Apa Itu Fungsi dalam Matematika? Penjelasan Intuitif

Calon dan pemula data scientist sering melihat istilah "function" digunakan, tetapi tidak selalu jelas apa sebenarnya artinya. 

Dalam artikel ini, Anda akan mempelajari apa itu fungsi matematika, himpunan apa yang menggambarkan nilai masukan dan keluarannya, serta bagaimana perbedaan antara nilai kontinu dan diskret. Anda akan mengeksplorasi bagaimana fungsi digunakan dalam teknologi, fungsi umum dalam data science, dan bagaimana fungsi dioptimalkan. Sepanjang jalan, Anda akan melihat kode Python untuk memanipulasi dan memplot fungsi.

Jika Anda ingin berlatih menulis dan menggunakan fungsi Anda sendiri di Python, saya merekomendasikan mengikuti kursus Writing Functions in Python kami.

Apa Itu Fungsi dalam Matematika?

Dalam matematika, fungsi memetakan setiap masukan ke satu keluaran yang unik. Setiap masukan yang valid dikirim ke tepat satu keluaran. Satu masukan tidak bisa memiliki banyak keluaran.

Misalnya, 32 derajat Fahrenheit adalah 0 Celsius. Nilai Fahrenheit berkorelasi dengan satu nilai dalam Celsius; dan hanya berkorelasi dengan satu nilai. Anda tidak bisa memiliki dua nilai keluaran (Celsius) berbeda untuk satu masukan (Fahrenheit) yang valid. 

Contoh lain termasuk penggajian, di mana Anda dibayar sejumlah per jam. Jika Anda menghasilkan $20 per jam dan bekerja 40 jam, Anda mendapatkan 20 x 40 = $800.

Tidak semua aturan adalah fungsi. Dalam beberapa kasus, secara logis masuk akal memiliki banyak keluaran untuk satu masukan. Misalnya, mencocokkan sebuah nama ke seseorang bukanlah fungsi. Nama "John Smith" bisa memetakan ke sejumlah orang yang semuanya berbagi nama ini.

Dalam matematika, aturan sering diatur sedemikian rupa sehingga hanya ada satu keluaran per masukan yang valid. Dalam banyak kasus, ini memang secara eksplisit sesuai dengan cara dunia bekerja (penggajian). Dalam kasus lain, masalah diformulasikan dalam istilah fungsi karena membuat masalahnya lebih terkelola. Alih-alih mengikuti benang kusut masukan dan keluaran, model diatur sedemikian rupa sehingga setiap masukan tidak bisa memiliki banyak keluaran.

Anda bisa memikirkan fungsi sebagai sebuah "mesin" yang menerima masukan (sering dilambangkan x), memprosesnya dengan suatu cara, dan menghasilkan keluaran (sering dilambangkan y).

Di sini, sebuah mesin menerima masukan dari ban berjalan di sisi kiri, memprosesnya, dan menghasilkan tanda centang hijau ceria di sisi kanan.

Multivariat menerima sekumpulan banyak masukan tetapi hanya menghasilkan satu keluaran. Anda bisa menganggap ini sebagai memasukkan satu baris data yang terdiri dari beberapa variabel atau fitur yang dipetakan ke satu keluaran.

Notasi dan terminologi fungsi

Bagaimana cara menuliskan persamaannya? Dalam contoh konversi suhu, kita bisa menulis rumus sebagai y = f(x) = (5/9) (x - 32), dengan x adalah suhu dalam Fahrenheit dan y dalam Celsius. Untuk memahami notasi ini, bacalah dari kiri ke kanan. 

Di sebelah kiri, Anda melihat y, yaitu keluaran. Notasi f(x) menunjukkan bahwa Anda menggunakan suatu fungsi, bernama f, yang menerima masukan x. Perhatikan bahwa dalam konteks ini, f(x) tidak berarti suatu nilai f dikalikan dengan nilai lain x. 

Di sebelah kanan ada rumusnya. Rumus tersebut mengatakan untuk mengambil masukan x, menguranginya dengan 32, dan mengalikan hasil ini dengan 5/9.

Domain, kodomain, dan range

Misalkan Anda mencatat suhu luar ruangan sekali sehari dan telah mengumpulkan k pengukuran, dilambangkan (x1, x2, …, xk). Anda menginginkan fungsi yang mengembalikan suhu rata-rata year-to-date setelah n hari berlalu. Definisikan fungsi yang menerima bilangan bulat positif n kurang dari atau sama dengan k yang mengembalikan rata-rata dari n suhu pertama, yang merupakan bilangan real. Notasi untuk fungsi seperti itu adalah f: {1, 2, …, k} → ℝ.

