Loi de Poisson : guide complet

En statistique et en data science, la loi de Poisson est un outil clé pour modéliser des événements discrets survenant dans un intervalle fixe. Baptisée d’après le mathématicien français Siméon Denis Poisson, cette loi de probabilité permet d’analyser et de prévoir des événements rares, ce qui en fait un atout pour les professionnels des données dans de nombreux domaines.

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Qu’est-ce que la loi de Poisson ?

La loi de Poisson est une loi de probabilité discrète qui exprime la probabilité d’observer un nombre donné d’événements dans un intervalle de temps ou d’espace fixe. Elle suppose que ces événements se produisent à un taux moyen connu et indépendamment du temps écoulé depuis le dernier événement. Pour bien comprendre la loi de Poisson, il est utile de distinguer d’abord les lois discrètes des lois continues.

Loi de Poisson vs. loi continue. Image de l’auteur

Lois discrètes

• Nature : les lois discrètes décrivent des phénomènes dont les issues se comptent en nombres entiers. Elles sont caractérisées par des fonctions de masse (PMF) qui attribuent une probabilité à chaque issue discrète possible.
• Visualisation : dans le panneau de gauche, la loi de Poisson est représentée et chaque point indique la probabilité d’un nombre précis d’événements dans un intervalle donné. Cette loi est idéale pour modéliser des données de comptage, par exemple le nombre d’e-mails reçus par heure. Vous remarquerez aussi l’absence de valeurs négatives : par définition, une loi de Poisson ne peut pas prendre de valeurs négatives.

Parmi les lois de probabilité discrètes, on peut citer les lois de Bernoulli et binomiale. 

Lois continues

• Nature : les lois continues s’appliquent à des données pouvant prendre n’importe quelle valeur dans un intervalle, y compris des décimales. Elles utilisent des fonctions de densité (PDF) pour décrire les probabilités d’appartenir à une plage donnée.
• Visualisation : le panneau de droite illustre la loi normale. La courbe lisse indique la densité des valeurs autour de la moyenne ; l’aire sous la courbe entre deux points donne la probabilité d’appartenir à cette plage. Ce type de loi est utile pour mesurer des grandeurs comme la température ou le poids.

La loi normale, ou gaussienne, est l’exemple emblématique d’une loi continue.

Propriétés de la loi de Poisson

Passons en revue quelques caractéristiques essentielles de la loi de Poisson.

Événements dans un intervalle fixe

Une caractéristique clé de la loi de Poisson est sa capacité à modéliser des événements dans un intervalle fixe. Cet intervalle peut être temporel (p. ex. nombre de clients arrivant par heure) ou spatial (p. ex. nombre de défauts par mètre carré de tissu). Le modèle suppose :

1. des événements indépendants ;
2. un taux moyen d’occurrence (λ) constant sur l’intervalle ;
3. l’impossibilité que deux événements surviennent exactement au même instant.

Moyenne et variance

L’une des propriétés les plus distinctives de la loi de Poisson est l’égalité entre sa moyenne (valeur attendue) et sa variance. Toutes deux sont représentées par le paramètre λ (lambda), qui désigne le nombre moyen d’événements dans l’intervalle. Cette propriété, utile pour vérifier si un jeu de données suit une loi de Poisson, s’écrit mathématiquement ainsi : 

Cette égalité implique que, plus le nombre attendu d’événements augmente, plus la variabilité observée augmente également.

Asymétrie et forme

La forme de la loi de Poisson dépend de la valeur de λ. L’illustration suivante montre comment λ influe sur l’asymétrie et la symétrie de la distribution : 

Lois de Poisson pour différentes valeurs de lambda. Image de l’auteur

• Pour des petites valeurs de λ (λ < 10), la distribution est nettement asymétrique à droite : on observe plus fréquemment de faibles comptages et plus rarement de grands nombres d’événements.
• Lorsque λ augmente (λ > 10), la distribution devient plus symétrique et tend à ressembler à une loi normale. Cette symétrie indique une répartition plus équilibrée des valeurs autour de la moyenne.

Cette évolution de la forme influe sur l’interprétation des probabilités et sur les inférences à partir de données suivant une loi de Poisson. Par exemple, une distribution plus symétrique facilite de nombreux types d’analyses, comme les tests d’hypothèse et l’estimation d’intervalles de confiance, car la répartition des données est plus prévisible et équilibrée.

Formule de la loi de Poisson

Voici la formule de la loi de Poisson. 

• Le membre de gauche (LHS) de la formule, P(X = k), représente la probabilité d’observer exactement k événements dans un intervalle donné. Ici, X est le nombre d’événements, et k est le nombre précis qui nous intéresse. En d’autres termes, le LHS indique quelle probabilité nous calculons.

• Le numérateur du membre de droite (RHS), e^-λλ^k, comporte deux parties. λ^k indique la vraisemblance d’observer k événements, compte tenu du taux moyen λ. Le terme e^-λ reflète l’aléa des événements et garantit que la probabilité diminue à mesure que le nombre observé s’éloigne du taux attendu.

• Le dénominateur du membre de droite (RHS), k!, tient compte du nombre de façons dont les x événements peuvent se produire. La factorielle comptabilise les arrangements possibles, de sorte que la probabilité ne dépende pas de l’ordre des événements.

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