A curva de demanda: Como entender a relação entre preço e vendas

Usando uma curva de demanda para analisar os preços em R

Vamos criar e analisar uma curva de demanda usando o R. Para simular um conjunto de dados, criei uma curva do tipo decaimento exponencial com ruído disperso em torno dela. A ideia aqui é que cada ponto de dados represente uma semana de vendas para uma concessionária de automóveis, na qual a concessionária oferece diferentes promoções e experimenta diferentes níveis de preços para o mesmo tipo de carro, em uma tentativa de aumentar as vendas.

# Load necessary library
library(tidyverse)

# Define parameters for the exponential decay
a <- 100  # Initial value
b <- 0.5  # Decay rate

# Define a realistic price range
price <- seq(10000, 40000, length.out = 200)  # Price from $10,000 to $40,000

# Calculate the exponential decay
y <- a * exp(-b * (price / 10000))  # Adjust decay rate to match price scaling

# Add mixed noise (additive + slight proportional)
set.seed(42)  # For reproducibility

additive_noise <- rnorm(length(y), mean = 0, sd = 1)  # Constant additive noise
proportional_noise <- rnorm(length(y), mean = 0, sd = 0.05 * y)  # Small proportional noise

y_noisy <- y + additive_noise + proportional_noise

# Ensure no negative values (optional, as sales can't be negative)
y_noisy[y_noisy < 0] <- 0.01

# Combine price and noisy y into a data frame
demand_curve_data <- data.frame(
  price = price,
  quantity_sold = y_noisy
)

# Clean and prepare the data
demand_curve_data <- demand_curve_data %>%
  mutate(quantity_sold = round(quantity_sold, 0)) %>%
  filter(quantity_sold != 0)

# Plot the noisy exponential decay
ggplot(demand_curve_data, aes(x = price, y = quantity_sold)) +
  geom_point(color = '#203147', alpha = 0.6) +
  geom_line(
    aes(y = a * exp(-b * (price / 10000))),
    color = '#01ef63',
    size = 1.2,
    linetype = "dashed"
  ) +
  labs(
    title = "Cars Sold",
    subtitle = "Demand Curve (Cars Sold)",
    x = "Price ($)",
    y = "Quantity Sold"
  ) +
  scale_x_continuous(labels = scales::dollar_format())  # Format x-axis as dollars

Curva de demanda com ruído. Imagem do autor

Aqui, fiz um gráfico da relação entre preço e quantidade vendida e usei pontos de dispersão para representar a variação natural, que pode ser causada por vários motivos diferentes. 

Lendo esse gráfico, vemos que, à medida que o preço aumenta, as vendas diminuem, e essa relação é mais sensível em algumas faixas de preço do que em outras. Mas, dependendo do que você estiver fazendo com os dados, esse insight geral pode não ser suficiente para informar uma decisão prática de negócios. Em minha experiência, os chefes geralmente querem ver um insight normativo que forneça uma resposta concreta a uma questão comercial mais urgente. Uma dessas perguntas é: Qual é o preço do carro que realmente maximiza a receita geral? 

Poderíamos começar tentando fazer algumas suposições apenas observando o gráfico. 

• Na extremidade inferior, vemos, seguindo a linha verde, que a quantidade vendida é 60, em que o valor x do preço é US$ 10.000. Isso se traduziria em US$ 600.000 em receita total .
• Na extremidade altavemos a linha verde atingir 10 ou mais, onde os valores de x são US$ 40.000, o que equivale a $400,000 em receita.
• Bem no meio, vemos a linha verde atingir 30, onde o preço é de US$ 25.000. Isso equivale a US$ 750.000.

Você deve estar começando a ter a sensação de que o preço que maximiza a receita geral está em algum lugar no meio. Conceitualmente, isso faz sentido: Esperamos que os preços superbaixos produzam um grande volume de vendas, mas uma receita relativamente pequena, enquanto os preços superaltos produziriam um número muito menor de vendas e uma receita ainda relativamente pequena. Mas, em algum ponto intermediário, deve haver um preço ideal que maximize a receita.