Akan membantu jika memiliki jargon untuk menggambarkan himpunan dalam fungsi, yang membawa kita pada domain, kodomain, dan range. 

• Domain adalah nama untuk himpunan yang menggambarkan masukan, dalam hal ini, bilangan bulat. 
• Kodomain adalah himpunan yang menggambarkan jenis keluaran yang Anda maksudkan, dalam hal ini, bilangan real.

Sekarang, mari kita lihat range. Pertimbangkan fungsi kuadrat sederhana: y = f(x) = x2. Untuk menentukan domain dan kodomain, tulis f: ℝ → ℝ. 

Sekarang Anda tahu bahwa ini menunjukkan bahwa domain (himpunan masukan) dan kodomain (himpunan keluaran) sama-sama terdiri dari bilangan real. Namun, jika dipikirkan, Anda mungkin menyadari bahwa himpunan keluaran tidak bisa semua bilangan real. 

Karena setiap bilangan yang dikuadratkan tidak negatif, himpunan keluaran yang benar-benar terealisasi bukanlah semua bilangan real, melainkan hanya bilangan real tak negatif. Istilah untuk menggambarkan situasi ini adalah range. Kita mengatakan range fungsi ini adalah semua bilangan real tak negatif. 

Kodomain adalah himpunan keluaran potensial; range adalah himpunan keluaran aktual. Anda memilih kodomain untuk mencerminkan jenis keluaran yang Anda maksudkan, dan Anda menemukan range, yaitu himpunan nilai keluaran yang benar-benar terealisasi.

Variabel kontinu dan diskret

Ini membawa kita pada pembedaan antara variabel kontinu dan diskret:

• Kontinu mengambil setiap nilai teoretis dalam suatu rentang tertentu. 
• Diskret mengambil sejumlah nilai yang berhingga atau dapat dihitung. 

Misalnya, variabel kontinu dalam [0, 1] bisa mengambil nilai 0, 0,5, 0,4141, atau nilai real lainnya dalam rentang tersebut. Variabel kontinu umum digunakan dalam model di mana keluarannya secara teoretis bisa berupa nilai apa pun, seperti dalam regresi.

Namun, dalam klasifikasi biner, Anda hanya peduli pada dua nilai: 0 dan 1. Misalnya, sebuah gambar mengandung kucing atau tidak. Dalam masalah klasifikasi multikelas, Anda tetap hanya memiliki sejumlah nilai berhingga, misalnya 0 untuk anjing, 1 untuk kucing, 2 untuk kuda.

Masalah yang ingin Anda selesaikan menentukan jenis fungsi yang Anda minati. Masalah klasifikasi menghasilkan nilai diskret; masalah regresi menghasilkan fungsi kontinu.

Notasi vektor

Terkadang Anda perlu memasukkan beberapa variabel ke dalam sebuah fungsi. Misalnya, Anda mungkin memasukkan satu baris fitur ke dalam fungsi machine learning. Dalam kasus ini, Anda dapat mengelompokkan fitur ke dalam satu wadah dan memasukkannya. Salah satu cara mengelompokkan data ke dalam wadah seperti ini adalah melalui vektor. Model menerima vektor masukan x = [x1, x2, x3] dan menghasilkan target y.

Dalam Python, Anda biasanya menggunakan array NumPy untuk merepresentasikan vektor.

import numpy as np

def f(x):
    result = (x[0] + x[1] + x[2]) / 3
    return result

x = [3, 4, 7.1]
print(f(x))

4.7

Kode ini mengambil vektor yang terdiri dari angka 3, 4, dan 7,1 dan mengembalikan nilai rata-ratanya.

Untuk sekumpulan vektor, salah satu metode populer adalah menggunakan struktur data DataFrame dari pustaka pandas. 

import pandas as pd

def row_averages(df):
    return df.mean(axis=1).round(1)

df = pd.DataFrame({
    "A": [1, 5, 2],
    "B": [9, 3, 6],
    "C": [7, 8, 10]
})

print(row_averages(df))

Kode ini mengembalikan pandas Series yang berisi rata-rata per baris, satu nilai per baris. Dalam kasus ini:

0    5.7
1    5.3
2    6.0

Fungsi dalam Teknologi

Konsep fungsi sangat umum dalam teknologi. Untuk alasan praktis, perlu disadari bahwa "fungsi" tidak selalu didefinisikan seketat dalam teknologi seperti dalam matematika. Misalnya, fungsi pemrograman dapat memiliki efek samping yang mengubah nilai variabel selain keluaran, sedangkan fungsi matematika tidak.

Spreadsheet

Fungsi digunakan secara luas dalam spreadsheet, misalnya dalam Excel Formulas. Anda mungkin ingin menghitung jumlah, mean, atau median dari sebuah kolom angka. Untuk spreadsheet, fungsi mengikuti definisi yang sama seperti fungsi matematika yang diperkenalkan sebelumnya.

