Graphiques des résidus : comment vérifier les hypothèses d’un modèle de régression

Vous avez ajusté un modèle de régression, le R^² est correct et les coefficients semblent cohérents. Mais un beau tableau de synthèse peut masquer un modèle mal spécifié. Un simple nuage de points repère souvent ce que les chiffres ne disent pas : le graphique des résidus.

Cet article explique ce que sont les graphiques des résidus, comment les lire, les motifs à connaître, et comment en créer un en Python comme en R. La plupart des débutants sautent complètement l’étape de diagnostic. À la fin, vous ne ferez plus cette erreur.

Qu’est-ce qu’un graphique des résidus ?

Un résidu est l’écart entre ce que votre modèle a prédit et ce qui s’est réellement passé : résidu = observé − prédit. Un graphique des résidus met ces écarts en évidence. L’axe des x affiche soit les valeurs prédites (ajustées), soit une variable explicative ; l’axe des y affiche les résidus. Une ligne horizontale de référence est placée à zéro, représentant une prédiction parfaite.

Nuage aléatoire autour de zéro : un graphique des résidus sain. Image de l’auteur. 

L’idée centrale : si votre modèle a bien capté la relation, les résidus devraient ressembler à du bruit. Dispersés aléatoirement autour de zéro, sans motif évident. Dès qu’une forme apparaît, votre modèle vous signale quelque chose qu’il ne peut pas dire avec les seuls coefficients.

Comment interpréter un graphique des résidus

Cherchez des motifs. Idéalement, il ne devrait pas y en avoir un d’évident. C’est toute la règle. Ce que la position, la dispersion et la forme des résidus révèlent devient alors intéressant.

Position : le nuage est-il centré sur zéro ?

Des résidus au-dessus de zéro dans certaines zones de valeurs ajustées et en dessous dans d’autres indiquent un biais du modèle. Il sur- ou sous-estime systématiquement dans certaines régions. Cela pointe souvent vers une variable manquante ou une relation non linéaire qu’un modèle linéaire ne peut pas capturer.

Dispersion : la variance reste-t-elle à peu près constante ?

Balayez de gauche à droite. Si l’étalement des résidus est grosso modo le même pour toutes les valeurs ajustées, c’est bon signe. Si les points s’évasent à mesure que les valeurs ajustées augmentent, la variance change. C’est ce qu’on appelle l’hétéroscédasticité. Elle ne fausse pas les estimations des coefficients, mais elle rend les erreurs standard peu fiables, ce qui compte si vous faites des tests d’hypothèses.

Forme : observe-t-on une courbe ou une tendance ?

Plat et sans motif, c’est ce que vous voulez. Une forme en U ou en arche signale qu’un terme non linéaire manque au modèle. Des grappes ou des bandes suggèrent des sous-groupes que le modèle traite comme un seul. Un point isolé très éloigné du reste mérite enquête.

Motifs courants des graphiques des résidus et leur signification

Quatre motifs de résidus qui signalent des problèmes de modèle. Image de l’auteur.

Dispersion aléatoire autour de zéro

Le bon cas. Des points répartis grossièrement de part et d’autre de la ligne zéro, sans tendance perceptible, indiquent en général que le modèle capture correctement la relation. Un peu d’aléa est attendu.

Motif courbé

Un motif courbe ou en arche signale généralement une relation non linéaire non modélisée. Le modèle ajuste une droite à des données qui « tournent ». La solution consiste souvent à ajouter un terme polynomial (comme x^²) ou à appliquer une transformation au prédicteur. C’est l’un des motifs les plus fréquents en pratique, notamment pour modéliser des prix immobiliers ou des croissances biologiques.

Forme d’entonnoir ou d’éventail

Des résidus qui s’élargissent à mesure que les valeurs ajustées augmentent : c’est de l’hétéroscédasticité, la variance n’est pas constante. Fréquent en finance, où l’erreur de prédiction croît naturellement avec l’ampleur de la cible. Une transformation logarithmique de la variable réponse est souvent un premier pas pertinent ; les moindres carrés pondérés sont une autre option.

Grappes ou groupes

Des groupes distincts sur le graphique des résidus signalent généralement des sous-populations non prises en compte. Il y a probablement une variable catégorielle (région, groupe de traitement, type de produit) à intégrer au modèle. Si vous voyez deux ou trois bandes serrées de points, commencez par là.

Résidus isolés importants

Un point unique très éloigné du reste mérite votre attention. Ce peut être une vraie valeur aberrante, une erreur de saisie ou une observation aux caractéristiques inhabituelles. Ne le supprimez pas d’emblée. Comprenez-le d’abord. Le conserver ou l’écarter dépend du contexte, pas de la convenance.

Pour chacun de ces motifs, le graphique des résidus identifie un symptôme, pas un diagnostic. Il vous dit que quelque chose cloche ; à vous d’en trouver la cause.

Quelles hypothèses de régression peut-on vérifier avec des graphiques des résidus ?

