Pokerhände mit Python analysieren

Im ersten Teil dieses Tutorials hast du Konzepte wie unabhängige und abhängige Ereignisse, Permutationen und Kombinationen, mehrere Ereignisse, Erwartungswerte und deren Berechnung kennengelernt. Jetzt wendest du diese Konzepte auf reale Pokerhände an, die ich in meiner Karriere gespielt habe. Unterwegs lernst du deutlich mehr über den Erwartungswert und wie du ihn für optimale Entscheidungen nutzt.

• Zuerst bekommst du eine kurze Einführung in No-Limit Texas Hold’em, damit du das nötige Hintergrundwissen für das Tutorial hast.
• Anschließend lernst du einige Tools kennen, die wir in den Fallstudien zu den Pokerhänden verwenden.
• Nach diesen beiden Einführungsabschnitten schauen wir uns einen Begriff aus dem ersten Tutorial genauer an: den Erwartungswert.
• Zum Schluss analysierst du drei Hände: Pocket 10er gegen Preflop-Raise, Pocket 8er gegen Preflop-Raise und Flop Check-Raise Semi-Bluff.

Eine Einführung in No-Limit Texas Hold’em

Bevor es losgeht, kurz zum Kontext. Das Spiel, das in den Fallstudien dieses Artikels betrachtet wird, ist No-Limit Texas Hold’em. Gespielt wird mit einem Standard-52-Karten-Deck; Texas Hold’em ist die beliebteste Poker-Variante. Jede Spielerin und jeder Spieler versucht, die beste Fünf-Karten-Hand zu bilden, indem die zwei eigenen Karten mit den fünf Gemeinschaftskarten kombiniert werden, die während der Hand aufgedeckt werden.

Die Person links vom Dealer-Button eröffnet die Action, gespielt wird im Uhrzeigersinn. Die Einsätze beginnen typischerweise damit, dass die Person links vom Button den Small Blind setzt und die nächste links den Big Blind. Setzrunden finden auf mehreren „Streets“ statt: Preflop, Flop, Turn und River.

Ein paar Begriffe, die du kennen solltest:

• Button – Der Button ist eine runde Markierung, die nach jeder Hand im Uhrzeigersinn weiterwandert. In einer Homegame-Runde teilt die Person mit dem Button und gibt die erste Karte an die Person links von ihr aus. Im Casino markiert der Button die theoretische Dealer-Position; die Karten gibt dort jedoch eine Croupière oder ein Croupier aus.
• Blinds – Die Blinds sind Zwangseinsätze der beiden Spielerinnen/Spieler links vom Button. Sie heißen „Blinds“, weil diese beiden setzen müssen, bevor sie ihre Karten sehen.
• Streets – Jede Runde, in der Karten aufgedeckt werden, nennt man Street.
• Preflop – Die erste Setzrunde. Jede Person erhält zwei Karten, und die Blinds eröffnen die Action. Es liegen noch keine Gemeinschaftskarten aus.
• Flop – Die zweite Setzrunde. Drei Gemeinschaftskarten werden offen in die Mitte gelegt, gefolgt von einer Setzrunde.
• Turn – Es kommt eine weitere Gemeinschaftskarte, gefolgt von der dritten Setzrunde.
• River – Die letzte Gemeinschaftskarte wird aufgedeckt, danach folgt die abschließende Setzrunde.
• Showdown – Nach dem River und abgeschlossener Action zeigen verbliebene Spielerinnen/Spieler ihre Karten, um die beste Hand zu ermitteln.
• Check – Ist jemand am Zug und es gab in dieser Runde noch keinen Einsatz, kann gecheckt werden, also auf einen Einsatz verzichtet werden, sodass die nächste Person an der Reihe ist.
• Bet oder Raise – Setzen oder Erhöhen bedeutet, die Einsatzgröße in einer Setzrunde zu erhöhen. Die erste Person, die in einer Runde Geld in den Pot legt, macht eine Bet. Erhöht jemand anderes diesen Einsatz, ist das ein Raise.
• Call – Ist jemand am Zug und es gab bereits einen Einsatz, kann diese Person den Einsatz ausgleichen. Das nennt man Call.
• Fold – Ist jemand am Zug und es gab bereits einen Einsatz, kann diese Person aufgeben und ihre Hand passen. Diese Person nimmt nicht länger an der Hand teil und verliert das Geld, das sie bereits in den Pot gelegt hat.

