Kurs
R ile Olasılığın Temelleri
4 sa
42.9K
Üniversitedeki ilk kodlama temelli istatistik dersimde, hocam bir soru sordu: tek bir polen parçacığının suda gerçekleştirdiği Brown hareketini nasıl modelleyebiliriz? Birkaç yanlış denemeden sonra, sınıf arkadaşlarımla birlikte sonunda doğru cevabı bulduk: rastgele yürüyüş. Daha sonra, bu basit modelin hayvan hareketlerinden hisse fiyatlarındaki dalgalanmalara kadar her türlü şeyi modellemek için kullanıldığını öğrendim.
Bu yazıda, rastgele yürüyüşlerin matematiksel temellerini inceleyecek, farklı türlerine bakacak ve uygulamalarını tartışacağız. Rastgele yürüyüşü ilginç kılan şeylerden biri, pek çok farklı disiplinde kullanılıyor olmasıdır. Benim örneğime ek olarak, fizikte parçacık hareketini tanımlamaya yardımcı olur; finansta hisse fiyatı dalgalanmalarını modellemede kullanılır; biyolojide ise hayvan hareket kalıplarını açıklar. Rastgele yürüyüşler, gerçek dünyadaki rastgeleliği yakalar; bu da stokastik süreçlerin benzetimi için kilit önemdedir.
Rastgele yürüyüş teorisinin dayandığı istatistiklerde sağlam bir temel oluşturmak isteyenler için R ile İstatistiğe Giriş kursu veya Python ile İstatistiğe Giriş kursu ile başlamayı öneririz.
Rastgele Yürüyüşler Nedir?
Olasılık kuramında rastgele yürüyüş, bir yolu oluşturan rastgele adımlar dizisini tanımlayan bir modeldir. Ya da şöyle diyebiliriz: Rastgele yürüyüş, her biri bağımsız ve belirli bir olasılıkla belirlenen adımlar dizisinin oluşturduğu bir yolu tanımlayan matematiksel bir modeldir. Bu stokastisite, rastgele yürüyüşleri doğası gereği öngörülemez kılar.
Her an rastgele bir yöne adım atan birini hayal edin. Zamanla yolu, öngörülemeyen, dolambaçlı bir iz oluşturur. Sadeliğine rağmen bu kavram, rastgelelik içeren çeşitli gerçek dünya senaryolarını modelleyen şaşırtıcı bir derinlik ve esnekliğe sahiptir.
Rastgele yürüyüşün kavramsal bir açıklaması. Görsel: napkin.ai.
Rastgele yürüyüş fikri, erken dönem olasılık çalışmalarına kadar uzanır. En eski örneklerden biri olan ve sıklıkla sarhoşun yürüyüşü olarak adlandırılan örnek, rastgele adım atan birinin, belirli bir varış noktasına doğru öngörülebilir biçimde ilerlemek yerine gelişigüzel dolaşacağını gösterir. Bu rastgelelik ile her adımın öncekilerden bağımsız olduğu varsayımının birleşimi, modern rastgele yürüyüş modellerinin temelini atmıştır.
Rastgele Yürüyüşlerin Matematiğini Anlamak
Rastgele yürüyüşleri anlamak için basit bir durumla başlayalım: tek boyutlu (1B) bir rastgele yürüyüş. Bir sayı doğrusu üzerindeki bir parçacığı düşünün. Her adımda sayı doğrusu boyunca +1 ya da -1 hareket edebilir. Her hareket, sağa ya da sola adım atmanın eşit olasılığıyla belirlenir. Zamanla parçacığın konumu, çeşitli noktalarda bulunma olasılığını temsil eden ve yayılan bir olasılık dağılımı oluşturur.
Bu ilke iki ya da üç boyuta genişletilebilir. İki boyutlu (2B) bir rastgele yürüyüşte parçacık bir düzlemde hareket eder ve dört ana yönden (yukarı, aşağı, sol, sağ) herhangi birine eşit olasılıkla adım atabilir. Benzer şekilde üç boyutlu (3B) bir rastgele yürüyüşte parçacık uzayda hareket eder ve altı olası yönden (yukarı, aşağı, sol, sağ, ileri, geri) herhangi birine eşit olasılıkla adım atabilir. Daha yüksek boyutlu rastgele yürüyüşler, daha karmaşık ve gerçekçi senaryoları yakalar.