En gardant ces motifs en tête, clarifions quelles hypothèses de régression un graphique des résidus peut ou non évaluer.

• Linéarité : si la relation entre les prédicteurs et la cible est réellement linéaire, les résidus ne doivent montrer aucune tendance lorsqu’on les trace contre les valeurs ajustées. Une courbe ou une arche est un signe visuel direct que la linéarité ne tient pas.
• Variance constante : le motif en entonnoir est l’illustration même de l’hétéroscédasticité. Si la dispersion augmente avec les valeurs ajustées, l’hypothèse de variance égale est violée. Le graphique résidus vs valeurs ajustées est probablement l’outil le plus courant pour détecter cela.
• Indépendance : si vos observations ont un ordre naturel (temps, espace, groupes de sujets), vous pouvez tracer les résidus selon cet ordre pour repérer des motifs. Des résidus tendanciels dans un tracé ordonné dans le temps suggèrent une autocorrélation. Un simple graphique résidus vs valeurs ajustées ne le montrera pas toujours ; un tracé résidus vs ordre dédié peut être nécessaire.
• Valeurs aberrantes et observations influentes : de grands résidus isolés signalent des observations mal prédites par le modèle. Pour l’influence à proprement parler, c’est-à-dire les observations qui tirent disproportionnellement la droite de régression, le graphique résidus vs levier est plus informatif que le graphique des résidus de base.

Une chose que les graphiques des résidus ne permettent pas d’évaluer de manière fiable, c’est la normalité. Un graphique plat résidus vs valeurs ajustées ne confirme pas que les erreurs sont distribuées normalement. Pour cela, il vous faut un Q-Q plot. Cette confusion est fréquente : gardez-la à l’esprit.

Comment créer un graphique des résidus en Python

Le flux de travail standard utilise scikit-learn pour ajuster le modèle et calculer les résidus, puis matplotlib pour les visualiser. Voici un exemple complet de régression linéaire simple sur des données immobilières :

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from sklearn.linear_model import LinearRegression

# Sample data: square footage predicting home price
sqft = np.array([800, 1000, 1200, 1500, 1800, 2000, 2200, 2500, 3000, 3500])
price = np.array([150, 180, 210, 260, 300, 330, 370, 420, 500, 560])

# Reshape for sklearn and fit the model
X = sqft.reshape(-1, 1)
model = LinearRegression()
model.fit(X, price)

# Generate predictions and calculate residuals
predicted = model.predict(X)
residuals = price - predicted

# Plot residuals against fitted values
plt.figure(figsize=(8, 5))
plt.scatter(predicted, residuals, color='steelblue', edgecolors='white', s=80)
plt.axhline(y=0, color='red', linestyle='--', linewidth=1.2)
plt.xlabel('Fitted Values')
plt.ylabel('Residuals')
plt.title('Residual Plot')
plt.tight_layout()
plt.show()

La ligne clé est residuals = price - predicted. L’appel à axhline() ajoute la ligne de référence à zéro ; sans elle, le graphique est bien plus difficile à lire. Si le résultat semble globalement sans motif, vous êtes sur la bonne voie. Notez que les résidus deviennent plus grands pour des valeurs ajustées élevées. Avec seulement 10 points, difficile d’en être sûr, mais cela évoque la forme en éventail évoquée plus haut.

Pour aller plus loin avec la régression en Python, notre cours Introduction to Regression with statsmodels in Python détaille l’ajustement des modèles, la vérification des hypothèses et l’interprétation.

Comment créer un graphique des résidus en R

R facilite légèrement les choses nativement. Une fois le modèle ajusté avec lm(), la fonction intégrée plot() produit automatiquement un panneau de diagnostics complet, incluant un graphique résidus vs valeurs ajustées.

# Same housing data in R
sqft <- c(800, 1000, 1200, 1500, 1800, 2000, 2200, 2500, 3000, 3500)
price <- c(150, 180, 210, 260, 300, 330, 370, 420, 500, 560)

# Fit the model and view diagnostics
housing_model <- lm(price ~ sqft)
plot(housing_model, which = 1) # which = 1 gives residuals vs. fitted

L’argument which = 1 extrait uniquement le graphique résidus vs valeurs ajustées. Sans lui, vous obtenez les quatre graphiques de diagnostic standard : résidus vs valeurs ajustées, Q-Q, échelle-localisation et résidus vs levier. Pratique pour un aperçu complet rapidement. R annote aussi les trois points les plus extrêmes par leur indice, vous évitant de traquer les valeurs aberrantes à la main.

Pour un tour d’horizon complet de la régression en R, notre cours Introduction to Regression in R couvre la construction de modèles et les diagnostics depuis les bases.

Graphique des résidus vs autres graphiques de diagnostic

Le tracé résidus vs valeurs ajustées est le point de départ, pas toute l’histoire. D’autres graphiques complémentaires répondent à des questions différentes.

