkomende situatie in financiën onderstreept hoe belangrijk het is om het meetkundig gemiddelde te begrijpen en toe te passen – een nuttige maat die vaak geschikter is dan het veelgebruikte rekenkundig gemiddelde wanneer je te maken hebt met veranderingspercentages en samengestelde effecten.

In deze tutorial verkennen we het concept van het meetkundig gemiddelde en de rol ervan in data-analyse, vooral in gebieden als financiën, biologie en data science. We bekijken ook scenario’s waarin het beter presteert dan andere maten van centrale tendens.

Wat is het meetkundig gemiddelde?

Het meetkundig gemiddelde is een soort gemiddelde dat bijzonder handig is bij verzamelingen van positieve getallen, vooral wanneer vermenigvuldiging of exponentiële groei een rol speelt. In tegenstelling tot het meer gangbare rekenkundig gemiddelde, dat getallen optelt en deelt door het aantal, kan het meetkundig gemiddelde beter overweg met datasets met multiplicatieve relaties of exponentiële groei.

Hier zijn enkele vakgebieden waarin het meetkundig gemiddelde van waarde is:

1. Financiën: Het wordt vaak gebruikt om gemiddelde rendementen over meerdere perioden te berekenen. In tegenstelling tot het rekenkundig gemiddelde houdt het meetkundig gemiddelde rekening met samengestelde effecten, waardoor het nauwkeuriger is voor financiële berekeningen.
2. Biologie: In studies naar populatiegroei wordt het meetkundig gemiddelde gebruikt om gemiddelde groeipercentages over de tijd te berekenen.
3. Meetkunde: Een van de elegantste verschijningen is in rechthoekige driehoeken, waar de hoogte op de schuine zijde het meetkundig gemiddelde is van de segmenten die op die schuine zijde ontstaan. Ook vertegenwoordigt het meetkundig gemiddelde de zijde van een vierkant met dezelfde oppervlakte als een gegeven rechthoek, wat een manier biedt om rechthoekige oppervlakken te “vervierkanten”.

Zoals je ziet is het meetkundig gemiddelde een waardevol hulpmiddel in zowel alledaagse berekeningen als meer abstracte wiskundige concepten.

Hoe bereken je het meetkundig gemiddelde

Er zijn verschillende methoden om het meetkundig gemiddelde te berekenen, elk met eigen voordelen afhankelijk van de situatie.

De formule voor het meetkundig gemiddelde

De meest directe manier om het meetkundig gemiddelde te berekenen is met de standaardformule: 

Hierbij zijn x₁, x₂, ..., xₙ de positieve getallen in de dataset en is n het aantal getallen. Om het meetkundig gemiddelde te krijgen vermenigvuldig je alle waarden en neem je de n-de wortel van het product, waarbij n het aantal waarden is. Laten we dit illustreren met een voorbeeld. Neem de getallen 2, 4 en 8. Om hun meetkundig gemiddelde te vinden:

1. Vermenigvuldig de getallen: 2 * 4 * 8 = 64
2. Neem de derdemachtswortel (omdat er 3 getallen zijn): ∛64 ≈ 4

Het meetkundig gemiddelde van 2, 4 en 8 is 4. Dit resultaat vertelt ons dat als we drie gelijke getallen hadden, elk gelijk aan 4, hun product hetzelfde zou zijn als het product van de oorspronkelijke getallen. Kortom, 4 is de consistente groeifactor over alle drie de waarden.

Het meetkundig gemiddelde berekenen met logaritmen

Voor grotere datasets of om overflowfouten te vermijden bij zeer grote getallen kunnen we logaritmen gebruiken. Deze methode vereenvoudigt vermenigvuldiging tot optelling en maakt de berekeningen beter hanteerbaar. We nemen eerst de logaritme van elk getal, berekenen het rekenkundig gemiddelde van deze logaritmen en nemen daarna de antilog (exponentiële functie) van dit gemiddelde. Laten we hetzelfde voorbeeld als hierboven gebruiken. 

1. Neem logaritmen (grondtal 10): log(2) ≈ 0,3010, log(4) ≈ 0,6021, log(8) ≈ 0,9031
2. Bereken het rekenkundig gemiddelde: (0,3010 + 0,6021 + 0,9031) / 3 ≈ 0,6021
3. Neem de antilog: (10^x) = 10^0,6021 ≈ 4

Deze methode geeft hetzelfde resultaat als de directe berekening. Je kunt logaritmen met elk grondtal gebruiken (zoals natuurlijke logaritmen met grondtal e), zolang je maar consequent hetzelfde grondtal gebruikt. Het uiteindelijke meetkundig gemiddelde blijft hetzelfde.

