¿Qué es una función en matemáticas? Una explicación intuitiva

Quienes empiezan en ciencia de datos ven a menudo el término "función", pero no siempre queda claro qué significa realmente. 

En este artículo vas a aprender qué es una función matemática, qué conjuntos describen sus valores de entrada y de salida, y en qué se diferencian los valores continuos y discretos. Verás cómo se usan las funciones en tecnología, cuáles son las más comunes en ciencia de datos y cómo se optimizan. Por el camino, verás código en Python para manipular y representar funciones.

Si quieres practicar cómo escribir y usar funciones propias en Python, te recomendamos nuestro curso Writing Functions in Python.

¿Qué es una función en matemáticas?

En matemáticas, una función asigna a cada entrada una única salida. Cada entrada válida se envía a una y solo una salida. Una misma entrada no puede tener varios resultados.

Por ejemplo, 32 grados Fahrenheit son 0 Celsius. El valor en Fahrenheit corresponde a un valor en Celsius; y corresponde a un único valor. No puede haber dos salidas (Celsius) distintas para una misma entrada válida (Fahrenheit). 

Otros ejemplos incluyen la nómina, donde te pagan un importe por hora. Si cobras 20 $ la hora y trabajas 40 horas, ganas 20 x 40 = 800 $.

No todas las reglas son funciones. En algunos casos, tiene sentido lógico que una entrada tenga múltiples salidas. Por ejemplo, emparejar un nombre con una persona no es una función. El nombre "John Smith" podría corresponder a varias personas que comparten ese nombre.

En matemáticas, las reglas suelen plantearse de forma que haya una única salida por cada entrada válida. A veces es así porque refleja cómo funciona el mundo (la nómina). En otras, se formulan problemas en términos de funciones porque así resultan abordables. En vez de un embrollo de entradas y salidas, el modelo se construye de forma que cada entrada no pueda tener varias salidas.

Puedes imaginar una función como una "máquina" que recibe una entrada (a menudo x), la procesa de alguna manera y devuelve una salida (a menudo y).

Aquí, una máquina recibe entradas por la cinta de la izquierda, las procesa y produce una alegre marca verde a la derecha.

Multivariate functions aceptan un conjunto de varias entradas pero devuelven una única salida. Puedes pensar en ello como pasar una fila de datos con varias variables o características que se mapean a una sola salida.

Notación y terminología de funciones

¿Cómo se escribe la ecuación? En el ejemplo de conversión de temperatura, podemos escribir la fórmula como y = f(x) = (5/9) (x - 32), con x la temperatura en Fahrenheit e y en Celsius. Para entender esta notación, léela de izquierda a derecha. 

A la izquierda ves y, que es la salida. La notación f(x) indica que usas una función, llamada f, que toma una entrada x. Fíjate en que, en este contexto, f(x) no significa algún valor f multiplicado por otro valor x. 

A la derecha está la fórmula. Dice que tomes la entrada x, le restes 32 y multipliques el resultado por 5/9.

Dominio, codominio y recorrido

Supón que registras la temperatura exterior una vez al día y has recogido k mediciones, denotadas (x1, x2, …, xk). Quieres una función que devuelva la temperatura media en lo que va de año tras n días. Define una función que tome un entero positivo n menor o igual que k que devuelva la media de las primeras n temperaturas, que es un número real. La notación para tal función es f: {1, 2, …, k} → ℝ.

Es útil tener jerga para describir los conjuntos en la función, lo que nos lleva al dominio, el codominio y el recorrido. 

• El dominio es el nombre del conjunto que describe las entradas; en este caso, enteros. 
• El codominio es el conjunto que describe el tipo de salida prevista; en este caso, números reales.

Ahora, veamos el recorrido. Considera una función cuadrática simple: y = f(x) = x2. Para especificar dominio y codominio, escribe f: ℝ → ℝ. 

