Çok Düzeyli Modelleme: Veri Bilimciler İçin Kapsamlı Bir Rehber

Sıklıkla, sınıflar içinde gruplanmış öğrenciler, hastanelere iç içe geçmiş hastalar veya zaman içinde aynı bireyden alınan tekrarlı ölçümler gibi iç içe geçmiş ya da hiyerarşik verilerle karşılaştığımızda, modelleme için geleneksel doğrusal yöntemlere yöneliriz. Bu standart istatistiksel modeller, bu tür iç içe yapılar içindeki karmaşık ilişkileri yakalayamaz ve önyargılı içgörülere yol açabilir. Bu gibi durumlarda çok düzeyli modelleme (MLM) — hiyerarşik ya da karışık etkiler modellemesi olarak da bilinir — grup düzeyi özelliklerin bireysel sonuçlar üzerindeki etkisini hesaba katarak hiyerarşiyi ele almakta oldukça faydalı olabilir.

MLM; eğitim ve sağlık alanlarından psikoloji ve sosyal bilimlere kadar pek çok alanda uygulanır; çünkü tek düzeyli modellerin sunabildiğinin ötesine geçen incelikli bir veri anlayışı sağlar. Sabit ve rastgele etkileri birlikte modelleyerek MLM, gruplar içi ve gruplar arası değişkenliği yakalar ve gerçek dünya olgularının daha zengin, daha doğru bir temsilini sunar. Bu yazıda çok düzeyli modellemenin temellerini, uygulamalarını ve karmaşık veri analizine getirdiği faydaları inceleyeceğiz. Bu makaleyi bitirdiğinizde, R'de Hiyerarşik ve Karışık Etkiler Modelleri hakkındaki şiddetle tavsiye ettiğimiz tam kursumuza da göz atmayı unutmayın.

Çok Düzeyli Modelleme Nedir?

Sosyal bilimler, eğitim ve epidemiyoloji gibi verilerin sıklıkla doğal hiyerarşik yapılara sahip olduğu alanlarda, MLM daha uygun bir yöntemdir. Bu disiplinlerde veriler çoğunlukla gruplar halinde kümelenir: öğrenciler sınıflarda, hastalar hastanelerde ya da anket yanıtları mahallelerde gruplanır.

Eğitim araştırmalarından söz edelim; burada MLM, bireysel öğrenci performansının yalnızca öğrenciye özgü faktörlerden (örneğin çalışma alışkanlıkları) değil, aynı zamanda sınıf veya okul düzeyi değişkenlerden (örneğin öğretmen deneyimi veya okul kaynakları) nasıl etkilendiğini incelemede yararlı olabilir. Benzer şekilde epidemiyolojide çok düzeyli modeller, bireylerin sağlık sonuçlarının hem kişisel özelliklerden hem de bireylerin yaşadığı çevrelerden (mahalleler veya şehirler gibi) nasıl etkilendiğini analiz eder. Sosyal bilimlerde araştırmacılar, kişisel tutumların hem bireysel inançlardan hem de grup düzeyi normlardan nasıl şekillendiğini incelemek için sıklıkla MLM kullanır.

Tek düzeyli modeller her bir gözlemin bağımsız olduğunu varsayarken, MLM kümeler içindeki korelasyonu sabit ve rastgele etkileri dâhil ederek kabul eder. Sabit etkiler veri seti genelindeki sistematik, ortalama ilişkileri yakalarken; rastgele etkiler sınıflar, hastaneler veya topluluklar gibi kümeler içindeki değişkenliği hesaba katar. Bu ikili yaklaşım yalnızca kümeler içindeki bağımlılıkları kontrol etmekle kalmaz, aynı zamanda daha üst düzeydeki değişkenlerin bireysel özelliklerle nasıl etkileştiğine dair içgörü de sağlar.

Çok Düzeyli Modelleme Ne Zaman Gerekli?

Geleneksel regresyon modelleri, bir gözlemin değerinin başka bir gözlemin değerinden etkilenmediğini varsayar; bu bağımsızlık varsayımı olarak bilinir. Bu varsayım, gözlemlerin birbirini etkilemediği tek tip bir gruptan veri toplandığında geçerli olabilir. Ancak, hiyerarşik verilerde bu varsayım ihlal edilir; çünkü kümeler içindeki bireyler (örneğin sınıflar veya hastaneler) muhtemelen birbirlerine, diğer kümelerdeki bireylerden daha çok benzerler.

Örneğin eğitim araştırmalarında, aynı okuldaki öğrenciler benzer kaynakları, öğretim kalitesini ve yerel politikaları paylaşır; bu da performanslarında bağımlılıklar yaratır. Sağlık çalışmaları söz konusu olduğunda, aynı hastanede tedavi gören hastalar benzer bakım düzeyleri deneyimleyebilir veya tedavilere benzer şekilde yanıt verebilir; bu da sağlık sonuçlarında kümelenme yaratır.

