Was ist eine Funktion in der Mathematik? Eine intuitive Erklärung

Angehende und Junior‑Data Scientists stolpern oft über den Begriff "Funktion" – doch was er genau bedeutet, ist nicht immer eindeutig. 

In diesem Artikel erfährst du, was eine mathematische Funktion ist, welche Mengen ihre Eingabe- und Ausgabewerte beschreiben und worin sich stetige und diskrete Werte unterscheiden. Du siehst, wie Funktionen in der Technologie eingesetzt werden, lernst gängige Funktionen in der Data Science kennen und wie man sie optimiert. Unterwegs findest du Python‑Code, um Funktionen zu manipulieren und zu visualisieren.

Wenn du das Schreiben und Verwenden eigener Funktionen in Python üben willst, empfehle ich dir unseren Kurs Writing Functions in Python.

Was ist eine Funktion in der Mathematik?

In der Mathematik ordnet eine Funktion jeder Eingabe genau eine Ausgabe zu. Jede gültige Eingabe führt zu genau einer Ausgabe. Eine Eingabe kann nicht mehrere Ausgaben haben.

Beispiel: 32 Grad Fahrenheit entsprechen 0 Grad Celsius. Der Fahrenheit‑Wert entspricht einem Wert in Celsius – und zwar genau einem. Du kannst nicht zwei verschiedene Ausgabewerte (Celsius) für eine gültige Eingabe (Fahrenheit) haben. 

Weitere Beispiele sind Lohnabrechnungen mit Stundenlohn. Wenn du 20 $ pro Stunde verdienst und 40 Stunden arbeitest, erhältst du 20 × 40 = 800 $.

Nicht jede Zuordnung ist eine Funktion. Manchmal ist es logisch, mehrere Ausgaben für eine Eingabe zuzulassen. Ein Name zu einer Person passt zum Beispiel nicht: Der Name "John Smith" kann mehreren Personen zugeordnet sein.

In der Mathematik werden Regeln oft so formuliert, dass es genau eine Ausgabe pro gültiger Eingabe gibt. Manchmal bildet das die Realität direkt ab (Lohnabrechnung). In anderen Fällen formuliert man Probleme absichtlich als Funktionen, um sie handhabbar zu machen: Statt einem Wirrwarr aus Eingaben und Ausgaben wird das Modell so aufgesetzt, dass eine Eingabe nicht zu mehreren Ausgaben führen kann.

Du kannst dir eine Funktion als "Maschine" vorstellen, die eine Eingabe (oft x) annimmt, sie irgendwie verarbeitet und eine Ausgabe (oft y) erzeugt.

Hier nimmt eine Maschine links auf dem Förderband Eingaben auf, verarbeitet sie und erzeugt rechts ein fröhliches grünes Häkchen.

Multivariate Funktionen akzeptieren mehrere Eingaben, liefern aber genau eine Ausgabe. Du kannst dir das wie eine Datenzeile mit mehreren Variablen oder Features vorstellen, die auf einen einzelnen Ausgabewert abgebildet werden.

Funktionsschreibweise und Terminologie

Wie schreibt man die Gleichung auf? Beim Temperaturbeispiel lautet die Formel y = f(x) = (5/9) (x - 32), wobei x die Temperatur in Fahrenheit und y in Celsius ist. Um diese Notation zu verstehen, lies sie von links nach rechts. 

Links steht y, also die Ausgabe. Die Schreibweise f(x) zeigt, dass du eine Funktion namens f verwendest, die eine Eingabe x nimmt. Beachte: f(x) bedeutet hier nicht f mal x. 

Rechts steht die Rechenvorschrift: Nimm die Eingabe x, ziehe 32 ab und multipliziere das Ergebnis mit 5/9.

Definitionsmenge, Zielmenge und Wertebereich

Angenommen, du misst einmal täglich die Außentemperatur und hast k Messwerte, bezeichnet als (x1, x2, …, xk), aufgezeichnet. Du möchtest eine Funktion, die nach n vergangenen Tagen den bisherigen Jahresdurchschnitt zurückgibt. Definiere eine Funktion, die eine positive ganze Zahl n mit n ≤ k entgegennimmt und den Durchschnitt der ersten n Temperaturen als reelle Zahl zurückgibt. Die Notation dafür lautet f: {1, 2, …, k} → ℝ.

Es ist hilfreich, Fachbegriffe für die beteiligten Mengen zu haben: das führt zu Definitionsmenge, Zielmenge und Wertebereich. 

• Die Definitionsmenge bezeichnet die Menge der Eingaben, hier die ganzen Zahlen. 
• Die Zielmenge ist die Menge, die die Art der beabsichtigten Ausgaben beschreibt, hier die reellen Zahlen.