Salah satu hal yang sangat diunggulkan spreadsheet (pun intended) adalah Conditional Functions: Fitur ini memungkinkan Anda membangun struktur bersyarat yang lebih kompleks menggunakan fungsi seperti IF(). 

Misalnya, Anda mungkin ingin mencari total pembayaran yang dilakukan ke perusahaan hipotek Anda selama setahun. Untuk melakukannya, Anda kemungkinan akan menggunakan fungsi SUM() pada spreadsheet Anda.

Bahasa Pemrograman

Fungsi ada di mana-mana dalam bahasa pemrograman. Bergantung pada bahasanya, definisi "fungsi" mungkin lebih longgar daripada fungsi matematika. Beberapa bahasa mengizinkan sebuah fungsi mengembalikan banyak nilai, atau tidak mengembalikan nilai sama sekali. 

Misalnya, sebuah fungsi mungkin menerima nilai dan mencetak sebuah pernyataan, tetapi tidak secara eksplisit mengembalikan nilai. Fungsi Python tampak seperti ini:

def print_me(name, color):
       print(f"My name is {name} and my favorite color is {color}.")

name = "Mark"
color = "blue"
print_me(name, color)

Kode ini menghasilkan keluaran: "My name is Mark and my favorite color is blue." Tidak ada nilai matematika yang secara eksplisit dikembalikan dari fungsi tersebut.

Kode dalam banyak bahasa arus utama, seperti Python, juga mungkin memiliki efek samping lain dalam sebuah fungsi, seperti mengubah nilai variabel global. Meskipun efek samping mungkin dan diizinkan, hal tersebut tidak dianjurkan. Efek samping membuat program lebih sulit diuji, di-debug, dan dipikirkan.

Untuk alasan ini, beberapa bahasa "fungsional", seperti Scala dan Haskell, lebih ketat didasarkan pada gagasan fungsi. 

Machine Learning

Dalam konteks Machine Learning, masukan adalah fitur, fungsi adalah model, dan keluaran adalah prediksi model. Model seperti itu sering digambarkan sebagai "kotak hitam" karena tidak selalu jelas bagaimana fitur masukan diproses untuk menghasilkan prediksi keluaran, itulah sebabnya metafora ”mesin” kita sebelumnya semakin pas:

Dalam ilustrasi ini, fitur dimasukkan ke dalam "mesin" model, yang memprosesnya dengan suatu cara dan menghasilkan sebuah prediksi. Dibandingkan dengan fungsi deterministik yang lebih sederhana seperti contoh konversi suhu, apa yang terjadi di dalam mesin lebih sulit dijelaskan.

Dalam ML, domain adalah vektor fitur; kodomain bisa berupa probabilitas, kelas, atau prediksi bernilai real.

Di ranah Deep Learning, fungsi biasanya tidak langsung diterapkan pada sekumpulan masukan, tetapi kebenaran model dinilai menggunakan fungsi biaya. Cost Function adalah u

kuran seberapa salah sebuah model di seluruh set pelatihan. Fungsi ini membandingkan prediksi dengan label atau nilai sebenarnya dan mengagregasikan kesalahan menjadi satu angka.

Fungsi Umum dalam Data Science

Fungsi tertentu muncul hampir di mana-mana dalam data science. Fungsi-fungsi ini mencakup fungsi linear, logaritmik, dan eksponensial, serta fungsi aktivasi non-linear untuk deep learning.

Fungsi linear

Mari mulai dengan contoh klasik, fungsi linear.

Kemiringan (slope)

Misalkan Anda ingin makan apel. Anda pergi ke toko bahan makanan yang menjual apel dengan harga tetap $0,75 per pon. Jadi satu pon apel berharga $0,75, 2 pon berharga 2 x $0,75 = $1,50, dan 3 pon berharga 3 x $0,75 = $2,25. Setiap pon yang Anda beli menambah jumlah tetap pada total biaya.

Dalam notasi fungsi, Anda dapat menulis rumus sebagai f(x) = 0.75 x. Angka 0,75 adalah kemiringan (slope) dari fungsi linear. Kemiringan adalah laju perubahan keluaran terhadap setiap perubahan satuan pada masukan.

Untuk memplot fungsi seperti itu, Anda bisa menggunakan kode serupa berikut:

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

def cost_of_apples(x, m):
    result = m * x
    return result

# Define x and y
x = np.linspace(0, 5, 100)
y = cost_of_apples(x, 0.75)

# Plot
plt.figure()
plt.plot(x, y)
plt.xlabel("Pounds of Apples")
plt.ylabel("Total Cost ($)")
plt.title("Cost of Apples")
plt.show()

Fungsi seperti ini disebut fungsi linear. Setiap kenaikan pada masukan, x, menyumbang jumlah tetap yang sama pada keluaran, y. Seperti namanya, ketika diplot, fungsi linear menghasilkan garis.