Hiyerarşik verilerde bağımsızlık varsayımı görmezden gelindiğinde çeşitli sorunlar ortaya çıkar:

• Standart Hataların Eksik Tahmini: Geleneksel modeller bağımsızlığı varsaydığı için, kümelenmiş verilerde sıklıkla daha küçük standart hatalar üretir; bu da istatistiksel anlamlılık konusunda aşırı iyimser sonuçlara yol açar.
• Yanlış Tahmin Edilmiş Katsayılar: Kümelenmeyi hesaba katmamak, katsayı tahminlerinde yanlılığa neden olabilir ve birey düzeyi ile grup düzeyi değişkenlerin etkilerini ayrıştırmayı zorlaştırır.

Çok düzeyli bir modele ihtiyaç nasıl belirlenir

Veri aşağıdaki özelliklerden birini veya birkaçını gösterdiğinde çok düzeyli bir model uygun olur:

• Gözlemler daha büyük birimler içinde gruplanmıştır (ör. sınıflar içindeki öğrenciler). Her birim, söylediğimiz gibi, bireysel sonuçları etkileyebilir.
• Kümeler içindeki gözlemler birbirine benzer olma eğilimindedir. Bunu çoğu zaman, grup düzeyi farklılıklardan kaynaklanan varyans oranını ölçen sınıf içi korelasyon katsayısını (ICC) hesaplayarak kontrol edebilirsiniz.
• Hem birey düzeyi hem de grup düzeyi değişkenlerin bir sonuç üzerindeki etkisini anlamak istiyorsak (ör. öğrenci çabası ve okul kaynaklarının birlikte etkilediği sınav puanları), MLM uygun bir seçimdir.

Bunu bir örnekle anlayalım. Öğrencilerin akademik performansını inceleyen bir çalışma hayal edin. Burada tek düzeyli bir model, her bir öğrenciyi bağımsız bir gözlem olarak ele alır ve aynı okul içindeki öğrencilerin, diğer okullardakilere kıyasla birbirlerine daha çok benzer olabileceği gerçeğini göz ardı eder. MLM kullanarak, hem bireysel öğrenci düzeyi değişkenleri (örneğin çalışmaya ayrılan saatler) hem de okul düzeyi değişkenleri (öğrenci başına finansman veya öğretmen-öğrenci oranları gibi) modelleyebilir ve iki düzeydeki etkileri doğru biçimde yakalayabiliriz.

İşte MLM'nin çeşitli gerçek dünya senaryolarında nasıl uygulandığına dair örnekler:

• Eğitimde, MLM; öğrenci düzeyi (sosyoekonomik durum, çalışma alışkanlıkları) ve okul düzeyi faktörleri (finansman, öğretmen deneyimi) hesaba katarak öğrenci performansını analiz etmek için kullanılır ve okul kaynaklarının, bireysel farklılıkların ötesinde, öğrenci sonuçlarını etkileyip etkilemediğini ortaya çıkarır.
• Sağlık hizmetlerinde, MLM; hasta düzeyi (yaş, sağlık durumu) ve hastane düzeyi değişkenleri (tesis kalitesi, personel uzmanlığı) dâhil edilerek hasta sonuçlarının incelenmesini sağlar; hemşire-hasta oranı gibi hastane özelliklerinin iyileşme oranlarını etkileyip etkilemediğini belirler.
• Boylamsal çalışmalarda, MLM; bireysel değişimleri zaman içinde (ör. terapi sırasında ruh sağlığı) izlemek için idealdir; zaman-özgü ve bireysel faktörler dâhil edilerek hem seans düzeyi hem de genel ilerleme etkilerinin ayırt edilmesine yardımcı olur.
• Halk sağlığında, MLM; bireysel (aşılanma durumu) ve topluluk düzeyi faktörleri (nüfus yoğunluğu, müdahaleler) dikkate alınarak hastalık yayılımını anlamaya yardımcı olur ve hangi topluluk stratejilerinin (ör. farkındalık kampanyaları) bulaşmayı etkili biçimde azalttığını netleştirir.
• Grup terapisi araştırmalarında, MLM; bireysel (özsaygı, terapiye bağlılık) ve grup düzeyi dinamikleri (uyum, lider deneyimi) hesaba katarak, ne kadar iyileşmenin kişisel etkilere kıyasla grup etkilerinden kaynaklandığını gösterir ve daha iyi terapi yapıları hakkında bilgi sağlar.

