Q-Q 图：含义及解读方法

线性回归模型广泛用于统计与机器学习中，基于输入特征预测数值，同时也用于理解变量之间的关系。然而，仅仅因为您能在数据上拟合一条直线，并不意味着就该使用它。我们还需要诊断拟合质量，以判断模型是否适合数据，或者是否需要改进。

检验模型的方法有多种，包括采用训练/测试流程评估模型，以及查看诸如调整后的 R²之类的统计量。本文将重点介绍如何创建并解读一种特定的诊断图——Q-Q 图，并展示在 R 语言中生成该图的几种方法。若想系统掌握回归技术，可根据您的熟悉程度，选择学习 Introduction to Regression in R 或 Intermediate Regression in R；如果使用 Python，可选择 Introduction to Regression in Python 或 Intermediate Regression in Python。

什么是 Q-Q 图？

Q-Q（Quantile-Quantile）图用于检查数据集是否遵循某个特定的理论分布。它通过比较观测数据的分位数与该分布的分位数来实现。我之所以说“理论分布”是为了精确，但在实际中，我们制作 Q-Q 图时往往特指正态（高斯）分布，并称之为正态 Q-Q 图。不过，Q-Q 图也可用于将数据与其他分布进行比较，例如指数分布、均匀分布、卡方分布、t 分布、泊松分布等，具体取决于情境。

借助示例更容易理解。这里我创建了 10 个数。要构造一个正态 Q-Q 图，首先将这些数从小到大排序。然后用公式 q = (i– 0.5)/n 计算概率。接着，我可以使用标准正态分布的分位点函数（PPF，对应 R 中的 qnorm() 函数）为该秩找到相应的数值。（您可能更熟悉累积分布函数 CDF，它给出小于等于某个 x 的概率。PPF 则相反：它根据给定概率返回相应的 x 值。）

最后，为绘制图形，我们将观测值的分位数与理论分位数作图（这也是 Q-Q 图名字里两个 Q 的来历）。参考线通过分别计算观测分布与理论分布的一、三四分位数来得到斜率和截距。

library(dplyr)
library(ggplot2)

# Create a data frame
data <- data.frame(
  numbers = c(
    -2.28261064680868, -0.91977039576432, -2.08595211862542,
    1.29734993896137, -0.200143957176023, -0.693254525721567,
    -3.90536265272207, 4.16373814964331, 2.3499592867344,
    0.299856042823977
  )
)

# Prepare Q-Q plot data
qq_data <- data %>%
  arrange(numbers) %>%  # Step 1: Arrange the numbers in ascending order
  mutate(
    rank = seq(1, n()), # Step 2: Rank each number from 1 to n
    prob = (rank - 0.5) / n(), # Step 3: Calculate empirical cumulative probability
    theoretical_quantile = qnorm(prob) # Step 4: Calculate theoretical quantiles
  )

# Calculate slope and intercept for the Q-Q line
q1_obs <- quantile(qq_data$numbers, probs = 0.25)
q3_obs <- quantile(qq_data$numbers, probs = 0.75)
q1_theo <- qnorm(0.25)
q3_theo <- qnorm(0.75)
slope <- (q3_obs - q1_obs) / (q3_theo - q1_theo)
intercept <- q1_obs - slope * q1_theo

# Create the Q-Q plot
(qq_plot <- ggplot(data = qq_data, aes(x = theoretical_quantile, y = numbers)) +
  geom_point(fill = '#01ef63', color = '#203147', shape = 21, size = 2) +  # Points with a border
  labs(title = "Q-Q Plot") +
  geom_abline(slope = slope, intercept = intercept, color = '#203147', linetype = "dashed"))

示意性 Q-Q 图。作者供图

为什么使用 Q-Q 图？

Q-Q 图是一种直观检查分布假设的好方法。还有其他检验数据是否服从正态分布的方法，例如 Shapiro-Wilk 检验，但在我看来，没有哪种方式像 Q-Q 图这样直观，把问题讲得这么清楚。

了解某个量的分布在多个方面都很重要。比如，我们可能想知道合适的集中趋势与离散程度度量。此外，在创建线性回归时，我们尤其想知道因变量是否服从正态分布；同时，我们也希望查看模型残差是否近似正态分布，以便对估计更有信心。 基本而言，我认为 Q-Q 图有两大用途：将我们的数据与样本分布比较，以及检验正态性。

如何在 R 中创建 Q-Q 图

下面看看如何在 R 中创建 Q-Q 图。本节我将介绍三种方法：base R、car 包和 tidyverse 方法。您会发现我更偏好 tidyverse，因为它能让图形更美观，也更易与其他包扩展。

对每种方法，我都会在简单线性回归的残差上绘制 Q-Q 图——这是 Q-Q 图最常见的用法之一（甚至是最常见的）。当然，您也可以在建立线性回归之前，为变量绘制 Q-Q 图来检查其分布。所需的只是某个变量的分布，以及要用来比较的理论分布。

如果您想跟着练习，可以下载我使用的 Kaggle 数据集：Car Prices Jordan 2023。

在 base R 中创建 Q-Q 图

首先用 base R 创建 Q-Q 图，也就是说不安装额外包，仅使用内置函数。

# Importing data (in this example, saved on the desktop)
car_prices_jordan <- read.csv('~/Desktop/car_prices_jordan.csv')