Esto nos dice que tanto el dominio (conjunto de entradas) como el codominio (conjunto de salidas) son números reales. Sin embargo, si lo piensas un poco, verás que el conjunto de salidas no puede ser todos los números reales. 

Como cualquier número al cuadrado es no negativo, el conjunto de salidas que realmente se obtienen no son todos los reales, sino solo los reales no negativos. El término para describir esta situación es recorrido. Decimos que el recorrido de esta función son todos los números reales no negativos. 

El codominio es el conjunto de salidas potenciales; el recorrido es el conjunto de salidas efectivas. Tú eliges el codominio para reflejar el tipo de salida prevista, y descubres el recorrido, que es el conjunto de valores de salida que realmente se obtienen.

Variables continuas y discretas

Esto nos lleva a la distinción entre variables continuas y discretas:

• Continuas: toman todos los valores teóricos en un intervalo dado. 
• Discretas: toman un número finito o contable de valores. 

Por ejemplo, una variable continua en [0, 1] puede tomar los valores 0, 0,5, 0,4141 o cualquier otro valor real en ese rango. Las variables continuas se usan habitualmente en modelos donde la salida podría ser, en teoría, cualquier valor, como en regresión.

En cambio, en clasificación binaria solo te interesan dos valores: 0 y 1. Por ejemplo, una imagen contiene un gato o no lo contiene. En un problema de clasificación multiclase, sigues teniendo un número finito de valores, por ejemplo 0 para perro, 1 para gato, 2 para caballo.

El problema que intentas resolver determina qué tipo de función te interesa. Los problemas de clasificación dan valores discretos; los de regresión, funciones continuas.

Notación vectorial

A veces necesitas pasar varias variables a una función. Por ejemplo, puedes pasar una fila de características a una función de aprendizaje automático. En ese caso, puedes agrupar las características en un contenedor y pasarlo. Una forma de agrupar datos así es mediante un vector. El modelo toma un vector de entrada x = [x1, x2, x3] y devuelve un objetivo y.

En Python, normalmente usas un array de NumPy para representar un vector.

import numpy as np

def f(x):
    result = (x[0] + x[1] + x[2]) / 3
    return result

x = [3, 4, 7.1]
print(f(x))

4.7

Este código toma un vector con los números 3, 4 y 7,1 y devuelve su media.

Para un conjunto de vectores, una opción muy popular es usar la estructura de datos DataFrame de la librería pandas. 

import pandas as pd

def row_averages(df):
    return df.mean(axis=1).round(1)

df = pd.DataFrame({
    "A": [1, 5, 2],
    "B": [9, 3, 6],
    "C": [7, 8, 10]
})

print(row_averages(df))

Este código devuelve una Series de pandas con las medias por fila, un valor por fila. En este caso:

0    5.7
1    5.3
2    6.0

Funciones en tecnología

El concepto de función está por todas partes en tecnología. En la práctica, ten en cuenta que "función" no siempre se define con el mismo rigor que en matemáticas. Por ejemplo, las funciones de programación pueden tener efectos secundarios que cambian el valor de variables distintas de la salida, cosa que no ocurre en las funciones matemáticas.

Hojas de cálculo

Las funciones se usan ampliamente en hojas de cálculo, por ejemplo, en las fórmulas de Excel. Puede que quieras calcular la suma, la media o la mediana de una columna de números. En hojas de cálculo, las funciones siguen la misma definición que la función matemática presentada antes.

Una cosa en la que las hojas de cálculo son brillantes (con juego de palabras) es en las funciones condicionales: permiten construir estructuras lógicas más complejas con funciones como IF(). 

Por ejemplo, puedes querer hallar el total de pagos hechos a tu hipoteca durante un año. Para ello, seguramente usarías la función SUM() de tu hoja de cálculo.

Lenguajes de programación

Las funciones son ubicuas en los lenguajes de programación. Según el lenguaje, la definición de "función" puede ser más laxa que la matemática. Algunos lenguajes permiten que una función devuelva varios valores, o ninguno. 

