Python ile Poker Elleri Analizi

Bu eğitimin ilk bölümünde Bağımsız ve Bağımlı olaylar, Permütasyonlar ve Kombinasyonlar, Çoklu olaylar, Beklenen Değer ve bunların her birinin nasıl hesaplanacağı gibi çeşitli kavramları öğrendiniz. Şimdi bu kavramları kariyerim boyunca oynadığım gerçek poker ellerine uygulayacaksınız. Bu süreçte, Beklenen Değer kavramını çok daha iyi anlayacak ve en iyi kararları almak için nasıl kullanacağınızı öğreneceksiniz.

• Önce, bu eğitimi tamamlamak için ihtiyaç duyacağınız alan bilgisini edinmeniz amacıyla Kısıtsız Limit Texas Hold’em’e kısa bir giriş yapacaksınız;
• Ardından, poker eldeki örnek olay çalışmalarında kullanılacak bazı araçlarla tanışacaksınız.
• Bu iki giriş bölümünü tamamladıktan sonra, ilk eğitimde gördüğünüz bir kavrama daha yakından bakacaksınız: Beklenen Değer.
• Son olarak şu poker ellerini inceleyeceksiniz: Pre-Flop Artışına Karşı Çift 10, Pre-Flop Artışına Karşı Çift 8 ve Flop’ta Check-Raise Yarı Blöf.

Kısıtsız Limit Texas Hold’em’e Giriş

Başlamadan önce biraz arka plan bilgisi gerekli. Bu yazının örnek olay çalışmalarında ele alınacak oyun Kısıtsız Limit Texas Hold’em. Standart 52 kartlık bir desteyle oynanan Texas Hold’em, tüm poker varyasyonlarının en popüleridir. Her oyuncu, kendisine dağıtılan iki kartı elde farklı aşamalarda açılan beş ortak kartla birleştirerek mümkün olan en iyi beş kartlık eli yapmaya çalışır.

Dağıtıcı düğmesinin solundaki oyuncu oyunu başlatır ve oyun saat yönünde masada döner. Genellikle, dağıtıcı düğmesinin solundaki oyuncunun küçük kör bahsi (small blind) ve bir sonraki oyuncunun büyük kör bahsi (big blind) koymasıyla bahis başlar. Bahis birden fazla aşamada gerçekleşir: preflop, flop, turn ve river.

Bilmeniz gereken bazı terimler şunlardır:

• Button - Button, her elden sonra saat yönünde masada dolaşan yuvarlak bir işarettir. Ev oyununda, Button’a sahip kişi dağıtımı yapar ve ilk kartı solundaki oyuncuya verir. Casinoda Button, kimin dağıtıcı olması gerektiğini belirtir, ancak gerçek dağıtıcı casino tarafından sağlanır.
• Blinds - Blinds, Button’ın solundaki iki oyuncunun zorunlu bahisleridir. “Blinds” denir çünkü bu iki oyuncu kartlarını görmeden önce bahis yapmak zorundadır.
• Streets - Kartların dağıtıldığı her tura “street” denir.
• Pre-Flop - İlk bahis turudur. Her oyuncuya iki kart dağıtılır ve bahis körlerden başlar. Henüz ortak kart yoktur.
• Flop - İkinci bahis turudur. Masanın ortasına açık şekilde üç ortak kart açılır ve ardından bir bahis turu gelir.
• Turn - Bu turda yalnızca bir ortak kart açılır ve üçüncü bahis turu yapılır.
• River - Son ortak kart açılır ve son bahis turu yapılır.
• Showdown - River dağıtıldıktan ve tüm bahis eylemi tamamlandıktan sonra, elde kalan oyuncular en iyi ele kimin sahip olduğunu görmek için kartlarını gösterir.
• Check - Eğer sıra bir oyuncudaysa ve o bahis turunda daha önce hiç bahis yapılmadıysa, oyuncu “Check” yapabilir; yani bahis yapmamayı seçip sırayı bir sonraki oyuncuya bırakır.
• Bet veya Raise - Bet veya Raise, bir bahis turu sırasında bahsin miktarını artırmak demektir. Her turda ilk parayı ortaya koyan oyuncu Bet yapmış olur. Başka bir oyuncu bu bahsi artırırsa Raise yapmış olur.
• Call - Sıra bir oyuncudaysa ve o turda halihazırda bir bahis yapılmışsa, oyuncu önceki bahsi eşitleyebilir; buna Call denir.
• Fold - Sıra bir oyuncudaysa ve o turda bir bahis yapılmışsa, oyuncu elinden vazgeçip Fold edebilir. Bu oyuncu artık elde değildir ve ortaya koyduğu parayı kaybeder.

