Phân phối Poisson: Hướng dẫn toàn diện

Trong thống kê và khoa học dữ liệu, phân phối Poisson là công cụ quan trọng để mô hình hóa các sự kiện rời rạc xảy ra trong một khoảng cố định. Được đặt theo tên nhà toán học người Pháp Siméon Denis Poisson, phân phối xác suất này giúp phân tích và dự đoán các sự kiện hiếm, nhờ đó có giá trị đối với những người làm dữ liệu trong nhiều lĩnh vực.

Nếu bạn mới làm quen với thống kê, khóa học Giới thiệu về Thống kê của chúng tôi cung cấp nền tảng vững chắc để nắm bắt các khái niệm này. Với những ai sẵn sàng thực sự học lý thuyết xác suất, khóa học Nền tảng Xác suất trong Python mang đến cái nhìn toàn diện về các khái niệm xác suất, bao gồm cả phân phối Poisson. 

Phân phối Poisson là gì?

Phân phối Poisson là phân phối xác suất rời rạc biểu thị xác suất một số lượng sự kiện nhất định xảy ra trong một khoảng thời gian hoặc không gian cố định. Nó giả định các sự kiện xảy ra với một tốc độ trung bình đã biết và độc lập với thời điểm kể từ lần xảy ra gần nhất. Để hiểu phân phối Poisson, trước hết hữu ích khi phân biệt giữa các phân phối rời rạc và liên tục.

Phân phối Poisson so với một phân phối liên tục. Hình minh họa bởi Tác giả

Phân phối rời rạc

• Bản chất: Phân phối rời rạc mô tả các hiện tượng có kết quả đếm được bằng số nguyên. Chúng được đặc trưng bởi hàm khối xác suất (PMF) gán một xác suất cho mỗi kết quả rời rạc có thể có.
• Trực quan hóa: Ở bảng bên trái, phân phối Poisson được hiển thị, trong đó mỗi chấm biểu thị xác suất một số lượng sự kiện cụ thể xảy ra trong một khoảng cố định. Phân phối này lý tưởng để mô hình hóa dữ liệu đếm, chẳng hạn số email nhận được mỗi giờ. Bạn cũng có thể nhận thấy không có giá trị âm trong bảng phân phối Poisson. Điều này là do, theo định nghĩa, phân phối Poisson không thể có giá trị âm.

Một số ví dụ về phân phối xác suất rời rạc bao gồm các phân phối Bernoulli và nhị thức. 

Phân phối liên tục

• Bản chất: Phân phối liên tục dùng cho dữ liệu có thể nhận bất kỳ giá trị nào trong một khoảng, bao gồm cả số thập phân. Chúng dùng hàm mật độ xác suất (PDF) để mô tả xác suất của các kết quả trong bất kỳ khoảng nào cho trước.
• Trực quan hóa: Bảng bên phải minh họa phân phối chuẩn. Đường cong mượt biểu thị mật độ các giá trị xung quanh trung bình, và diện tích dưới đường cong giữa hai điểm bất kỳ cho xác suất rơi vào khoảng đó. Kiểu phân phối này hữu ích để đo lường các đại lượng như nhiệt độ hoặc cân nặng.

Phân phối chuẩn, hay Gaussian, là ví dụ điển hình của phân phối liên tục.

Các tính chất của phân phối Poisson

Hãy xem một số đặc điểm quan trọng của phân phối Poisson.

Sự kiện trong một khoảng cố định

Đặc trưng then chốt của phân phối Poisson là khả năng mô hình hóa các sự kiện trong một khoảng cố định. Khoảng này có thể là thời gian (ví dụ, số khách hàng đến mỗi giờ) hoặc không gian (ví dụ, số lỗi trên mỗi mét vuông vải). Mô hình giả định:

1. Các sự kiện xảy ra độc lập với nhau.
2. Tốc độ xảy ra trung bình (λ) không đổi trong cả khoảng.
3. Hai sự kiện không thể xảy ra đúng cùng một thời điểm.

Kỳ vọng và phương sai

Một trong những tính chất nổi bật nhất của phân phối Poisson là kỳ vọng (giá trị kỳ vọng) bằng với phương sai. Cả hai đều được biểu diễn bởi tham số λ (lambda), biểu thị số sự kiện trung bình trong khoảng. Tính chất này là độc nhất và giúp xác định liệu một tập dữ liệu có tuân theo phân phối Poisson hay không. Về mặt toán học, có thể biểu diễn bằng phương trình sau: 

Sự bằng nhau này ngụ ý rằng khi số sự kiện kỳ vọng tăng thì độ biến thiên của số lần xảy ra thực tế cũng tăng theo.

Độ lệch và hình dạng

Hình dạng của phân phối Poisson thay đổi theo giá trị của λ. Hình minh họa sau cho thấy λ ảnh hưởng đến độ lệch và tính đối xứng của phân phối như thế nào: 

Các phân phối Poisson với các giá trị lambda khác nhau. Hình minh họa bởi Tác giả

• Với giá trị λ nhỏ (λ < 10), phân phối lệch phải rõ rệt. Điều này có nghĩa xuất hiện nhiều trường hợp với số sự kiện ít và ít trường hợp với số sự kiện lớn.
• Khi λ tăng (λ > 10), phân phối trở nên đối xứng hơn và bắt đầu giống phân phối chuẩn. Tính đối xứng này cho thấy dữ liệu phân bố đều hơn quanh trung bình.

Sự thay đổi hình dạng này ảnh hưởng đến cách chúng ta diễn giải xác suất và suy luận từ dữ liệu có phân phối Poisson. Chẳng hạn, một phân phối đối xứng giúp đơn giản hóa nhiều dạng phân tích như kiểm định giả thuyết và ước lượng khoảng tin cậy, vì phân phối dữ liệu có tính dự đoán và cân bằng hơn.

Công thức phân phối Poisson

Hãy xem công thức của phân phối Poisson. 

• Vế trái (LHS) của công thức phân phối Poisson, P(X = k), biểu thị xác suất chính xác k sự kiện xảy ra trong một khoảng cố định. Ở đây, X là số sự kiện và k là con số cụ thể ta quan tâm. Nói cách khác, vế trái cho biết xác suất nào đang được tính.

• Tử số ở vế phải (RHS), e^-λλ^k gồm hai phần. λ^k cho thấy mức độ khả dĩ để k sự kiện xảy ra dựa trên tốc độ trung bình λ. Hạng tử e^-λ tính đến tính ngẫu nhiên của các sự kiện, đảm bảo xác suất giảm khi số sự kiện lệch khỏi tốc độ kỳ vọng.

• Mẫu số ở vế phải (RHS), k! điều chỉnh theo số cách mà x sự kiện có thể xảy ra. Ký hiệu giai thừa tính số sắp xếp có thể, đảm bảo xác suất phản ánh thực tế là thứ tự xảy ra không quan trọng.

Nếu bạn thực sự muốn tự tin sử dụng Python cho machine learning, hãy bắt đầu lộ trình nghề nghiệp Nhà khoa học Machine Learning với Python, nơi bạn được luyện tập các kỹ thuật nâng cao với bộ dữ liệu thực.