Bu alanların tümünde MLM, tek düzeyli modellerin gözden kaçırabileceği bağımlılıkları yakalar ve müdahalelerin hem bireysel ihtiyaçlara hem de daha geniş yapısal faktörlere göre uyarlanmasına olanak tanır.

Çok Düzeyli Modellemede Temel Kavramlar

MLM'lerin ele aldığı başlıca bileşenler; sabit ve rastgele etkiler, merkezleme teknikleri, kovaryans yapıları ve veri yapılarıdır. Her birini, uygulama ve yorumlama rehberiyle birlikte anlayalım.

Sabit etkilere karşı rastgele etkiler

MLM'lerde sabit etkiler, tüm analiz birimleri arasında tutarlı olduğu varsayılan ilişkileri tahmin eder. Bu katsayılar, geleneksel regresyon modellerindekilere benzer şekilde yorumlanır ve tüm gruplara ya da kümelere evrensel olarak uygulanır. Örneğin, okullar genelinde çalışma saatlerinin sınav puanlarını nasıl etkilediğini inceliyorsak, çalışma saatleri için bir sabit etki, bu etkinin tüm okullar için aynı olduğunu varsayar.

Diğer yandan rastgele etkiler, parametrelerin bu birimler arasında değişmesine izin vererek gruplar veya kümeler arasındaki değişkenliği yansıtır. Sabit etkilerden grup düzeyindeki sapmaları yakalar; örneğin bazı okulların doğal olarak diğerlerinden daha yüksek veya daha düşük ortalama puanlara sahip olması gibi. Tıpkı doğrusal regresyonda kesişim ve eğimlerin olması gibi, MLM'deki rastgele etkiler de rastgele kesişimler ve rastgele eğimler olarak parametrik hale getirilir.

Rastgele kesişimler, kümeler arasındaki başlangıç düzeyindeki (kesişim) değişimi modeller. Örneğin, rastgele bir kesişim her okula, okullar arasındaki temel performans farklılıklarını yansıtan benzersiz bir ortalama sınav puanı atar.

Rastgele eğimler, bir bağımsız değişken ile bağımlı değişken arasındaki ilişkinin kümeler arasında nasıl değiştiğini yakalar. Çalışma saatlerinin sınav puanlarına etkisi bir okuldan diğerine değişiyorsa, her okulun çalışma saatleri ile puanlar arasında benzersiz bir ilişkiye sahip olacağı rastgele eğimlerle bu durum modellenebilir.

Sabit ve rastgele etkiler ne zaman kullanılmalı

Sabit etkiler genellikle tüm kümelerde tekdüze bir ilişki varsaydığımızda kullanılırken, rastgele etkiler gruplar arasında varyasyon beklediğimizde kullanışlıdır. Özellikle rastgele eğimler, yordayıcılar ile sonuçlar arasındaki ilişkinin kümeler boyunca değiştiğine dair kanıt olduğunda değerlidir.

Genel-ortalama ve grup-ortalaması merkezleme

Merkezleme, yordayıcıları ayarlamak ve çok düzeyli modellerin yorumlanabilirliğini artırmak için kullanılan bir tekniktir.

• Genel-Ortalama Merkezleme: Genel-ortalama merkezlemede, her bir yordayıcı değişken genel ortalama (tüm kümeler boyunca ortalama) etrafında merkezlenir. Bu yöntem, kesişimi, yordayıcının ortalama düzeyindeki bir grup için öngörülen sonuç olarak yorumlamaya yardımcı olur.
  Örnek: Okullar genelinde çalışma saatlerinin sınav puanlarına etkisini inceliyor olalım. Çalışma saatlerini genel ortalama etrafında merkezleyerek, çalışma saatlerinin sabit etkisini tüm okullar genelindeki ortalama etki açısından yorumlarız.
  
• Grup-Ortalaması Merkezleme: Grup-ortalaması merkezlemede, her yordayıcı kendi grubunun veya kümesinin ortalaması etrafında merkezlenir. Bu yaklaşım, yordayıcıların kümeler içindeki ve kümeler arasındaki etkilerini ayırt etmeye yardımcı olur ve küme içi varyasyonun sonuç üzerindeki etkisiyle ilgilendiğimizde kullanışlıdır.
  Örnek: Çalışma saatleri için grup-ortalaması merkezleme kullanmak, bir bireyin çalışma saatlerinin okulunun ortalamasına göre etkisini yorumlamamıza olanak tanır ve okul içi etkileri okul arası farklılıklardan ayırmaya yardımcı olur.