Rastgele yürüyüşlerin ayırt edici özelliği stokastik doğalarıdır; yani her adım yalnızca mevcut konuma bağlıdır, önceki adımlara değil. Bu, onları bir tür Markov süreci yapar—gelecekteki durumun, onu önceleyen olaylar dizisine değil yalnızca mevcut duruma bağlı olduğu matematiksel bir kavram. Bu “hafızasız” hareket ile olası konumları tanımlayan olasılık dağılımlarının birleşimi, rastgele yürüyüşleri anlamak için sağlam bir matematiksel temel sağlar.
Bir rastgele yürüyüşü, zaman içindeki davranışını anlamak için istatistiksel özellikler kullanarak analiz edebiliriz. Bu, başlangıç noktasından beklenen uzaklık, olası konumların olasılık dağılımı ve orijine dönme olasılığı gibi yönleri incelemeyi içerir. Bu analizler, rastgeleliği ve öngörülebilirliği nicelleştirmemize yardımcı olur, kalıplara içgörü sağlar ve öngörülerde bulunmayı mümkün kılar.
Rastgele Yürüyüşlerin Temel Özellikleri
Rastgele yürüyüşlerin, davranışlarını ve uygulamalarını anlamamıza yardımcı olan birkaç önemli özelliği vardır. İşte dikkate alınması gereken başlıca noktalar:
Beklenti ve varyans
Tek boyutlu bir rastgele yürüyüşte, zaman içinde başlangıç noktasından beklenen uzaklığı (ya da ortalama konumu) hesaplayabiliriz. Her adımın sola ya da sağa gitme olasılığı eşitse, çok sayıda adımdan sonra beklenen konum sıfır kalır; bu da ortalama olarak yürüyenin başlangıç noktasına yakın kaldığını ima eder.
Buna karşılık, olası konumların yayılımını ya da saçılmasını ölçen konum varyansı her adımla artar. Özellikle simetrik bir rastgele yürüyüşte varyans, adım sayısıyla doğrusal olarak büyür; bu da zaman içinde orijinden tipik uzaklığın yararlı bir göstergesidir.
Otokorelasyon
Basit rastgele yürüyüşlerde adımlar arasında korelasyon yoktur (her adım bir öncekinden bağımsızdır); ancak bazı rastgele yürüyüş türleri, geçmiş adımların gelecektekileri etkileyebildiği otokorelasyonu devreye sokar. Örneğin, yanlı (biased) bir rastgele yürüyüşte, adımların belirli bir yöne hafif bir eğilimi olabilir; bu da konumları daha öngörülebilir kılar.
Bir rastgele yürüyüşteki otokorelasyon, yürüyüşün ilerleyişini nasıl modellediğimizi ve öngördüğümüzü etkiler. Bu, özellikle geçmiş davranışın gelecekteki adımları etkilediği belirli finansal modeller gibi uygulamalarda önemlidir.
Merkezi limit teoremi
Merkezi limit teoremi (CLT) bize, çok sayıda bağımsız rastgele değişkenin toplamının, orijinal dağılımdan bağımsız olarak normal (ya da Gauss) dağılıma eğilim gösterdiğini söyler. Rastgele yürüyüş bağlamında bu, adım sayısı arttıkça konumların dağılımının normal dağılıma benzemeye başladığı anlamına gelir. Bu, başlangıç noktasından belirli uzaklıklarda yürüyeni bulma olasılığını yaklaşık olarak hesaplamamıza olanak tanıdığı için yararlı bir özelliktir.
Büyük sayılar kanunu
Büyük sayılar kanunu (LLN), deneme ya da adım sayısı arttıkça sonuçların ortalamasının gerçek ortalamaya yakınsadığını açıklar. Rastgele yürüyüşler için bu, ortalama konum sıfırda kalırken, olası konumların varyansının ve aralığının her ek adımla öngörülebilir biçimde büyüdüğü anlamına gelir. Bu ilke, saf rastgelelik ile büyük örneklemlerdeki öngörülebilir istatistiksel kalıplar arasındaki boşluğu kapatmaya yardımcı olur.
Rastgele Yürüyüş Türleri
Rastgele yürüyüşler, her adımı yöneten kurallara bağlı olarak büyük farklılıklar gösterir. Bu türler, yürüyüşün davranışını etkiler. Bazıları basit ya da yapılandırılmış ortamlar için tasarlanmıştır; bazıları ise daha karmaşık, gerçek dünya olguları için uygundur. En yaygın rastgele yürüyüş türlerinden bazılarını inceleyelim.
