Matematikte Fonksiyon Nedir? Sezgisel Bir Açıklama

Aday ve junior veri bilimciler sıklıkla "fonksiyon" terimini görür, ancak bu terimin tam olarak ne anlama geldiği her zaman net değildir. 

Bu yazıda, matematiksel bir fonksiyonun ne olduğunu, hangi kümelerin girdi ve çıktı değerlerini tanımladığını ve sürekli ile ayrık değerlerin nasıl farklılaştığını öğreneceksiniz. Fonksiyonların teknolojide nasıl kullanıldığını, veri biliminde yaygın fonksiyonları ve nasıl optimize edildiklerini keşfedeceksiniz. Bu sırada, fonksiyonları işlemek ve görselleştirmek için Python kodları göreceksiniz.

Python'da kendi fonksiyonlarınızı yazmayı ve kullanmayı pratik etmek isterseniz, Writing Functions in Python kursumuzu öneririm.

Matematikte Fonksiyon Nedir?

Matematikte, fonksiyon her girdiyi tekil bir çıktıya eşler. Her geçerli girdi yalnızca bir çıktıya gönderilir. Bir girdinin birden fazla çıktısı olamaz.

Örneğin, 32 derece Fahrenheit, 0 Celsius'tur. Fahrenheit değeri bir Celsius değerine karşılık gelir; üstelik yalnızca tek bir değere karşılık gelir. Bir geçerli girdi (Fahrenheit) için iki farklı çıktı (Celsius) olamaz. 

Diğer örnekler arasında saatlik ücretinize göre maaş bordrosu yer alır. Saatte 20 $ kazanıyorsanız ve 40 saat çalışırsanız, 20 x 40 = 800 $ kazanırsınız.

Her kural fonksiyon değildir. Bazı durumlarda, tek bir girdi için birden fazla çıktının olması mantıksal olarak anlamlıdır. Örneğin, bir ismi bir kişiyle eşleştirmek bir fonksiyon değildir. "John Smith" ismi bu ismi paylaşan birden çok kişiye karşılık gelebilir.

Matematikte, kurallar çoğunlukla her geçerli girdi için yalnızca bir çıktı olacak şekilde kurgulanır. Çoğu durumda, bu (bordro gibi) dünyanın gerçekte nasıl işlediğinin açık bir ifadesidir. Diğer durumlarda, problemler, problemi çözülebilir kıldıkları için fonksiyonlar cinsinden formüle edilir. Girdiler ve çıktılar yumağını takip etmek yerine, model her girdinin birden fazla çıktısı olmayacak şekilde kurulur.

Bir fonksiyonu, bir girdiyi (genellikle x ile gösterilir) kabul eden, onu bir şekilde işleyen ve bir çıktı (genellikle y ile gösterilir) üreten bir "makine" olarak düşünebilirsiniz.

Burada bir makine, sol taraftaki konveyör bandından girdiyi alır, işler ve sağ tarafta neşeli bir yeşil onay işareti üretir.

Çok değişkenli fonksiyonlar birden çok girdiden oluşan bir koleksiyonu kabul eder, ancak tek bir çıktı üretir. Bunu, birden fazla değişken veya özelliğe sahip tek bir veri satırını tek bir çıktıya eşlemek olarak düşünebilirsiniz.

Fonksiyon gösterimi ve terminoloji

Denklemi nasıl yazarsınız? Sıcaklık dönüşümü örneğinde, formülü y = f(x) = (5/9) (x - 32) şeklinde yazabiliriz; burada x Fahrenheit, y ise Celsius cinsindendir. Bu gösterimi anlamak için soldan sağa doğru okuyun. 

Solda, çıktı olan y'yi görürsünüz. f(x) gösterimi, x girdisini alan f adlı bir fonksiyon kullandığınızı belirtir. Bu bağlamda f(x)'in, bir değer f ile başka bir değer x'in çarpımı anlamına gelmediğine dikkat edin. 

Sağ tarafta ise formül yer alır. Girdi x'i alın, ondan 32 çıkarın ve sonucu 5/9 ile çarpın der.