Genel-ortalama ve grup-ortalaması arasında seçim yapmak

Genel-ortalama merkezleme, yordayıcıların etki düzeyini genel popülasyon ortalamasına göre merak ettiğimizde uygundur. Buna karşılık, grup-ortalaması merkezleme, grup içi etkileri grup arası etkilerden ayırmanın gerekli olduğu durumlarda kullanışlıdır. Örneğin, öğrencilerin çalışma saatlerini okullarının ortalama çalışma süresi bağlamında karşılaştırmakla ilgileniyorsak, grup-ortalaması merkezleme bu grup içi karşılaştırmaları netleştirir.

Kovaryans matrisleri

MLM'lerde kovaryans matrisleri, kümeler içi ve kümeler arası değişkenliği anlamak için esastır. Rastgele etkilerin ve kalıntıların yapısını yorumlamak için anahtardır:

• Kalıntı kovaryans matrisi, sabit veya rastgele etki modellemesiyle açıklanmayan, kümeler içindeki gözlemler arasındaki korelasyonu haritalar.
• Rastgele etkiler kovaryans matrisi ise rastgele kesişimler ve eğimler de dâhil olmak üzere rastgele etkilerdeki değişkenliği ve kümeler arası bağımlılıkları haritalar. Örneğin rastgele eğimli bir modelde, bu matris eğimin bir kümeden diğerine nasıl değiştiğini ortaya koyar.

MLM'de kovaryansın önemi

MLM'deki kovaryans yapısı, kümelenmiş veriler içindeki bağımlılıkları hesaba katarak modelin standart hataları ve katsayıları doğru tahmin etmesini sağlar. Uygun bir kovaryans yapısı belirtmek, modelin kümeler içi ve kümeler arası ilişkileri doğru yansıtmasına yardımcı olur ve daha güvenilir çıkarımlara yol açar.

İç içe geçmiş ve çapraz-sınıflandırılmış yapılar

Veri yapısını — iç içe mi yoksa çapraz-sınıflandırılmış mı — doğru tanımlamak, doğru bir MLM kurmanın önemli bir parçasıdır:

• İç içe geçmiş yapılar, bir veri düzeyinin tamamen başka bir düzeyin (ebeveyn düzey) içinde yer aldığı (ör. okullar içindeki öğrenciler) yapılardır.
• Çapraz-sınıflandırılmış yapılar ise, alt düzey birimlerin birden fazla üst düzey birime ait olabilmesi nedeniyle tek bir hiyerarşiye düzgün biçimde oturmaz. Bu yapı daha karmaşık modellemeyi gerektirir. Eğitim araştırmalarından iyi bir örnek; öğrencilerin mahalle ve okul bölgesi gibi birden fazla sınıflandırmaya ait olabilmesidir. Her öğrenci, mahalle ve okulun benzersiz bir kombinasyonuna sahiptir; bu da çapraz-sınıflandırılmış bir yapı oluşturur.

Doğru yapıyı belirlemek

Yapıyı belirlemek için, alt düzeydeki her bir birimin tek bir üst düzey birime (iç içe) mi yoksa birden fazlasına (çapraz-sınıflandırılmış) mı ait olduğunu değerlendirin. Doğru yapı, MLM'nin gerçek dünyadaki veri bağımlılıklarını yakalamasını ve anlamlı içgörüler sunmasını sağlar.

Çok Düzeyli Modellerin Uygulanması

Şimdi lme4 paketini kullanarak R'de MLM uygulayalım; aşağıda adım adım anlatılan kılavuzu izleyelim.

Adım 1: Veriyi hazırlama

İç içe geçmiş sentetik veriler oluşturalım. Burada öğrenciler okullar içinde iç içedir; her satır bir öğrenciyi temsil eder ve okullar için bir gruplama değişkeni vardır.

# Create the data frame
our_multilevel_data <- data.frame(
  StudentID = 1:20,
  SchoolID = c("A", "A", "B", "B", "A", "A", "B", "B", "A", "B", 
               "A", "C", "C", "C", "C", "A", "B", "C", "B", "C"),
  StudyHours = c(5, 3, 4, 6, 2, 7, 5, 8, 6, 3, 
                 4, 5, 6, 2, 7, 9, 2, 8, 4, 3),
  TestScore = c(80, 70, 85, 90, 60, 95, 88, 92, 85, 75, 
                72, 78, 83, 65, 89, 96, 67, 91, 79, 68)
)

# Display the first 5 rows of the data frame
head(our_multilevel_data, 5)Altyapı:

Adım 2: lme4 kütüphanesini kurma ve yükleme

lme4 kütüphanesi R'de çok düzeyli modelleme için yaygın olarak kullanılır. Şöyle kurup yükleyin:

# Install lme4 if you haven't already
install.packages("lme4")

# Load the library
library(lme4)Altyapı:

Adım 3: İki düzeyli rastgele kesişim modeli kurma

Bu örnekte, TestScore değişkenini sonuç değişkeni, StudyHours değişkenini ise yordayıcı olarak modelleyeceğiz; okullar arası varyasyonu (rastgele kesişim) hesaba katarak. Bu model, her okul için bir kesişim tahmin eder ve her birinin benzersiz bir temel puanı olmasına izin verir.

lme4'teki formül söz dizimi, gruplama değişkeni olan SchoolID için bir rastgele kesişimi belirtmek üzere (1 | SchoolID) kullanır.