Hiç oynamadıysanız ya da poker terminolojisine aşina değilseniz, kısa ama ayrıntılı bir açıklama için buraya tıklayın.

Poker Olasılık Araçları

Oynarken kafamı karıştıran bir durumla karşılaştığım her seferde, eli daha sonra incelemek üzere işaretlerdim. Poker seansım bittikten sonra, incelemek için işaretlediğim elleri geri dönüp incelerdim. Gelecekte benzer durumlarda ne yapmam gerektiğine dair daha iyi bir fikir edinmek için onları matematiksel olarak parçalara ayırırdım.

Bu eğitimde kullanılan eller, Birinci Bölüm’de bahsi geçen Hold’em Manager tarafından indirildi ve bir PostgreSQL veritabanında saklandı. Hold’em Manager, oynadığınız her rakip için bu el geçmişlerinden istatistikleri hesaplar. Veriler, oynarken gerçek zamanlı olarak güncellenir ve görüntülenir.

Poker kariyerimden üç el seçtim. O sırada elimde olan rakip istatistiklerini, tümdengelimli akıl yürütmeyi ve bir equity hesaplayıcı adlı aracı kullanarak her uygulanabilir seçenek için eli kazanma olasılığına dair varsayımlar yapacaksınız.

Not: equity hesaplayıcı, belirttiğiniz duruma göre bir eli kazanma olasılığını belirlemek için kullanılır. Kendi kartlarınızı, ortak kartları (varsa) ve rakibinizin el aralığına dair varsayımınızı girersiniz. Hesaplayıcı, kalan kartlar dağıtılırsa eli kazanma olasılığını verir.

Beklenen Değer: Daha Yakından Bakış

İlk elin analizine girmeden önce Beklenen Değer’i daha iyi anlamanız gerekir. Birinci Bölüm’de kazanma olasılığınızın %75 olduğu 100$’lık bir potu kazanmanın beklenen değerini nasıl hesaplayacağınızı öğrenmiştiniz. Yalnızca iki olasılık vardı:

• 100$ kazanmak
• 0$ kazanmak

ExpectedValue=TotalValue×Probability formülünün yardımıyla Beklenen Değer’in 100$ * 0,75 yani 75$ olacağını hesapladınız.

Ancak çoğu zaman hesaplama bu kadar doğrudan olmaz ve ikiden fazla olası sonuç bulunur. Beklenen değeri belirlemek için, her bir olası sonucun kendi gerçekleşme olasılığı ile ağırlıklandırıldığı sonuçların ağırlıklı ortalamasını bulmanız gerekir.

Bu yüzden yukarıdaki denklem şu şekilde gösterilse daha iyi olur:

Peki ya yukarıdaki durumda üçüncü bir olası sonuç olsaydı?

Aşağıdaki duruma bakın: 100$ kazanma olasılığınız %50, 25$ kazanma olasılığınız %25 ve hiçbir şey kazanamama olasılığınız da %25:

• 100$ kazan ( %50)
• 25$ kazan (%25)
• 0$ kazan (%25)

O halde Beklenen Değer hesaplamanız şöyle olacaktır:

Şimdi öğrendiklerinizi poker masasında karşılaştığım birkaç senaryoya uygulama zamanı.

Pre-Flop Artışına Karşı Çift 10

Not: Poker elleri incelenirken, rakibinize “Villain” ve incelenen oyuncuya “Hero” denmesi yaygındır. İnceleyeceğiniz oyuncu, poker sitelerinde kullandığım kullanıcı adım olan ‘GamingFoSho’dur.

El 1 Genel Bakış

Hero (GamingFoSho) çift 10’a sahip ve 0,85$ bahis yaptı. Kalan 20,95$’ı var. Rakip yani Villain 2,50$’a yükseltti ve kalan 30,35$’ı var.

Poker terminolojisinde bu 3-bet olarak adlandırılır. Küçük ve büyük kör ilk bahsi yapar, Hero onların üzerine artırarak ikinci bahsi yapmıştır. Şu anda Pot’ta toplam 3,70$ var. Bu yazının kapsamının ötesindeki nedenlerden ötürü Call iyi bir seçenek değildir.