1B, 2B ve 3B rastgele yürüyüşler
Bir rastgele yürüyüşün boyutsallığı, davranışında temel bir rol oynar. 1B bir rastgele yürüyüşte, her adım bir doğru boyunca ileri ya da geri harekettir. Bu, yürüyüşü modellemeyi ve öngörmeyi nispeten kolaylaştırır.
Ancak 2B (düzlem) ve 3B (uzay) yürüyüşlere geçtiğimizde, olası yollar önemli ölçüde artar ve yeni davranışlar ortaya çıkar. Örneğin, 2B bir rastgele yürüyüşte başlangıç noktasına dönme olasılığı yüksek kalırken, 3B bir rastgele yürüyüşte bu olasılık azalır.
Bu değişim, parçacıkların boyutsal kısıtlamalara bağlı olarak farklı şekilde difüze olabildiği fizik ve kimya gibi alanlarda önemlidir.
Kafes (lattice) rastgele yürüyüşü
Kafes rastgele yürüyüşünde hareket, bir ızgara ya da kafes üzerindeki ayrık noktalara kısıtlanır. Bu tür yürüyüş, düğümlerin bir ızgarada düzenlendiği ve hareketin yalnızca komşu düğümlere yapılabildiği fizik ve ağ kuramında yaygın olarak kullanılır.
Yaygın bir örnek, her adımda Kartezyen ızgaradaki bitişik noktalara hareketin mümkün olduğu 2B bir kafestir. Bu kısıt, hareket yollarını sınırlandırarak modellemeyi basitleştirir; bu da karmaşık ağları ya da moleküler yapıları simüle ederken yararlıdır.
Gauss rastgele yürüyüşü
Gauss rastgele yürüyüşünde her adımın büyüklüğü bir Gauss (ya da normal) dağılımı ile belirlenir. Sabit bir mesafe kat etmek yerine adım uzunluğu çan eğrisi dağılımına göre değişir; adımların çoğu küçük, ara sıra daha büyük sıçramalar görülür. Bu tür yürüyüş, varlık fiyatlarındaki değişimlerin değişkenliğini hesaba katmak için finansal modellemede sıkça kullanılır.
Heterojen ve yanlı rastgele yürüyüşler
Heterojen ve yanlı rastgele yürüyüşler, belirli olasılıklara bağlı olarak adım yönü ve büyüklüğünde değişime izin verir. Bu esneklik, onları gerçek dünya senaryolarına daha uyumlu kılar.
Heterojen bir rastgele yürüyüşte, herhangi bir yöne hareket etme olasılığı konuma ya da dış koşullara bağlı olarak değişebilir. Örneğin, yiyecek arayan hayvanlar, bilinen kaynakların bulunduğu alanları tercih edebilir; bu da yanlı bir rastgele yürüyüş oluşturur. Bu yürüyüşler, bağlamsal faktörlere bağlı davranışları incelemek için yararlıdır.
Sürüklenmeli (drift) rastgele yürüyüş
Sürüklenmeli bir rastgele yürüyüşte belirli bir yöne doğru tutarlı bir eğilim vardır. Örneğin, hisse fiyatları günlük dalgalanmalara rağmen zamanla genel bir yukarı yönlü eğilim gösterebilir. Bu yürüyüşlerdeki sürüklenme, yola etki eden dış bir kuvvet ya da eğilimi temsil eder. Bu tür, büyüme ya da düşüşü temsil eden bir sürüklenme terimini içeren modellerin kullanıldığı finansta sıklıkla görülür; varlık fiyatlarını ve piyasa eğilimlerini öngörmede daha gerçekçi bir yaklaşım sunar.
Bu rastgele yürüyüş türlerinin her biri benzersiz bir amaca hizmet eder; rastgele ama yapılandırılmış davranışı modellemek için farklı yollar sunar. Boyutsal kısıtlar, adımların dağılımı ve sürüklenme ya da yanlılığın varlığı, rastgele yürüyüşleri alanlar arası veri modelleme ve benzetimler için son derece çok yönlü kılar.
