Écart-type d’échantillon : les points essentiels

L’écart-type d’échantillon est une mesure statistique qui quantifie la dispersion au sein d’un jeu de données. Concrètement, il indique dans quelle mesure chaque valeur d’un échantillon s’écarte de la moyenne de cet échantillon.

L’écart-type d’échantillon est essentiel en statistique inférentielle lorsque vous souhaitez tirer des conclusions sur une population donnée, ou, pour reprendre les termes des statisticiens, faire des inférences d’un échantillon vers une population. Pour bien cerner ces notions, nous vous recommandons les cours DataCamp Introduction to Statistics et Basic Statistics pour vous familiariser avec les concepts clés. Enfin, si vous souhaitez aller plus loin et développer une carrière en statistiques, consultez le guide de DataCamp : How to Become a Statistician.

Qu’est-ce que l’écart-type d’échantillon ?

L’écart-type d’échantillon est une mesure statistique qui quantifie la variation ou la dispersion d’un jeu de données. Il se calcule comme la racine carrée de la variance d’échantillon, la variance d’échantillon étant la somme des carrés des écarts à la moyenne, divisée par la taille de l’échantillon moins un. On utilise l’écart-type d’échantillon pour évaluer à quel point les valeurs d’un échantillon diffèrent de la moyenne de cet échantillon.

Comment calculer l’écart-type d’échantillon

On applique une formule précise pour calculer l’écart-type d’échantillon.

Formule de l’écart-type d’échantillon

Voici la formule de l’écart-type d’échantillon :

Formule de l’écart-type d’échantillon. Image par l’auteur.

Où :

• s = écart-type d’échantillon
• n = nombre d’observations dans l’échantillon
• x = valeur individuelle
• x̄ = moyenne de l’échantillon
• n−1 = facteur de correction pour les données d’échantillon

Notez que pour l’écart-type d’échantillon, on utilise n−1 au dénominateur afin de corriger le biais d’échantillonnage. Il s’agit de la correction de Bessel. Si l’on s’intéresse à l’écart-type de population, on utilise alors n au dénominateur.

Comment calculer l’écart-type d’échantillon à la main

Passons un exemple pas à pas pour voir comment appliquer la formule. Supposons un sous-ensemble de données avec les valeurs suivantes :

Procédez comme suit :

Étape 1 : calculer la moyenne de l’échantillon

Calculez la moyenne des valeurs.

Étape 2 : calculer les écarts au carré par rapport à la moyenne

Soustrayez la moyenne pour chaque valeur puis élevez le résultat au carré.

Étape 3 : sommer les écarts quadratiques

Additionnez les écarts au carré par rapport à la moyenne.

Étape 4 : injecter les variables calculées dans la formule

Remplacez dans la formule pour obtenir l’écart-type d’échantillon.

D’après ce calcul, l’écart-type des données est d’environ 2,28. Si calculer l’écart-type d’échantillon à la main n’est ni pratique ni utile et que vous préférez utiliser un outil comme Excel, consultez notre tutoriel How to Calculate Standard Deviation in Excel.

Pourquoi utiliser l’écart-type d’échantillon ?

L’écart-type d’échantillon est la mesure de variabilité à privilégier lorsqu’il faut estimer l’écart-type de population à partir d’un échantillon. La correction de Bessel (n−1) dans la formule atténue le biais et améliore la précision de l’estimation, car l’échantillon ne représente pas toujours parfaitement la population. Réduire le dénominateur augmente la variance et l’écart-type calculés, ce qui compense la tendance des petits échantillons à sous-estimer la variabilité.

Pourquoi c’est important

L’écart-type d’échantillon est clé pour estimer des paramètres de population. Voyons quelques cas d’usage.

