Qu'est-ce qu'une fonction en mathématiques ? Une explication intuitive

Les data scientists débutants voient souvent le terme "fonction", sans que sa signification soit toujours limpide. 

Dans cet article, vous allez découvrir ce qu'est une fonction mathématique, quels ensembles décrivent ses valeurs d'entrée et de sortie, et la différence entre valeurs continues et discrètes. Vous verrez comment les fonctions sont utilisées en technologie, les fonctions courantes en data science et comment on les optimise. Au fil du texte, vous trouverez du code Python pour manipuler et tracer des fonctions.

Si vous souhaitez vous exercer à écrire et utiliser vos propres fonctions en Python, nous vous recommandons le cours Writing Functions in Python.

Qu'est-ce qu'une fonction en mathématiques ?

En mathématiques, une fonction associe à chaque entrée une unique sortie. Chaque entrée valide est envoyée vers une et une seule sortie. Une même entrée ne peut pas avoir plusieurs sorties.

Par exemple, 32 degrés Fahrenheit correspondent à 0 degré Celsius. La valeur en Fahrenheit correspond à une valeur en Celsius, et à une seule. Vous ne pouvez pas avoir deux valeurs de sortie (Celsius) différentes pour une même entrée valide (Fahrenheit). 

Autre exemple : la paie, où vous êtes rémunéré·e à l'heure. Si vous gagnez 20 $ de l'heure et travaillez 40 heures, vous touchez 20 x 40 = 800 $.

Toutes les règles ne sont pas des fonctions. Il arrive qu'il soit logique d'avoir plusieurs sorties pour une seule entrée. Par exemple, associer un nom à une personne n'est pas une fonction : le nom "John Smith" peut désigner plusieurs personnes portant ce nom.

En mathématiques, on formule souvent les règles de manière à n'avoir qu'une sortie par entrée valide. Parfois, c'est tout simplement ainsi que le monde fonctionne (la paie). D'autres fois, on reformule les problèmes en termes de fonctions pour les rendre traitables : plutôt qu'un écheveau d'entrées et de sorties, on impose que chaque entrée n'ait pas plusieurs sorties.

Vous pouvez voir une fonction comme une "machine" qui accepte une entrée (souvent notée x), la traite d'une certaine manière, et produit une sortie (souvent notée y).

Ici, une machine reçoit une entrée par le tapis roulant à gauche, la traite, puis produit à droite une coche verte réjouie.

Multivariées, les fonctions acceptent plusieurs entrées mais ne renvoient qu'une seule sortie. Vous pouvez les voir comme une ligne de données composée de plusieurs variables (ou caractéristiques) mappée vers une sortie unique.

Notation et terminologie des fonctions

Comment écrire l'équation ? Dans l'exemple de conversion de température, on peut écrire la formule y = f(x) = (5/9) (x - 32), avec x la température en Fahrenheit et y en Celsius. Pour comprendre cette notation, lisez-la de gauche à droite. 

À gauche, vous voyez y, la sortie. La notation f(x) indique que vous utilisez une fonction, appelée f, qui prend en entrée x. Notez que dans ce contexte, f(x) ne signifie pas f multiplié par x. 

À droite se trouve la formule : prenez l'entrée x, soustrayez 32, puis multipliez le résultat par 5/9.

Domaine, codomaine et image

Supposons que vous releviez la température extérieure une fois par jour et que vous ayez collecté k mesures, notées (x1, x2, …, xk). Vous souhaitez une fonction qui renvoie la température moyenne depuis le début de l'année après n jours. Définissez une fonction qui prend un entier positif n inférieur ou égal à k et renvoie la moyenne des n premières températures, qui est un nombre réel. La notation pour une telle fonction est f: {1, 2, …, k} → ℝ.

Il est utile de disposer d'un jargon pour décrire les ensembles liés à la fonction : d'où les notions de domaine, codomaine et image. 

• Le domaine désigne l'ensemble des entrées possibles, ici des entiers. 
• Le codomaine est l'ensemble décrivant le type de sortie visé, ici les nombres réels.

Regardons maintenant l'image. Prenez une fonction quadratique simple : y = f(x) = x2. Pour préciser le domaine et le codomaine, on écrit f: ℝ → ℝ. 

