Die Nachfragekurve: Wie du das Verhältnis zwischen Preis und Umsatz verstehst

Die Verwendung einer Nachfragekurve zur Analyse der Preise in R

Um einen Datensatz zu simulieren, habe ich eine exponentiell abfallende Kurve mit gestreutem Rauschen um sie herum erstellt. Die Idee dahinter ist, dass jeder Datenpunkt eine Verkaufswoche eines Autohauses darstellt, in der das Autohaus verschiedene Sonderangebote anbietet und verschiedene Preisniveaus für denselben Fahrzeugtyp ausprobiert, um den Umsatz zu steigern.

# Load necessary library
library(tidyverse)

# Define parameters for the exponential decay
a <- 100  # Initial value
b <- 0.5  # Decay rate

# Define a realistic price range
price <- seq(10000, 40000, length.out = 200)  # Price from $10,000 to $40,000

# Calculate the exponential decay
y <- a * exp(-b * (price / 10000))  # Adjust decay rate to match price scaling

# Add mixed noise (additive + slight proportional)
set.seed(42)  # For reproducibility

additive_noise <- rnorm(length(y), mean = 0, sd = 1)  # Constant additive noise
proportional_noise <- rnorm(length(y), mean = 0, sd = 0.05 * y)  # Small proportional noise

y_noisy <- y + additive_noise + proportional_noise

# Ensure no negative values (optional, as sales can't be negative)
y_noisy[y_noisy < 0] <- 0.01

# Combine price and noisy y into a data frame
demand_curve_data <- data.frame(
  price = price,
  quantity_sold = y_noisy
)

# Clean and prepare the data
demand_curve_data <- demand_curve_data %>%
  mutate(quantity_sold = round(quantity_sold, 0)) %>%
  filter(quantity_sold != 0)

# Plot the noisy exponential decay
ggplot(demand_curve_data, aes(x = price, y = quantity_sold)) +
  geom_point(color = '#203147', alpha = 0.6) +
  geom_line(
    aes(y = a * exp(-b * (price / 10000))),
    color = '#01ef63',
    size = 1.2,
    linetype = "dashed"
  ) +
  labs(
    title = "Cars Sold",
    subtitle = "Demand Curve (Cars Sold)",
    x = "Price ($)",
    y = "Quantity Sold"
  ) +
  scale_x_continuous(labels = scales::dollar_format())  # Format x-axis as dollars

Nachfragekurve mit Lärm. Bild vom Autor

Hier habe ich die Beziehung zwischen Preis und verkaufter Menge grafisch dargestellt und die Punkte im Streudiagramm verwendet, um die natürlichen Schwankungen darzustellen, die viele verschiedene Ursachen haben können. 

Aus dieser Grafik geht hervor, dass die Verkäufe mit steigendem Preis sinken, wobei diese Beziehung in einigen Preisklassen stärker ausgeprägt ist als in anderen. Aber je nachdem, was du mit den Daten machst, reichen diese allgemeinen Erkenntnisse vielleicht nicht aus, um eine praktische Geschäftsentscheidung zu treffen. Meiner Erfahrung nach wollen Chefs oft eine normative Erkenntnis sehen, die eine konkrete Antwort auf eine dringende Geschäftsfrage liefert. Eine solche Frage ist: Welches ist der Autopreis, der den Gesamtumsatz maximiert? 

Wir könnten zunächst versuchen, einige Vermutungen anzustellen, indem wir uns das Diagramm ansehen. 

• Auf der unteren Seite sehen wir anhand der grünen Linie, dass die verkaufte Menge 60 beträgt, wobei der x-Wert für den Preis 10.000 $ ist. Dies würde 600.000 $ an Gesamteinnahmen bedeuten.
• Am oberen Endesehen wir, dass die grüne Linie etwa bei 10 liegt, wo die x-Werte 40.000 $ betragen, was $400,000 an Einnahmen.
• Genau in der Mitte sehen wir, dass die grüne Linie die 30 erreicht, wo der Preis 25.000 $ beträgt. Das entspricht 750.000 $.

Vielleicht bekommst du jetzt langsam das Gefühl, dass der Preis, der den Gesamtertrag maximiert, irgendwo in der Mitte liegt. Vom Konzept her macht das Sinn: Wir gehen davon aus, dass super niedrige Preise zu hohen Verkaufszahlen, aber relativ geringen Einnahmen führen, während super hohe Preise zu viel weniger Verkäufen und ebenfalls relativ geringen Einnahmen führen würden. Aber irgendwo in der Mitte muss es einen optimalen Preis geben, der die Einnahmen maximiert.