Tanım kümesi, değer kümesi ve görüntü kümesi

Dış ortam sıcaklığını günde bir kez kaydettiğinizi ve k ölçüm topladığınızı varsayalım; bunları (x1, x2, …, xk) ile gösterelim. Yılbaşından bugüne kadar geçen n günden sonra ortalama sıcaklığı döndüren bir fonksiyon istiyorsunuz. Pozitif bir tamsayı olan ve k'ye küçük ya da eşit olan bir n alan ve ilk n sıcaklığın ortalamasını, yani bir gerçek sayıyı döndüren bir fonksiyon tanımlayın. Böyle bir fonksiyonun gösterimi f: {1, 2, …, k} → ℝ.

Fonksiyondaki kümeleri tanımlamak için jargona sahip olmak faydalıdır; bu da bizi tanım kümesi, değer kümesi ve görüntü kümesine götürür. 

• Tanım kümesi, girdileri tanımlayan kümenin adıdır; bu örnekte tamsayılardır. 
• Değer kümesi, hedeflediğiniz çıktı tipini tanımlayan kümedir; bu örnekte gerçek sayılar.

Şimdi de görüntü kümesine bakalım. Basit bir ikinci derece fonksiyonu düşünün: y = f(x) = x2. Tanım ve değer kümesini belirtmek için f: ℝ → ℝ yazın. 

Bunun, hem tanım kümesinin (girdiler kümesi) hem de değer kümesinin (çıktılar kümesi) gerçek sayılardan oluştuğunu belirttiğini artık biliyorsunuz. Ancak biraz düşününce, çıktıların kümesinin tüm gerçek sayılar olamayacağını fark edebilirsiniz. 

Herhangi bir sayının karesi negatif olmayan olduğundan, fiilen gerçekleşen çıktıların kümesi tüm gerçek sayılar değil, yalnızca negatif olmayan gerçek sayılardır. Bu durumu tanımlayan terim görüntü kümesidir. Bu fonksiyonun görüntü kümesinin tüm negatif olmayan gerçek sayılar olduğunu söyleriz. 

Burada değer kümesi potansiyel çıktı kümesidir; görüntü kümesi ise fiilen gerçekleşen çıktılar kümesidir. Değer kümesini, hedeflediğiniz çıktı tipini yansıtacak şekilde siz seçersiniz; görüntü kümesini ise, gerçekten ortaya çıkan çıktı değerlerinin kümesi olarak keşfedersiniz.

Sürekli ve ayrık değişkenler

Bu da bizi sürekli ve ayrık değişkenler ayrımına getirir:

• Sürekli değişkenler, verilen bir aralıktaki her teorik değeri alabilir. 
• Ayrık değişkenler, sonlu ya da sayılabilir sayıda değer alırlar. 

Örneğin, [0, 1] aralığındaki sürekli bir değişken 0, 0,5, 0,4141 veya aralıktaki herhangi bir gerçek değeri alabilir. Sürekli değişkenler, çıktının teorik olarak herhangi bir değer olabildiği (regresyon gibi) modellerde yaygın olarak kullanılır.

Buna karşılık, ikili sınıflandırmada yalnızca iki değeri umursarsınız: 0 ve 1. Örneğin, bir resim ya kedi içerir ya da içermez. Çok sınıflı bir sınıflandırma probleminde bile hâlâ sonlu sayıda değer vardır; örneğin 0 köpek, 1 kedi, 2 at olabilir.

Çözmeye çalıştığınız problem, hangi tür fonksiyonla ilgilendiğinizi belirler. Sınıflandırma problemleri ayrık değerler üretir; regresyon problemleri sürekli fonksiyonlar üretir.

Vektör gösterimi

Bazen bir fonksiyona birden fazla değişken geçirmeniz gerekir. Örneğin bir makine öğrenimi fonksiyonuna bir özellik satırı geçirebilirsiniz. Bu durumda, özellikleri tek bir kapta gruplayıp onu geçebilirsiniz. Verileri bu şekilde bir kapta gruplamanın bir yolu da bir vektördür. Model bir girdi vektörü x = [x1, x2, x3] alır ve bir hedef y çıktılar.