Agora, em vez de olhar para o gráfico, vamos aprender uma maneira melhor, mais eficiente e sólida de maximizar a receita geral. Podemos descobrir o preço ideal resolvendo um problema rudimentar de otimização. Primeiro criamos um modelo linear, depois dobramos esse modelo em uma parábola e encontramos o ponto mais alto.

Nossa primeira etapa aqui é linearizar a relação. Como construí tudo isso com uma função de decaimento exponencial, sei que ela será bem linearizada ao tomar o logaritmo da quantidade vendida. Para simplificar, vamos ignorar qualquer heterocedasticidade. 

# Create a linearized version of the data
demand_curve_data$log_quantity_sold <- log(demand_curve_data$quantity_sold)

# Plot the linearized relationship
ggplot(demand_curve_data, aes(x = price, y = log_quantity_sold)) +
  geom_point(color = '#203147', alpha = 0.6) +
  geom_smooth(method = "lm", color = '#01ef63', se = FALSE) +
  labs(
    title = "Cars Sold",
    subtitle = "Demand Curve (Log Quantity Sold)",
    x = "Price ($)",
    y = "Log of Quantity Sold"
  ) +
  scale_x_continuous(labels = scales::dollar_format())  # Format x-axis as dollars

Curva de demanda transformada. Imagem do autor

Agora, podemos criar uma nova variável chamada revenue, que é definida como price vezes log_quantity_sold. Como observação, criamos um objeto de modelo linear usando a função lm() porque queremos acessar os números associados aos coeficientes do modelo. 

Na próxima etapa, inserimos a equação do modelo linear em nossa fórmula. Se não tivéssemos tido uma transformação de toras:

• Isso significa que nossa equação: revenue = price * quantity_sold agora pode ser escrita como revenue = price * (b0 + b1 * price). 

• Depois, distribuiríamos os termos. Assim como distribuiríamos os termos em x(1-x) para formar ^x-x2, reescreveríamos nossa equação como revenue = b0 * Price + b1 * price2. 

Observe agora que teríamos revenue definido por uma equação que tem price como um termo ao quadrado. Essa é realmente a parte mais importante porque, ao representar graficamente price como um termo ao quadrado, criamos uma função de maximização.

No entanto, como temos uma transformação logarítmica, temos que fazer uma retrotransformação exponencial do modelo log-linear. Dê uma olhada:

• Isso significa que nossa equação: revenue = price * log_quantity_sold agora será escrita como revenue = price * eb0 + b1 * price. 

• Agora podemos fatorar essa equação em uma nova forma, se preferirmos: revenue=price * eb0​ * eb1​⋅price. Mas essa equação em particular não se distribui da mesma forma que uma equação linear ou polinomial porque a função exponencial não permite que os termos sejam separados ou distribuídos como os termos algébricos mais comuns, acima.

De qualquer forma, vamos continuar:

# Fit a linear model to the log-transformed quantity sold
model <- lm(log_quantity_sold ~ price, data = demand_curve_data)

# Create a revenue model based on the linear model coefficients
revenue_model_data <- demand_curve_data %>%
  mutate(
    revenue_model = price * exp(coef(model)[1] + coef(model)[2] * price)  # Modeled revenue
  )

# Plot the revenue model
ggplot(revenue_model_data, aes(x = price, y = revenue_model)) +
  geom_point(color = '#203147', alpha = 0.6) +  # Actual revenue points
  geom_line(color = '#01ef63', size = 1.2) +    # Revenue model line
  labs(
    title = "Car Sales",
    subtitle = "Revenue Model",
    x = "Price ($)",
    y = "Revenue ($)"
  ) +
  scale_y_continuous(labels = scales::dollar_format()) +  # Format y-axis as dollars
  theme_minimal() +  # Apply a minimal theme for aesthetics
  theme(
    text = element_text(family = "Arial", size = 12),
    plot.title = element_text(face = "bold", size = 16),
    plot.subtitle = element_text(size = 14)
  )

Modelo de receita criado a partir de uma curva de demanda. Imagem do autor.