Por ejemplo, una función puede recibir valores e imprimir un mensaje, pero no devolver explícitamente un valor. Una función de Python tiene este aspecto:

def print_me(name, color):
       print(f"My name is {name} and my favorite color is {color}.")

name = "Mark"
color = "blue"
print_me(name, color)

Este código produce la salida: "My name is Mark and my favorite color is blue." La función no devuelve explícitamente ningún valor matemático.

El código en muchos lenguajes generalistas, como Python, también puede tener otros efectos secundarios en una función, como cambiar el valor de una variable global. Aunque los efectos secundarios son posibles y están permitidos, se desaconsejan. Complican las pruebas, la depuración y el razonamiento del programa.

Por estas razones, algunos lenguajes "funcionales", como Scala y Haskell, son más rigurosos en torno a la idea de función. 

Aprendizaje automático

En un contexto de Machine Learning, las entradas son las características, la función es el modelo y la salida es la predicción del modelo. A menudo se describe al modelo como una "caja negra" porque no siempre está claro cómo se procesaron las características de entrada para obtener la predicción, por lo que nuestra metáfora de la ”máquina” encaja aún mejor:

En esta ilustración, las características se introducen en la "máquina" del modelo, que las procesa de alguna manera y devuelve una predicción. En comparación con funciones deterministas más simples, como la conversión de temperatura, lo que ocurre dentro de la máquina es más difícil de describir.

En ML, el dominio son vectores de características; el codominio pueden ser probabilidades, clases o predicciones de valor real.

En Deep Learning, las funciones no suelen aplicarse directamente a un conjunto de entradas, sino que se evalúa la corrección del modelo con una función de coste. Una cost function es una medida de lo erróneo que es un modelo en el conjunto de entrenamiento. Compara predicciones con etiquetas o valores reales y agrega los errores en un solo número.

Funciones comunes en ciencia de datos

Hay ciertas funciones que aparecen prácticamente en todas partes en ciencia de datos. Entre ellas están las funciones lineales, logarítmicas y exponenciales, además de funciones de activación no lineales para deep learning.

Funciones lineales

Empecemos con el ejemplo clásico: las funciones lineales.

Pendiente

Supón que te apetecen manzanas. Vas a una tienda donde venden manzanas a un precio fijo de 0,75 $ por libra. Una libra cuesta 0,75 $, 2 libras cuestan 2 x 0,75 $ = 1,50 $, y 3 libras cuestan 3 x 0,75 $ = 2,25 $. Cada libra que compras suma una cantidad fija al coste total.

En notación funcional, puedes escribir la fórmula como f(x) = 0.75 x. El número 0,75 es la pendiente de la función lineal. La pendiente es la tasa de cambio de la salida respecto a cada unidad de cambio en la entrada.

Para representar una función así, puedes usar un código como el siguiente:

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

def cost_of_apples(x, m):
    result = m * x
    return result

# Define x y y
x = np.linspace(0, 5, 100)
y = cost_of_apples(x, 0.75)

# Dibujo
plt.figure()
plt.plot(x, y)
plt.xlabel("Pounds of Apples")
plt.ylabel("Total Cost ($)")
plt.title("Cost of Apples")
plt.show()

A estas se las llama funciones lineales. Cada aumento en la entrada, x, aporta la misma cantidad fija a la salida, y. Como su nombre sugiere, al representarlas, una función lineal da una recta.

Intersección

Ahora supón que te gusta que te lleven la compra a casa. La tienda cobra 2,00 $ de tarifa fija de envío. En este caso, la función para tus manzanas es f(x) = 0.75 x + 2. Como antes, 0,75 es la pendiente. El número 2, que es donde la gráfica corta el eje y, se conoce como "intersección con y". Es el valor de salida cuando la entrada es 0. 