Anstatt das Diagramm nur mit den Augen zu betrachten, sollten wir eine bessere, effizientere und solidere Methode lernen, um den Gesamtumsatz zu maximieren. Wir können den optimalen Preis herausfinden, indem wir ein rudimentäres Optimierungsproblem lösen. Wir erstellen zunächst ein lineares Modell, biegen dieses Modell dann zu einer Parabel und finden den höchsten Punkt.

Unser erster Schritt besteht darin, die Beziehung zu linearisieren. Da ich all dies mit einer exponentiellen Abklingfunktion konstruiert habe, weiß ich, dass es sich gut linearisieren lässt, indem ich den Logarithmus der verkauften Menge nehme. Der Einfachheit halber ignorieren wir jegliche Heteroskedastizität. 

# Create a linearized version of the data
demand_curve_data$log_quantity_sold <- log(demand_curve_data$quantity_sold)

# Plot the linearized relationship
ggplot(demand_curve_data, aes(x = price, y = log_quantity_sold)) +
  geom_point(color = '#203147', alpha = 0.6) +
  geom_smooth(method = "lm", color = '#01ef63', se = FALSE) +
  labs(
    title = "Cars Sold",
    subtitle = "Demand Curve (Log Quantity Sold)",
    x = "Price ($)",
    y = "Log of Quantity Sold"
  ) +
  scale_x_continuous(labels = scales::dollar_format())  # Format x-axis as dollars

Umgeformte Nachfragekurve. Bild vom Autor

Jetzt können wir eine neue Variable namens revenue erstellen, die als price mal log_quantity_sold definiert ist. Wir erstellen ein lineares Modellobjekt mit der Funktion lm(), weil wir Zugriff auf die Zahlen haben wollen, die mit den Modellkoeffizienten verbunden sind. 

Im nächsten Schritt setzen wir unsere lineare Modellgleichung in unsere Formel ein. Wenn wir keine Log-Transformation gehabt hätten:

• Das würde bedeuten, dass unsere Gleichung: revenue = price * quantity_sold nun als revenue = price * (b0 + b1 * price) geschrieben werden kann. 

• Dann würden wir die Begriffe verteilen. Genauso wie wir die Terme in x(1-x) verteilen würden, um ^x-x2 zu erhalten, würden wir unsere Gleichung umschreiben: revenue = b0 * Price + b1 * price2. 

Beachte, dass revenue durch eine Gleichung definiert ist, die price als quadratischen Term enthält. Das ist der entscheidende Teil, denn indem wir price als quadratischen Term grafisch darstellen, haben wir jetzt eine maximierende Funktion erstellt.

Da wir jedoch eine Log-Transformation haben, müssen wir eine exponentielle Rücktransformation des log-linearen Modells durchführen. Sieh es dir an:

• Das bedeutet, dass unsere Gleichung: revenue = price * log_quantity_sold jetzt als revenue = price * eb0 + b1 * price geschrieben wird. 

• Wir können diese Gleichung nun in eine neue Form bringen, wenn wir wollen: revenue=price * eb0​ * eb1​⋅price. Aber diese spezielle Gleichung verteilt sich nicht auf die gleiche Weise wie eine lineare oder polynomiale Gleichung, weil die Exponentialfunktion es nicht erlaubt, Terme zu trennen oder zu verteilen wie die normalen algebraischen Terme, siehe oben.

Lass uns auf jeden Fall weitermachen:

# Fit a linear model to the log-transformed quantity sold
model <- lm(log_quantity_sold ~ price, data = demand_curve_data)

# Create a revenue model based on the linear model coefficients
revenue_model_data <- demand_curve_data %>%
  mutate(
    revenue_model = price * exp(coef(model)[1] + coef(model)[2] * price)  # Modeled revenue
  )

# Plot the revenue model
ggplot(revenue_model_data, aes(x = price, y = revenue_model)) +
  geom_point(color = '#203147', alpha = 0.6) +  # Actual revenue points
  geom_line(color = '#01ef63', size = 1.2) +    # Revenue model line
  labs(
    title = "Car Sales",
    subtitle = "Revenue Model",
    x = "Price ($)",
    y = "Revenue ($)"
  ) +
  scale_y_continuous(labels = scales::dollar_format()) +  # Format y-axis as dollars
  theme_minimal() +  # Apply a minimal theme for aesthetics
  theme(
    text = element_text(family = "Arial", size = 12),
    plot.title = element_text(face = "bold", size = 16),
    plot.subtitle = element_text(size = 14)
  )

Einkommensmodell, das aus einer Nachfragekurve erstellt wird. Bild vom Autor.