É interessante notar que, embora o modelo original tenha usado log⁡_quantity_soldo gráfico que criamos está inteiramente nas escalas originais de price e revenue. A transformação logarítmica afeta apenas o modelo subjacente, e nossa transformação reversa envolvendo e coloca nosso gráfico na escala original para que ainda seja fácil de interpretar.

Encontrar onde a derivada é igual a zero

Agora, nosso último ponto-chave é o seguinte: O local no topo da parábola, onde a derivada é igual a zero, será o preço teórico que maximiza a receita.

Talvez você se lembre de que encontramos a derivada de uma equação como ^3x² + 2x multiplicando-a pelos expoentes para obter 6x + 2. Esse mesmo raciocínio se aplica, mas, novamente, lembre-se de que, neste exemplo, primeiro precisamos transformar nossos valores registrados antes de formar a função de receita. Ao traduzir de volta para a escala original antes de encontrar o máximo de receita, sabemos que estamos encontrando o preço que maximiza a receita real, e não alguma métrica transformada. Portanto, essa é a função de receita correta para você diferenciar: revenue = price * e(b0 + b1 * price).

Vamos resolver isso. Aqui, utilizo os coeficientes do modelo linear. Em seguida, defino uma função de receita. Por fim, calculo o preço ideal e aprendo sobre a receita total esperada associada.

# Model coefficients
b0 <- 4.596 # Intercept
b1 <- -4.974e-05 # Slope for price

# Define the revenue function
revenue <- function(P, b0, b1) {  
  P * exp(b0 + b1 * P)
}

# Calculate the optimal price (analytical solution from dR/dP = 0) - shortcut code here
(optimal_price <- -1 / b1)

# Calculate maximum revenue
(max_revenue <- revenue(optimal_price, b0, b1))

[1] 20104.54
[1] 732853.5

Agora, podemos representar graficamente o preço ideal e ver a receita associada a ele. O preço ideal é de US$ 20.104,54, o que resulta em uma receita total esperada de US$ 732.853,50, mais ou menos. Estou dizendo "mais ou menos" porque, se você verificar a matemática, estamos assumindo que 36,45 carros foram vendidos, mas não podemos vender metade de um carro.

ggplot(revenue_model_data, aes(x = price, y = revenue_model)) +
  geom_point() + geom_line(color = '#01ef63') +
  ggtitle("Car Sales") + labs(subtitle = "revenue model") +
  ylab("Revenue") +
  scale_y_continuous(labels = scales::dollar_format())  +
  geom_vline(xintercept = optimal_price, linetype = "dashed", color = '#203147') +
  geom_point(aes(x = optimal_price, y = max_revenue), color = '#203147', size = 3) 

Como Como encontrar o preço que maximiza a receita. Imagem do autor.

Em outro fluxo de trabalho, poderíamos até mesmo estender essas ideias para considerar o lucro em vez da receita. Não vou explicar tudo aqui, mas, para isso, você deve saber que podemos considerar profit = revenue - cost, onde cost é considerado como quantity * unit cost. Se o custo unitário for constante e a quantidade puder ser substituída por uma expressão como 1 - price, então teremos novamente uma parábola invertida.

Se você estiver interessado em saber mais sobre como o cálculo e os derivados aparecem no aprendizado de máquina, experimente nosso curso Introdução ao aprendizado profundo com PyTorch, que explora a descida de gradiente em detalhes no contexto do ajuste de hiperparâmetros. O contexto é diferente, mas você pode aplicar um raciocínio semelhante. A otimização, em suas diferentes formas, como você está vendo, é uma habilidade fundamental na ciência de dados, e a prática ajuda.

