La curva de la demanda: Cómo entender la relación entre precio y ventas

Utilizar una curva de demanda para analizar los precios en R

Vamos a crear y analizar una curva de demanda utilizando R. Para simular un conjunto de datos, he creado una curva de tipo decaimiento exponencial con ruido disperso a su alrededor. La idea es que cada punto de datos representa una semana de ventas de un concesionario de coches, en la que el concesionario ofrece diferentes ofertas especiales y prueba diferentes niveles de precios para el mismo tipo de coche, en un intento de aumentar las ventas.

# Load necessary library
library(tidyverse)

# Define parameters for the exponential decay
a <- 100  # Initial value
b <- 0.5  # Decay rate

# Define a realistic price range
price <- seq(10000, 40000, length.out = 200)  # Price from $10,000 to $40,000

# Calculate the exponential decay
y <- a * exp(-b * (price / 10000))  # Adjust decay rate to match price scaling

# Add mixed noise (additive + slight proportional)
set.seed(42)  # For reproducibility

additive_noise <- rnorm(length(y), mean = 0, sd = 1)  # Constant additive noise
proportional_noise <- rnorm(length(y), mean = 0, sd = 0.05 * y)  # Small proportional noise

y_noisy <- y + additive_noise + proportional_noise

# Ensure no negative values (optional, as sales can't be negative)
y_noisy[y_noisy < 0] <- 0.01

# Combine price and noisy y into a data frame
demand_curve_data <- data.frame(
  price = price,
  quantity_sold = y_noisy
)

# Clean and prepare the data
demand_curve_data <- demand_curve_data %>%
  mutate(quantity_sold = round(quantity_sold, 0)) %>%
  filter(quantity_sold != 0)

# Plot the noisy exponential decay
ggplot(demand_curve_data, aes(x = price, y = quantity_sold)) +
  geom_point(color = '#203147', alpha = 0.6) +
  geom_line(
    aes(y = a * exp(-b * (price / 10000))),
    color = '#01ef63',
    size = 1.2,
    linetype = "dashed"
  ) +
  labs(
    title = "Cars Sold",
    subtitle = "Demand Curve (Cars Sold)",
    x = "Price ($)",
    y = "Quantity Sold"
  ) +
  scale_x_continuous(labels = scales::dollar_format())  # Format x-axis as dollars

de demanda con ruido
Curva de demanda con ruido. Imagen del autor

Aquí he representado gráficamente una relación entre el precio y la cantidad vendida, y he utilizado puntos de dispersión para representar la variación natural, que podría deberse a muchas razones diferentes. 

Leyendo este gráfico, vemos que a medida que aumenta el precio, disminuyen las ventas, y esta relación es más sensible en unos rangos de precios que en otros. Pero, dependiendo de lo que hagas con los datos, esta visión general puede no ser suficiente para tomar una decisión empresarial práctica. Según mi experiencia, los jefes suelen querer ver una visión normativa que ofrezca una respuesta concreta a una cuestión empresarial más apremiante. Una de estas preguntas es: ¿Cuál es el precio del coche que realmente maximiza los ingresos totales? 

Podríamos empezar intentando hacer algunas conjeturas con sólo mirar el gráfico. 

• En el extremo inferior, vemos, siguiendo la línea verde, que la cantidad vendida es 60 cuando el valor x del precio es 10.000 $. Esto se traduciría en 600.000 $ de ingresos totales .
• En el extremo superiorvemos que la línea verde llega a 10 más o menos, donde los valores x son 40.000 $, lo que equivale a $400,000 de ingresos.
• Justo en el centro, vemos que la línea verde llega a 30, donde el precio es de 25.000 $. Esto equivale a 750.000 $.

Puede que ahora estés empezando a tener la sensación de que el precio que maximiza los ingresos totales está en algún punto intermedio. Conceptualmente, esto tiene sentido: Esperamos que los precios superbajos produzcan un gran volumen de ventas pero unos ingresos relativamente pequeños, mientras que los precios superaltos producirían muchas menos ventas y también unos ingresos relativamente pequeños. Pero en algún punto intermedio debe haber un precio óptimo que maximice los ingresos.