Python'da bir vektörü temsil etmek için genellikle bir NumPy dizisi kullanırsınız.

import numpy as np

def f(x):
    result = (x[0] + x[1] + x[2]) / 3
    return result

x = [3, 4, 7.1]
print(f(x))

4.7

Bu kod, 3, 4 ve 7.1 sayılarından oluşan bir vektörü alır ve bir ortalama döndürür.

Vektörlerden oluşan bir koleksiyon için popüler bir yöntem, pandas kütüphanesindeki DataFrame veri yapısını kullanmaktır. 

import pandas as pd

def row_averages(df):
    return df.mean(axis=1).round(1)

df = pd.DataFrame({
    "A": [1, 5, 2],
    "B": [9, 3, 6],
    "C": [7, 8, 10]
})

print(row_averages(df))

Bu kod, satır ortalamalarını içeren ve satır başına bir değer olmak üzere bir pandas Series döndürür. Bu durumda:

0    5.7
1    5.3
2    6.0

Teknolojide Fonksiyonlar

Fonksiyon kavramı teknolojide her yerde karşımıza çıkar. Pratik nedenlerle, teknolojide "fonksiyon" kavramının her zaman matematikteki kadar sıkı tanımlanmadığını bilmek gerekir. Örneğin, programlama fonksiyonlarının, çıktı dışındaki değişkenlerin değerlerini değiştiren yan etkileri olabilir; matematiksel fonksiyonlarda bu yoktur.

Elektronik tablolar

Fonksiyonlar, örneğin elektronik tablolarda ve Excel Formüllerinde yaygın olarak kullanılır. Bir sayı sütununun toplamını, ortalamasını veya medyanını hesaplamak isteyebilirsiniz. Elektronik tablolarda fonksiyonlar, daha önce tanıtılan matematiksel tanımla aynı şekilde çalışır.

Elektronik tabloların (kelime oyununa dikkat) çok iyi olduğu bir şey de Koşullu Fonksiyonlardır: IF() gibi fonksiyonları kullanarak daha karmaşık koşullu yapılar kurmanıza olanak tanırlar. 

Örneğin, bir yıl içinde konut kredisi şirketinize yaptığınız ödemelerin toplamını bulmak isteyebilirsiniz. Bunu yapmak için muhtemelen elektronik tablonuzun SUM() fonksiyonunu kullanırsınız.

Programlama Dilleri

Fonksiyonlar programlama dillerinde her yerdedir. Programlama diline bağlı olarak, "fonksiyon" tanımı matematiksel fonksiyon tanımından daha esnek olabilir. Bazı diller bir fonksiyonun birden fazla değer veya hiç değer döndürmesine izin verir. 

Örneğin, bir fonksiyon değerler alıp bir ifade yazdırabilir, ancak açıkça bir değer döndürmeyebilir. Bir Python Fonksiyonu şu şekilde görünür:

def print_me(name, color):
       print(f"My name is {name} and my favorite color is {color}.")

name = "Mark"
color = "blue"
print_me(name, color)

Bu kodun çıktısı: "My name is Mark and my favorite color is blue." olacaktır. Fonksiyondan açıkça bir matematiksel değer döndürülmemektedir.

Python gibi birçok ana akım dildeki kod, bir fonksiyonda bir global değişkenin değerini değiştirmek gibi başka yan etkilere de sahip olabilir. Yan etkiler mümkün ve izinli olsa da, kaçınılması tavsiye edilir. Yan etkiler, programları test etmeyi, hata ayıklamayı ve mantığını kurmayı zorlaştırır.

Bu nedenlerle, Scala ve Haskell gibi bazı "fonksiyonel" diller, fonksiyon fikrini daha sıkı bir şekilde temel alır. 

Makine Öğrenimi

Makine Öğrenimi bağlamında girdiler özelliklerdir, fonksiyon modeldir ve çıktı modelin tahminidir. Böyle bir model genellikle, girdi özelliklerinin çıktı tahminini vermek üzere nasıl işlendiğinin mutlaka açık olmadığı için bir "kara kutu" olarak tanımlanır; bu da önceki ”makine” metaforumuzun daha da iyi oturmasının nedenidir:

Bu görselde, özellikler model "makinesine" beslenir, bu makine onları bir şekilde işler ve bir tahmin çıktılar. Sıcaklık dönüşümü örneği gibi daha basit, deterministik fonksiyonlarla karşılaştırıldığında, makinenin içinde olan biteni tanımlamak daha zordur.