Curva de demanda vs. Curva de Laffer

Se você estudou economia, talvez reconheça essa parábola como algo semelhante à curva de Laffer, que é um conceito um tanto controverso que ilustra como as alíquotas de impostos influenciam a receita tributária do governo.

Embora eu considere que tanto a curva de Laffer quanto essa transformação na curva de demanda sejam problemas do tipo "maximizar vs. taxa", a curva de Laffer é específica para tributação: o eixo x representaria a taxa de imposto (0% a 100%) e o eixo y seria a receita tributária total arrecadada. Conceitualmente, a curva de Laffer também tem a forma de um U invertido porque, na extremidade alta, consideraríamos que, se a alíquota de imposto fosse muito alta, ela não geraria receita porque não haveria incentivo para que indivíduos ou empresas se envolvessem em atividades tributáveis. Os economistas podem discordar dessa parte do "incentivo".

A curva de Laffer em Ferris Bueller's Day Off. Fonte: YouTube

Usando uma curva de demanda para analisar preços no SQL

Agora que você já entendeu a ideia, quero compartilhar também um script SQL que fará o mesmo trabalho. Essa função executará uma regressão em quantity_sold versus price. Em seguida, ele permitirá que você encontre o preço ideal para maximizar a receita com base nos coeficientes de regressão e determine a receita máxima correspondente. 

Acredito que o script a seguir será particularmente útil na criação de painéis dinâmicos no Power BI ou no Tableau, pois você terá atualizações de dados em tempo real sem a necessidade de colocar nada off-line.

Você verá também que usei uma abordagem manual para encontrar os coeficientes de regressão usando funções agregadas do SQL, já que a maioria dos dialetos do SQL não tem funções de regressão especializadas que você possa usar. Talvez você se surpreenda ao saber que a regressão linear simples funciona bem no SQL porque os coeficientes do modelo para regressão linear simples podem ser expressos em termos de correlação, desvio padrão e valores médios entre x e y.