El coste total es la suma de las manzanas y la tarifa de envío. En general, una función lineal univariante puede escribirse como f(x) = mx + b, donde m es la pendiente y b es la intersección con y. 

Función lineal multivariante

Probablemente quieras algo más que manzanas. Supón que también compras pan y mantequilla de cacahuete. Las manzanas cuestan 0,75 $/lb, una barra de pan 2,50 $ y un tarro de mantequilla de cacahuete 3,00 $. Ahora, tu función de compra es:

Esta función sigue considerándose lineal porque es lineal en cada variable. En general, una función lineal toma la forma:

Equivale a sumar cada una de tus cantidades multiplicadas por sus pesos (otro término para pendiente en este contexto), más la intersección.

En notación vectorial, esta función se escribe así:

La T indica "traspuesta", necesaria para realizar la multiplicación vectorial de w y x.

Regresión lineal

Considera la eficiencia de combustible frente a la velocidad. Sospechas que, al conducir más rápido, disminuye la eficiencia. Recoges cincuenta puntos entre 45 y 65 millas por hora y observas este patrón:

Unir cada punto daría un garabato poco legible e inútil. Pero la tendencia general es aproximadamente lineal en ese rango. Si llamamos x a la velocidad, la función de esta gráfica es:

Para encontrar una recta como esa que se ajuste mejor a los datos, usas un proceso matemático llamado simple linear regression.

Puedes calcular una recta así en Python usando Matplotlib y Seaborn:

import numpy as np
import pandas as pd
import seaborn as sns
import matplotlib.pyplot as plt

# Reproducibilidad
np.random.seed(0)

# Crear dataset
speed = np.linspace(45, 65, 50)
mpg = 38 - 0.2 * speed + 0.002 * (speed - 55)**2 + np.random.normal(0, 0.5, size=50)

df = pd.DataFrame({
    "speed": speed,
    "mpg": mpg
})

# Gráfico con línea de regresión
sns.regplot(data=df, x="speed", y="mpg", ci=None)

plt.xlabel("Speed (mph)")
plt.ylabel("Fuel Efficiency (mpg)")
plt.title("Fuel Efficiency vs Speed")
plt.show()

La regresión lineal funciona con múltiples variables. Supón que defines un modelo de regresión lineal para velocidad (x), peso del vehículo (y) y tamaño del motor (z). La fórmula resultante para la multivariate linear regression es:

En este caso, el coeficiente de cada variable representa el peso o importancia de esa característica, manteniendo fijas las demás. 

Funciones inversas

Ahora, vamos a "invertir" la pregunta de comprar manzanas: si gastaste 2,25 $ en manzanas, ¿cuántas libras compraste? La respuesta es 2,25 / 0,75 = 3, así que compraste tres libras. Esta especie de "inversión" de una función se llama inversa de la función. En el ejemplo sin intersección, la inversa es: 

Ten en cuenta que, en esta notación, el "-1" indica que tomas la inversa de una función, no el recíproco.

Algo a vigilar es que el dominio puede cambiar. Por ejemplo, supón que tu función original es:

Esta función está definida para todos los números reales excepto 2, ya que el denominador no puede ser cero. La inversa de esta función es 

Por el mismo motivo, la función inversa está definida para todas las entradas excepto 0. 

Otra advertencia: la inversa resultante podría no ser una función si tiene múltiples salidas para una sola entrada. Considera la función y = x2. Su inversión sería por tanto:

Como ves por el más/menos, la inversa tiene dos salidas para una entrada, por lo que no es una función salvo que restrinjamos el dominio (por ejemplo, a x ≥ 0)

Gráficamente, una función y su inversa (si existe) son imágenes especulares respecto de la recta y=x. Considera la función y = x3. La gráfica de esta función y su inversa es:

La función original (en azul) tiene una inversa (en naranja) que es el reflejo respecto de la recta y = x.