Ahora, en lugar de mirar el gráfico a ojo, aprendamos una forma mejor, más eficaz y sólida de maximizar los ingresos totales. Podemos averiguar el precio óptimo resolviendo un problema rudimentario de optimización. Primero creamos un modelo lineal, luego doblamos ese modelo en una parábola y encontramos el punto más alto.

Nuestro primer paso aquí es linealizar la relación. Como he construido todo esto con una función de decaimiento exponencial, sé que se linealizará bien tomando el logaritmo de la cantidad vendida. Para simplificar, ignoremos cualquier heteroscedasticidad. 

# Create a linearized version of the data
demand_curve_data$log_quantity_sold <- log(demand_curve_data$quantity_sold)

# Plot the linearized relationship
ggplot(demand_curve_data, aes(x = price, y = log_quantity_sold)) +
  geom_point(color = '#203147', alpha = 0.6) +
  geom_smooth(method = "lm", color = '#01ef63', se = FALSE) +
  labs(
    title = "Cars Sold",
    subtitle = "Demand Curve (Log Quantity Sold)",
    x = "Price ($)",
    y = "Log of Quantity Sold"
  ) +
  scale_x_continuous(labels = scales::dollar_format())  # Format x-axis as dollars

Curva de demanda transformada. Imagen del autor

Ahora, podemos crear una nueva variable llamada revenue que se define como price veces la log_quantity_sold. Como nota, creamos un objeto modelo lineal utilizando la función lm() porque queremos acceder a los números asociados a los coeficientes del modelo. 

Para nuestro siguiente paso, insertamos la ecuación de nuestro modelo lineal en nuestra fórmula. Si no hubiéramos tenido transformación logarítmica:

• Esto significaría que nuestra ecuación: revenue = price * quantity_sold puede escribirse ahora como revenue = price * (b0 + b1 * price). 

• Después, distribuiríamos los términos. Igual que distribuiríamos los términos en x(1-x) para hacer ^x-x2, reescribiríamos nuestra ecuación como, revenue = b0 * Price + b1 * price2. 

Observa ahora que tendríamos revenue definido por una ecuación que tiene price como término al cuadrado. Esta es realmente la parte clave porque, al graficar price como un término al cuadrado, hemos creado ahora una función maximizadora.

Sin embargo, como tenemos una transformación logarítmica, tenemos que hacer una retrotransformación exponencial del modelo logarítmico-lineal. Echa un vistazo:

• Esto significa que nuestra ecuación: revenue = price * log_quantity_sold se va a escribir ahora como revenue = price * eb0 + b1 * price. 

• Ahora podemos factorizar esta ecuación en una nueva forma, si lo preferimos: revenue=price * eb0​ * eb1​⋅price. Pero esta ecuación en concreto no se distribuye del mismo modo que una ecuación lineal o polinómica, porque la función exponencial no permite separar ni distribuir los términos como los términos algebraicos más estándar, más arriba.

En cualquier caso, continuemos:

# Fit a linear model to the log-transformed quantity sold
model <- lm(log_quantity_sold ~ price, data = demand_curve_data)

# Create a revenue model based on the linear model coefficients
revenue_model_data <- demand_curve_data %>%
  mutate(
    revenue_model = price * exp(coef(model)[1] + coef(model)[2] * price)  # Modeled revenue
  )

# Plot the revenue model
ggplot(revenue_model_data, aes(x = price, y = revenue_model)) +
  geom_point(color = '#203147', alpha = 0.6) +  # Actual revenue points
  geom_line(color = '#01ef63', size = 1.2) +    # Revenue model line
  labs(
    title = "Car Sales",
    subtitle = "Revenue Model",
    x = "Price ($)",
    y = "Revenue ($)"
  ) +
  scale_y_continuous(labels = scales::dollar_format()) +  # Format y-axis as dollars
  theme_minimal() +  # Apply a minimal theme for aesthetics
  theme(
    text = element_text(family = "Arial", size = 12),
    plot.title = element_text(face = "bold", size = 16),
    plot.subtitle = element_text(size = 14)
  )

Modelo de ingresos creado a partir de una curva de demanda. Imagen del autor.