Wenn du noch nie gespielt hast oder mit der Poker-Terminologie nicht vertraut bist, findest du hier eine kurze, aber detaillierte Erklärung.

Tools für Poker-Wahrscheinlichkeiten

Immer wenn ich in einer Spielsituation unsicher war, habe ich mir die Hand zur späteren Analyse markiert. Nach der Session habe ich die markierten Hände durchgesehen und mathematisch aufgedröselt, um künftig in ähnlichen Situationen besser entscheiden zu können.

Die in diesem Tutorial verwendeten Hände wurden von Hold’em Manager heruntergeladen und in einer PostgreSQL-Datenbank gespeichert, wie in Teil I erwähnt. Hold’em Manager berechnet für jede Gegnerin/jeden Gegner Statistiken aus diesen Handverläufen. Die Daten werden während des Spiels in Echtzeit aktualisiert und angezeigt.

Ich habe drei Hände aus meiner Pokerlaufbahn ausgewählt. Du nutzt Statistiken zu meinen damaligen Gegnern, logisches Schlussfolgern und ein Tool namens Equity-Rechner, um Wahrscheinlichkeiten für den Gewinn der Hand je nach spielbarer Option anzunehmen.

Hinweis: Ein Equity-Rechner bestimmt die Gewinnwahrscheinlichkeit einer Hand für eine von dir vorgegebene Situation. Du gibst deine Karten, die Gemeinschaftskarten (falls vorhanden) und die angenommene Range der gegnerischen Hand ein. Der Rechner liefert die Gewinnwahrscheinlichkeit, wenn die verbleibenden Karten gedealt werden.

Erwartungswert: Ein genauerer Blick

Bevor wir in die Analyse der ersten Hand einsteigen, brauchst du ein besseres Verständnis des Erwartungswerts. In Teil I hast du berechnet, welchen Erwartungswert du beim Gewinn eines 100\$-Pots mit 75% Gewinnchance hast. Es gab nur zwei Möglichkeiten:

• Gewinn 100\$
• Gewinn 0\$

Mit der Formel ExpectedValue=TotalValue×Probability hast du berechnet, dass der Erwartungswert 100 \* 0,75 bzw. 75\$ beträgt.

Oft ist die Rechnung jedoch nicht so geradlinig, und es gibt mehr als zwei mögliche Ausgänge. Um den Erwartungswert zu bestimmen, bildest du den gewichteten Durchschnitt aller möglichen Ergebnisse, wobei jedes Ergebnis mit seiner jeweiligen Eintrittswahrscheinlichkeit gewichtet wird.

Deshalb lässt sich die obige Gleichung besser so darstellen:

Und was, wenn es in der obigen Situation einen dritten möglichen Ausgang gäbe?

Betrachte folgendes Szenario: Du hast 50% Chance auf 100\$, 25% Chance auf 25\$ und weitere 25% Chance auf gar nichts:

• Gewinn 100\$ (50%)
• Gewinn 25\$ (25%)
• Gewinn 0\$ (25%)

Dann lautet die Erwartungswert-Berechnung so:

Jetzt ist es Zeit, das Gelernte auf ein paar Szenarien anzuwenden, die mir am Pokertisch begegnet sind.

Pocket 10er gegen Preflop-Raise

Hinweis: Bei Handanalysen bezeichnet man die Gegnerin/den Gegner oft als Villain und die analysierte Person als Hero. Die Spielerin/der Spieler, den du hier betrachtest, ist „GamingFoSho“ – mein Benutzername auf den von mir gespielten Pokerseiten.