Vous savez désormais que cela signifie que le domaine (ensemble des entrées) comme le codomaine (ensemble des sorties) sont des nombres réels. Toutefois, en y réfléchissant, vous noterez que l'ensemble des sorties ne peut pas être tous les réels. 

Puisque tout nombre au carré est non négatif, l'ensemble des sorties effectivement obtenues n'est pas l'ensemble des réels, mais seulement les réels non négatifs. Le terme pour décrire cette situation est image (range). On dit que l'image de cette fonction est l'ensemble des réels non négatifs. 

Le codomaine est l'ensemble des sorties potentielles ; l'image est l'ensemble des sorties effectivement réalisées. Vous choisissez le codomaine selon le type de sortie visé, tandis que vous découvrez l'image, c'est-à-dire les valeurs réellement obtenues.

Variables continues et discrètes

Cela nous amène à la distinction entre variables continues et discrètes :

• Les variables continues peuvent prendre toute valeur théorique dans un intervalle donné. 
• Les variables discrètes ne prennent qu'un nombre fini ou dénombrable de valeurs. 

Par exemple, une variable continue dans [0, 1] peut valoir 0, 0,5, 0,4141, ou tout autre réel de l'intervalle. Les variables continues sont courantes lorsque la sortie peut théoriquement prendre n'importe quelle valeur, comme en régression.

En revanche, en classification binaire, seules deux valeurs comptent : 0 et 1. Par exemple, une image contient un chat ou non. En classification multiclasse, vous n'avez toujours qu'un nombre fini de valeurs, par exemple 0 pour un chien, 1 pour un chat, 2 pour un cheval.

Le problème à résoudre dicte le type de fonction qui vous intéresse. Les problèmes de classification produisent des valeurs discrètes ; les problèmes de régression produisent des fonctions continues.

Notation vectorielle

Parfois, vous devez passer plusieurs variables à une fonction. Par exemple, vous pouvez fournir une ligne de caractéristiques à un modèle de machine learning. Dans ce cas, vous pouvez regrouper les caractéristiques dans un conteneur et le passer en entrée. Une manière de regrouper des données ainsi est d'utiliser un vecteur. Le modèle prend un vecteur d'entrée x = [x1, x2, x3] et renvoie une cible y.

En Python, on utilise généralement un tableau NumPy pour représenter un vecteur.

import numpy as np

def f(x):
    result = (x[0] + x[1] + x[2]) / 3
    return result

x = [3, 4, 7.1]
print(f(x))Propulsé par

4.7Propulsé par

Ce code prend un vecteur composé des nombres 3, 4 et 7,1 et renvoie leur moyenne.

Pour une collection de vecteurs, une méthode populaire consiste à utiliser la structure de données DataFrame de la bibliothèque pandas. 

import pandas as pd

def row_averages(df):
    return df.mean(axis=1).round(1)

df = pd.DataFrame({
    "A": [1, 5, 2],
    "B": [9, 3, 6],
    "C": [7, 8, 10]
})

print(row_averages(df))Propulsé par

Ce code renvoie une Series pandas contenant les moyennes par ligne, une valeur par ligne. Dans ce cas :

0    5.7
1    5.3
2    6.0Propulsé par

Les fonctions en technologie

La notion de fonction est omniprésente en technologie. D'un point de vue pratique, retenez que "fonction" n'est pas toujours définie aussi rigoureusement en technologie qu'en mathématiques. Par exemple, les fonctions en programmation peuvent avoir des effets de bord qui modifient des variables autres que la sortie, ce qui n'existe pas en mathématiques.

Tableurs

Les fonctions sont largement utilisées dans les tableurs, par exemple via les formules Excel. Vous pouvez vouloir calculer la somme, la moyenne ou la médiane d'une colonne de nombres. Dans les tableurs, les fonctions suivent la même définition que celle introduite en mathématiques.

L'un des points forts des tableurs (jeu de mots assumé) est les fonctions conditionnelles : elles permettent de construire des structures conditionnelles plus complexes via des fonctions comme IF(). 

Par exemple, vous pouvez vouloir totaliser les paiements effectués à votre organisme de prêt immobilier sur une année. Pour cela, vous utiliserez probablement la fonction SUM() de votre tableur.