Curiosamente, aunque el modelo original utilizaba log⁡_quantity_soldel gráfico que hemos creado está totalmente en las escalas originales de price y revenue. La transformación logarítmica sólo afecta al modelo subyacente, y nuestra retrotransformación con e pone nuestro gráfico en la escala original para que siga siendo fácil de interpretar.

Encontrar el punto en que la derivada es igual a cero

Ahora, nuestro último punto clave es éste: El lugar en la parte superior de la parábola, donde la derivada es igual a cero, va a ser el precio teórico que maximiza los ingresos.

Podemos recordar que hallamos la derivada de una ecuación como ^3x² + 2x multiplicando por los exponentes para obtener 6x + 2. Este mismo razonamiento es aplicable, pero, de nuevo, recuerda que, en este ejemplo, primero tenemos que retrotransformar nuestros valores registrados antes de formar la función de ingresos. Al volver a la escala original antes de encontrar el máximo de ingresos, sabemos que estamos encontrando el precio que maximiza los ingresos reales, no alguna métrica transformada. Así que esta es la función de ingresos correcta para diferenciar: revenue = price * e(b0 + b1 * price).

Vamos a solucionarlo. Aquí tomo los coeficientes del modelo lineal. A continuación, defino una función de ingresos. Por último, calculo el precio óptimo y conozco los ingresos totales esperados asociados.

# Model coefficients
b0 <- 4.596 # Intercept
b1 <- -4.974e-05 # Slope for price

# Define the revenue function
revenue <- function(P, b0, b1) {  
  P * exp(b0 + b1 * P)
}

# Calculate the optimal price (analytical solution from dR/dP = 0) - shortcut code here
(optimal_price <- -1 / b1)

# Calculate maximum revenue
(max_revenue <- revenue(optimal_price, b0, b1))

[1] 20104.54
[1] 732853.5

Ahora, podemos representar gráficamente el precio óptimo y ver sus ingresos asociados. El precio óptimo es de 20.104,54 $, lo que arroja unos ingresos totales esperados de 732.853,50 $, más o menos. Digo "más o menos" porque, si compruebas las matemáticas, partimos de la base de 36,45 coches vendidos, pero no podemos vender medio coche.

ggplot(revenue_model_data, aes(x = price, y = revenue_model)) +
  geom_point() + geom_line(color = '#01ef63') +
  ggtitle("Car Sales") + labs(subtitle = "revenue model") +
  ylab("Revenue") +
  scale_y_continuous(labels = scales::dollar_format())  +
  geom_vline(xintercept = optimal_price, linetype = "dashed", color = '#203147') +
  geom_point(aes(x = optimal_price, y = max_revenue), color = '#203147', size = 3) 

el precio que maximiza los ingresosEncontrar el precio que maximiza los ingresos. Imagen del autor.

En otro flujo de trabajo, podríamos incluso ampliar estas ideas para considerar los beneficios en lugar de los ingresos. No voy a elaborarlo todo aquí, pero para ello, debes saber que podríamos considerar profit = revenue - cost, donde cost se considera quantity * unit cost. Si el coste unitario es constante y la cantidad puede sustituirse por una expresión como 1 - price, volvemos a obtener una parábola invertida.

Si te interesa saber más sobre la función del cálculo y las derivadas en el aprendizaje automático, prueba nuestro curso Introducción al Aprendizaje Profundo con PyTorch, que explora en detalle el descenso de gradiente en el contexto del ajuste de hiperparámetros. El contexto es diferente, pero puedes aplicar algunas ideas similares. La optimización, en sus diferentes formas, como estás viendo, es una habilidad clave en la ciencia de datos, y la práctica ayuda.