Hand 1 – Überblick

Hero (GamingFoSho) hält ein Paar Zehnen und setzt 0,85\$. Er hat noch 20,95\$ behind. Villain erhöht auf 2,50\$ und hat noch 30,35\$.

Im Pokerjargon ist das ein 3-Bet. Small Blind und Big Blind machen den ersten Einsatz, Hero hat erhöht (zweiter Einsatz). Im Pot sind aktuell 3,70\$. Ein Call ist aus Gründen, die den Rahmen dieses Beitrags sprengen würden, keine gute Option.

Hinweis: Allgemein gilt: Passives Spiel ist selten profitabel, aggressives Spiel schon. Callen ist passiv, setzen oder erhöhen ist aggressiv. Weitere strategische Faktoren wie Position sprechen hier ebenfalls gegen einen Call, bräuchten aber viel Erklärung.

Hero muss zwischen Raise mit dem Plan, All-in zu gehen, und Fold entscheiden. Fold kostet nichts, daher analysieren wir den Erwartungswert des All-ins. In dieser Situation würde ich klein raisen, um Villain zu einem All-in-Bluff zu verleiten; gerechnet wird aber so, als ginge ich direkt All-in, denn das ist der Plan.

Hero riskiert 20,95\$, wenn er All-in geht und verliert. „All-in“ heißt, das gesamte restliche Geld in den Pot zu schieben. Hero gewinnt 23\$, wenn er All-in geht und die Hand gewinnt. Aktuell sind 3,70\$ im Pot. Hero hat 0,85\$ gesetzt, Villain auf 2,50\$ erhöht. Hero muss 1,65\$ von seinen verbleibenden 20,95\$ ergänzen und hat dann noch 19,30\$. Er kann also zusätzlich zu den 3,70\$ im Pot weitere 19,30\$ gewinnen – insgesamt 23,00\$. Foldet Villain, gewinnt Hero die aktuellen 3,70\$.

Hand1_AllIn_Loses = -20.95
Hand1_AllIn_Winnings = 23
Hand1_Fold_Winnings = 3.7

Hand 1 – Relevante Statistiken

Poker ist deduktives Denken auf Basis unvollständiger Informationen. In Hold’em Manager kann ich vergangene Hände samt der Statistiken ansehen, die mir damals vorlagen. Unten siehst du Screenshots mit für diese Hand relevanten Werten.

Die Zahlen beziehen sich auf spezifische Situationen, etwa Preflop-Einsatz vom Button. Meist stehen zwei Zahlen da: Links der Prozentwert, wie oft Villain in der Situation den jeweiligen Move gemacht hat; in Klammern rechts die Zahl der Versuche bis 99. Fehlt die Klammerzahl, sind es 100+ Versuche.

Ich hatte 392 Hände gegen diese Person gespielt und folgende für diese Hand relevante Stats markiert:

1. Villain ist am Button, also direkt rechts von Small und Big Blind. Von dort 3-bettet Villain insgesamt 7,4% (27 Versuche).
2. Hero ist im Cutoff, also direkt rechts vom Button. Gegen den Cutoff 3-bettet Villain 12,5% (16 Versuche).
3. Ist Villain am Button und sieht einen Preflop-Raise aus dem Cutoff, 3-bettet er 25% (4 Versuche).
4. Wenn Villain preflop 3-bettet und dann auf eine weitere Erhöhung trifft, foldet er in 50% der Fälle (2 Versuche).

Hinweis: Warum genau diese vier Punkte? Hero war im Cutoff und Villain 3-bettete vom Button. Ich möchte Stats aus möglichst ähnlichen Situationen: Wie oft 3-bettet Villain vom Button oder gegen den Cutoff? Wie oft foldet er eine 3-Bet gegen ein Raise? Die obigen Werte beantworten das am besten.