Not: Genel olarak, pasif poker oynamak kârlı değildir; agresif oynamak ise kârlıdır. Call pasif, bet veya raise ise agresiftir. Pozisyon gibi çağrı yapmanın kötü bir seçenek olduğunu gösteren diğer strateji faktörleri de vardır ancak bunlar ayrıntılı açıklama gerektirir.

Hero, küçük bir artırımla All-In’e gitmeyi planlayarak artırmak ile fold etmek arasında karar vermelidir. Fold etmenin maliyeti yoktur, bu yüzden All-In’in beklenen değerini analiz edeceksiniz. Bu durumda, Villain’in blöf yaparak All-In olmasını teşvik etmek için küçük bir artırma yapardım, ancak plan bu olduğundan hesaplama All-In gidiyormuşum gibi yapılmalıdır.

Hero All-In gider ve kaybederse 20,95$ riske eder. ‘All-In gitmek’ tüm paranızı pota koymak demektir. Hero’nun 20,95$’ı kaldığından All-In gitmek 20,95$ risk anlamına gelir. Hero All-In gider ve kazanırsa 23$ kazanır. Şu anda potta 3,70$ var. Hero 0,85$ bahis yaptı ve Villain 2,50$’a yükseltti. Hero’nun Villain’in artışını karşılamak için kalan 20,95$’ından 1,65$ daha eklemesi gerekir, böylece Hero’nun 19,30$’ı kalır. Bu, Hero’nun potta halihazırda bulunan 3,70$’ın üzerine ek 19,30$ daha kazanabileceği ve toplamda 23,00$ elde edebileceği anlamına gelir. Villain fold ederse Hero 3,70$ kazanır.

Hand1_AllIn_Loses = -20.95
Hand1_AllIn_Winnings = 23
Hand1_Fold_Winnings = 3.7

El 1 İlgili İstatistikler

Poker, eksik bilgiye dayalı tümdengelim oyunudur. Hold’em Manager’da geçmişte oynadığım elleri inceleyebilir ve el oynanırken elimde olan istatistikleri görebilirim. Aşağıda, bu ele ilişkin olarak o rakiple ilgili sahip olduğum bazı istatistiklerin ekran görüntüleri yer almaktadır.

Sayılar belirli bir durumu ifade eder; örneğin Button’dan preflop bahis yapmak gibi. Çoğu zaman iki sayı listelenir. Soldaki sayı, Villain’in belirli bir durumda belirli hamleyi denemelerinin yüzdesini gösterir. Sağdaki parantez içindeki sayı, 99 denemeye kadar deneme sayısını gösterir. Parantez içinde sayı yoksa deneme sayısı 100 veya daha fazladır.

Bu rakibe karşı 392 el oynamıştım ve bu ele ilişkin olan istatistikleri vurguladım:

1. Villain, küçük ve büyük körün hemen sağındaki ilk pozisyon olan Button’da. Bu pozisyondan genel olarak Villain %7,4 (27 deneme) oranında 3-bet yapıyor;
2. Hero, Button’ın sağındaki ilk pozisyon olan Cut-Off’ta. Cut-Off’a karşı genel olarak Villain %12,5 (16 deneme) oranında 3-bet yapıyor;
3. Villain Button’dayken Cut-Off’tan gelen bir pre-flop artışına karşı %25 (4 deneme) oranında 3-bet yapıyor;
4. Villain pre-flop 3-bet yaptıktan sonra bir artışla karşılaşırsa zamanın %50’sinde (2 deneme) fold ediyor.

Not: Bu 4 noktanın önemli olduğuna nasıl karar verdim? Hero Cut-Off pozisyonundaydı ve Villain Button’dan 3-bet yaptı. Benzer durumlarda Villain’in önceki ellerde ne yaptığını gösteren istatistikler istiyorum. Villain Button pozisyonundan ya da Cut-Off’taki bir oyuncuya karşı ne sıklıkla 3-bet yapıyor? Villain bir 3-bet’i artışa karşı ne sıklıkla fold ediyor? Yukarıda seçtiğim istatistikler bu soruları en iyi yanıtlayanlardı.