Nun betrachten wir den Wertebereich. Betrachte eine einfache quadratische Funktion: y = f(x) = x2. Um Definitions- und Zielmenge zu spezifizieren, schreibe f: ℝ → ℝ. 

Damit weißt du, dass sowohl die Definitionsmenge (Eingaben) als auch die Zielmenge (Ausgaben) aus reellen Zahlen bestehen. Mit etwas Überlegung wird aber klar: Die tatsächlich auftretenden Ausgaben können nicht alle reellen Zahlen sein. 

Da jedes Quadrat nichtnegativ ist, besteht die tatsächliche Ausgabemenge nicht aus allen reellen Zahlen, sondern nur aus nichtnegativen reellen Zahlen. Dafür verwenden wir den Begriff Wertebereich: Der Wertebereich dieser Funktion sind alle nichtnegativen reellen Zahlen. 

Die Zielmenge ist die potenzielle Ausgabemenge; der Wertebereich ist die Menge der tatsächlich realisierten Ausgaben. Du wählst die Zielmenge passend zum beabsichtigten Ausgabetyp, und du ermittelst den Wertebereich, also die tatsächlich auftretenden Ausgabewerte.

Stetige und diskrete Variablen

Damit sind wir bei der Unterscheidung zwischen stetigen und diskreten Variablen:

• Stetige Variablen nehmen jeden theoretischen Wert in einem gegebenen Intervall an. 
• Diskrete Variablen nehmen nur endlich viele oder abzählbar viele Werte an. 

Eine stetige Variable im Intervall [0, 1] kann z. B. die Werte 0, 0,5, 0,4141 oder jeden anderen reellen Wert im Intervall annehmen. Stetige Variablen werden häufig in Modellen verwendet, deren Ausgabe theoretisch jeden Wert annehmen kann, etwa in der Regression.

In der binären Klassifikation interessiert dich jedoch nur, ob 0 oder 1: Ein Bild enthält eine Katze oder nicht. In einer Multiklassen‑Klassifikation gibt es ebenfalls nur endlich viele Werte, z. B. 0 für Hund, 1 für Katze, 2 für Pferd.

Das Problem, das du lösen willst, bestimmt die Art der Funktion: Klassifikationsprobleme liefern diskrete Werte, Regressionsprobleme stetige Funktionen.

Vektorschreibweise

Manchmal müssen mehrere Variablen in eine Funktion eingehen. Etwa wenn du eine Feature‑Zeile in eine Machine‑Learning‑Funktion gibst. In diesem Fall kannst du die Features in einem Container bündeln und diesen übergeben. Eine Möglichkeit ist ein Vektor. Das Modell nimmt einen Eingabevektor x = [x1, x2, x3] und gibt ein Ziel y aus.

In Python verwendest du typischerweise ein NumPy‑Array, um einen Vektor darzustellen.

import numpy as np

def f(x):
    result = (x[0] + x[1] + x[2]) / 3
    return result

x = [3, 4, 7.1]
print(f(x))Bereitgestellt von

4.7Bereitgestellt von

Dieser Code nimmt einen Vektor mit den Zahlen 3, 4 und 7.1 und gibt den Durchschnitt zurück.

Für eine Sammlung von Vektoren nutzt man oft die DataFrame‑Datenstruktur aus der pandas‑Bibliothek. 

import pandas as pd

def row_averages(df):
    return df.mean(axis=1).round(1)

df = pd.DataFrame({
    "A": [1, 5, 2],
    "B": [9, 3, 6],
    "C": [7, 8, 10]
})

print(row_averages(df))Bereitgestellt von

Dieser Code gibt eine pandas Series mit den Zeilendurchschnitten zurück, einen Wert pro Zeile. In diesem Fall:

0    5.7
1    5.3
2    6.0Bereitgestellt von

Funktionen in der Technologie

Der Funktionsbegriff ist in der Technologie allgegenwärtig. Aus praktischen Gründen ist "Funktion" dort nicht immer so streng definiert wie in der Mathematik. Programmierfunktionen können beispielsweise Seiteneffekte haben, die andere Variablen als die Ausgabe verändern – mathematische Funktionen nicht.

Tabellenkalkulationen

Funktionen sind in Tabellen weit verbreitet, etwa in Excel‑Formeln. Du willst vielleicht die Summe, den Mittelwert oder den Median einer Spalte berechnen. In Tabellenkalkulationen folgen Funktionen derselben Definition wie die oben eingeführten mathematischen Funktionen.

Eine Sache, in der Tabellen glänzen (Wortspiel beabsichtigt), sind Bedingte Funktionen: Sie erlauben dir, komplexere Bedingungen mit Funktionen wie IF() zu bauen. 

Du könntest beispielsweise die Gesamtsumme deiner Zahlungen an die Hypothekenbank in einem Jahr ermitteln. Dazu würdest du wahrscheinlich die SUM()‑Funktion deiner Tabelle verwenden.