ML'de tanım kümesi özellik vektörleridir; değer kümesi olasılıklar, sınıflar veya gerçek değerli tahminler olabilir.

Derin Öğrenme alanında, fonksiyonlar genellikle doğrudan bir girdi kümesine uygulanmaz; bunun yerine modelin doğruluğu bir maliyet fonksiyonu ile değerlendirilir. Bir Maliyet Fonksiyonu, bir modelin eğitim seti genelinde ne kadar hatalı olduğunu ölçer. Tahminleri gerçek etiketlerle veya değerlerle karşılaştırır ve hataları tek bir sayıda toplar.

Veri Biliminde Yaygın Fonksiyonlar

Bazı fonksiyonlar veri biliminin neredeyse her yerinde karşımıza çıkar. Bu fonksiyonlara doğrusal fonksiyonlar, logaritmik fonksiyonlar, üstel fonksiyonlar ve derin öğrenme için doğrusal olmayan aktivasyon fonksiyonları dahildir.

Doğrusal fonksiyonlar

Klasik örnekle, doğrusal fonksiyonlarla başlayalım.

Eğim

Elma canınız çekti diyelim. Elmayı pound başına sabit 0,75 $ fiyatla satan bir markete gidiyorsunuz. Yani bir pound elma 0,75 $ tutar; 2 pound, 2 x 0,75 $ = 1,50 $; 3 pound ise 3 x 0,75 $ = 2,25 $ tutar. Aldığınız her pound, toplam maliyete sabit bir miktar ekler.

Fonksiyon gösteriminde, formülü f(x) = 0.75 x olarak yazabilirsiniz. 0,75 sayısı, doğrusal fonksiyonun eğimidir. Eğim, girdideki her birim değişime karşılık çıktının değişim oranıdır.

Böyle bir fonksiyonu grafiğe dökmek için aşağıdakine benzer bir kod kullanabilirsiniz:

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

def cost_of_apples(x, m):
    result = m * x
    return result

# Define x and y
x = np.linspace(0, 5, 100)
y = cost_of_apples(x, 0.75)

# Plot
plt.figure()
plt.plot(x, y)
plt.xlabel("Pounds of Apples")
plt.ylabel("Total Cost ($)")
plt.title("Cost of Apples")
plt.show()

Bu tür fonksiyonlara doğrusal fonksiyonlar denir. Girdi x'teki her artış, çıktı y'ye aynı sabit miktarı ekler. Adından da anlaşılacağı gibi, grafiğe döküldüğünde doğrusal bir fonksiyon düz bir doğru verir.

Kesişim (intercept)

Şimdi, market alışverişinizin teslim edilmesini sevdiğinizi varsayalım. Marketin sabit 2,00 $ teslimat ücreti var. Bu durumda, elmalar için fonksiyonunuz f(x) = 0.75 x + 2 olur. Önceki gibi, 0,75 eğimdir. Grafiğin y-ekseni kestiği nokta olan 2 sayısı, "y-kesişim" olarak bilinir. Girdi 0 iken çıktı değeridir. 

Toplam maliyet, elmaların ve bir teslimat ücretinin toplamıdır. Genel olarak, tek değişkenli bir doğrusal fonksiyon f(x) = mx + b şeklinde yazılabilir; burada m değeri eğim, b ise y-kesişimidir. 

Çok değişkenli doğrusal fonksiyon

Muhtemelen sadece elma yemek istemezsiniz. Biraz da ekmek ve fıstık ezmesi almak istediğinizi varsayalım. Elmalar pound başına 0,75 $, bir somun ekmek 2,50 $ ve bir kavanoz fıstık ezmesi 3,00 $dır. Artık market hesabı fonksiyonunuz şudur:

Bu fonksiyon, her değişkende doğrusal olduğu için hâlâ doğrusal kabul edilir. Genel olarak, doğrusal bir fonksiyon şu biçimdedir:

Bu, her bir miktarınızın kendi ağırlığı (bu bağlamda eğim için kullanılan bir başka kelime) ile çarpılıp toplanmasına ve artı kesişim terimine denk gelir.