Rastgele Yürüyüşlerin Gerçek Dünya Uygulamaları
Rastgele yürüyüşler yalnızca teorik kurgular değildir; disiplinler arası pek çok pratik uygulamada hayati bir rol oynarlar. Rastgele yürüyüşlerin sektörler genelinde gerçek dünya problem çözümüne nasıl ışık tuttuğunu inceleyelim.
Veri bilimi ve makine öğreniminde uygulamalar
Bilgisayar bilimi
Rastgele yürüyüşler, rastgele örnekleme, web grafı dolaşımı ve görüntü bölümleme gibi çeşitli bilgisayar bilimi algoritmalarının temelini oluşturur. Örneğin, Google’ın PageRank algoritması, bir kullanıcının internette bağlantılar arasında rastgele gezinmesini simüle ederek web sayfalarını alaka düzeyine göre sıralamak için rastgele yürüyüşleri kullandı.
Özellik çıkarımı
Makine öğreniminde rastgele yürüyüşler, veri noktaları arasındaki ilişkileri öne çıkararak özellik çıkarımına yardımcı olabilir. Örneğin, ağ analizinde rastgele yürüyüşler kümeleri ya da toplulukları ortaya çıkarabilir; bu da öneri sistemleri ve sosyal ağ analizi gibi görevlerde yardımcı olur.
Anomali tespiti
Rastgele yürüyüşler, veri kümelerindeki anormallikleri tespit etmek için de kullanılabilir. Örneğin, bir rastgele yürüyüş modelinde tipik bir yoldan önemli ölçüde sapma gösteren veri noktaları, olağandışı olaylara ya da verideki hatalara işaret edebilir. Anomali tespiti, özellikle siber güvenlik ve dolandırıcılık tespitinde değerlidir.
Stokastik süreçlerin benzetimi
Rastgele yürüyüşler, rastgele belirlenen yani stokastik süreçleri simüle ederek veri bilimcilerin öngörülemeyen gerçek dünya olgularını modellemesini sağlar. Rastgele yürüyüşleri simüle ederek, tam öngörünün zor olduğu sistemlere—örneğin hava durumu kalıpları ya da müşteri davranışı—dair içgörüler elde edebiliriz.
Zaman serisi tahmini
Zaman serisi analizinde rastgele yürüyüşler, finansta rastgele yürüyüş hipotezi de dahil olmak üzere bazı tahmin modellerinin temelini oluşturur. Bu modeller, bir zaman serisindeki gelecekteki değerlerin, geçmiş eğilimlerle ilişkisiz biçimde yalnızca en son değere bağlı olduğunu varsayar. Daha fazla bilgi için Zaman Serisi Tahmini için ARIMA: Kapsamlı Rehber yazısına göz atın. Ayrıca, Profesör Hyndman ile R ile Tahmin kursumuzu alın; kendisi rastgele yürüyüş modellerini naif ve mevsimsel naif tahmin yöntemleriyle ilişkilendirir.
Diğer alanlarda uygulamalar
Finans
Rastgele yürüyüşlerin en dikkat çekici kullanımlarından biri finansal modellemededir; özellikle de hisse fiyatlarını öngörmede. Etkin piyasa hipotezi, yeni bilginin anında fiyatlara yansıması nedeniyle hisse fiyatı hareketlerinin özünde rastgele olduğunu ve bu yüzden gelecekteki fiyatların öngörülemez olduğunu öne sürer. Rastgele yürüyüşler, fiyatların öngörülebilir bir yol izlemeksizin nasıl dalgalandığını göstermek için zaman içindeki hisse fiyatı değişimlerini modellemede kullanılabilir.
Matematik
Saf matematikte rastgele yürüyüşler, karmaşık problemlere çözümler sunar. Örneğin, Laplace denklemini çözmede, ağları analiz etmede ve kombinatorik keşiflerde faydalıdır.
Fizik ve kimya
Fiziksel bilimlerde rastgele yürüyüşler, moleküllerin bir ortamda yayılması gibi difüzyon süreçlerini modellemek için kritik öneme sahiptir. Bir sıvı içinde askıda kalan parçacıkların çevredeki moleküllerle çarpışmaları nedeniyle öngörülemez biçimde hareket ettiği Brown hareketi, rastgele yürüyüşlerle doğru bir şekilde simüle edilebilen klasik bir örnektir. Ben de rastgele yürüyüşleri ilk olarak böyle öğrenmiştim.
