什么是数学中的函数？直观解释

立志成为数据科学家或初入行的从业者常会看到“函数”一词，但其含义并不总是清晰。

本文将带您了解什么是数学函数、它的输入与输出由哪些集合描述，以及连续值与离散值的区别。您将探索函数在技术中的用法、数据科学中的常见函数，以及它们如何被优化。过程中，您还会看到用于操作与绘图的 Python 代码。

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数学中的函数是什么？

在数学中，函数将每个输入映射到唯一的输出。每个有效输入只能对应一个且仅一个输出。一个输入不可能对应多个输出。

例如，华氏 32 度等于摄氏 0 度。某个华氏温度对应某个摄氏温度；而且只对应一个值。您不可能让一个有效输入（华氏温度）得到两个不同的输出（摄氏温度）。

其他例子还有工资核算：您按小时计酬。如果您每小时 20 美元，工作 40 小时，就赚 20 x 40 = 800 美元。

并非所有规则都是函数。在某些情况下，让一个输入对应多个输出在逻辑上是合理的。例如，用姓名匹配一个人并不是函数。名字 “John Smith” 可能对应许多同名的人。

在数学中，规则通常被设置为每个有效输入只有一个输出。很多时候，这正是世界的运作方式（如工资核算）。在另一些情况下，之所以把问题表述为函数，是因为这样问题更易处理。模型会被设置为：每个输入不能有多个输出，从而避免输入输出的“意大利面条式”纠缠。

您可以把函数想象成一台“机器”，它接收一个输入（常记为 x），以某种方式处理后，输出一个结果（常记为 y）。

这里，一台机器从左侧传送带接收输入，进行处理，并在右侧产出一个愉快的绿色对勾。

多变量函数接收多个输入的集合，但只输出一个结果。您可以把这理解为传入一行包含若干变量或特征的数据，并映射到一个单一输出。

函数记号与术语

如何把等式写下来？在温度换算的例子中，我们可以把公式写作 y = f(x) = (5/9) (x - 32)，其中 x 为华氏温度，y 为摄氏温度。要理解这个记号，请从左到右解析。

左边的 y 是输出。记号 f(x) 表示您在使用一个名为 f 的函数，它接收一个输入 x。注意在这里，f(x) 并不表示某个值 f 与另一个值 x 的乘积。

右边是公式。它说的是：取输入 x，减去 32，然后把结果乘以 5/9。

定义域、陪域与值域

假设您每天记录一次室外温度，并已收集了 k 个观测，记为(x1, x2, …, xk)。您希望有一个函数，在过去 n 天后返回当年迄今为止的平均气温。定义一个函数，它接收一个不超过 k 的正整数 n ，并返回前 n 个温度的平均值，这是一个实数。该函数的记号为 f: {1, 2, …, k} → ℝ.

为了描述函数中的这些集合，使用一些专门术语会很有帮助，即定义域、陪域和值域。

• 定义域是描述输入的集合名称，本例中为整数。
• 陪域是您预期输出类型的集合，本例中为实数。

现在来看值域。考虑一个简单的二次函数：y = f(x) = x2。要指定定义域与陪域，写作 f: ℝ → ℝ. 

现在您知道，这表示定义域（输入集合）与陪域（输出集合）都是实数。然而，稍作思考，您会意识到输出集合不可能是所有实数。

因为任意数的平方都不为负，所以实际能取到的输出集合不是全部实数，而是非负实数。用于描述这种情况的术语是值域。我们说该函数的值域是所有非负实数。

所谓陪域是潜在的输出集合；而值域是实际产生的输出集合。您选择陪域是为了反映您打算得到的输出类型，而值域则是经由函数实际产生的输出值集合。

连续与离散变量

这把我们引向连续变量与离散变量的区分：

• 连续变量可以在给定区间内取到每一个理论上的数值。
• 离散变量只能取有限个或可数多个数值。

例如，区间 [0, 1] 上的连续变量可以取 0、0.5、0.4141 或该范围内任意实数。连续变量常用于输出在理论上可为任意值的模型中，如回归。

然而，在二分类中，您只关心两个值：0 和 1。例如，一张图片要么包含猫，要么不包含。在多类分类问题中，您仍然只有有限多个取值，比如 0 表示狗，1 表示猫，2 表示马。