El 1 Varsayımlar

Yukarıdaki istatistiklere dayanarak şu eğitimli tahminleri yapacağım:

1. Villain yaklaşık (% işaretiyle) %13-15’lik bir başlangıç el aralığıyla 2,50$’a yükseltiyor;
2. Villain yeniden artışa karşı yaklaşık %25 oranında fold ediyor ve yaklaşık %75 oranında ‘All-In’ gidiyor;
3. Villain yaklaşık %10’luk bir aralıkla ‘All-In’ yeniden artışı yapıyor; bu aralık aşağıdaki görselde gösterilmiştir.
4. Sarıyla vurgulanan eller, örneklemin %9,7’sine denk gelen 128 kombinasyondan oluşan Villain’in varsayılan aralığını temsil ediyor.
5. A5s ve A2s’in neden aralıkta olduğunu merak ediyorsanız, bunlar Villain’in blöf ellerini temsil eder.

Not: Aşağıdaki görsel, Texas Hold’em’deki tüm olası başlangıç el kombinasyonlarının örneklem büyüklüğünü göstermektedir; bu da bu eğitim serisinin ilk bölümünde gördüğünüz gibi 1326 kombinasyondur.

• AA = As As, KK = Papaz Papaz, vb.
• AKo = As Papaz farklı renk, ATo = As On farklı renk, vb.
• AKs = As Papaz aynı renk, ATs = As On aynı renk, J8s = Vale Sekiz aynı renk, vb.

El 1 Analiz

Artık Villain’in aralığına sahip olduğunuza göre, her iki oyuncu da all-in giderse Hero’nun elinin, Villain’in varsayılan aralığına karşı kazanma olasılığını belirlemeniz gerekir. Hero’nun elini (10h10s) ve Villain’in aralığını bir equity hesaplayıcısına girerek Hero’nun kazanma olasılığını hesaplayabilirsiniz. Equity hesaplayıcı, 10h10s’i Villain’in varsayılan aralığına karşı binlerce kez simüle eder ve Hero’nun yaklaşık %53,77 oranında kazandığını belirler.

Şimdi EstFoldPercent ve Equity için değişkenler oluşturabilir, ardından AllinExpectedValue() fonksiyonunu tanımlayabilirsiniz.

Hand1_Fold_Percent = .25
Hand1_Equity = .538

Artık basit bir hesaplama yapacaksınız. Aşağıdaki denklemi temsil eden bir fonksiyon yazmanız gerekiyor:

def AllinExpectedValue(AllIn_Loses, AllIn_Winnings, Fold_Winnings, Fold_Percent, Equity):
    FoldEV = (Fold_Percent * Fold_Winnings)
    AllinEV = (1 - Fold_Percent) * ((AllIn_Winnings * Equity) + (AllIn_Loses * (1 - Equity)))
    AllinExpectedValue = FoldEV + AllinEV
    if AllinExpectedValue > 0:
        return 'Raise!', AllinExpectedValue
    else:
        return 'Fold!', AllinExpectedValue

Şimdi El 1 değişkenlerini AllinExpectedValue fonksiyonuna yerleştirip sonuçları yazdırın:

Hand1_Decision, Hand1_EV = AllinExpectedValue(Hand1_AllIn_Loses, Hand1_AllIn_Winnings, Hand1_Fold_Winnings, Hand1_Fold_Percent, Hand1_Equity)
print(Hand1_Decision)
print(Hand1_EV)

Raise!
2.9463250000000016

El 1 Sonuçları

Hero, bir set (üçlü) On ile, Papaz çiftini yenerek eli kazanır.

Pre-Flop Artışına Karşı Çift 8

El 2 Genel Bakış

Bu durumda Hero (GamingFoSho) 1,10$ bahis yaptı ve kalan 28,58$’ı var. Villain ise 3,80$’a yükseltti ve kalan 10,66$’ı var. Şu anda potta 5,40$ var. Bu, önceki ele benzer bir durum. Yine, Call iyi bir seçenek değil. Fold etmenin maliyeti yok, bu yüzden All-In artırmanın pozitif beklenen değere sahip olup olmadığını belirlemeniz gerekiyor.

Hero All-In giderse, Villain’in kalan 10,66$’ı olduğu ve 2,70$ artırdığı için 13,36$ risk eder. Hero All-In gider ve eli kazanırsa 16,06$ kazanır (Villain’in 10,66$’ı kaldı ve potta 5,40$ var) ve All-In gider, Villain fold ederse 5,40$ kazanır.