Interessanterweise, auch wenn das ursprüngliche Modell log⁡_quantity_soldverwendet hat, ist die von uns erstellte Grafik vollständig auf den ursprünglichen Skalen von price und revenue. Die Log-Transformation wirkt sich nur auf das zugrundeliegende Modell aus, und unsere Rücktransformation mit e bringt unsere Grafik auf die ursprüngliche Skala, sodass sie immer noch leicht zu interpretieren ist.

Herausfinden, wo die Ableitung gleich Null ist

Unser letzter wichtiger Punkt ist dieser: Die Stelle an der Spitze der Parabel, an der die Ableitung gleich Null ist, ist der theoretische Preis, der die Einnahmen maximiert.

Wir erinnern uns vielleicht daran, dass wir die Ableitung einer Gleichung wie ^3x² + 2x finden, indem wir mit den Exponenten multiplizieren, um 6x + 2 zu erhalten. Die gleiche Argumentation gilt auch hier, aber denk daran, dass wir in diesem Beispiel zuerst unsere protokollierten Werte zurücktransformieren müssen, bevor wir die Umsatzfunktion bilden können. Indem wir vor der Ermittlung des Umsatzmaximums auf die ursprüngliche Skala zurückrechnen, wissen wir, dass wir den Preis finden, der den tatsächlichen Umsatz maximiert, und nicht irgendeine transformierte Metrik. Dies ist also die richtige Einnahmefunktion, die es zu unterscheiden gilt: revenue = price * e(b0 + b1 * price).

Lass es uns ausarbeiten. Hier nehme ich die Koeffizienten des linearen Modells. Dann definiere ich eine Ertragsfunktion. Schließlich berechne ich den optimalen Preis und erfahre den damit verbundenen erwarteten Gesamtertrag.

# Model coefficients
b0 <- 4.596 # Intercept
b1 <- -4.974e-05 # Slope for price

# Define the revenue function
revenue <- function(P, b0, b1) {  
  P * exp(b0 + b1 * P)
}

# Calculate the optimal price (analytical solution from dR/dP = 0) - shortcut code here
(optimal_price <- -1 / b1)

# Calculate maximum revenue
(max_revenue <- revenue(optimal_price, b0, b1))

[1] 20104.54
[1] 732853.5

Jetzt können wir den optimalen Preis grafisch darstellen und die damit verbundenen Einnahmen sehen. Der optimale Preis liegt bei 20.104,54 $, was zu erwarteten Gesamteinnahmen in Höhe von 732.853,50 $ führt, mehr oder weniger. Ich sage "mehr oder weniger", denn wenn du nachrechnest, gehen wir von 36,45 verkauften Autos aus, aber wir können kein halbes Auto verkaufen.

ggplot(revenue_model_data, aes(x = price, y = revenue_model)) +
  geom_point() + geom_line(color = '#01ef63') +
  ggtitle("Car Sales") + labs(subtitle = "revenue model") +
  ylab("Revenue") +
  scale_y_continuous(labels = scales::dollar_format())  +
  geom_vline(xintercept = optimal_price, linetype = "dashed", color = '#203147') +
  geom_point(aes(x = optimal_price, y = max_revenue), color = '#203147', size = 3) 

Den Preis finden, der den Umsatz maximiert. Bild vom Autor.

In einem anderen Arbeitsablauf könnten wir diese Ideen sogar erweitern, um den Gewinn statt der Einnahmen zu berücksichtigen. Ich werde hier nicht alles ausarbeiten, aber um das zu tun, musst du wissen, dass wir profit = revenue - cost in Betracht ziehen können, wobei cost als quantity * unit cost betrachtet wird. Wenn die Stückkosten konstant sind und die Menge durch einen Ausdruck wie 1 - price ersetzt werden kann, erhalten wir wieder eine auf dem Kopf stehende Parabel.

Wenn du mehr darüber erfahren möchtest, wie Kalküle und Ableitungen im maschinellen Lernen eingesetzt werden, solltest du unseren Kurs Einführung in das Deep Learning mit PyTorch besuchen, in dem der Gradientenabstieg im Zusammenhang mit der Abstimmung von Hyperparametern ausführlich behandelt wird. Der Kontext ist ein anderer, aber du kannst einige ähnliche Überlegungen anstellen. Wie du siehst, ist die Optimierung in ihren verschiedenen Formen eine Schlüsselqualifikation in der Datenwissenschaft, und Übung hilft.