您要解决的问题决定了您感兴趣的函数类型。分类问题产生离散值；回归问题产生连续函数。

向量记号

有时您需要向函数传入多个变量。例如，您可能会将一行特征传入一个机器学习函数。在这种情况下，您可以把这些特征组合进一个容器再传入。将数据这样组合到一个容器的一种方式是使用向量。模型接收一个输入向量x = [x1, x2, x3]，并输出一个目标 y。

在 Python 中，您通常使用 NumPy 数组来表示向量。

import numpy as np

def f(x):
    result = (x[0] + x[1] + x[2]) / 3
    return result

x = [3, 4, 7.1]
print(f(x))技术支持

4.7技术支持

这段代码接收一个由 3、4 和 7.1 组成的向量，并返回其平均值。

对于一组向量，一个常用的方法是使用 pandas 库的 DataFrame 数据结构。

import pandas as pd

def row_averages(df):
    return df.mean(axis=1).round(1)

df = pd.DataFrame({
    "A": [1, 5, 2],
    "B": [9, 3, 6],
    "C": [7, 8, 10]
})

print(row_averages(df))技术支持

这段代码返回一个包含各行平均值的 pandas Series，每行一个数值。本例中为：

0    5.7
1    5.3
2    6.0技术支持

技术中的函数

函数这一概念在技术领域无处不在。出于实用考虑，请注意“函数”在技术中的定义并不总像数学那样严格。例如，编程函数可能有副作用，会改变除输出之外的变量值，而数学函数不会。

电子表格

函数在电子表格中被广泛使用，例如在Excel 公式中。您可能想要计算一列数字的和、均值或中位数。对于电子表格，函数遵循与先前介绍的数学定义相同的含义。

电子表格的一大强项（双关语）是条件函数：它们允许您使用诸如 IF() 之类的函数构建更复杂的条件结构。

例如，您可能想找出一年中支付给房贷公司的总额。为此，您很可能会使用电子表格的 SUM() 函数。

编程语言

函数在编程语言中也无处不在。根据不同编程语言，“函数”的定义可能比数学函数更加宽松。有些语言允许一个函数返回多个值，甚至不返回任何值。

例如，一个函数可能接收一些值并打印一句话，但不显式返回一个值。一个 Python 函数 看起来像这样：

def print_me(name, color):
       print(f"My name is {name} and my favorite color is {color}.")

name = "Mark"
color = "blue"
print_me(name, color)技术支持

这段代码输出：“My name is Mark and my favorite color is blue.” 函数并未显式返回数学意义上的值。

许多主流语言（如 Python）中的代码还可能在函数内产生其他副作用，比如改变全局变量的值。尽管副作用是可能且被允许的，但并不鼓励。副作用会使程序更难测试、调试和推理。

出于这些原因，一些“函数式”语言，例如 Scala 和 Haskell，更严格地围绕函数这一理念构建。

机器学习

在机器学习背景下，输入是特征，函数是模型，输出是模型的预测。此类模型常被称为“黑箱”，因为并不一定清楚输入特征是如何被处理以得到输出预测的，这也使得我们先前的“机器”比喻更加贴切：

在这幅图中，特征被送入模型这台“机器”，经由某种处理后输出一个预测。与更简单、确定性的函数（如温度换算）相比，机器内部发生的事情更难描述。

在机器学习中，定义域是特征向量；陪域可能是概率、类别或实值预测。

在深度学习领域，函数通常并不直接作用于一组输入，而是通过代价函数来评估模型的正确性。代价函数是度量模型在训练集上“错误程度”的指标。它把预测与真实标签或取值进行比较，并将误差汇总为一个数。

数据科学中的常见函数

在数据科学中，有些函数几乎无处不在。这些函数包括线性函数、对数函数与指数函数，以及用于深度学习的非线性激活函数。

线性函数

让我们从经典示例——线性函数——开始。

斜率

假设您很想吃苹果。您去一家超市，苹果按磅计价，每磅 0.75 美元。所以 1 磅苹果要 0.75 美元，2 磅要 2 x 0.75 = 1.50 美元，3 磅要 3 x 0.75 = 2.25 美元。每增加一磅，都会给总价增加一个固定金额。