Hand2_AllIn_Loses = -13.36
Hand2_AllIn_Winnings = 16.06
Hand2_Fold_Winnings = 5.40

El 2 İlgili İstatistikler

1. Villain Small Blind pozisyonunda. Bu pozisyondan Villain %7,2 (100+ deneme) oranında 3-bet yapıyor;
2. Hero Cut-Off pozisyonunda ve Cut-Off’a karşı Villain %7,9 (89 deneme) oranında 3-bet yapıyor;
3. Villain, 4-bet’e karşı %25 (8 deneme) oranında fold ediyor;
4. Villain toplamda %4 (100+ deneme) oranında 3-bet yapıyor, ancak Hero’ya karşı sadece %1 (98 deneme). Bu büyük bir uyarı işareti ve Villain’in çok güçlü bir ele sahip olduğunu gösteriyor;
5. Villain, pozisyon dışında Cut-Off’a karşı %9,8 (51 deneme) oranında 3-bet yapıyor. Pozisyon dışında olmak, sonraki bahis turlarında Villain’in önce, Hero’nun ise sonra hareket edeceği anlamına gelir.
6. Villain pozisyon dışındayken 4-bet’e karşı %0 (5 deneme) oranında fold ediyor. Bu da başka bir büyük uyarı işareti.

El 2 Varsayımlar

Yukarıdaki istatistiklere dayanarak şu varsayımları yapacağım:

1. Çoğu rakiple karşılaştırıldığında Villain %8-10 civarında 3-bet yapıyor, ancak Hero dışındaki rakiplere karşı 3-bet’i 4 kat daha sık yapıyor gibi görünüyor. Bu, Villain’in aralığını yaklaşık %3’e koyar.
2. Villain bu durumda henüz 4-bet’e karşı fold etmedi, dolayısıyla en fazla %10 oranında fold ediyor.
3. Villain yaklaşık %2,7’lik bir aralıkla call ediyor; bu aralık aşağıdaki görselde gösterilmiştir.
4. Sarı renkteki eller, 1326 olası başlangıç el kombinasyonundan 34’ünü (%2,6) oluşturan Villain’in varsayılan aralığını temsil eder.

El 2 Analiz

Yine bir equity hesaplayıcı kullanarak Hero’nun equity’sini belirleyeceğim. Bu durumda, Hero’nun eli Villain’in aralığına karşı %35,84 equity’ye sahip.

Şimdi EstFoldPercent ve Equity için değişkenler oluşturabilirsiniz.

Hand2_Fold_Percent = .10
Hand2_Equity = .3584

Şimdi bu elin değişkenlerini AllinExpectedValue fonksiyonuna yerleştirip sonuçları yazdırın.

Hand2_Decision, Hand2_EV = AllinExpectedValue(Hand2_AllIn_Loses, Hand2_AllIn_Winnings, Hand2_Fold_Winnings, Hand2_Fold_Percent, Hand2_Equity)
print(Hand2_Decision)
print(Hand2_EV)

Fold!
-1.994284799999999

El 2 Sonuçları

Hero, sekiz setiyle As ve Papaz çiftine (iki çift) karşı eli kazanır. Bu, uzun vadede para kaybettirecek bir karardan elde edilmiş şanslı bir sonuçtu. Burada en iyi oyun fold etmektir.

Flop’ta Check-Raise Yarı Blöf

El 3 Genel Bakış

Bu el flop aşamasında ve Hero (GamingFoSho) ilk hareket eden oyuncu olarak check yapıyor. 25,08$’ı var. Villain 1,06$ bahis yapıyor ve kalan 25,37$’ı var. Şu anda potta 2,66$ var.

Yine, Call iyi bir seçenek değil ve fold etmenin maliyeti yok. Bu durumda “Yarı Blöf” olarak bilinen artırmanın pozitif beklenen değere sahip olup olmadığını Hero belirlemelidir. Yarı Blöf, çekili bir elle (bu örnekte renk çekili eli) artırma yapmaktır.
Hero’nun tamamlanmış bir eli yoktur; şu anda yalnızca As yüksek tutmaktadır, ancak dört Kupa vardır ve güçlü bir el olan floş için yalnızca bir karta ihtiyacı vardır. İlk elde olduğu gibi, artırırken en iyi oyun çizgisi küçük artırmak ve Villain’e blöf etme fırsatı vermektir. Hero doğrudan all-in gitseydi, Villain muhtemelen Kupa Papaz/Kupa Vale gibi bir eli fold ederdi.