Calcul des intervalles de confiance 

Les intervalles de confiance peuvent être calculés à partir de l’écart-type d’échantillon ou de population, selon ce qui est disponible. Si l’écart-type de population est inconnu, on utilise l’écart-type d’échantillon et on applique une loi de Student pour estimer la plage de valeurs susceptible de contenir la moyenne de population. Un écart-type plus faible, qu’il provienne de l’échantillon ou de la population, conduit à un intervalle de confiance plus étroit, signe d’une estimation plus précise.

Tests d’hypothèses 

Dans les tests d’hypothèses, on utilise soit l’écart-type d’échantillon soit celui de population, selon l’information disponible. Si l’écart-type de population est inconnu, on applique l’écart-type d’échantillon et, en général, la loi de Student pour évaluer la statistique de test. Lorsque l’écart-type de population est connu, on utilise plutôt la loi normale (z), qui offre davantage de précision. Un écart-type plus faible, qu’il provienne de l’échantillon ou de la population, rend le test plus sensible et facilite la détection de différences significatives.

Écart-type d’échantillon et notions associées

Passons en revue quelques notions liées à l’écart-type d’échantillon. Les confondre mène à des erreurs fréquentes.

Écart-type vs variance

L’écart-type d’échantillon et la variance mesurent tous deux la variabilité d’un jeu de données, mais de manière différente. La variance mesure la moyenne des carrés des écarts à la moyenne et s’exprime donc en unités au carré. L’écart-type est la racine carrée de la variance et s’exprime dans les mêmes unités que les données.

Écart-type d’échantillon vs écart-type de population

Examinons deux scénarios pour bien distinguer écart-type d’échantillon et écart-type de population.

Travailler sur un échantillon

On utilise l’écart-type d’échantillon lorsqu’on travaille sur un sous-ensemble d’une grande population. Par exemple, vous menez une enquête de satisfaction pour une enseigne de distribution et recueillez les réponses d’environ 200 clients afin d’inférer le niveau de satisfaction de l’ensemble de la clientèle. Dans ce cas, vous utiliserez l’écart-type d’échantillon pour vos inférences, puisque vous travaillez sur un sous-ensemble.

Travailler sur la population entière

L’écart-type de population est adapté lorsque vous disposez de l’intégralité des données pour toute la population. Il n’est alors pas nécessaire de corriger le biais, chaque valeur étant connue. Par exemple, vous êtes au service RH d’une entreprise de 50 personnes et souhaitez mesurer la variabilité des salaires. Vous utiliserez l’écart-type de population, puisque vous connaissez le salaire de chaque employé.

Écart-type d’échantillon en Python et en R

En R, la fonction sd() calcule par défaut l’écart-type d’échantillon avec n−1 au dénominateur.

# Sample standard deviation
data <- c(10, 12, 15, 18, 20)
sample_sd <- sd(data)
print(round(sample_sd, 2))

4.12

En revanche, des bibliothèques Python comme NumPy et Pandas supposent l’écart-type de population sauf indication contraire. Par exemple, numpy.std() utilise par défaut n au dénominateur et traite les données comme une population.

# Import numpy library
import numpy as np
data = [10, 12, 15, 18, 20]
population_sd = np.std(data)  # Population standard deviation
print(round(population_sd, 2))

3.69

Si vous souhaitez l’écart-type d’échantillon, passez l’argument ddof=1 pour ajuster les degrés de liberté.

sample_sd = np.std(data, ddof=1)  # Sample standard deviation
print(round(sample_sd, 2))

4.12

Si vous travaillez la statistique dans un environnement de programmation, nous vous recommandons le parcours de compétences Statistical Inference with R ou le cours Foundations of Inference in Python pour développer un socle de compétences solide.

Conclusion

L’écart-type d’échantillon est une mesure statistique essentielle pour quantifier la variation et réaliser des inférences. Pour approfondir vos connaissances en statistiques et en analyse de données, découvrez les parcours carrière DataCamp Data Analyst with R et Data Analyst with Python, qui couvrent des compétences complètes et directement applicables en entreprise. Notre cours Data Analysis in Excel est également adapté si vous visez un rôle d’analyste métier pour des décisions basées sur les données.