Hand 1 – Annahmen

Auf Basis der obigen Statistiken treffe ich folgende, fundierte Annahmen:

1. Villain erhöht auf 2,50\$ mit rund 13–15% aller möglichen Starthände.
2. Villain foldet auf ein Reraise ca. 25% der Zeit und geht ca. 75% der Zeit All-in.
3. Villain geht mit rund 10% Range All-in, wie im Bild unten dargestellt.
4. Die gelb markierten Hände bilden Villains angenommene Range mit 128 Kombinationen (9,7% der Gesamtmenge).
5. Warum A5s und A2s in der Range sind? Das sind Villains Bluff-Hände.

Hinweis: Das folgende Bild zeigt alle 1326 möglichen Start-Hand-Kombinationen in Texas Hold’em, wie du bereits im ersten Teil dieser Tutorial-Reihe gesehen hast.

• AA = Ass Ass, KK = König König, etc.
• AKo = Ass König offsuit, ATo = Ass Zehn offsuit, etc.
• AKs = Ass König suited, ATs = Ass Zehn suited, J8s = Bube Acht suited, etc.

Hand 1 – Analyse

Mit Villains Range musst du nun die Gewinnwahrscheinlichkeit von Heros Hand gegen diese angenommene Range bestimmen, falls beide All-in gehen. Gib Heros Hand (10h10s) und Villains Range in einen Equity-Rechner ein, um Heros Gewinnwahrscheinlichkeit zu erhalten. Der Equity-Rechner simuliert 10h10s gegen Villains angenommene Range tausendfach und ermittelt, dass Hero etwa in 53,77% der Fälle gewinnt.

Jetzt legst du Variablen für EstFoldPercent und Equity an und erstellst die Funktion AllinExpectedValue().

Hand1_Fold_Percent = .25
Hand1_Equity = .538

Nun ist es eine einfache Rechnung. Du brauchst eine Funktion, die die folgende Gleichung abbildet:

def AllinExpectedValue(AllIn_Loses, AllIn_Winnings, Fold_Winnings, Fold_Percent, Equity):
    FoldEV = (Fold_Percent * Fold_Winnings)
    AllinEV = (1 - Fold_Percent) * ((AllIn_Winnings * Equity) + (AllIn_Loses * (1 - Equity)))
    AllinExpectedValue = FoldEV + AllinEV
    if AllinExpectedValue > 0:
        return 'Raise!', AllinExpectedValue
    else:
        return 'Fold!', AllinExpectedValue

Setze nun die Variablen für Hand 1 in die Funktion AllinExpectedValue ein und gib die Ergebnisse aus:

Hand1_Decision, Hand1_EV = AllinExpectedValue(Hand1_AllIn_Loses, Hand1_AllIn_Winnings, Hand1_Fold_Winnings, Hand1_Fold_Percent, Hand1_Equity)
print(Hand1_Decision)
print(Hand1_EV)

Raise!
2.9463250000000016

Hand 1 – Ergebnis

Hero gewinnt die Hand mit einem Drilling Zehnen und schlägt damit ein Paar Könige.

Pocket 8er gegen Preflop-Raise

Hand 2 – Überblick

In dieser Situation setzt Hero (GamingFoSho) 1,10\$ und hat noch 28,58\$. Villain erhöht auf 3,80\$ und hat noch 10,66\$. Im Pot sind 5,40\$. Die Lage ist ähnlich wie in Hand 1. Auch hier ist ein Call keine gute Option. Fold kostet nichts, also gilt es zu prüfen, ob ein All-in einen positiven Erwartungswert hat.

Geht Hero All-in, riskiert er 13,36\$, da Villain 10,66\$ behind hat und bereits um 2,70\$ erhöht hat. Hero gewinnt 16,06\$, wenn er All-in geht und die Hand gewinnt (Villain hat 10,66\$ behind, im Pot liegen 5,40\$), und 5,40\$, wenn er All-in geht und Villain foldet.