Nachfragekurve vs. Laffer-Kurve

Wenn du Wirtschaftswissenschaften studiert hast, kennst du diese Parabel vielleicht als etwas Ähnliches wie die Laffer-Kurve, ein etwas umstrittenes Konzept, das veranschaulicht, wie Steuersätze das Steueraufkommen der Regierung beeinflussen.

Während ich sowohl die Laffer-Kurve als auch diese Transformation der Nachfragekurve als Probleme des Typs "Maximierung vs. Steuersatz" betrachten würde, ist die Laffer-Kurve spezifisch für die Besteuerung: Die x-Achse stellt den Steuersatz (0 % bis 100 %) dar, und die y-Achse ist das gesamte Steueraufkommen. Konzeptionell ist die Laffer-Kurve auch eine umgekehrte U-Form, denn am oberen Ende würden wir davon ausgehen, dass ein zu hoher Steuersatz keine Einnahmen bringen würde, weil es keinen Anreiz für Einzelpersonen oder Unternehmen gäbe, steuerpflichtige Aktivitäten zu unternehmen. Wirtschaftswissenschaftler sind sich vielleicht nicht einig, was den "Anreiz" angeht.

Die Laffer-Kurve in Ferris Bueller's Day Off. Quelle: YouTube

Verwendung einer Nachfragekurve zur Analyse von Preisen in SQL

Jetzt, wo wir die Idee durchgegangen sind, möchte ich auch ein SQL-Skript vorstellen, das die gleiche Arbeit erledigt. Mit dieser Funktion wird eine Regression von quantity_sold gegen price durchgeführt. Dann kannst du auf der Grundlage der Regressionskoeffizienten den optimalen Preis zur Maximierung des Umsatzes finden und den entsprechenden maximalen Umsatz ermitteln. 

Ich denke, dass das folgende Skript besonders nützlich ist, wenn du dynamische Dashboards in Power BI oder Tableau erstellst, weil du dann Daten in Echtzeit aktualisieren kannst, ohne dass du etwas offline nehmen musst.

Du wirst auch sehen, dass ich die Regressionskoeffizienten mithilfe von SQL-Aggregatfunktionen manuell ermittelt habe, da die meisten SQL-Dialekte keine speziellen Regressionsfunktionen haben, die du verwenden kannst. Es mag dich überraschen, dass die einfache lineare Regression in SQL gut funktioniert, weil die Modellkoeffizienten für die einfache lineare Regression als Korrelation, Standardabweichung und Mittelwert zwischen x und y ausgedrückt werden können.