# Fit a two-level random intercept model
our_multilevel_model <- lmer(TestScore ~ StudyHours + (1 | SchoolID), data = our_multilevel_data)Altyapı:

Bu model şunları içerir:

• StudyHours için Sabit Etki: Çalışma saatlerinin sınav puanları üzerindeki ortalama etkisini tüm okullar genelinde tahmin eder.
• SchoolID için Rastgele Kesişim: Kesişimin (temel sınav puanı) okula göre değişmesine izin verir.

Adım 4: Özet ve model çıktıları

Modeli kurduktan sonra, sabit etkiler, varyans bileşenleri ve standart hatalar için tahminler sağlayan summary() işleviyle sonuçları inceleyin.

# Summary of the model
summary(our_multilevel_model)Altyapı:

Linear mixed model fit by REML ['lmerMod']
Formula: TestScore ~ StudyHours + (1 | SchoolID)
   Data: data

REML criterion at convergence: 105.7

Scaled residuals: 
     Min       1Q   Median       3Q      Max 
-1.81620 -0.59553  0.03922  0.27094  1.86051 

Random effects:
 Groups   Name        Variance Std.Dev.
 SchoolID (Intercept)  9.41    3.068   
 Residual             11.17    3.343   
Number of obs: 20, groups:  SchoolID, 3

Fixed effects:
            Estimate Std. Error t value
(Intercept)  56.7194     2.6280   21.58
StudyHours    4.7643     0.3612   13.19

Correlation of Fixed Effects:
           (Intr)
StudyHours -0.682
Altyapı:

Bu çıktı şunları sağlar:

• Sabit Etkiler: StudyHours için katsayılar (tahminler); çalışma saatlerinin sınav puanlarına ortalama etkisini gösterir.

• Rastgele Etkiler: Kesişim için varyans bileşenleri; okullar arası varyansı yakalar.

• Kalıntı Varyansı: Okul içi varyans (hata terimi).

Adım 5: Temel sonuçları yorumlama

Şimdi sonuçları anlamak için:

Sabit etki tahminleri

Özetteli sabit etkiler, StudyHours değişkeninin TestScore üzerindeki ortalama etkisini okullar genelinde bize anlatır.

• Kesişim: Çalışma saati sıfır olan öğrencilerin ortalama sınav puanı.
• Eğim (StudyHours): Çalışmaya harcanan her ek saat için sınav puanlarındaki ortalama artış. Bu tahmin tüm okullara uygulanır.

Rastgele etki varyans bileşenleri

Rastgele etkiler, grup düzeyindeki (ör. okullar arası) değişkenliği temsil eder. Çıktıda, 9.14'lük Rastgele Kesişim Varyansı (SchoolID) okulların ortalama sınav puanlarında (yaklaşık 3'lük sd) ne kadar farklılaştığını gösterir ve okullar arasındaki temel performans farklarını yakalar.

Kalıntı varyansı

11.17'lik kalıntı varyansı, grup içi varyansı temsil eder (ör. aynı okul içindeki öğrenciler arasındaki farklılıklar).

Sınıf içi korelasyon katsayısı (ICC)

ICC, gruplar arasında var olan varyansın oranını niceler ve MLM gerekliliğini değerlendirmeye yardımcı olur. Yüksek bir ICC, sonucun değişkenliğinin önemli bir bölümünün gruplar arası farklılıklardan kaynaklandığını gösterir.

ICC'yi şu şekilde hesaplayalım:

# Extract variance components
school_variance <- as.numeric(VarCorr(our_multilevel_model)$SchoolID[1])
residual_variance <- attr(VarCorr(our_multilevel_model), "sc")^2

# Calculate ICC
ICC <- school_variance / (school_variance + residual_variance)
ICCAltyapı:

0.4571434Altyapı:

ICC'nin 1'e yakın olması, değişkenliğin çoğunun grup düzeyinde olduğunu; 0'a daha yakın olması ise grup içi değişkenliğin baskın olduğunu gösterir. Genellikle 0.1 veya 0.2'nin üzerindeki ICC'ler çok düzeyli bir yaklaşım ihtiyacına işaret eder. Burada ~0.46'lık bir ICC elde ediyoruz; bu da MLM yaklaşımının kullanılmasını gerektirir.