Biyoloji
Rastgele yürüyüşler, ekolojide hayvan hareket kalıplarını incelemede değerlidir. Kaynak arayan hayvanlar, bazen bilinen kaynak bölgelerine doğru yanlılık gösteren bir rastgele yürüyüş sergiliyor gibi görünebilir. Popülasyonların ya da genlerin yayılması gibi diğer biyolojik kavramlar da sıklıkla rastgele yürüyüş ilkeleriyle modellenebilir; bu da ekosistem içindeki değişimleri anlamayı ve öngörmeyi kolaylaştırır.
Rastgele Yürüyüşlerin Özel Durumları ve Varyantları
Klasik rastgele yürüyüşe ek olarak, kavramı özel uygulamalara uyarlayan çeşitli ileri düzey varyantlar vardır.
Kendinden kaçınan yürüyüşler
Kendinden kaçınan yürüyüş, yolun daha önce geçtiği hiçbir konumu yeniden ziyaret etmediği bir rastgele yürüyüştür. Bu varyant, polimer kimyası gibi alanlarda özellikle kullanışlıdır; polimer zincirlerinin kendilerini kesiştirmeden nasıl oluştuğunu modelleyebilir. Her adım daha önce ziyaret edilen noktaları kaçındığı için kendinden kaçınan yürüyüşler, geleneksel rastgele yürüyüşlerden daha kısıtlayıcıdır. Bu da onları hesaplamalı olarak zorlayıcı kılar; ancak dar alanlarda üst üste binmeyen yolları anlamak için faydalıdır.
Dallanma
Dallanan rastgele yürüyüşlerde yol, her biri bir rastgele yürüyüş izleyen birden çok dala ayrılabilir. Bu tür yürüyüş, hücre bölünmesi ya da bilgilerin ağlar boyunca yayılması gibi dallanma süreçlerini modellemede etkilidir. Her “dal”, ortak bir kaynaktan çıkan bağımsız bir rastgele yolu temsil eder.
Korelasyonlu yürüyüşler
Korelasyonlu yürüyüşler, her adımın yönünün bir önceki adımdan kısmen etkilendiği bir adım daha ileri gider. Bu varyant, değişimlerin rastgele değil de kademeli meydana geldiği sistemlerde ataletin modellenmesinde kullanışlıdır. Korelasyonlu yürüyüşler, fiyat eğilimlerini simüle etmek için finansta ya da hayvanların geçmiş yönlerine dair bir miktar hafızayla ortamlarında nasıl gezindiklerini anlamak için hareket ekolojisinde sıkça uygulanır.
Döngü silmeli yürüyüşler
Döngü silmeli yürüyüş, yolun kendiyle kesiştiği döngülerin oluşur oluşmaz kaldırıldığı bir varyanttır. Bir adım bir konumu yeniden ziyaret ettiğinde, aradaki döngü silinir ve yalın, tekrar etmeyen bir yol kalır. Döngü silmeli yürüyüşler, yinelenmeyi önleyen yollar oluşturmaları nedeniyle ağ analizinde ve labirent oluşturma algoritmalarında yaygın olarak uygulanır.
Python ile Rastgele Yürüyüşlerin Uygulanması
Python’da bir rastgele yürüyüş uygulamayı deneyelim. Başlamak için Python’un kurulu olduğundan (Python 3.10 kullanacağız) ve gerekli kütüphanelerin mevcut olduğundan emin olun. Eksik kütüphaneleri pip ile kurabilirsiniz. İşte kullanacaklarımız:
import numpy as np # for numerical operations and generating random steps
import matplotlib.pyplot as plt # for plotting and visualizing the random walks1B rastgele yürüyüş
Her adımın rastgele seçilen +1 ya da -1 olduğu basit bir tek boyutlu rastgele yürüyüşle başlayacağız.
# Parameters
n_steps = 100 # Number of steps
# Generate random steps: +1 or -1
steps = np.random.choice([-1, 1], size=n_steps)
# Calculate positions
positions = np.cumsum(steps)
# Plot the random walk
plt.figure(figsize=(10, 6))
plt.plot(positions, marker='o', linestyle='-', markersize=4)
plt.title("1D Random Walk")
plt.xlabel("Step")
plt.ylabel("Position")
plt.grid(True)
plt.show()Bu, basit bir rastgele yürüyüş üretir ve zaman içindeki ilerleyişi görselleştirir. Bu kodu çalıştırdığımda elde ettiğim çıktı şöyle:
Unutmayın, stokastik bir model çalıştırıyoruz. Bu, her çalıştırdığımızda çıktının biraz farklı görüneceği anlamına gelir.