-- SQL script to perform linear regression on log(quantity_sold) vs price,
-- calculate the optimal price to maximize revenue, and determine the maximum revenue.
```SQL
WITH regression_data AS (
  SELECT
    COUNT(*) AS N,
    SUM(price) AS sum_x,
    SUM(LOG(quantity_sold)) AS sum_y,
    SUM(price * LOG(quantity_sold)) AS sum_xy,
    SUM(price * price) AS sum_x2,
    SUM(LOG(quantity_sold) * LOG(quantity_sold)) AS sum_y2
  FROM sales_data
),
regression_coefficients AS (
  SELECT
    N,
    sum_x,
    sum_y,
    sum_xy,
    sum_x2,
    sum_y2,
    (N * sum_xy - sum_x * sum_y) / (N * sum_x2 - sum_x * sum_x) AS slope,
    (sum_y - ((N * sum_xy - sum_x * sum_y) / (N * sum_x2 - sum_x * sum_x)) * sum_x) / N AS intercept
  FROM regression_data
),
optimal_price AS (
  SELECT
    slope,
    intercept,
    (-1 / slope) AS optimal_P
  FROM regression_coefficients
),
max_revenue AS (
  SELECT
    optimal_P,
    slope,
    intercept,
    optimal_P * EXP(intercept + slope * optimal_P) AS max_R
  FROM optimal_price
)
SELECT
  optimal_P AS Optimal_Price,
  max_R AS Maximum_Revenue
FROM max_revenue;

Optimal_Price | Maximum_Revenue
------------- | ----------------
20104.32      | 402082.58

Bitte beachte, dass das bereitgestellte SQL-Skript je nach verwendetem SQL-Dialekt möglicherweise angepasst werden muss, da die Syntax variieren kann. Zur Fehlersuche würde ich außerdem sicherstellen, dass deine Tabelle mit den Verkaufsdaten sowohl für price als auch für quantity_sold gültige und positive Werte enthält, da negative oder Nullwerte zu Fehlern führen können. 

Wenn du eine Logarithmus-Transformation einbauen willst, wie wir es im R-Abschnitt getan haben, kannst du das auch tun, aber je nach deinem Dialekt könnte die Funktion des natürlichen Logarithmus anders heißen, entweder LN oder LOG.  Um deine SQL-Kenntnisse als Analyst zu verbessern, solltest du den Lernpfad zum Associate Data Analyst in SQL erkunden, damit du ein komplettes Instrumentarium entwickeln kannst.

Es gibt bemerkenswerte Ausnahmen, bei denen das Verbraucherverhalten dem Standardmuster der Nachfragekurve widersprechen kann:

Giffener Waren

Giffen-Güter sind eine seltene Art von minderwertigen Gütern, für die das Gesetz der Nachfrage nicht gilt. Wenn der Preis eines Giffengutes steigt, können die Verbraucher paradoxerweise eher mehr als weniger davon kaufen. Dies geschieht, weil das Gut einen so großen Teil des Budgets eines Verbrauchers ausmacht, dass er sich bei einer Preiserhöhung keine begehrenswerteren Ersatzprodukte mehr leisten kann und gezwungen ist, noch mehr von dem Giffen-Gut zu kaufen. Ein klassisches (wenn auch umstrittenes) historisches Beispiel ist der Anstieg der Brotpreise im 19. Jahrhundert in einigen Ländern (z. B. England), wo die Menschen schließlich mehr Brot konsumierten, weil sie sich andere, teurere Lebensmittel nicht leisten konnten.

Veblen-Güter

Veblen-Güter sind Luxusgüter oder Produkte mit Statussymbolen - wie Designer-Handtaschen, edle Weine oder hochwertige Uhren -, deren Nachfrage mit steigendem Preis zunimmt. Ein Teil ihrer Anziehungskraft rührt von der Vorstellung her, dass ein höherer Preis Exklusivität oder einen höheren sozialen Status signalisiert, wodurch die Ware umso begehrenswerter wird, je teurer sie ist. Du könntest dies als "auffälligen Konsum" bezeichnen.

Andere Sonderfälle

• Bandwagon oder Netzwerkeffekte: Manche Güter werden für jeden Verbraucher wertvoller, je mehr Menschen sie nutzen (z. B. Social-Media-Plattformen, bestimmte Software-Ökosysteme). Die Nachfrage kann nicht nur wegen des Preises steigen, sondern auch wegen der wachsenden Beliebtheit des Gutes oder der Größe des Netzes.
• Snob-Effekt: Manche Verbraucher kaufen Waren, weil nur wenige andere Menschen sie haben. In diesen Fällen könnten niedrigere Preise das Gut "weniger exklusiv" erscheinen lassen, was die Attraktivität verringert.
• Spekulations- oder Anlagevermögen: Wenn der Markt davon ausgeht, dass die Preise für bestimmte Kryptowährungen oder Rohstoffe weiter steigen werden, kann die Nachfrage als Reaktion auf den Preisanstieg ansteigen, anstatt zu fallen.

In all diesen Beispielen kehrt sich das übliche Preis-Mengen-Verhältnis um oder wird aufgrund psychologischer, kultureller oder situativer Faktoren komplexer, die die klassische Annahme, dass Verbraucher einfach "mehr zu niedrigeren Preisen" wollen, außer Kraft setzen. 

Nachfragekurve Allgemeine Begriffe

Wir haben uns in diesem Artikel mit ein paar verschiedenen Begriffen beschäftigt. Damit das alles übersichtlich bleibt, wollen wir eine Tabelle erstellen. 

Schlussgedanken

Wir haben viel erlebt: Wir haben alles geübt, von Nachfragekurven und Nachfragemodellen über Logarithmus- und Exponentialtransformationen bis hin zu quadratischen Regressionstechniken und Optimierung. 

Lerne mit dem DataCamp die Geschäftsanalyse weiter. Ziehe in Erwägung, Kurse wie die oben genannten zu besuchen: Forecasting Product Demand in R und Data-Driven Decision Making for Business, in denen du lernst, wie du Daten nutzen kannst, um deine Entscheidungen in Wirtschaft und Finanzen zu verbessern. Es gibt keinen Ersatz für technische Fähigkeiten und das Wissen um die richtigen Techniken. 

Übe auch weiterhin die grundlegenden Dinge der Datenwissenschaft. Zusätzlich zu den Kernkursen zur Regression(Einführung in die Regression mit statsmodels in Python und Einführung in die Regression in R) lernst du Nichtlineare Modellierung mit verallgemeinerten additiven Modellen (GAMs) in R oder Grundlagen der Statistik in Python. Ich empfehle dir auch unseren Lernpfad für Machine Learning Scientist in Python. Wähle die Sache, in der du am schwächsten bist, damit du am meisten lernst.