Hand2_AllIn_Loses = -13.36
Hand2_AllIn_Winnings = 16.06
Hand2_Fold_Winnings = 5.40

Hand 2 – Relevante Statistiken

1. Villain sitzt im Small Blind. Von dort 3-bettet er 7,2% (100+ Versuche).
2. Hero ist im Cutoff; gegen den Cutoff 3-bettet Villain 7,9% (89 Versuche).
3. Villain foldet auf eine 4-Bet 25% (8 Versuche).
4. Villain 3-bettet insgesamt 4% (100+ Versuche), gegen Hero jedoch nur 1% (98 Versuche). Das ist ein starkes Warnsignal und deutet auf eine sehr starke Hand hin.
5. Außer Position 3-bettet Villain gegen den Cutoff 9,8% (51 Versuche). „Außer Position“ heißt, Villain muss in späteren Setzrunden zuerst handeln, Hero danach.
6. Villain foldet auf eine 4-Bet außer Position 0% (5 Versuche). Ein weiteres Warnsignal.

Hand 2 – Annahmen

Auf Basis der obigen Statistiken treffe ich folgende Annahmen:

1. Im Vergleich zu den meisten Gegnern 3-bettet Villain rund 8–10% der Zeit, scheint aber gegen andere als Hero viermal so häufig zu 3-betten. Das legt eine Range von ca. 3% gegen Hero nahe.
2. In dieser Situation hat Villain bislang nicht auf eine 4-Bet gefoldet, foldet also höchstens in 10% der Fälle.
3. Villain callt mit etwa 2,7% Range, wie im Bild unten dargestellt.
4. Die gelb markierten Hände bilden Villains angenommene Range mit 34 von 1326 möglichen Startkombinationen (2,6%).

Hand 2 – Analyse

Wieder nutze ich einen Equity-Rechner, um Heros Equity zu bestimmen. Hier hat Heros Hand 35,84% Equity gegen Villains Range.

Jetzt legst du Variablen für EstFoldPercent und Equity an.

Hand2_Fold_Percent = .10
Hand2_Equity = .3584

Setze nun die Variablen dieser Hand in die Funktion AllinExpectedValue ein und gib die Ergebnisse aus.

Hand2_Decision, Hand2_EV = AllinExpectedValue(Hand2_AllIn_Loses, Hand2_AllIn_Winnings, Hand2_Fold_Winnings, Hand2_Fold_Percent, Hand2_Equity)
print(Hand2_Decision)
print(Hand2_EV)

Fold!
-1.994284799999999

Hand 2 – Ergebnis

Hero gewinnt mit einem Drilling Achten gegen zwei Paare, Asse und Könige. Das war ein glücklicher Ausgang einer Entscheidung, die langfristig Geld kostet. Der optimale Spielzug hier ist Fold.

Flop Check-Raise Semi-Bluff

Hand 3 – Überblick

Diese Hand befindet sich am Flop. Hero (GamingFoSho) ist zuerst dran und checkt. Er hat 25,08\$. Villain setzt 1,06\$ und hat noch 25,37\$. Im Pot sind 2,66\$.

Auch hier ist ein Call keine gute Option, ein Fold kostet nichts. Hero muss entscheiden, ob ein Raise in dieser Situation – ein sogenannter Semi-Bluff – einen positiven Erwartungswert hat. Ein Semi-Bluff ist ein Raise mit einer Draw-Hand, hier einem Flushdraw.
Hero hat noch keine gemachte Hand, aktuell nur Ass hoch, aber vier Herzen und braucht noch eine Herz-Karte für den Flush – eine starke Hand. Wie in Hand 1 ist die beste Line beim Raisen ein kleiner Raise, um Villain Raum für einen Bluff zu lassen. Würde Hero direkt All-in gehen, würde Villain eine Hand wie König Herz/Bube Herz vermutlich folden.

Hero riskiert 25,08\$ bei einem All-in. Er gewinnt 26,68\$, wenn er All-in geht und die Hand gewinnt. Villain setzt 1,06\$, also muss Hero diesen Betrag aus seinen verbleibenden 25,08\$ ausgleichen und hat dann 24,02\$ behind. Er kann somit zusätzlich zu den 2,66\$ im Pot weitere 24,02\$ gewinnen – insgesamt 26,68\$. Foldet Villain, gewinnt Hero 2,66\$.

