Tutoriel sur l’analyse des séries temporelles avec des feuilles de calcul

ACF et PACF

Comme son nom l’indique, l’autocorrélation mesure la dépendance linéaire d’une variable avec elle-même à deux instants différents. Cette fonction permet d’évaluer dans quelle mesure la valeur actuelle d’une série est liée à ses valeurs passées. L’ACF (fonction d’autocorrélation) tient compte de toutes les composantes de la série — tendance, saisonnalité, cycles et aléa (résiduel) — pour calculer les corrélations. C’est donc un diagramme d’autocorrélation complet. L’ACF est un bon moyen de confirmer une tendance positive ou négative : en présence d’une tendance positive, l’ACF ne décroît pas.

Une autre façon d’évaluer la relation linéaire entre deux variables est la fonction d’autocorrélation partielle. Pour mesurer la corrélation entre deux termes aléatoires x et x_t−1, on ne conserve que la part de corrélation expliquée par x_t et x_t+1, en éliminant l’effet linéaire des variables intermédiaires x_t+1, …, x_t+n, puis on calcule la corrélation des variables transformées. Ce procédé correspond à la fonction d’autocorrélation partielle (PACF).

Moyennes mobiles

Les moyennes mobiles lissent une série temporelle pour révéler plus clairement la direction de la tendance. Elles réduisent le bruit pour mieux faire ressortir le signal. Pour calculer une moyenne mobile, on prend la moyenne arithmétique d’un ensemble de valeurs. On distingue deux types principaux de moyennes mobiles :

• Moyenne mobile simple : elle se calcule en prenant la moyenne arithmétique d’un ensemble de valeurs. Par exemple, pour une moyenne mobile sur 5 jours des cours de clôture, additionnez les clôtures des 5 derniers jours puis divisez par 5. L’une des fonctions clés de la moyenne mobile est de dégager les tendances (Source).

Où m = 2k+1. Autrement dit, l’estimation de la tendance-cycle au temps t s’obtient en moyennant les valeurs de la série dans une fenêtre de k périodes autour de t (Source).

Jour 1 - 30
Jour 2 - 50
Jour 3 - 100
Jour 4 - 40
Jour 5 - 35

Moyenne mobile simple = (30 + 50 + 100 + 40 + 35) / 5
= 255/5
= 51

- Moyenne mobile exponentielle : la moyenne mobile exponentielle (EMA) est un type de moyenne mobile qui pondère davantage les données récentes, car une moyenne mobile simple peut être biaisée par une valeur aberrante. On parle aussi de moyenne mobile exponentiellement pondérée. Par exemple — en reprenant les données ci-dessus — pour la calculer, utilisez la formule suivante :

Pour une série de longueur n, avec N = 5,
EMA = [dernière valeur de la série − avant-dernière valeur] (2 / (n+1)) + avant-dernière valeur,
EMA = (35 − 40) (2 / 6) + 40
EMA = 35,33

Moyenne mobile dans les feuilles de calcul

Application de la moyenne mobile simple sur des données de ventes d’électricité. Calculons la 3MA (moyenne mobile sur 3 périodes) :

1. Commençons par tracer les données pour visualiser la tendance.

 2. Ajoutez une colonne intitulée « Three Moving Average (3MA) » et appliquez la formule. Pour une 3MA, les valeurs de k sont −1, 0, 1. Vous faites la moyenne du terme précédent, du terme courant et du terme suivant. Pour le premier et le dernier point, la 3MA ne peut pas être calculée faute de valeur précédente/suivante.

 3. Nous appliquerons la fonction en C3 : =AVERAGE(B2:B4). Cela donne la valeur de la 3MA.

 4. Copiez-collez ensuite la formule de la cellule C4 à C20. Vous obtiendrez les valeurs.

 5. Sélectionnez les colonnes des données et de la 3MA, puis tracez la série temporelle. Pour superposer sur le même graphique, allez dans « Sélectionner des données », ajoutez une série nommée 3MA. Désélectionnez la 1re et la 20e entrée car, pour la 3MA, ces valeurs sont nulles, puis validez.

De la même manière, vous pouvez calculer des 5MA, 7MA, etc.

Méthode linéaire de Holt

Jusqu’ici, vous avez vu plusieurs méthodes de prévision, mais elles se prêtent mal à des données très volatiles. Par exemple, pour prévoir le prix du bitcoin, actuellement en hausse, ces approches ne seraient pas idéales.

Si vous employez l’une de ces méthodes, la tendance n’est pas explicitement prise en compte. Comme expliqué, la tendance est la composante qui reflète l’évolution de long terme d’une série. Il faut donc une méthode capable d’estimer la tendance précisément sans hypothèses fortes : c’est l’objet de la méthode linéaire de Holt.

La méthode de Holt, aussi appelée lissage exponentiel double, comporte trois équations : une équation de prévision et deux équations de lissage.

Dans la première équation, l_t représente l’estimation du niveau de la série au temps t et b_t l’estimation de sa pente au temps t.

Pour la seconde équation et l’estimation de la tendance courante, on commence par projeter la tendance de la période précédente, en ajoutant b_t−1 à la dernière valeur lissée l_t−1. Cela réduit le décalage et rapproche l_t du niveau des données actuelles. Comme les données comportent une part de hasard (erreur), on ajuste ensuite la tendance par un lissage avec β (l_t − l_t−1), c’est-à-dire la tendance de la période passée, que l’on additionne à la valeur précédente de la tendance. La dernière équation sert à établir la prévision finale.

Méthode de Holt dans les feuilles de calcul

Résolvons cela avec des feuilles de calcul. Nous utilisons l’exemple de la méthode linéaire de Holt tiré du livre « Spyros G. Makridakis, Steven C. Wheelwright, Rob J Hyndman - Forecasting: Methods and Applications - Wiley (1997) ».

1. Pour initialiser, il faut deux estimations : l’une pour la première valeur lissée L1 et l’autre pour la tendance b1. Une option consiste à poser L1 = Y1 et b1 = Y2 − Y1 ou (Y4 − Y1) / 3.

2. Au départ, vous prenez α = 0,501 et β = 0,072. Il faudra les optimiser. L’optimisation peut se faire via la MSE (erreur quadratique moyenne) : retenez les valeurs de α et β qui minimisent la MSE comme hyperparamètres.

3. Saisissez ensuite ces formules dans Excel pour obtenir les prévisions. Au décalage 1 (m = 1) dans la troisième équation.

1. Au stade initial, L1 = Y1 et b1 = Y2 − Y1. Affectez ces valeurs dans Excel.

1. Appliquez les formules pour calculer L2, b2 et F2.

1. Copiez-collez ces trois formules jusqu’à la fin des données du fichier.

Vous obtenez toutes les valeurs. Si vous souhaitez prévoir la 25e période, prenez m = 1 ; pour la 26e, m = 2, et ainsi de suite.

1. Calculons des prévisions à différents horizons.

pour m = 1,

Pour m = 2,

De même, vous pouvez calculer pour d’autres horizons.

Conclusion

Félicitations, vous êtes arrivé au bout de ce tutoriel !

Vous avez passé en revue les éléments essentiels de l’analyse des séries temporelles : ACF et PACF, moyennes mobiles, application dans les feuilles de calcul, méthode linéaire de Holt et sa mise en œuvre dans les feuilles de calcul.

Vous devriez désormais pouvoir mobiliser ces concepts pour tester vos hypothèses. Merci de votre lecture !

Pour aller plus loin en feuilles de calcul, découvrez le cours de DataCamp : Introduction to Statistics in Spreadsheets.