Programmiersprachen

Funktionen sind in Programmiersprachen allgegenwärtig. Je nach Sprache ist die Definition von "Funktion" weniger streng als in der Mathematik. Manche Sprachen erlauben, dass eine Funktion mehrere Werte oder gar keinen Wert zurückgibt. 

Eine Funktion kann etwa Werte entgegennehmen und eine Ausgabe auf dem Bildschirm drucken, aber keinen expliziten Rückgabewert liefern. Eine Python‑Funktion sieht so aus:

def print_me(name, color):
       print(f"My name is {name} and my favorite color is {color}.")

name = "Mark"
color = "blue"
print_me(name, color)Bereitgestellt von

Dieser Code erzeugt die Ausgabe: "My name is Mark and my favorite color is blue." Ein mathematischer Wert wird nicht explizit zurückgegeben.

Code in vielen gängigen Sprachen wie Python kann in Funktionen auch andere Seiteneffekte haben, etwa das Ändern einer globalen Variable. Obwohl Seiteneffekte möglich und erlaubt sind, sind sie unerwünscht – sie erschweren Tests, Debugging und das Verständnis des Programms.

Aus diesen Gründen sind einige "funktionale" Sprachen wie Scala und Haskell stärker und strenger um den Funktionsbegriff herum aufgebaut. 

Machine Learning

Im Machine‑Learning‑Kontext sind die Eingaben Features, die Funktion ist das Modell, und die Ausgabe ist die Vorhersage des Modells. Ein solches Modell wird oft als "Black Box" beschrieben, weil nicht unbedingt klar ist, wie die Eingabefeatures verarbeitet werden, um die Vorhersage zu erzeugen – unsere frühere Maschinen‑Metapher passt hier also noch besser:

In dieser Illustration werden die Features in die Modell‑"Maschine" eingespeist, die sie auf irgendeine Weise verarbeitet und eine Vorhersage ausgibt. Im Vergleich zu einfachen, deterministischen Funktionen wie der Temperaturumrechnung ist das Innenleben schwerer zu beschreiben.

Im ML sind die Eingaben Feature‑Vektoren; die Zielmenge kann aus Wahrscheinlichkeiten, Klassen oder reellwertigen Vorhersagen bestehen.

Im Deep Learning werden Funktionen meist nicht direkt auf Eingaben angewendet, sondern die Güte des Modells mit einer Kostenfunktion bewertet. Eine Kostenfunktion ist ein Maß dafür, wie falsch ein Modell über den Trainingssatz liegt. Sie vergleicht Vorhersagen mit den wahren Labels oder Werten und fasst die Fehler zu einer Zahl zusammen.

Gängige Funktionen in der Data Science

Bestimmte Funktionen begegnen dir in der Data Science ständig: lineare, logarithmische und exponentielle Funktionen sowie nichtlineare Aktivierungsfunktionen für Deep Learning.

Lineare Funktionen

Starten wir mit dem Klassiker: lineare Funktionen.

Steigung

Angenommen, du hast Appetit auf Äpfel. Im Supermarkt kosten Äpfel 0,75 $ pro Pfund. Ein Pfund kostet also 0,75 $, 2 Pfund kosten 2 × 0,75 $ = 1,50 $, und 3 Pfund kosten 3 × 0,75 $ = 2,25 $. Jedes weitere Pfund erhöht die Gesamtkosten um einen festen Betrag.

Als Funktionsschreibweise könntest du die Formel als f(x) = 0.75 x schreiben. Die Zahl 0,75 ist die Steigung der linearen Funktion. Die Steigung ist die Änderungsrate der Ausgabe pro Einheit der Eingabe.

Um so eine Funktion zu plotten, kannst du ähnlichen Code verwenden:

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

def cost_of_apples(x, m):
    result = m * x
    return result

# Define x and y
x = np.linspace(0, 5, 100)
y = cost_of_apples(x, 0.75)

# Plot
plt.figure()
plt.plot(x, y)
plt.xlabel("Pounds of Apples")
plt.ylabel("Total Cost ($)")
plt.title("Cost of Apples")
plt.show()Bereitgestellt von

Solche Funktionen heißen lineare Funktionen. Jede Erhöhung der Eingabe x trägt denselben festen Betrag zur Ausgabe y bei. Wie der Name sagt, ergibt die Zeichnung eine Gerade.

Achsenabschnitt

Angenommen, du lässt dir die Lebensmittel liefern. Der Supermarkt verlangt eine Pauschale von 2,00 $ für die Lieferung. Dann lautet die Funktion für deine Äpfel f(x) = 0.75 x + 2. Wie zuvor ist 0,75 die Steigung. Die Zahl 2, also der Schnittpunkt mit der y‑Achse, ist der "y‑Achsenabschnitt". Er ist der Ausgabewert bei Eingabe 0. 