Meetkundig gemiddelde in data science en machine learning

Het meetkundig gemiddelde is een nuttige statistische maat met verschillende belangrijke toepassingen in data science en machine learning. Hier zijn drie belangrijke gebruikssituaties waarin het meetkundig gemiddelde waardevol blijkt. 

Groeipercentages en tijdreeksanalyse

In data science analyseren we vaak groeipercentages in de tijd, zoals bij populatiedynamiek, markttrends of gebruikersgroei. Het meetkundig gemiddelde is ideaal in deze situaties omdat het de samengestelde aard van groei accuraat vastlegt. In tegenstelling tot het rekenkundig gemiddelde, dat de percentages simpelweg middelt zonder mee te nemen hoe de groei van elk jaar voortbouwt op die van het vorige, houdt het meetkundig gemiddelde rekening met dit samengestelde effect.

Stel dat je het jaarlijkse groeipercentage van de gebruikersbasis van een startup over vijf jaar analyseert: 20%, 15%, 25%, 10% en 30%. Hoewel het rekenkundig gemiddelde (20%) een snelle oplossing lijkt, houdt het geen rekening met het samengestelde effect. Het meetkundig gemiddelde ((1,20 * 1,15 * 1,25 * 1,10 * 1,30)^(1/5) - 1 ≈ 19,77%) geeft een nauwkeuriger gemiddeld groeipercentage dat, als het elk jaar consequent zou worden toegepast, tot dezelfde eindwaarde leidt als de werkelijke variërende groeipercentages.

Statistische analyse van scheve data

In data science werken we vaak met datasets die positief scheef zijn door multiplicatieve processen, zoals inkomensniveaus, biologische metingen of bepaalde financiële indicatoren. In zulke gevallen kan het gebruik van het rekenkundig gemiddelde misleidend zijn omdat het gevoelig is voor extreme waarden (uitschieters), die de weergave van de centrale tendens kunnen vertekenen.

Het meetkundig gemiddelde is bijzonder nuttig bij data die een lognormale verdeling volgen. Dit is waarom:

• Minimaliseert de invloed van uitschieters: Het meetkundig gemiddelde vermindert de impact van extreem hoge of lage waarden en biedt zo een representatievere centrale waarde voor scheve data.
• Gaat goed om met multiplicatieve relaties: Het is geschikt voor data waarbij waarden multiplicatief in plaats van additief gecombineerd worden.

Stel je een dataset met huishoudinkomens voor in een regio waar de meeste huishoudens tussen $30.000 en $60.000 verdienen, maar enkele boven $1 miljoen.

• Rekenkundig gemiddeld inkomen: Dit wordt sterk beïnvloed door de hoge-inkomensuitschieters en kan zo een gemiddeld inkomen suggereren dat veel hoger ligt dan wat de meeste mensen verdienen.
• Meetkundig gemiddeld inkomen: Dit geeft een centrale waarde die het typische inkomen nauwkeuriger weergeeft doordat de invloed van extreme waarden wordt geminimaliseerd.

Door in zulke gevallen het meetkundig gemiddelde te gebruiken, kunnen data scientists een nauwkeurigere maat voor centrale tendens verkrijgen, wat leidt tot betere inzichten en betrouwbaardere analyses. Dit maakt het meetkundig gemiddelde essentieel bij scheve verdelingen in diverse vakgebieden.

Evaluatiematen voor onevenwichtige datasets

Bij classificatietaken komen we vaak onevenwichtige datasets tegen waarin sommige groepen veel meer voorbeelden hebben dan andere. In zulke gevallen kunnen traditionele evaluatiematen zoals nauwkeurigheid misleidend zijn. Hier komt de Geometric Mean Score, of G-Mean, van pas.

De G-Mean is de wortel van het product van klassespecifieke sensitiviteit (recall). Voor binaire classificatie is het de vierkantswortel van het product van sensitiviteit en specificiteit. Voor multiclass-problemen is het een hogere wortel van het product van de sensitiviteit voor elke klasse.

G-Mean probeert de nauwkeurigheid over alle klassen in balans te brengen en is daardoor bijzonder nuttig bij onevenwichtige datasets. Let er wel op dat G-Mean ongedefinieerd is wanneer een klasse een sensitiviteit van nul heeft, wat de toepasbaarheid beperkt bij extreme onbalans. In de praktijk worden aangepaste versies of alternatieve metrics gebruikt om deze beperking te omzeilen.

Wil je meer zien over hoe het meetkundig gemiddelde en andere statistische maten worden toegepast in machine learning? Bekijk dan onze Machine Learning Scientist with Python-carrièreroute, met diepgaande lessen over essentiële ML-concepten en -technieken, inclusief praktische inzichten en hands-on ervaring.