Media geometrica: una misura per crescita e capitalizzazione

Ti è mai capitato di calcolare la media dei rendimenti annuali dei tuoi investimenti e accorgerti che il rendimento complessivo reale non coincide? Questo scenario comune in finanza mette in evidenza l'importanza di comprendere e applicare la media geometrica: una misura utile che spesso risulta più appropriata della più diffusa media aritmetica quando si ha a che fare con tassi di variazione ed effetti di capitalizzazione.

In questo tutorial esploreremo il concetto di media geometrica e il suo ruolo nell'analisi dei dati, in particolare in ambiti come finanza, biologia e data science. Esamineremo anche gli scenari in cui supera altre misure di tendenza centrale.

Che cos'è la media geometrica?

La media geometrica è un tipo di media particolarmente utile quando si lavora con insiemi di numeri positivi, soprattutto quelli che coinvolgono moltiplicazioni o crescite esponenziali. A differenza della più comune media aritmetica, che somma i numeri e divide per la quantità, la media geometrica è particolarmente adatta a gestire dataset che presentano relazioni moltiplicative o crescita esponenziale.

Ecco alcuni ambiti in cui la media geometrica è preziosa:

1. Finanza: È comunemente usata per calcolare i tassi di rendimento medi su più periodi. A differenza della media aritmetica, la media geometrica tiene conto della capitalizzazione, risultando più accurata per i calcoli finanziari.
2. Biologia: Negli studi sulla crescita delle popolazioni, la media geometrica viene usata per calcolare i tassi di crescita medi nel tempo.
3. Geometria: Una delle sue apparizioni più eleganti è nei triangoli rettangoli, dove l'altezza sull'ipotenusa rappresenta la media geometrica dei segmenti in cui divide l'ipotenusa. Inoltre, la media geometrica rappresenta il lato di un quadrato che avrebbe la stessa area di un dato rettangolo, offrendo un modo per "quadrare" aree rettangolari.

Come vedi, la media geometrica è uno strumento prezioso sia nei calcoli quotidiani sia in concetti matematici più astratti.

Come si calcola la media geometrica

Esistono diversi metodi per calcolare la media geometrica, ciascuno con i propri vantaggi a seconda della situazione.

La formula della media geometrica

Il modo più diretto per calcolarla è usare la formula standard: 

Qui x₁, x₂, ..., xₙ sono i numeri positivi del dataset e n è la quantità di numeri. Per ottenere la media geometrica moltiplichiamo tutti i valori e poi prendiamo la radice n-esima del prodotto, dove n è il numero di valori. Vediamolo con un esempio. Considera i numeri 2, 4 e 8. Per trovare la loro media geometrica:

1. Moltiplica i numeri: 2 * 4 * 8 = 64
2. Prendi la radice cubica (dato che ci sono 3 numeri): ∛64 ≈ 4

La media geometrica di 2, 4 e 8 è 4. Questo risultato ci dice che, se avessimo tre numeri uguali, ciascuno pari a 4, il loro prodotto sarebbe lo stesso del prodotto dei numeri originali. In sostanza, 4 è il fattore di crescita costante per tutti e tre i valori.

Calcolare la media geometrica sommando i logaritmi

Per dataset più grandi o per evitare errori di overflow con numeri molto grandi, possiamo usare i logaritmi. Questo metodo trasforma le moltiplicazioni in somme e rende i calcoli più gestibili. Qui, per prima cosa prendiamo il logaritmo di ciascun numero, calcoliamo la media aritmetica di questi logaritmi e poi prendiamo l'antilogaritmo (esponenziale) di questa media. Usiamo lo stesso esempio di prima. 

1. Prendi i logaritmi (in base 10): log(2) ≈ 0,3010, log(4) ≈ 0,6021, log(8) ≈ 0,9031
2. Calcola la media aritmetica: (0,3010 + 0,6021 + 0,9031) / 3 ≈ 0,6021
3. Prendi l'antilogaritmo: (10^x) = 10^0,6021 ≈ 4

Questo metodo fornisce lo stesso risultato del calcolo diretto. Puoi usare logaritmi di qualsiasi base (come i logaritmi naturali in base e), purché mantieni la stessa base per tutto il calcolo. La media geometrica finale sarà la stessa.