Graphique des résidus vs Q-Q plot

Le tracé résidus vs valeurs ajustées vérifie la linéarité et la variance constante. Le Q-Q plot vérifie la normalité, c’est-à-dire si les résidus suivent une loi normale. Ce sont des questions distinctes. Un graphique des résidus propre ne garantit pas la normalité, et un Q-Q plot ne dit rien sur la variance. En général, il faut les deux.

Deux graphiques différents, deux questions différentes sur votre modèle. Image de l’auteur.

Graphique des résidus vs graphique échelle-localisation

Le graphique échelle-localisation (aussi appelé spread-location) trace la racine carrée des résidus standardisés absolus en fonction des valeurs ajustées. Il est conçu pour détecter l’hétéroscédasticité et rend souvent le motif en entonnoir plus visible que le graphique brut des résidus, car il supprime le signe des résidus et se concentre uniquement sur la dispersion.

Graphique des résidus vs graphique résidus vs levier

Le levier mesure à quel point les valeurs des prédicteurs d’une observation sont inhabituelles, pas à quel point le modèle la prédit mal. Un fort levier combiné à un grand résidu indique une observation potentiellement influente. Le graphique résidus vs levier repère ces combinaisons et met généralement en évidence les points les plus problématiques par leur nom. Si vous craignez que des observations influentes ne déforment votre modèle, consultez ce graphique.

Que faire lorsqu’un graphique des résidus révèle un problème

Un graphique des résidus est un diagnostic, pas un verdict. Voir un motif ne signifie pas que le modèle est inutile. Voici comment faire le lien entre motifs courants et prochaines étapes :

• Motif courbé : envisagez d’ajouter un terme polynomial ou de transformer un prédicteur. Une transformation en log de x ou un terme x² redresse souvent la relation.
• Forme d’entonnoir : essayez une transformation logarithmique ou racine carrée de la variable réponse. Si cela ne suffit pas, les moindres carrés pondérés réduisent l’influence des observations les plus bruyantes.
• Grands résidus isolés : enquêtez sur l’observation. Vérifiez d’abord les erreurs de saisie. Si le point est légitime, demandez-vous si votre modèle doit tenir compte de ce qui le rend inhabituel.
• Grappes ou groupes : cherchez une variable catégorielle omise. Des modèles séparés par sous-groupe sont parfois la bonne réponse.

Le graphique des résidus montre des symptômes. Il ne donne pas la cause exacte, et un même motif peut avoir plusieurs explications. Utilisez-le comme déclencheur pour poser de meilleures questions.

Erreurs fréquentes lors de la lecture des graphiques des résidus

• Attendre un graphique parfaitement aléatoire : Les données réelles sont désordonnées. Quelques points non conformes, une légère asymétrie, un peu de regroupement aux extrêmes : c’est normal. La question n’est pas de savoir si le graphique est parfaitement aléatoire, mais s’il existe un motif systématique qu’un meilleur modèle éliminerait.
• Considérer chaque valeur aberrante comme une mauvaise donnée : un grand résidu signifie que le modèle a mal prédit cette observation. Cela ne signifie pas que l’observation est erronée. Parfois, la valeur aberrante est le point le plus intéressant du jeu de données. Ne la supprimez qu’après en avoir compris la nature.
• Penser qu’un graphique des résidus prouve la normalité : ce n’est pas le cas. Un tracé propre résidus vs valeurs ajustées renseigne sur la linéarité et la variance constante. La normalité nécessite un Q-Q plot. Ces deux diagnostics sont complémentaires, pas interchangeables.
• Regarder le graphique sans tenir compte du contexte : un graphique des résidus issu d’un modèle de séries temporelles se lit différemment de celui d’un jeu de données en coupe transversale. Ce qui est préoccupant dépend de la structure des données, de la taille d’échantillon et de l’usage du modèle. Un motif à corriger pour un modèle de prévision peut être négligeable en analyse exploratoire.

Conclusion

Ajuster un modèle, vérifier la synthèse, se réjouir du R^² : la plupart s’arrêtent là. Le graphique des résidus est ce que vous regardez après, et il raconte souvent une autre histoire. Une dispersion aléatoire autour de zéro est l’objectif. Courbes, entonnoirs, grappes et points extrêmes isolés suggèrent chacun quelque chose que le modèle n’a pas pris en compte.

Aucun graphique ne donne à lui seul la vue d’ensemble. Associez le tracé résidus vs valeurs ajustées à un Q-Q plot pour la normalité, un graphique échelle-localisation pour la variance et un graphique de levier si des observations influentes vous inquiètent. Chacun répond à une question différente.

Pour aller plus loin, notre cours Intermediate Regression with statsmodels in Python traite en profondeur la vérification des hypothèses, y compris la marche à suivre lorsque les diagnostics signalent un problème. Pour une base plus large sur les hypothèses de la régression linéaire et l’évaluation des modèles, notre tutoriel Assumptions of Linear Regression in Python est une lecture naturelle ensuite.