Poissonverdeling: een uitgebreide gids

In statistiek en data science is de Poissonverdeling een belangrijk hulpmiddel voor het modelleren van discrete gebeurtenissen binnen een vaste interval. Genoemd naar de Franse wiskundige Siméon Denis Poisson helpt deze kansverdeling bij het analyseren en voorspellen van zeldzame gebeurtenissen, wat haar waardevol maakt voor dataprofessionals in verschillende vakgebieden.

Ben je nieuw in statistiek? Onze cursus Introduction to Statistics biedt een stevige basis om deze concepten te begrijpen. Voor wie de kansrekening echt onder de knie wil krijgen, verkent de cursus Foundations of Probability in Python probabilistische concepten uitgebreid, inclusief de Poissonverdeling. 

Wat is een Poissonverdeling?

De Poissonverdeling is een discrete kansverdeling die de kans uitdrukt op een gegeven aantal gebeurtenissen binnen een vaste tijd- of ruimte-interval. Er wordt aangenomen dat deze gebeurtenissen plaatsvinden met een bekende gemiddelde snelheid en onafhankelijk van de tijd sinds de laatste gebeurtenis. Om de Poissonverdeling te begrijpen, is het eerst handig om het verschil te kennen tussen discrete en continue verdelingen.

Poissonverdeling vs. een continue verdeling. Afbeelding door de auteur

Discrete verdelingen

• Aard: Discrete verdelingen beschrijven verschijnselen waarbij uitkomsten in hele getallen te tellen zijn. Ze worden gekarakteriseerd door kansmassa-functies (PMF) die aan elke mogelijke discrete uitkomst een kans toekennen.
• Visualisatie: In het linker paneel is de Poissonverdeling te zien, waarbij elke stip de kans weergeeft op een specifiek aantal gebeurtenissen binnen een vaste interval. Deze verdeling is ideaal voor telgegevens, zoals het aantal e-mails per uur. Je ziet ook dat er in het Poissonpaneel geen negatieve waarden voorkomen. Dat komt omdat Poissonverdelingen per definitie geen negatieve waarden kunnen hebben.

Enkele voorbeelden van discrete kansverdelingen zijn de Bernoulli- en binomiale verdeling. 

Continue verdelingen

• Aard: Continue verdelingen worden gebruikt voor data die elke waarde binnen een bereik kan aannemen, inclusief decimalen. Ze gebruiken kansdichtheidsfuncties (PDF) om de kansen van uitkomsten binnen een gegeven bereik te beschrijven.
• Visualisatie: Het rechter paneel illustreert de normale verdeling. De vloeiende curve geeft de dichtheid van waarden rondom het gemiddelde aan, en de oppervlakte onder de curve tussen twee punten geeft de kans om binnen dat bereik te vallen. Dit type verdeling is nuttig voor grootheden als temperatuur of gewicht.

De normale, of Gaussische, verdeling is een schoolvoorbeeld van een continue verdeling.

Eigenschappen van Poissonverdelingen

Laten we enkele belangrijke kenmerken van de Poissonverdeling bekijken.

Gebeurtenissen in een vaste interval

Een kernkenmerk van de Poissonverdeling is dat ze gebeurtenissen in een vaste interval kan modelleren. Deze interval kan tijd zijn (bijv. aantal klanten dat per uur arriveert) of ruimte (bijv. aantal defecten per vierkante meter stof). Het model gaat uit van:

1. Gebeurtenissen vinden onafhankelijk plaats.
2. De gemiddelde frequentie (λ) blijft constant over de interval.
3. Twee gebeurtenissen kunnen niet exact op hetzelfde moment plaatsvinden.

Gemiddelde en variantie

Een van de meest kenmerkende eigenschappen van de Poissonverdeling is dat het gemiddelde (de verwachtingswaarde) gelijk is aan de variantie. Beide worden weergegeven door de parameter λ (lambda), die het gemiddelde aantal gebeurtenissen in de interval aanduidt. Deze eigenschap is uniek en helpt te bepalen of een dataset een Poissonverdeling volgt. Wiskundig kan dit worden weergegeven in de volgende vergelijking: 

Deze gelijkheid impliceert dat naarmate het verwachte aantal gebeurtenissen toeneemt, ook de variabiliteit in het werkelijke aantal voorvallen toeneemt.

Scheefheid en vorm

De vorm van de Poissonverdeling varieert afhankelijk van de waarde van λ. Deze visuele illustratie laat zien hoe λ de scheefheid en symmetrie van de verdeling beïnvloedt: 

Poissonverdelingen met verschillende lambdawaarden. Afbeelding door de auteur

• Bij kleine λ-waarden (λ < 10) is de verdeling duidelijk rechts-scheef. Dit betekent dat er meer voorkomens met weinig gebeurtenissen zijn en minder voorkomens met een groter aantal gebeurtenissen.
• Naarmate λ toeneemt (λ > 10) wordt de verdeling symmetrischer en gaat ze lijken op een normale verdeling. Deze symmetrie geeft aan dat de data gelijkmatiger rond het gemiddelde verdeeld is.

Deze veranderende vorm beïnvloedt hoe we kansen interpreteren en conclusies trekken uit Poissonverdeelde data. Een symmetrische verdeling vereenvoudigt bijvoorbeeld veel soorten analyses, zoals hypothesetoetsen en het schatten van betrouwbaarheidsintervallen, omdat de verdeling voorspelbaarder en evenwichtiger is.

Formule van de Poissonverdeling

Bekijk de formule van de Poissonverdeling. 

• De linkerzijde (LHS) van de formule van de Poissonverdeling, P(X = k), geeft de kans weer op precies k gebeurtenissen binnen een vaste interval. Hier is X het aantal gebeurtenissen en k het specifieke getal waarin we geïnteresseerd zijn. Met andere woorden, de LHS vertelt ons welke kans we berekenen.

• De teller aan de rechterzijde (RHS), e^-λλ^k, heeft twee onderdelen. λ^k laat zien hoe waarschijnlijk het is dat k gebeurtenissen plaatsvinden op basis van de gemiddelde snelheid λ. De term e^-λ corrigeert voor de willekeurigheid van de gebeurtenissen en zorgt ervoor dat de kans afneemt naarmate het aantal gebeurtenissen verder afwijkt van de verwachte snelheid.

• De noemer aan de rechterzijde (RHS), k!, corrigeert voor het aantal manieren waarop de x gebeurtenissen kunnen optreden. De faculteitsnotatie berekent het aantal mogelijke rangschikkingen en zorgt ervoor dat de kans weerspiegelt dat de volgorde van gebeurtenissen niet uitmaakt.

Wil je echt zeker worden in het gebruik van Python voor machine learning? Start dan met onze carrièreroute Machine Learning Scientist with Python, waarin je geavanceerde technieken oefent met echte datasets.