# Create a linear model
car_linear_model <- lm(Price ~ sqrt(Price), data = filtered_car_prices)

# Extract the residuals
residuals <- resid(car_linear_model)

# Q-Q plot of residuals
qqnorm(residuals, main = "Q-Q Plot of Residuals from Linear Regression")
qqline(residuals, col = "red")

使用 base R 创建的 Q-Q 图。作者供图

使用 car 包创建 Q-Q 图

接下来试试用 car 包创建 Q-Q 图。就我看来，可视化质量差别不大，但这种 Q-Q 图的优势在于会显示置信包络，它定义了在正态性假设成立时，数据点预计落入的区域。

# Install and load the 'car' package
# install.packages("car") # Uncomment this line if the 'car' package is not installed
library(car)

# Q-Q plot of residuals using the 'car' package
car::qqPlot(car_linear_model, main = "Q-Q Plot of Residuals from Linear Regression")

在 R 中使用 car 包创建的 Q-Q 图。作者供图

使用 ggplot2 创建 Q-Q 图

现在看看如何用 tidyverse 方法创建 Q-Q 图，以获得更高的灵活性和更佳的美观度。这一次，我会把 Q-Q 图作为面板放在原始散点图旁边。

# Load necessary libraries
library(tidyverse)
library(metBrewer)

# Clean and convert Power and Price columns to numeric
car_prices_jordan$Power <- as.numeric(gsub("[^0-9]", "", car_prices_jordan$Power))
car_prices_jordan$Price <- as.numeric(gsub("[^0-9]", "", car_prices_jordan$Price))

# Calculate slope and intercept for linear regression line
slope <- (cor(car_prices_jordan$Power, car_prices_jordan$Price) * 
           (sd(car_prices_jordan$Price)) / 
           sd(car_prices_jordan$Power))
intercept <- (mean(car_prices_jordan$Price) - slope * mean(car_prices_jordan$Power))

# Create scatter plot with regression line
car_prices_graph <- ggplot(car_prices_jordan, aes(x = Power, y = Price)) +
  geom_point() +
  ggtitle("Car Prices in Jordan") +
  geom_abline(slope = slope, intercept = intercept, color = '#376795', size = 1)

# Fit a linear model
car_linear_model <- lm(Price ~ Power, data = car_prices_jordan)

# Generate Q-Q plot for residuals
qq_plot <- ggplot(data = data.frame(resid = residuals(car_linear_model)), aes(sample = resid)) +
  stat_qq() +
  stat_qq_line(linetype = 'dashed', color = '#ef8a47', size = 1) +
  labs(
    title = "Car Prices in Jordan",
    subtitle = "Residual QQ Plot"
  )

# Combine scatter plot and Q-Q plot using patchwork
library(patchwork)
car_prices_graph + qq_plot

在 ggplot2 中创建的线性回归与残差 Q-Q 图。作者供图

Q-Q 图能告诉我们什么

在 Q-Q 图中，观测数据的分位数与理论分位数相对应作图。如果数据与理论分布十分接近，点将沿对角直线分布。偏离直线表示与期望分布有差异。点落在直线上方或下方暗示偏度或离群值，而如曲线或 S 形等模式表明存在系统性差异，比如更重或更轻的尾部。

我们主要关注三点：

• 直线：数据与理论分布拟合良好。
• 弯曲模式：表明数据偏斜或非正态分布。
• 重尾或轻尾：若两端点偏离，数据可能具有比期望更重或更轻的尾部。

下面分别用示例展示：

三个 Q-Q 图：一个为直线；一个为曲线；一个呈重尾。作者供图

第一种情况下，Q-Q 线与数据点吻合，说明分布确为正态。第二种情况下出现弯曲，说明数据非正态或存在偏斜。最后一种情况下呈现类似“S”形，说明分布具有重尾或更极端的取值。

线性回归中的 Q-Q 图

线性模型有几项常见假设，包括线性性（变量关系为线性）， 误差独立（误差之间不相关）， 同方差性（残差方差应保持恒定），以及残差正态性（残差服从正态分布）。Q-Q 图尤其有助于检验第四项假设，即残差正态性。

以下说明不同模式对模型解读与可靠性的影响：

直线对齐

• 含义：残差近似正态，说明在正态性方面模型拟合良好。
• 实践影响：模型给出的置信区间、p 值和假设检验等更可能可靠，因为它们基于残差正态性假设。

弯曲模式

• 含义：弯曲的 Q-Q 图常表示非正态，例如残差偏斜。弯曲可能向上或向下。（这正是我们上面示例所看到的模式。）
• 实践影响：非正态残差可能导致 p 值或置信区间产生偏差，尤其是在小样本时。我们应考虑对因变量进行变换，或重新审视模型结构。

重尾或轻尾

• 含义：若存在重尾，说明残差的极端值多于正态假设所预期，可能由离群点或模型设定不当引起。若存在轻尾，则说明极端残差反而少于预期，可能暗示数据被截断。
• 实践影响：在重尾情况下，离群点会对回归线产生不成比例的影响，导致误导性结果。我们应考虑移除或降低离群点权重。轻尾可能对模型影响不大，但可能提示数据在某种程度上不完整。