Hand3_AllIn_Loses = -25.08
Hand3_AllIn_Winnings = 26.68
Hand3_Fold_Winnings = 2.66

Hand 3 – Relevante Statistiken

1. Preflop hat Villain erhöht; aus Middle Position raist Villain 9% (100+ Versuche).
2. Am Flop checkt Hero, und Villain (der preflop erhöht hat) setzt erneut. Das ist eine Continuation Bet (C-Bet). Villain c-bettet 100% (12 Versuche).
3. Hero macht einen Check-Raise gegen Villain; mit einem Check-Raise konfrontiert, foldet Villain 67% (3 Versuche).

Hand 3 – Annahmen

• Villains Preflop-Range liegt bei ca. 9–10% und sieht so aus:

• Die gelb markierten Hände bilden Villains Range mit 128 von 1326 möglichen Startkombinationen (9,7%).
• Nach 100% C-Bets foldet Villain rund 67% auf Heros Check-Raise, womit etwa 35–45 Kombinationen in Villains Range bleiben. Diese Range sieht so aus:

• Diese Range umfasst 35 Kombinationen und bildet die stärksten Hände aus Villains Preflop-Range ab.

• Manche Hände sind in unterschiedlichen Gelbtönen markiert. Dafür gibt es zwei Gründe:

  1. Kartenentfernung (Card Removal) – Pocket Asse (AA) haben normalerweise sechs Kombinationen (Karo/Kreuz, Herz/Kreuz, Pik/Kreuz, Herz/Karo, Pik/Karo, Pik/Herz), aber Hero hält das Ass in Herz. Villain kann nur drei AA-Kombinationen halten (Karo/Kreuz, Pik/Kreuz, Pik/Karo).
  2. Flushdraws – Von König/Bube suited gibt es vier Kombinationen (Karo, Herz, Pik, Kreuz), aber All-in würde Villain davon nur mit einer (Herz) gehen.

Hand 3 – Analyse

Wieder gebe ich Heros Hand und Villains Range in den Equity-Rechner ein, diesmal inklusive der drei Flopkarten. Der Rechner zeigt, dass Hero in dieser Situation 43,58% gewinnt.

Jetzt legst du die Variablen EstFoldPercent und Equity an.

Hand3_Fold_Percent = .67
Hand3_Equity = .4358

Setze nun die Variablen für Hand 3 in die Funktion AllinExpectedValue ein und gib die Ergebnisse aus:

Hand3_Decision, Hand3_EV = AllinExpectedValue(Hand3_AllIn_Loses, Hand3_AllIn_Winnings, Hand3_Fold_Winnings, Hand3_Fold_Percent, Hand3_Equity)
print(Hand3_Decision)
print(Hand3_EV)

Raise!
0.9496126400000008

Hand 3 – Ergebnis

Hero gewinnt mit einem Flush in Ass hoch und schlägt Villains Paar Zehnen.

Fazit

Glückwunsch, du hast dieses Tutorial zur Wahrscheinlichkeitsrechnung mit Python abgeschlossen! Nachdem du im ersten Teil zentrale Konzepte wie unabhängige/abhängige Ereignisse, Permutationen und Kombinationen, mehrere Ereignisse, Erwartungswerte und deren Berechnung gelernt hast, hast du sie nun auf echte Poker-Situationen übertragen.

In diesem Tutorial hast du dein Verständnis für den Erwartungswert deutlich vertieft und das Konzept genutzt, um am Pokertisch optimal zu entscheiden. Dieses Konzept ist auch für geschäftliche oder finanzielle Entscheidungen äußerst nützlich. Wenn du das nächste Mal vor so einer Entscheidung stehst, versuche, deine Optionen in Erwartungswerten zu quantifizieren.