-- SQL script to perform linear regression on log(quantity_sold) vs price,
-- calculate the optimal price to maximize revenue, and determine the maximum revenue.
```SQL
WITH regression_data AS (
  SELECT
    COUNT(*) AS N,
    SUM(price) AS sum_x,
    SUM(LOG(quantity_sold)) AS sum_y,
    SUM(price * LOG(quantity_sold)) AS sum_xy,
    SUM(price * price) AS sum_x2,
    SUM(LOG(quantity_sold) * LOG(quantity_sold)) AS sum_y2
  FROM sales_data
),
regression_coefficients AS (
  SELECT
    N,
    sum_x,
    sum_y,
    sum_xy,
    sum_x2,
    sum_y2,
    (N * sum_xy - sum_x * sum_y) / (N * sum_x2 - sum_x * sum_x) AS slope,
    (sum_y - ((N * sum_xy - sum_x * sum_y) / (N * sum_x2 - sum_x * sum_x)) * sum_x) / N AS intercept
  FROM regression_data
),
optimal_price AS (
  SELECT
    slope,
    intercept,
    (-1 / slope) AS optimal_P
  FROM regression_coefficients
),
max_revenue AS (
  SELECT
    optimal_P,
    slope,
    intercept,
    optimal_P * EXP(intercept + slope * optimal_P) AS max_R
  FROM optimal_price
)
SELECT
  optimal_P AS Optimal_Price,
  max_R AS Maximum_Revenue
FROM max_revenue;

Optimal_Price | Maximum_Revenue
------------- | ----------------
20104.32      | 402082.58

Saiba que o script SQL fornecido pode precisar de ajustes, dependendo do dialeto SQL usado, pois a sintaxe pode variar. Além disso, para fins de solução de problemas, eu me certificaria de que a tabela de dados de vendas contenha valores válidos e positivos para price e quantity_sold, pois valores negativos ou zero podem levar a erros. 

Além disso, se você quiser incorporar uma transformação de log, como fizemos na seção R, poderá fazer isso, mas, dependendo do seu dialeto, a função de logaritmo natural poderá ter um nome diferente, LN ou LOG.  Por fim, eu diria que, para aprimorar sua proficiência em SQL como analista, você deve explorar a carreira de Analista de Dados Associado em SQL, para desenvolver um conjunto completo de ferramentas.

Há exceções notáveis em que o comportamento do consumidor pode desafiar o padrão da curva de demanda:

Produtos Giffen

Os produtos Giffen são um tipo raro de produto inferior para o qual a lei da demanda não se aplica. Quando o preço de um bem de Giffen aumenta, os consumidores podem, paradoxalmente, comprar mais em vez de menos. Isso ocorre porque o bem representa uma parte tão grande do orçamento do consumidor que, quando seu preço sobe, ele não pode mais comprar substitutos mais desejáveis e é forçado a comprar ainda mais do bem de Giffen. Um exemplo histórico clássico (embora debatido) é o aumento do preço do pão durante o século XIX em alguns lugares (Inglaterra, talvez), onde as pessoas acabaram consumindo mais pão porque não podiam comprar outros alimentos mais caros.

Mercadorias Veblen

Os produtos Veblen são produtos de luxo ou símbolos de status - como bolsas de grife, vinhos finos ou relógios de alta qualidade - cuja demanda aumenta com o aumento do preço. Parte de seu apelo vem da percepção de que um preço mais alto indica exclusividade ou status social mais elevado, tornando o bem mais desejável à medida que se torna mais caro. Você pode pensar nisso como "consumo conspícuo".

Outros casos especiais

• Bandwagon ou efeitos de rede: Alguns produtos se tornam mais valiosos para cada consumidor à medida que mais pessoas os utilizam (por exemplo, plataformas de mídia social, determinados ecossistemas de software). A demanda pode aumentar não apenas por causa do preço, mas também por causa da crescente popularidade do produto ou do tamanho da rede.
• Efeito esnobe: Alguns consumidores compram produtos exatamente porque poucas pessoas os têm. Nesses casos, preços mais baixos podem fazer com que o produto pareça "menos exclusivo", diminuindo o apelo.
• Ativos especulativos ou de investimento: Para ativos como determinadas criptomoedas ou commodities, se o mercado acreditar que os preços continuarão subindo, a demanda pode aumentar em resposta aos aumentos de preços, em vez de cair.

Em todos esses exemplos, a relação usual entre preço e quantidade se inverte ou se torna mais complexa devido a fatores psicológicos, culturais ou situacionais que substituem a suposição clássica de que os consumidores simplesmente querem "mais a preços mais baixos". 

Curva de demanda Termos comuns

Consideramos alguns termos diferentes neste artigo. Vamos criar uma tabela para ajudar você a manter tudo isso em ordem. 

Considerações finais

Cobrimos uma grande quantidade de terreno: Praticamos tudo, desde curvas de demanda e modelos de demanda, até transformações logarítmicas e exponenciais, técnicas de regressão quadrática e otimização. 

Continue aprendendo análise de negócios com o DataCamp. Considere a possibilidade de se inscrever em cursos como os que mencionei anteriormente: Forecasting Product Demand in R e Data-Driven Decision Making for Business, ambos ensinarão a você como usar dados para aprimorar suas decisões em negócios e finanças. Não há nada que substitua o fato de você ter algumas habilidades técnicas e conhecer as técnicas corretas. 

Além disso, continue praticando os principais aspectos da ciência de dados. Além dos cursos básicos de regressão(Introdução à Regressão com statsmodels em Python e Introdução à Regressão em R), aprenda Modelagem Não Linear com Modelos Aditivos Generalizados (GAMs) em R ou Fundamentos de Estatística em Python. Também recomendo que você faça nosso curso completo de Cientista de Aprendizado de Máquina em Python. Escolha aquilo em que você é mais fraco, para aprender mais.