Media geometrica in Data Science e Machine Learning

La media geometrica è una misura statistica utile con diverse applicazioni importanti in data science e machine learning. Ecco tre casi d'uso chiave in cui la media geometrica si dimostra preziosa. 

Tassi di crescita e analisi delle serie temporali

In data science analizziamo spesso i tassi di crescita nel tempo, ad esempio in dinamiche di popolazione, tendenze di mercato o tassi di adozione degli utenti. La media geometrica è ideale in queste situazioni perché cattura accuratamente la natura composta della crescita. A differenza della media aritmetica, che media semplicemente i tassi senza considerare come la crescita di ogni anno si basi su quella dell'anno precedente, la media geometrica tiene conto di questo effetto di capitalizzazione.

Immagina di analizzare il tasso di crescita annuale della base utenti di una startup su cinque anni: 20%, 15%, 25%, 10% e 30%. Sebbene la media aritmetica (20%) possa sembrare una soluzione rapida, non considera l'effetto della capitalizzazione. La media geometrica ((1,20 * 1,15 * 1,25 * 1,10 * 1,30)^(1/5) - 1 ≈ 19,77%) fornisce un tasso di crescita medio più accurato che, se applicato in modo costante ogni anno, porterebbe allo stesso valore finale dei tassi di crescita effettivi variabili.

Analisi statistica di dati asimmetrici

In data science ci si imbatte spesso in dataset con asimmetria positiva dovuta a processi moltiplicativi, come livelli di reddito, misurazioni biologiche o alcuni indicatori finanziari. In questi casi, l'uso della media aritmetica può essere fuorviante perché è sensibile ai valori estremi (outlier), che possono distorcere la rappresentazione della tendenza centrale.

La media geometrica è particolarmente utile quando si lavora con dati che seguono una distribuzione lognormale. Ecco perché:

• Riduce l'influenza degli outlier: la media geometrica attenua l'impatto di valori estremamente alti o bassi, fornendo un valore centrale più rappresentativo per dati asimmetrici.
• Gestisce relazioni moltiplicative: è adatta a dati in cui i valori si combinano moltiplicativamente piuttosto che additivamente.

Considera un dataset di redditi familiari in una regione in cui la maggior parte delle famiglie guadagna tra 30.000 e 60.000 dollari, ma alcune oltre 1 milione.

• Reddito medio aritmetico: sarà fortemente influenzato dagli outlier ad alto reddito, suggerendo potenzialmente un reddito medio molto più alto di quello della maggior parte delle persone.
• Reddito medio geometrico: fornisce un valore centrale che riflette in modo più accurato il reddito tipico, minimizzando l'influenza dei valori estremi.

Usando la media geometrica in questi casi, i data scientist possono ottenere una misura della tendenza centrale più accurata, con migliori insight e analisi più affidabili. Questo rende la media geometrica uno strumento essenziale quando si lavora con distribuzioni di dati asimmetriche in vari campi.

Metriche di valutazione per dataset sbilanciati

Nei compiti di classificazione, ci imbattiamo spesso in dataset sbilanciati in cui alcuni gruppi sono rappresentati da un numero di esempi molto maggiore rispetto ad altri. In questi casi, metriche tradizionali come l'accuratezza possono essere fuorvianti. È qui che il Geometric Mean Score, o G-Mean, diventa uno strumento prezioso.

Il G-Mean è la radice del prodotto delle sensibilità (recall) per classe. Per la classificazione binaria, è la radice quadrata del prodotto tra sensibilità e specificità. Per i problemi multi-classe, è una radice di grado superiore del prodotto delle sensibilità di ciascuna classe.

Il G-Mean mira a bilanciare l'accuratezza tra tutte le classi, rendendolo particolarmente utile per dataset sbilanciati. Tuttavia, è importante notare che il G-Mean non è definito quando una qualsiasi classe ha sensibilità zero, limitandone l'applicabilità in scenari di sbilanciamento estremo. In pratica, si possono usare versioni modificate o metriche alternative per affrontare questa limitazione.

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