Adım 6: Ek model ayarlamaları

Daha sonra bazı model ayarlamaları yapabiliriz.

Rastgele eğimler ekleme

Eğer StudyHours etkisi okullar arasında değişiyorsa (bazı okullarda ilişki daha güçlü ya da daha zayıf olabilir), StudyHours için rastgele bir eğim ekleriz:

# Model with random slope for StudyHours
model_slope <- lmer(TestScore ~ StudyHours + (StudyHours | SchoolID), data = our_multilevel_data)Altyapı:

Bu model, her okul için benzersiz bir eğim tahmin eder ve çalışma saatleri ile sınav puanları arasındaki ilişkinin okullar arasında değişmesine izin verir.

Model karşılaştırması

Rastgele eğimlerin eklenmesiyle karmaşıklığın uyumu iyileştirip iyileştirmediğini test etmek için anova() işlevini kullanalım.

# Compare models
anova(our_multilevel_model, model_slope)Altyapı:

Data: data
Models:
model: TestScore ~ StudyHours + (1 | SchoolID)
model_slope: TestScore ~ StudyHours + (StudyHours | SchoolID)
            npar    AIC    BIC  logLik deviance  Chisq Df Pr(>Chisq)
model          4 116.44 120.43 -54.221   108.44                     
model_slope    6 119.31 125.28 -53.655   107.31 1.1331  2     0.5675
Altyapı:

Anlamlı bir fark, rastgele eğimin modeli iyileştirdiğini gösterir. Eğim eklenmesi durumunda AIC ve BIC sayılarının işaret ettiği üzere anlamlı bir fark yoktur.

Çok Düzeyli Modellemede İleri Konular

MLM'de Bayesçi yaklaşımların ve gelişmiş veri yapıların kullanılması, özellikle incelikli veri örüntüleriyle uğraşırken daha iyi içgörüler sağlayabilir. İşte standart hiyerarşik yapıların ötesine geçen ileri MLM tekniklerine genel bir bakış.

1. Rastgele eğimler ve düzeyler arası etkileşimler

Düzeyler arası etkileşimler

Düzeyler arası etkileşimler, bir düzeydeki (ör. birey) ilişkilerin daha üst düzeydeki faktörlere (ör. gruplar) göre nasıl değişebileceğini keşfetmemize olanak tanır. Bu etkileşimler, alt düzeydeki bir yordayıcının etkisi daha üst düzeydeki bir özelliğe bağlı olduğunda önemlidir.

Örnek: Okullar genelinde öğrencilerin çalışma saatleri ile sınav puanları arasındaki ilişkiyi inceleyelim. Bir düzeyler arası etkileşim, çalışma saatlerinin sınav puanlarına etkisinin okul düzeyi değişkenlere (okul finansmanı veya ortalama öğretmen deneyimi gibi) bağlı olarak değişip değişmediğini anlamamıza yardımcı olabilir.

Bu durumda:

• Çalışma saatleri için rastgele bir eğim, bu etkinin bir okuldan diğerine değişmesine izin verir.
• Düzeyler arası bir etkileşim, çalışma saatleri ile sınav puanları arasındaki ilişkinin, finansmanı daha yüksek okullarda daha güçlü olup olmadığını modellemeye yardımcı olur.

Düzeyler arası etkileşimler, grup bağlamlarının (okullar veya bölgeler gibi) birey düzeyi davranışları etkileyebileceği durumlarda özellikle kullanışlıdır ve grup özelliklerinin ilişkileri nasıl güçlendirdiği ya da zayıflattığına dair içgörüler sunar.

Etkileşimleri yakalamak için rastgele eğimler kullanma

Rastgele eğimler, yordayıcılar ile sonuçlar arasındaki ilişkinin gruplar arasında nasıl değiştiğini modellememize olanak tanır. Bu teknik, bir yordayıcının (ör. çalışma saatleri) etkisinin gruplar (ör. okullar) arasında tekdüze olmadığı şüphesini taşıdığımızda faydalıdır. Rastgele bir eğim belirterek, model bu gruba özgü varyasyonları yakalayabilir.

Rastgele eğimleri şu durumlarda kullanın:

• Bir yordayıcı ile sonuç arasındaki ilişkinin gruplar arasında önemli ölçüde değiştiğine dair kanıt olduğunda.
• Birey düzeyi etkilerin gruplar arasında nasıl farklılaştığını ve grup düzeyi değişkenlerin bu etkileri ılımlılaştırıp ılımlılaştırmadığını anlamakla ilgilendiğinizde.

2. Hiyerarşik yapıların ötesinde çok düzeyli modeller

Geleneksel MLM'ler katı bir hiyerarşi varsayar; ancak veriler sıklıkla, bireylerin basit bir hiyerarşiye sığmayan birden çok gruba ait olduğu daha karmaşık yapılar içerir.