Vektör gösteriminde bu fonksiyon şu şekilde yazılır:

Buradaki T, w ve x için vektör çarpımını gerçekleştirmek için gerekli olan "transpoze"yi ifade eder.

Doğrusal Regresyon

Yakıt verimliliği ile hız ilişkisini düşünün. Daha hızlı sürüldükçe yakıt verimliliğinin azaldığından şüpheleniyorsunuz. 45 ile 65 mil/saat hızları arasında elli veri noktası topluyorsunuz ve aşağıdaki deseni görüyorsunuz:

Her veri noktasını birleştirmek, kıvrımlı, okunması zor ve faydasız bir model verir. Ancak bu aralıkta verilerin genel eğilimi yaklaşık olarak doğrusaldır. Hıza x dersek, bu grafiğin fonksiyonu şudur:

Verilere en iyi uyan böyle bir doğruyu bulmak için Basit Doğrusal Regresyon adı verilen matematiksel bir süreç kullanırsınız.

Böyle bir doğruyu Python'da Matplotlib ve Seaborn ile hesaplayabilirsiniz:

import numpy as np
import pandas as pd
import seaborn as sns
import matplotlib.pyplot as plt

# Reproducibility
np.random.seed(0)

# Create dataset
speed = np.linspace(45, 65, 50)
mpg = 38 - 0.2 * speed + 0.002 * (speed - 55)**2 + np.random.normal(0, 0.5, size=50)

df = pd.DataFrame({
    "speed": speed,
    "mpg": mpg
})

# Plot with regression line
sns.regplot(data=df, x="speed", y="mpg", ci=None)

plt.xlabel("Speed (mph)")
plt.ylabel("Fuel Efficiency (mpg)")
plt.title("Fuel Efficiency vs Speed")
plt.show()

Doğrusal regresyon çoklu değişkenlerle de çalışır. Hız (x), araç ağırlığı (y) ve motor hacmi (z) için bir doğrusal regresyon modeli tanımlamak istediğinizi varsayalım. Çok Değişkenli Doğrusal Regresyon için elde edilen formül şudur:

Bu durumda, her değişken için katsayı, diğer değişkenler sabit tutulurken o özelliğin ağırlığını veya önemini temsil eder. 

Ters fonksiyonlar

Şimdi elma satın alma sorusunu "tersine" çevirelim: elmalara 2,25 $ harcadıysanız kaç pound aldınız? Yanıt 2,25 / 0,75 = 3'tür; yani üç pound aldınız. Bir fonksiyonun bu tür "tersine çevrilmesine" fonksiyonun tersi denir. Kesişim terimi olmayan örnekte ters fonksiyon: 

Bu gösterimde "-1"in bir fonksiyonun tersinin alındığını, bir karşılığının (reciprocal) değil, belirttiğine dikkat edin.

Dikkat edilmesi gereken bir nokta, tanım kümesinin değişebileceğidir. Örneğin, orijinal fonksiyonunuzun şu olduğunu varsayalım:

Bu fonksiyon, paydanın sıfır olamayacağı için 2 haricindeki tüm gerçek sayılar için tanımlıdır. Bu fonksiyonun tersi ise 

Aynı nedenle, ters fonksiyon 0 dışındaki tüm girdiler için tanımlıdır. 

Dikkat edilmesi gereken bir diğer nokta, ortaya çıkan tersin bir fonksiyon olmayabileceğidir; çünkü tek bir girdi için birden fazla çıktı olabilir. y = x2 fonksiyonunu düşünün. Tersi şu olur:

Artı/eksi işaretinden de görebileceğiniz gibi, tersinin bir girdi için iki çıktısı vardır; bu nedenle bir fonksiyon değildir; ancak tanım kümesini (örneğin x ≥ 0) kısıtlarsak fonksiyon olur.

Grafiksel olarak, bir fonksiyon ve tersi (varsa) y=x doğrusu boyunca birbirinin ayna görüntüsüdür. y = x3 fonksiyonunu düşünün. Bu fonksiyonun ve tersinin grafiği şöyledir:

Orijinal fonksiyon (mavi) y=x doğrusu boyunca yansıtılan bir tersine (turuncu) sahiptir.