Die Gesamtkosten sind Summe aus Äpfeln und Liefergebühr. Allgemein lässt sich eine univariate lineare Funktion als f(x) = mx + b schreiben, wobei m die Steigung und b der y‑Achsenabschnitt ist. 

Multivariate lineare Funktion

Wahrscheinlich willst du mehr als nur Äpfel essen. Angenommen, du kaufst auch Brot und Erdnussbutter. Äpfel kosten 0,75 $ pro Pfund, ein Laib Brot 2,50 $, ein Glas Erdnussbutter 3,00 $. Deine Einkaufsfunktion lautet dann:

Diese Funktion gilt weiterhin als linear, da sie in jeder Variablen linear ist. Allgemein hat eine lineare Funktion die Form:

Das entspricht dem Aufsummieren deiner Mengen, jeweils multipliziert mit ihren Gewichten (ein anderes Wort für Steigung in diesem Kontext), plus dem Achsenabschnitt.

In Vektorschreibweise sieht das so aus:

Das T steht für „transponiert“ und ist nötig, um die Vektormultiplikation von w und x durchzuführen.

Lineare Regression

Betrachte Kraftstoffeffizienz versus Geschwindigkeit. Du vermutest: Je schneller man fährt, desto geringer die Effizienz. Du sammelst fünfzig Datenpunkte zwischen 45 und 65 mph und siehst folgendes Muster:

Würdest du alle Punkte verbinden, ergäbe das ein unübersichtliches Zickzack. Der Trend ist in diesem Bereich jedoch näherungsweise linear. Wenn wir die Geschwindigkeit x nennen, lautet die Funktion für dieses Diagramm:

Um eine solche "beste Gerade" zu finden, nutzt du das Verfahren der einfachen linearen Regression.

Eine solche Gerade lässt sich in Python mit Matplotlib und Seaborn berechnen und visualisieren:

import numpy as np
import pandas as pd
import seaborn as sns
import matplotlib.pyplot as plt

# Reproducibility
np.random.seed(0)

# Create dataset
speed = np.linspace(45, 65, 50)
mpg = 38 - 0.2 * speed + 0.002 * (speed - 55)**2 + np.random.normal(0, 0.5, size=50)

df = pd.DataFrame({
    "speed": speed,
    "mpg": mpg
})

# Plot with regression line
sns.regplot(data=df, x="speed", y="mpg", ci=None)

plt.xlabel("Speed (mph)")
plt.ylabel("Fuel Efficiency (mpg)")
plt.title("Fuel Efficiency vs Speed")
plt.show()Bereitgestellt von

Lineare Regression funktioniert auch mit mehreren Variablen. Angenommen, du modellierst linear mit Geschwindigkeit (x), Fahrzeuggewicht (y) und Motorgröße (z). Die resultierende Formel für die multivariate lineare Regression lautet:

Hier steht der Koeffizient jeder Variablen für das Gewicht bzw. die Bedeutung dieses Features – jeweils bei konstant gehaltenen anderen Variablen. 

Inverse Funktionen

Jetzt drehen wir die Apfel‑Frage um: Wenn du 2,25 $ für Äpfel ausgegeben hast – wie viele Pfund hast du gekauft? Antwort: 2,25 / 0,75 = 3, also drei Pfund. Diese "Umkehrung" einer Funktion heißt Inverse der Funktion. Im Beispiel ohne Achsenabschnitt ist die Inverse: 

Beachte: Das „−1“ bezeichnet hier die inverse Funktion, nicht den Kehrwert.

Achte darauf, dass sich die Definitionsmenge ändern kann. Angenommen, deine ursprüngliche Funktion ist:

Diese Funktion ist für alle reellen Zahlen außer 2 definiert, da der Nenner nicht Null sein darf. Die inverse Funktion ist 

Aus demselben Grund ist die Inverse für alle Eingaben außer 0 definiert. 

Ein weiteres Stolpersteinchen: Die Inverse kann wegen Mehrdeutigkeit keine Funktion sein. Betrachte y = x2. Die Umkehrung wäre dann:

Wie am Plus/Minus zu sehen ist, hat die Inverse zwei Ausgaben für eine Eingabe – sie ist also keine Funktion, es sei denn, wir schränken die Definitionsmenge ein (z. B. auf x ≥ 0).

Grafisch sind eine Funktion und ihre Inverse (falls vorhanden) Spiegelbilder an der Geraden y = x. Betrachte y = x3. Der Graph dieser Funktion und ihrer Inversen ist:

Die Ausgangsfunktion (blau) hat eine Inverse (orange), die an der Geraden y = x gespiegelt ist.