Curva de demanda vs. Curva de Laffer

Si has estudiado economía, puede que reconozcas esta parábola como algo parecido a la curva de Laffer, que es un concepto algo controvertido que ilustra cómo influyen los tipos impositivos en los ingresos fiscales del gobierno.

Aunque yo consideraría que tanto la curva de Laffer como esta transformación en la curva de demanda son problemas del tipo "maximizar frente a tasa", la curva de Laffer es específica de la fiscalidad: el eje x representaría la tasa impositiva (0% a 100%), y el eje y sería el total de ingresos fiscales recaudados. Conceptualmente, la curva de Laffer también tiene forma de U inversa porque, en el extremo superior, consideraríamos que, si el tipo impositivo fuera demasiado alto, no produciría ingresos porque no habría incentivos para que los particulares o las empresas realizaran actividades imponibles. Los economistas pueden discrepar en la parte del "incentivo".

La curva de Laffer en Ferris Bueller's Day Off. Fuente: YouTube

Utilizar una curva de demanda para analizar los precios en SQL

Ahora que hemos repasado la idea, quiero compartir también un script SQL que hará el mismo trabajo. Esta función realizará una regresión de quantity_sold frente a price. A continuación, te permitirá encontrar el precio óptimo para maximizar los ingresos basándote en los coeficientes de regresión, y determinar los ingresos máximos correspondientes. 

Creo que el siguiente script será especialmente útil cuando crees cuadros de mando dinámicos en Power BI o Tableau, porque tendrás actualizaciones de datos en tiempo real sin necesidad de desconectar nada.

Verás también que utilicé un método manual para hallar los coeficientes de regresión utilizando funciones agregadas de SQL, ya que la mayoría de los dialectos de SQL no tienen funciones de regresión especializadas que puedas utilizar. Quizá te sorprenda saber que la regresión lineal simple funciona bien en SQL, porque los coeficientes del modelo de regresión lineal simple pueden expresarse en términos de correlación, desviación típica y valores medios entre x e y.