用函数记号，您可以把公式写作 f(x) = 0.75 x。数字 0.75 是该线性函数的斜率。斜率表示输出相对于输入每增加一个单位时的变化率。

要绘制这样的函数，您可以使用类似如下的代码：

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

def cost_of_apples(x, m):
    result = m * x
    return result

# Define x and y
x = np.linspace(0, 5, 100)
y = cost_of_apples(x, 0.75)

# Plot
plt.figure()
plt.plot(x, y)
plt.xlabel("Pounds of Apples")
plt.ylabel("Total Cost ($)")
plt.title("Cost of Apples")
plt.show()技术支持

这类函数被称为线性函数。每当输入 x 增加一个单位，都会为输出 y 增加相同的固定量。顾名思义，将线性函数画出来就是一条直线。

截距

现在，假设您喜欢让超市配送。超市有 2.00 美元的固定配送费。此时，苹果的费用函数是 f(x) = 0.75 x + 2。与之前一样，0.75 是斜率。数字 2，即图像与 y 轴的交点，被称为“y 截距”。它是当输入为 0 时的输出值。

总费用等于苹果的花费加上配送费。一般地，一元线性函数可写为 f(x) = mx + b，其中 m 称为斜率，b 称为y 截距。

多元线性函数

您可能不只想吃苹果。假设您还想买些面包和花生酱。苹果每磅 0.75 美元，一条面包 2.50 美元，一罐花生酱 3.00 美元。现在，您的购物账单函数是：

这个函数依然被视为线性的，因为它对每个变量都是线性的。一般地，线性函数的形式为：

这相当于把各项数量分别乘以它们的权重（在此语境下，斜率的另一种说法）并相加，再加上截距。

用向量记号，该函数写作：

这里的 T 表示“转置”，这是进行 w 与 x 的向量乘法所必需的。

线性回归

考虑燃油效率与车速。您怀疑车速越快，燃油效率越低。您在 45 到 65 英里/小时之间收集了 50 个数据点，看到如下模式：

若把每个数据点连起来，会得到一条弯弯曲曲、难以阅读且无甚帮助的“模型”。但在这个范围内，数据的总体趋势近似线性。若把速度记为 x，这个图的函数是：

要找到这样一条最能拟合数据的直线，您会使用一种称为简单线性回归的数学过程。

您可以使用Matplotlib 和 Seaborn在 Python 中计算这样的直线：

import numpy as np
import pandas as pd
import seaborn as sns
import matplotlib.pyplot as plt

# Reproducibility
np.random.seed(0)

# Create dataset
speed = np.linspace(45, 65, 50)
mpg = 38 - 0.2 * speed + 0.002 * (speed - 55)**2 + np.random.normal(0, 0.5, size=50)

df = pd.DataFrame({
    "speed": speed,
    "mpg": mpg
})

# Plot with regression line
sns.regplot(data=df, x="speed", y="mpg", ci=None)

plt.xlabel("Speed (mph)")
plt.ylabel("Fuel Efficiency (mpg)")
plt.title("Fuel Efficiency vs Speed")
plt.show()技术支持

线性回归也适用于多个变量。假设您想为速度（x）、车辆重量（y）和发动机排量（z）定义一个线性回归模型。对应 多元线性回归 的公式是：

此时，每个变量的系数代表该特征的权重或重要性，同时保持其他变量不变。

反函数

现在，让我们“反过来”思考买苹果的问题：如果您在苹果上花了 2.25 美元，您买了多少磅？答案是 2.25 / 0.75 = 3，所以您买了 3 磅。这种对函数的“反转”称为函数的反函数。在没有截距的例子中，反函数为：

注意，在这个记号中，“-1” 表示取函数的反函数，而非倒数。

需要注意的一点是，定义域可能会改变。例如，假设原函数是：

该函数在除 2 之外的所有实数上有定义，因为分母不能为 0。它的反函数是

出于同样的原因，反函数在除 0 之外的所有输入上有定义。

另一个要留意的问题是，得到的反式可能不是函数，因为它会对同一输入产生多个输出。考虑函数 y = x2。它的反向因此为：

如您从正负号可见，反式对一个输入有两个输出，因此除非我们限制定义域（例如令 x ≥ 0），否则它不是一个函数。

从图像上看，一个函数及其反函数（若存在）关于直线 y=x 对称。考虑函数 y = x3。该函数及其反函数的图像如下：

原函数（蓝色）有一个反函数（橙色），它是关于直线 y = x的镜像。