2B rastgele yürüyüş
Şimdi rastgele yürüyüşü iki boyuta genişletelim. Her adımda yön rastgele seçilecektir.
# Parameters
n_steps = 500
# Generate random steps in x and y directions
x_steps = np.random.choice([-1, 1], size=n_steps)
y_steps = np.random.choice([-1, 1], size=n_steps)
# Calculate positions
x_positions = np.cumsum(x_steps)
y_positions = np.cumsum(y_steps)
# Plot the 2D random walk
plt.figure(figsize=(8, 8))
plt.plot(x_positions, y_positions, marker='o', linestyle='-', markersize=2, label='Random Walk')
plt.plot(x_positions[0], y_positions[0], 'ro', markersize=8, label='Start') # Red dot for start
plt.plot(x_positions[-1], y_positions[-1], 'ko', markersize=8, label='End') # Black dot for end
plt.title("2D Random Walk")
plt.xlabel("X Position")
plt.ylabel("Y Position")
plt.grid(True)
plt.axis('equal') # Ensures equal scaling for both axes
plt.legend()
plt.show()Bu kod, iki boyutta görsel olarak etkileyici bir yol oluşturur.
Bu tür iki boyutlu rastgele yürüyüş, parçacık hareketi ya da mekânsal modelleme gibi uygulamalara uyacak şekilde değiştirilebilir.
Yanlı rastgele yürüyüş
Son olarak biraz daha karmaşık bir örneğe bakalım: yanlı bir rastgele yürüyüş. Yanlılık eklemek için her adım yönünün olasılıklarını ayarlayabiliriz. Örneğin, yukarı yönlü adımları daha olası hale getirebiliriz.
# Parameters
n_steps = 100
bias = 0.7 # Probability of stepping +1
# Generate biased random steps in x and y directions
x_steps = np.random.choice([-1, 1], size=n_steps, p=[1-bias, bias])
y_steps = np.random.choice([-1, 1], size=n_steps, p=[1-bias, bias])
# Calculate positions
x_positions = np.cumsum(x_steps)
y_positions = np.cumsum(y_steps)
# Plot the biased 2D random walk
plt.figure(figsize=(8, 8))
plt.plot(x_positions, y_positions, marker='o', linestyle='-', markersize=2, label='Random Walk')
plt.plot(x_positions[0], y_positions[0], 'ro', markersize=8, label='Start') # Red dot for start
plt.plot(x_positions[-1], y_positions[-1], 'ko', markersize=8, label='End') # Black dot for end
plt.title("Biased 2D Random Walk")
plt.xlabel("X Position")
plt.ylabel("Y Position")
plt.grid(True)
plt.axis('equal') # Ensures equal scaling for both axes
plt.legend()
plt.show()Yanlılığı değiştirerek, yürüyüşün belirli bir yönü tercih etme eğilimini gözlemleyebilirsiniz; bu da hisse fiyatlarındaki sürüklenme ya da hayvan göç kalıpları gibi gerçek dünya senaryolarını simüle eder.
Yanlılık parametresini 0.55’e değiştirirsek, modelin davranışında çarpıcı bir fark görürüz. Hâlâ yukarı gitme yanlılığı olsa da bu yanlılık o kadar güçlü değildir; bu da daha fazla döngü ve dolambaçlı yollara yol açar.
Sonuç
Rastgele yürüyüşler, fizikten finansa ve ötesine kadar pek çok alanda uygulanabilen, veri bilimciler için değerli bir modelleme aracıdır. Karmaşık, stokastik süreçleri modelleme becerileri, onları birçok gerçek dünya senaryosunda vazgeçilmez kılar.
Daha fazlası için DataCamp’in olasılık ve istatistik kurslarına göz atın. Hem Python hem de R’de çok çeşitli harika kurslar bulacaksınız. Daha ileri düzey içerik ilginizi çekiyorsa, DataCamp’in Python ile İstatistiksel Simülasyon kursunu ve Makine Öğrenimine Giriş eğitimini inceleyin. Ya da bilginizi sınamaya hazırsanız bazı olasılık bulmacalarına girişin.