-- SQL script to perform linear regression on log(quantity_sold) vs price,
-- calculate the optimal price to maximize revenue, and determine the maximum revenue.
```SQL
WITH regression_data AS (
  SELECT
    COUNT(*) AS N,
    SUM(price) AS sum_x,
    SUM(LOG(quantity_sold)) AS sum_y,
    SUM(price * LOG(quantity_sold)) AS sum_xy,
    SUM(price * price) AS sum_x2,
    SUM(LOG(quantity_sold) * LOG(quantity_sold)) AS sum_y2
  FROM sales_data
),
regression_coefficients AS (
  SELECT
    N,
    sum_x,
    sum_y,
    sum_xy,
    sum_x2,
    sum_y2,
    (N * sum_xy - sum_x * sum_y) / (N * sum_x2 - sum_x * sum_x) AS slope,
    (sum_y - ((N * sum_xy - sum_x * sum_y) / (N * sum_x2 - sum_x * sum_x)) * sum_x) / N AS intercept
  FROM regression_data
),
optimal_price AS (
  SELECT
    slope,
    intercept,
    (-1 / slope) AS optimal_P
  FROM regression_coefficients
),
max_revenue AS (
  SELECT
    optimal_P,
    slope,
    intercept,
    optimal_P * EXP(intercept + slope * optimal_P) AS max_R
  FROM optimal_price
)
SELECT
  optimal_P AS Optimal_Price,
  max_R AS Maximum_Revenue
FROM max_revenue;

Optimal_Price | Maximum_Revenue
------------- | ----------------
20104.32      | 402082.58

Ten en cuenta que el script SQL proporcionado puede necesitar ajustes dependiendo del dialecto SQL utilizado, ya que la sintaxis puede variar. Además, a efectos de resolución de problemas, yo me aseguraría de que tu tabla de datos de ventas contiene valores válidos y positivos tanto para price como para quantity_sold, ya que los valores negativos o cero pueden dar lugar a errores. 

Además, si quisieras incorporar una transformación logarítmica, como hicimos en la sección de R, podrías hacerlo, pero, dependiendo de tu dialecto, la función logaritmo natural podría denominarse de otra forma, LN o LOG.  Por último, yo diría que, para mejorar tu competencia en SQL como analista, deberías explorar la trayectoria profesional de Analista de Datos Asociado en SQL, para que desarrolles un conjunto completo de herramientas.

Hay excepciones notables en las que el comportamiento del consumidor puede desafiar el patrón estándar de la curva de demanda:

Bienes Giffen

Los bienes Giffen son un tipo raro de bien inferior para el que no se cumple la ley de la demanda. Cuando sube el precio de un bien Giffen, paradójicamente los consumidores pueden comprar más en vez de menos. Esto ocurre porque el bien constituye una parte tan importante del presupuesto del consumidor que, cuando sube su precio, éste ya no puede permitirse sustitutos más deseables y se ve obligado a comprar aún más del bien Giffen. Un ejemplo histórico clásico (aunque discutido) es la subida del precio del pan durante el siglo XIX en algunos lugares (Inglaterra, quizá), donde la gente acabó consumiendo más pan porque no podía permitirse otros alimentos más caros.

Bienes Veblen

Los bienes Veblen son productos de lujo o símbolos de estatus -como los bolsos de diseño, los vinos finos o los relojes de alta gama- cuya demanda aumenta a medida que sube el precio. Parte de su atractivo procede de la percepción de que un precio más elevado indica exclusividad o un estatus social más alto, lo que hace que el bien sea más deseable a medida que se encarece. Podrías pensar en esto como "consumo conspicuo".

Otros casos especiales

• Bandwagon o efectos de red: Algunos bienes adquieren más valor para cada consumidor a medida que más personas los utilizan (por ejemplo, las plataformas de medios sociales, determinados ecosistemas de software). La demanda puede aumentar no sólo por el precio, sino por la creciente popularidad del bien o el tamaño de la red.
• Efecto esnob: Algunos consumidores compran bienes precisamente porque pocas personas los tienen. En estos casos, unos precios más bajos podrían hacer que el bien pareciera "menos exclusivo", disminuyendo su atractivo.
• Activos especulativos o de inversión: En el caso de activos como ciertas criptomonedas o materias primas, si el mercado cree que los precios seguirán subiendo, la demanda puede saltar en respuesta a las subidas de precios, en lugar de caer.

En todos estos ejemplos, la relación habitual precio-cantidad se invierte o se hace más compleja debido a factores psicológicos, culturales o situacionales que anulan la suposición clásica de que los consumidores simplemente quieren "más a precios más bajos". 

Curva de demanda Términos comunes

En este artículo hemos considerado algunos términos diferentes. Vamos a crear una tabla para ayudar a mantener todo esto claro. 

Reflexiones finales

Cubrimos mucho terreno: Practicamos desde curvas de demanda y modelos de demanda, hasta transformadas logarítmicas y exponenciales, pasando por técnicas de regresión cuadrática y optimización. 

Sigue aprendiendo análisis empresarial con DataCamp. Considera la posibilidad de matricularte en cursos como los que he mencionado antes: Previsión de la Demanda de Productos en R y Toma de Decisiones Basada en Datos para Empresas, que te enseñarán a utilizar los datos para mejorar tus decisiones en los negocios y las finanzas. No hay sustituto para tener ciertas habilidades técnicas y conocer las técnicas adecuadas. 

Además, sigue practicando las cosas fundamentales de la ciencia de datos. Además de los cursos básicos de regresión(Introducción a la regresión con statsmodels en Python e Introducción a la regresión en R) aprende Modelización no lineal con modelos aditivos generalizados (GAM) en R o Fundamentos de estadística en Python. También recomiendo emprender nuestra carrera completa de Científico de Aprendizaje Automático en Python. Elige aquello en lo que seas más débil, así aprenderás más.