Çapraz-sınıflandırılmış modeller

Çapraz-sınıflandırılmış modeller, alt düzey birimlerin eşzamanlı olarak iki veya daha fazla üst düzey gruba iç içe geçtiği durumlar için tasarlanmıştır. Katı hiyerarşik yapılardan farklı olarak, bu modeller bireylerin birden fazla sınıflandırmaya ait olmasını hesaba katar ve her sınıflandırmanın sonuç üzerindeki etkisini ayrı ayrı tahmin etmeye olanak tanır.

Bir örnek vermek gerekirse; eğitim araştırmalarında öğrenciler hem mahallelere hem de okullara iç içe geçmiş olabilir. Bazı öğrenciler komşularından farklı okullara gidebilir; bu da bireylerin tek bir grup içinde iç içe olmadığı, bunun yerine iki çapraz-sınıflandırılmış gruba yayıldığı bir yapı oluşturur.

Bu gibi durumlarda model, mahalleleri ve okulları ayrı ama çapraz-sınıflandırılmış varyans kaynakları olarak ele alır ve araştırmacıların her iki sınıflandırmanın da sonuç üzerindeki etkilerini tahmin etmesini sağlar. Bu yaklaşım, insanların birden fazla sosyal veya coğrafi grupla etkileşimde bulunduğu çalışmalarda yaygındır.

Çapraz-sınıflandırılmış modeller ne zaman kullanılmalı

Çapraz-sınıflandırılmış modeller şu durumlarda uygundur:

• Bireyler veya alt düzey birimler birden fazla üst düzey birim tarafından etkileniyorsa (ör. öğrenciler hem okul hem de mahalle bağlamından etkileniyorsa).
• Bu sınıflandırmalar katı bir hiyerarşi oluşturmadığında, her bir sınıflandırmanın sonucun değişkenliğine nasıl katkıda bulunduğunu anlamayı hedefliyorsak.

3. Çok düzeyli modeller için Bayesçi yöntemler

Bayesçi çok düzeyli modelleme, özellikle karmaşık ya da küçük veri setlerinde yararlı olan olasılıksal bir MLM yaklaşımıdır.

Bayesçi çok düzeyli modellemenin faydaları

Bayesçi MLM, sıkırcı (frekansçı) yaklaşımlara kıyasla birkaç fayda sunar:

• Küçük Örneklemlerde İyileştirilmiş Tahminler: Örneklem boyutlarının sınırlı olduğu veya verilerin seyrek olduğu durumlarda, Bayesçi yöntemler modele bilgi katan önsel dağılımları kullanarak daha güvenilir tahminler üretebilir.
• Karmaşık Modellerde Esneklik: Bayesçi yaklaşımlar, birden çok rastgele etki veya karmaşık kovaryans yapıları içeren daha karmaşık modelleri daha kolay ele alır.
• Belirsizlik Tahmini: Bayesçi yöntemler parametreler için tam artk dağılımlar sağlar; bu da tahminler etrafındaki belirsizliğin daha zengin bir şekilde yorumlanmasına olanak tanır.

Bayesçi MLM'de, nokta tahminleri yerine model olası değerlerin dağılımlarını sağlar; bu sayede belirsizliği ifade edebilir ve parametre değerleri hakkında olasılıksal ifadeler yapabiliriz. Örneğin, çalışma saatlerinin sınav puanlarına gerçek etkisinin belirli bir aralıkta olma olasılığının %95 olduğunu söyleyebiliriz.

Bayesçi çok düzeyli modelleme araçları

Bayesçi MLM için popüler araçlar şunlardır:

• Stan: Stan, Bayesçi modelleme için güçlü bir araçtır; sıklıkla R arayüzleri olan rstanarm ve brms aracılığıyla kullanılır ve model kurulumunun büyük kısmını otomatikleştirerek Bayesçi MLM'yi kolaylaştırır.

• PyMC3: Python'da Bayesçi modelleme için yaygın olarak kullanılır ve özel Bayesçi MLM'ler kurmada esneklik sunar.

Hem Stan hem de PyMC3, artk dağılımlardan örnekleme yapmak için Markov zinciri Monte Carlo (MCMC) yöntemlerini kullanır; bu yöntem hesaplama açısından yoğundur fakat özellikle çok düzeyli ortamlarda faydalı, hassas parametre tahminleri sağlar.

