Regola di Cramer: un metodo diretto per risolvere sistemi lineari

La regola di Cramer fornisce una formula diretta per risolvere sistemi di equazioni lineari usando i determinanti. Anche se i metodi computazionali moderni sono spesso più efficienti della regola di Cramer per sistemi di grandi dimensioni, comprenderla aiuta a cogliere il legame tra sistemi lineari, determinanti e teoria delle matrici nell’algebra lineare. 

Questo articolo introduce la regola di Cramer, la formula, i fondamenti matematici e l’interpretazione geometrica. Mostriamo anche come applicarla tramite vari esempi, i suoi limiti, le alternative e quando è più efficace nei contesti di data science.

Che cos’è la regola di Cramer?

La regola di Cramer afferma che ogni variabile del sistema può essere trovata come rapporto tra due determinanti: il determinante di una matrice dei coefficienti modificata e il determinante della matrice dei coefficienti originale.

Questa matrice modificata si ottiene sostituendo una colonna di coefficienti con le costanti presenti a destra delle equazioni.

Per capire le condizioni del teorema, considera un sistema di equazioni lineari rappresentato in forma matriciale come Ax = b, dove:

• A è la matrice dei coefficienti
• x è il vettore delle incognite
• b è il vettore delle costanti

La regola di Cramer si applica solo quando A è quadrata (stesso numero di equazioni e incognite) e ha determinante non nullo, condizione che garantisce l’esistenza di un’unica soluzione.

Fondamenti matematici e formule

Per un sistema generale n×n, la regola di Cramer afferma che la i-esima componente del vettore soluzione è:

Formula della regola di Cramer. (Immagine e tutte le immagini sotto a cura dell’autore)

Dove:

• x_i è la i-esima variabile che stiamo cercando
• det(A_i) è il determinante della matrice A con la i-esima colonna sostituita dal vettore b
• det(A) è il determinante della matrice dei coefficienti originale

Per capire meglio, consideriamo un sistema 2×2:

La matrice dei coefficienti A e il vettore delle costanti b sono:

Secondo la regola di Cramer:

Dove A₁ è A con la prima colonna sostituita da b:

E A₂ è A con la seconda colonna sostituita da b:

Il determinante di una matrice 2×2 si calcola come:

Una volta compreso lo schema della soluzione qui sopra, possiamo applicarlo a qualsiasi sistema compatibile direttamente, senza risolvere il sistema per sostituzione o confronto. Estenderemo inoltre la regola a un sistema 3x3 in uno degli esempi successivi.

Interpretazione geometrica della regola di Cramer

Oltre a essere una formula diretta per risolvere sistemi lineari, la regola di Cramer ha anche un’interessante interpretazione geometrica.

Aree dei parallelogrammi in 2D

Pensa alle colonne della matrice A come a vettori nel piano. Questi vettori formano un parallelogramma e il determinante di A rappresenta l’area con segno di quel parallelogramma.

Quando sostituiamo una colonna con il vettore b, otteniamo un nuovo parallelogramma. Il determinante di questa nuova matrice, det(Ai), rappresenta l’area della figura modificata in cui uno dei vettori direzionali originali è stato sostituito da b.

Dunque:

Ogni variabile xi ci dice quanta parte di b si colloca nella direzione dell’i-esimo vettore colonna di A, scalata per l’area complessiva generata dalle colonne di A.

Volumi dei parallelepipedi in 3D

La stessa logica si estende al 3D. Qui, il determinante di A rappresenta il volume del parallelepipedo formato dai tre vettori colonna di A.

• Sostituire una colonna con b genera un nuovo parallelepipedo.
• Il rapporto det(A_i)/det(A) fornisce il contributo di volume relativo di quella colonna alla forma complessiva.

Sia in 2D che in 3D, la regola di Cramer misura quanto b “riempie” il volume definito dalle colonne di A.

Guida passo passo all’applicazione della regola di Cramer

Vediamo due esempi per mostrare come la regola di Cramer si applica a sistemi di dimensioni diverse.