Langages de programmation

Les fonctions sont omniprésentes dans les langages de programmation. Selon le langage, la définition de "fonction" peut être plus souple qu'en mathématiques. Certains langages permettent à une fonction de renvoyer plusieurs valeurs, ou aucune valeur explicite. 

Par exemple, une fonction peut prendre des valeurs et afficher un message, sans renvoyer explicitement de valeur. Une fonction Python ressemble à ceci :

def print_me(name, color):
       print(f"My name is {name} and my favorite color is {color}.")

name = "Mark"
color = "blue"
print_me(name, color)Propulsé par

Ce code produit la sortie : "My name is Mark and my favorite color is blue." Aucune valeur mathématique n'est explicitement renvoyée par la fonction.

Dans de nombreux langages courants comme Python, le code peut également avoir d'autres effets de bord dans une fonction, comme la modification d'une variable globale. Même si ces effets sont possibles et autorisés, ils sont déconseillés : ils rendent les programmes plus difficiles à tester, déboguer et raisonner.

Pour ces raisons, certains langages "fonctionnels", tels que Scala et Haskell, s'appuient plus rigoureusement sur l'idée de fonction. 

Apprentissage automatique

En Machine Learning, les entrées sont les caractéristiques, la fonction est le modèle, et la sortie est la prédiction du modèle. Un tel modèle est souvent décrit comme une "boîte noire" car il n'est pas nécessairement clair comment les caractéristiques d'entrée sont traitées pour produire la prédiction, d'où la pertinence de notre métaphore de la "machine" :

Dans cette illustration, les caractéristiques sont injectées dans la "machine" modèle, qui les traite d'une certaine manière et produit une prédiction. Comparé à des fonctions déterministes plus simples comme la conversion de température, ce qui se passe à l'intérieur est plus difficile à décrire.

En ML, le domaine est l'ensemble des vecteurs de caractéristiques ; le codomaine peut être des probabilités, des classes ou des prédictions réelles.

En Deep Learning, les fonctions ne s'appliquent généralement pas directement à un ensemble d'entrées ; on évalue plutôt la justesse du modèle à l'aide d'une fonction de coût. Une fonction de coût est une mesure de l'erreur du modèle sur l'ensemble d'entraînement. Elle compare les prédictions aux vraies étiquettes ou valeurs et agrège les erreurs en un seul nombre.

Fonctions courantes en data science

Certaines fonctions reviennent presque partout en data science : fonctions linéaires, logarithmiques et exponentielles, ainsi que des fonctions d'activation non linéaires pour le deep learning.

Fonctions linéaires

Commençons par l'exemple classique : les fonctions linéaires.

Pente

Supposons que vous ayez envie de pommes. Vous allez dans une épicerie qui vend les pommes à 0,75 $ la livre. Une livre coûte donc 0,75 $, 2 livres coûtent 2 x 0,75 $ = 1,50 $, et 3 livres 3 x 0,75 $ = 2,25 $. Chaque livre achetée ajoute un montant fixe au coût total.

En notation fonctionnelle, vous pouvez écrire la formule f(x) = 0,75 x. Le nombre 0,75 est la pente de la fonction linéaire. La pente est le taux de variation de la sortie pour une unité de variation de l'entrée.

Pour tracer une telle fonction, vous pouvez utiliser un code similaire au suivant :

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

def cost_of_apples(x, m):
    result = m * x
    return result

# Define x and y
x = np.linspace(0, 5, 100)
y = cost_of_apples(x, 0.75)

# Plot
plt.figure()
plt.plot(x, y)
plt.xlabel("Pounds of Apples")
plt.ylabel("Total Cost ($)")
plt.title("Cost of Apples")
plt.show()Propulsé par

On parle de fonctions linéaires. Chaque augmentation de l'entrée x contribue d'un montant fixe à la sortie y. Comme son nom l'indique, la représentation graphique d'une fonction linéaire est une droite.

Ordonnée à l'origine

Supposons maintenant que vous souhaitiez être livré·e. L'épicerie facture des frais de livraison fixes de 2,00 $. La fonction pour vos pommes devient alors f(x) = 0,75 x + 2. Comme précédemment, 0,75 est la pente. Le nombre 2, point d'intersection avec l'axe des ordonnées, est l'"ordonnée à l'origine" : la valeur de sortie lorsque l'entrée est 0. 