Hero All-In giderse 25,08$ risk eder. Hero All-In gider ve eli kazanırsa 26,68$ kazanır. Villain 1,06$ bahis yaptığı için Hero, kalan 25,08$’ından bu miktarı eşlemeli ve 24,02$ kalır. Bu, Hero’nun potta hâlihazırda bulunan 2,66$’ın üzerine ek 24,02$ daha kazanabileceği ve toplamda 26,68$ elde edebileceği anlamına gelir. Villain fold ederse Hero 2,66$ kazanır.

Hand3_AllIn_Loses = -25.08
Hand3_AllIn_Winnings = 26.68
Hand3_Fold_Winnings = 2.66

El 3 İlgili İstatistikler

1. Preflop’ta Villain artırdı ve Orta Pozisyon’dan Villain %9 (100+ deneme) oranında artırıyor;
2. Flop’ta Hero check yapıyor ve preflop’ta artıran Villain tekrar bahis yapıyor. Buna devam bahsi (Cbet) denir. Villain %100 (12 deneme) oranında Cbet yapıyor;
3. Hero, Villain’e karşı Check-Raise yapıyor ve Villain, Check-Raise ile karşılaştığında %67 (3 deneme) oranında fold ediyor;

El 3 Varsayımlar

• Rakibin preflop aralığı yaklaşık %9-10’dur ve şöyle görünür:

• Sarıyla vurgulanan eller, 1326 olası başlangıç el kombinasyonundan 128’ini (%9,7) oluşturan Villain’in aralığını temsil eder;
• %100 Cbet yaptıktan sonra, Villain Hero’nun Check-Raise’ine yaklaşık %67 oranında fold eder ve Villain’in aralığında yaklaşık 35-45 kombinasyon kalır. Villain’in aralığı şöyle görünür:

• Bu aralık 35 kombinasyondan oluşur ve Villain’in pre-flop aralığındaki en güçlü elleri içerir.

• Bazı eller farklı sarı tonlarındadır. Bunun birkaç nedeni vardır;

  1. Kart çıkarımı (card removal) - Cebinde As (AA) normalde altı kombinasyona sahiptir (Karo/Sinek, Kupa/Sinek, Maça/Sinek, Kupa/Karo, Maça/Karo, Maça/Kupa), ancak Hero’nun Kupa As’ı vardır. Villain yalnızca üç kombinasyon cebinde As’a sahip olabilir (Karo/Sinek, Maça/Sinek, Maça/Karo).
  2. Renk Çekili Eller (Flush Draws) - Papaz/Vale aynı renk için dört kombinasyon vardır (Karo, Kupa, Maça, Sinek), ancak Villain bu kombinasyonlardan yalnızca biriyle (Kupa) All-In gider.

El 3 Analiz

Yine, bu kez 3 flop kartını da girerek Hero’nun elini ve Villain’in aralığını equity hesaplayıcısına giriyorum. Hesaplayıcı, bu durumda Hero’nun %43,58 oranında kazandığını gösteriyor.

Şimdi EstFoldPercent ve Equity için değişkenlerinizi oluşturabilirsiniz.

Hand3_Fold_Percent = .67
Hand3_Equity = .4358

Şimdi El 3 değişkenlerini AllinExpectedValue fonksiyonuna yerleştirip sonuçları yazdırın:

Hand3_Decision, Hand3_EV = AllinExpectedValue(Hand3_AllIn_Loses, Hand3_AllIn_Winnings, Hand3_Fold_Winnings, Hand3_Fold_Percent, Hand3_Equity)
print(Hand3_Decision)
print(Hand3_EV)

Raise!
0.9496126400000008

El 3 Sonuçları

Hero, As yüksek floş ile Villain’in On çiftini yenerek kazanır.

Sonuç

Tebrikler, Python ile olasılık kuramı üzerine bu eğitimi tamamladınız! Bu olasılık ve istatistik eğitim serisinin ilk bölümünde Bağımsız/Bağımlı olaylar, Permütasyonlar ve Kombinasyonlar, Çoklu olaylar, Beklenen Değer ve bunların her birinin nasıl hesaplanacağını öğrendikten sonra, bu kavramları gerçek hayattaki poker durumlarına uyguladınız.

Bu eğitimde, Beklenen Değer’i çok daha derinlemesine anladınız ve poker masasında en iyi kararları vermek için bu kavramı kullandınız. Bu kavram, herhangi bir iş veya finansal karar alırken akılda tutulması son derece yararlıdır; bu nedenle bir dahaki sefere böyle bir kararla karşılaştığınızda seçeneklerinizi Beklenen Değer açısından sayısallaştırmayı deneyin.