Risoluzione di un sistema 2x2

Considera questo sistema di due equazioni lineari:

Passo 1: Identifica la matrice dei coefficienti e il vettore delle costanti

Possiamo scrivere il sistema come matrice dei coefficienti A e vettore delle costanti b come segue:

Passo 2: Calcola il determinante della matrice dei coefficienti

Il determinante di A sarà:

det(A) = (3)(-1) - (2)(2)
det(A) = -3 - 4
det(A) = -7Offerto da

Poiché det(A) = -7 ≠ 0, il sistema ha un’unica soluzione e possiamo applicare la regola di Cramer.

Passo 3: Crea le matrici modificate e calcolane i determinanti

Per x, sostituisci la prima colonna di A con b:

Ora calcoliamo il determinante di A₁:

det(A₁) = (13)(-1) - (2)(4)
det(A₁) = -13 - 8
det(A₁) = -21Offerto da

Per y, sostituisci la seconda colonna di A con b:

Ora calcoliamo il determinante di A₂:

det(A₂) = (3)(4) - (13)(2)
det(A₂) = 12 - 26
det(A₂) = -14Offerto da

Passo 4: Applica le formule della regola di Cramer

Possiamo calcolare i valori tramite la formula:

x = det(A₁) / det(A) = -21 / -7 = 3
y = det(A₂) / det(A) = -14 / -7 = 2Offerto da

Infine, possiamo verificare i risultati sostituendo i valori nell’equazione:

• Prima equazione: 3(3) + 2(2) = 9 + 4 = 13 
• Seconda equazione: 2(3) — 1(2) = 6–2 = 4 

Abbiamo così risolto il sistema lineare 2x2 usando la regola di Cramer.

Risoluzione di un sistema 3x3

Estendiamo ora a un sistema 3x3 più complesso:

Ripeteremo gli stessi passaggi visti sopra per questo esempio.

Passo 1: Identifica la matrice dei coefficienti e il vettore delle costanti

Dal sistema lineare, possiamo scrivere la matrice dei coefficienti A e il vettore delle costanti b come segue:

Passo 2: Calcola il determinante della matrice dei coefficienti

Usando lo sviluppo lungo la prima riga:

det(A) =       2|2  1| - 1 |1  1| + 1 |1  2|
        		 |1  2|     |1  2|       |1  1|Offerto da

Calcolando ciascun determinante 2×2:

|2  1| = (2)(2) - (1)(1) = 4 - 1 = 3
|1  2|

|1  1| = (1)(2) - (1)(1) = 2 - 1 = 1
|1  2|

|1  2| = (1)(1) - (2)(1) = 1 - 2 = -1
|1  1|Offerto da

Pertanto, il determinante di A è:

det(A) = 2(3) - 1(1) + 1(-1)
det(A) = 6 - 1 - 1
det(A) = 4Offerto da

Poiché det(A) = 4 ≠ 0, il sistema ha un’unica soluzione e possiamo applicare la regola di Cramer.

Passo 3: Crea le matrici modificate e calcolane i determinanti

Per x, sostituisci la prima colonna di A con b:

Possiamo sviluppare lungo la prima riga:

det(A₁) = 7|2  1| - 1|8  1| + 1|8  2|
   	        |1  2|     |9  2|      |9  1|Offerto da

Calcolando il determinante di A₁:

det(A₁) = 7(3) - 1(16 - 9) + 1(8 - 18)
det(A₁) = 21 - 1(7) + 1(-10)
det(A₁) = 21 - 7 - 10
det(A₁) = 4Offerto da

Per y, sostituisci la seconda colonna di A con b:

Possiamo calcolare il determinante di A₂ come segue:

det(A₂) = 2|8  1| - 7|1  1| + 1|1  8|
                     |9  2|     |1  2|    |1  9|

det(A₂) = 2(16 - 9) - 7(2 - 1) + 1(9 - 8)
det(A₂) = 2(7) - 7(1) + 1(1)
det(A₂) = 14 - 7 + 1
det(A₂) = 8Offerto da

Per z, sostituisci la terza colonna di A con b:

Possiamo calcolare il determinante di A₃ come segue:

det(A₃) = 2|2  8| - 1|1  8| + 7|1  2|
                     |1  9|      |1  9|       |1  1|

det(A₃) = 2(18 - 8) - 1(9 - 8) + 7(1 - 2)
det(A₃) = 2(10) - 1(1) + 7(-1)
det(A₃) = 20 - 1 - 7
det(A₃) = 12Offerto da

Passo 4: Applica le formule della regola di Cramer

Dato che abbiamo calcolato tutti i valori necessari, possiamo ottenere direttamente x, y e z tramite la formula:

x = det(A₁) / det(A) = 4 / 4 = 1
y = det(A₂) / det(A) = 8 / 4 = 2
z = det(A₃) / det(A) = 12 / 4 = 3Offerto da

Infine, possiamo verificare i risultati sostituendo i valori nell’equazione:

• Prima equazione: 2(1) + 1(2) + 1(3) = 2 + 2 + 3 = 7 
• Seconda equazione: 1(1) + 2(2) + 1(3) = 1 + 4 + 3 = 8 
• Terza equazione: 1(1) + 1(2) + 2(3) = 1 + 2 + 6 = 9 

Nota come il procedimento resti coerente: sostituiamo le colonne con il vettore delle costanti e calcoliamo i determinanti. Il caso 3×3 richiede più calcoli, ma il metodo di base è identico al 2×2.

Limitazioni, alternative e quando usare la regola di Cramer

Come tutti gli algoritmi, anche la regola di Cramer presenta alcune limitazioni. Vediamole:

Complessità computazionale

Per un sistema n×n, la regola di Cramer richiede di calcolare (n+1) determinanti. Poiché il calcolo di un determinante tramite sviluppo per cofattori ha complessità O(n!), la complessità complessiva diventa proibitiva per sistemi di grandi dimensioni. 

Anche con algoritmi più efficienti per il determinante, il metodo resta poco pratico oltre i sistemi piccoli.

Problemi di stabilità numerica

La regola di Cramer può soffrire di instabilità numerica quando i determinanti sono prossimi allo zero. 

Piccoli errori di arrotondamento nel calcolo di det(A) possono portare a grandi errori nella soluzione quando si divide per un valore quasi nullo. Ciò rende il metodo inaffidabile per sistemi mal condizionati, comuni nei dati reali.

Alternative alla regola di Cramer

A causa della principale limitazione di complessità computazionale, spesso si ricorre a una delle seguenti alternative:

• Eliminazione di Gauss con pivotamento parziale trasforma il sistema in forma a scala per righe con complessità O(n³), risultando molto più efficiente della regola di Cramer per sistemi più grandi di 3×3.
• La decomposizione LU fattorizza la matrice dei coefficienti in matrici triangolari inferiore e superiore, permettendo di risolvere in modo efficiente più sistemi con la stessa matrice dei coefficienti.
• La decomposizione QR offre migliore stabilità numerica per sistemi mal condizionati decomponendo la matrice in componenti ortogonale e triangolare superiore.

Quando usare la regola di Cramer

Nonostante questi limiti, la regola di Cramer è utile in contesti specifici come:

• Analisi teorica e dimostrazioni in algebra lineare
• Calcolo simbolico, quando servono soluzioni algebriche esatte
• Sistemi di piccole dimensioni (2×2 o 3×3) in cui le formule esplicite sono gestibili
• Contesti educativi per comprendere il legame tra determinanti e sistemi lineari
• Derivazione di soluzioni in forma chiusa in lavori analitici

Tuttavia, vale la pena notare che, nella pratica della data science, la regola di Cramer serve più come strumento concettuale e teorico per comprendere i sistemi lineari che come metodo computazionale.

Conclusione

La regola di Cramer è un approccio diretto e basato su formule per risolvere sistemi di equazioni lineari tramite determinanti. Abbiamo visto come questo metodo calcola il valore di ogni variabile, lavorato su esempi 2×2 e 3×3 e compreso la sua interpretazione geometrica. Infine, abbiamo anche esaminato le limitazioni, le alternative e quando usare la regola di Cramer.

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