Örnek kullanım durumu: Sağlıkta Bayesçi MLM

Birden fazla hastane genelinde hasta iyileşme sürelerine uygulanan Bayesçi bir MLM düşünün. Tedavi türü ve doktor deneyimi gibi faktörleri inceliyorsak, Bayesçi MLM, her hastanenin tedavi yaklaşımının iyileşmeyi ne ölçüde etkilediğine dair olasılıksal bir aralık sağlayabilir. Bu yaklaşım, belirsizliği nicelendirmeye ve hastaneler genelinde iyileşme süresi tahminleri için güvenilirlik aralıkları oluşturmaya imkân tanır; bu da özellikle tahminlerde yüksek güvenin kritik olduğu tıbbi ve psikolojik çalışmalarda değerlidir.

Yaygın Tuzaklar ve En İyi Uygulamalar

Hiyerarşik verilerle çalışırken bazı hususlara dikkat etmek, MLM'lerle çalışırken uzun yol almanızı sağlar.

• Üst Düzeylerde Küçük Örneklem Büyüklükleri: MLM, gruplar arası değişkenliği doğru tahmin etmek için yeterli sayıda grup veya küme gerektirir. 30'dan az küme ile rastgele etkiler ve standart hataların tahminleri güvenilir olmayabilir. Kümeler sınırlıysa, daha basit modelleri veya önsel bilgiyi dâhil ederek küçük örneklemleri daha iyi yönetebilen Bayesçi MLM'yi düşünün.
• Rastgele Etkilerin Yanlış Yorumlanması: Rastgele etkiler grup düzeyindeki varyasyonu yansıtır; bireye özgü sonuçları değil. Bunları birey düzeyi etkiler gibi yorumlamak hatalı sonuçlara yol açabilir. Kümeler arası değişkenliğin, çalışmanızın bağlamı için anlamlı olup olmadığına odaklanın.
• Yanlış Kovaryans Yapısı Belirtimi: Rastgele eğimli modellerde, uygun bir kovaryans yapısı belirtmemek yanlı tahminlere yol açabilir. Önce daha basit yapılar kullanın ve gerekirse daha karmaşık yapılara geçin. Olasılık oranı testleri gibi araçlar, ek karmaşıklığın gerekip gerekmediğini belirlemeye yardımcı olabilir.
• Merkezleme Rehberliği: Özellikle düzeyler arası etkileşimlerin olduğu modellerde, yordayıcıların genel-ortalama merkezlenmesi yorumlanabilirliği artırmak için genellikle önerilir. Grup-ortalaması merkezleme, grup içi ilişkileri netleştirebilir; ancak yalnızca bu ilişkiler özel ilgi alanınız olduğunda kullanılmalıdır.
• Rastgele Kesişimlerin Yorumlanması: Rastgele kesişimler, sonuç değişkeninin temel düzeyindeki grup farklarını yakalar. Grup-özgü temel düzeylere izin verir; ancak aşırı karmaşık rastgele kesişim yapıları aşırı uyuma yol açabilir. Rastgele kesişimleri temkinli yorumlayın ve anlamlı varyans gösterip göstermediklerine odaklanın.

Sınıf içi korelasyon katsayısı (ICC) çok düşükse (sıfıra yakın), gruplar arası varyansın asgari olduğunu gösterir ve MLM gerekli olmayabilir. Benzer şekilde, çok az sayıda küme varsa (ör. 10'dan az), MLM'nin getirdiği ek karmaşıklık daha basit yaklaşımlara göre fayda sağlamayabilir.

Sonuç

Şimdiye kadar, çok düzeyli modellerin hiyerarşik verileri analiz etmek için yararlı bir çerçeve sunduğunu; verilerin daha büyük birimler içinde gruplanmasıyla ortaya çıkan karmaşıklıkları karşıladığını öğrendik. Birey ve grup düzeyi etkileri birlikte yakalayarak, MLM'ler tek düzeyli modellerin sıklıkla gözden kaçırdığı iç içe yapıları hesaba katmayı sağlar. Sabit ve rastgele etkiler, varyans bileşenleri ve sınıf içi korelasyon katsayıları; farklı düzeylerdeki değişkenliği nicelendirmemize ve ilişkilerin nasıl değiştiğini değerlendirmemize olanak tanır.

Bir sonraki adım olarak çok kapsamlı R'de Hiyerarşik ve Karışık Etkiler Modelleri kursumuzu alın. Verilerin sıklıkla birden çok düzeyde karmaşık ilişkiler içerdiğini görecek ve MLM'lerin, ister katı hiyerarşik ister çapraz-sınıflandırılmış olsun, kümelenmiş yapıları ele alma becerisinin analizlerinize nasıl derinlik ve doğruluk kattığını takdir edeceksiniz. Bu nedenle çok düzeyli modeller, bilinçli karar verme ve politika geliştirme için değerli araçlardır. Ayrıca çok şey öğreten R ile İstatistikçi kariyer yolumuzu da öneririm.