Le coût total est la somme du prix des pommes et des frais de livraison. En général, une fonction linéaire univariée s'écrit f(x) = mx + b, où m est la pente et b l'ordonnée à l'origine. 

Fonction linéaire multivariée

Vous ne mangerez sans doute pas que des pommes. Supposons que vous achetiez aussi du pain et du beurre de cacahuète. Les pommes coûtent 0,75 $ la livre, une miche de pain coûte 2,50 $, et un pot de beurre de cacahuète 3,00 $. Votre fonction de panier de courses devient :

Cette fonction est toujours linéaire car elle l'est dans chacune des variables. En général, une fonction linéaire prend la forme :

Cela revient à additionner chacune de vos quantités multipliée par son poids (autre terme pour pente dans ce contexte), plus l'ordonnée à l'origine.

En notation vectorielle, cette fonction s'écrit :

Le T indique la "transposée", nécessaire pour effectuer la multiplication vectorielle de w et x.

Régression linéaire

Considérons le lien entre consommation de carburant et vitesse. Vous soupçonnez qu'en roulant plus vite, l'efficacité diminue. Vous collectez cinquante points de données entre 45 et 65 miles par heure et observez le schéma suivant :

Relier chaque point donnerait un tracé sinueux, illisible et peu utile. Mais la tendance générale est approximativement linéaire sur cet intervalle. Si l'on appelle x la vitesse, la fonction pour ce graphe est :

Pour trouver une droite qui s'ajuste au mieux aux données, on utilise un procédé mathématique appelé régression linéaire simple.

Vous pouvez calculer une telle droite en Python à l'aide de Matplotlib et Seaborn :

import numpy as np
import pandas as pd
import seaborn as sns
import matplotlib.pyplot as plt

# Reproducibility
np.random.seed(0)

# Create dataset
speed = np.linspace(45, 65, 50)
mpg = 38 - 0.2 * speed + 0.002 * (speed - 55)**2 + np.random.normal(0, 0.5, size=50)

df = pd.DataFrame({
    "speed": speed,
    "mpg": mpg
})

# Plot with regression line
sns.regplot(data=df, x="speed", y="mpg", ci=None)

plt.xlabel("Speed (mph)")
plt.ylabel("Fuel Efficiency (mpg)")
plt.title("Fuel Efficiency vs Speed")
plt.show()Propulsé par

La régression linéaire fonctionne avec plusieurs variables. Supposons que vous vouliez définir un modèle de régression linéaire pour la vitesse (x), le poids du véhicule (y) et la cylindrée (z). La formule résultante pour la régression linéaire multivariée est :

Dans ce cas, le coefficient de chaque variable représente le poids ou l'importance de cette caractéristique, les autres variables étant maintenues constantes. 

Fonctions réciproques (inverses)

Inversions de perspective : si vous avez dépensé 2,25 $ en pommes, combien de livres avez-vous achetées ? La réponse est 2,25 / 0,75 = 3, donc trois livres. Ce type de "renversement" d'une fonction est appelé inverse de la fonction. Dans l'exemple sans ordonnée à l'origine, l'inverse est : 

Notez que dans cette notation, le "-1" indique l'inverse d'une fonction, et non un réciproque.

Attention : le domaine peut changer. Supposons, par exemple, que votre fonction initiale soit :

Cette fonction est définie pour tous les réels sauf 2, car le dénominateur ne peut pas être nul. L'inverse de cette fonction est 

Pour la même raison, la fonction réciproque est définie pour toutes les entrées sauf 0. 

Autre écueil : l'inverse obtenu peut ne pas être une fonction, car il aurait plusieurs sorties pour une seule entrée. Prenez la fonction y = x2. Son renversement serait :

Comme le montre le signe plus/moins, l'inverse a deux sorties pour une entrée, ce n'est donc pas une fonction sauf à restreindre le domaine (par exemple à x ≥ 0)

Graphiquement, une fonction et son inverse (s'il existe) sont des images miroir par rapport à la droite y = x. Prenez la fonction y = x3. Le graphe de cette fonction et de son inverse est :

La fonction d'origine (en bleu) a un inverse (en orange) réfléchi par rapport à la droite y = x.