Intersep

Sekarang, misalkan Anda suka bahan makanan diantar. Toko tersebut memiliki biaya pengantaran flat $2,00. Dalam hal ini, fungsi untuk apel Anda adalah f(x) = 0.75 x + 2. Seperti sebelumnya, 0,75 adalah kemiringan (slope). Angka 2, yaitu titik di mana grafik memotong sumbu y, dikenal sebagai "titik potong y" atau y-intercept. Ini adalah nilai keluaran ketika masukan 0. 

Total biaya adalah penjumlahan biaya apel dan biaya pengantaran. Secara umum, fungsi linear univariat dapat ditulis sebagai f(x) = mx + b, di mana nilai m disebut kemiringan (slope) dan b disebut titik potong y (y-intercept). 

Fungsi linear multivariat

Anda mungkin ingin makan lebih dari sekadar apel. Misalkan Anda juga ingin membeli roti dan selai kacang. Apel berharga $0,75 per pon, satu roti berharga $2,50, dan satu toples selai kacang berharga $3,00. Sekarang, fungsi tagihan belanja Anda adalah:

Fungsi ini masih dianggap linear karena linear terhadap masing-masing variabel. Secara umum, fungsi linear berbentuk:

Ini setara dengan menjumlahkan setiap kuantitas yang Anda beli dikalikan dengan bobotnya (istilah lain untuk kemiringan yang digunakan dalam konteks ini), ditambah intersep.

Dalam notasi vektor, fungsi ini ditulis sebagai berikut:

Huruf T di sini berarti “transpose”, yang diperlukan untuk melakukan perkalian vektor untuk w dan x.

Regresi Linear

Pertimbangkan efisiensi bahan bakar versus kecepatan. Anda menduga bahwa saat berkendara lebih cepat, efisiensi bahan bakar menurun. Anda mengumpulkan lima puluh titik data antara kecepatan 45 dan 65 mil per jam dan melihat pola berikut:

Menghubungkan setiap titik data akan memberi Anda model berkelok-kelok yang sulit dibaca dan tidak membantu. Namun tren umum datanya kira-kira linear pada rentang ini. Jika kita menyebut kecepatan sebagai x, fungsi untuk grafik ini adalah:

Untuk menemukan garis seperti ini yang paling sesuai dengan data, Anda menggunakan proses matematika yang disebut Regresi Linear Sederhana.

Anda dapat menghitung garis seperti itu di Python menggunakan Matplotlib dan Seaborn:

import numpy as np
import pandas as pd
import seaborn as sns
import matplotlib.pyplot as plt

# Reproducibility
np.random.seed(0)

# Create dataset
speed = np.linspace(45, 65, 50)
mpg = 38 - 0.2 * speed + 0.002 * (speed - 55)**2 + np.random.normal(0, 0.5, size=50)

df = pd.DataFrame({
    "speed": speed,
    "mpg": mpg
})

# Plot with regression line
sns.regplot(data=df, x="speed", y="mpg", ci=None)

plt.xlabel("Speed (mph)")
plt.ylabel("Fuel Efficiency (mpg)")
plt.title("Fuel Efficiency vs Speed")
plt.show()

Regresi linear bekerja dengan banyak variabel. Misalnya Anda ingin mendefinisikan model regresi linear untuk kecepatan (x), bobot kendaraan (y), dan ukuran mesin (z). Rumus yang dihasilkan untuk Regresi Linear Multivariat adalah:

Dalam kasus ini, koefisien untuk setiap variabel merepresentasikan bobot atau pentingnya fitur tersebut, sambil menahan variabel lain tetap.

Fungsi invers

Sekarang, mari "membalik" pertanyaan membeli apel: jika Anda menghabiskan $2,25 untuk apel, berapa pon yang Anda beli? Jawabannya adalah 2,25 / 0,75 = 3, jadi Anda membeli tiga pon. Jenis "pembalikan" fungsi seperti ini disebut invers dari fungsi tersebut. Dalam contoh tanpa intersep, inversnya adalah: 

Perhatikan bahwa dalam notasi ini, "-1" menunjukkan bahwa Anda mengambil invers dari suatu fungsi, bukan resiprok.

Satu hal yang perlu diperhatikan adalah domain dapat berubah. Misalnya, misalkan fungsi awal Anda adalah:

Fungsi ini didefinisikan untuk semua bilangan real kecuali 2, karena penyebut tidak boleh nol. Invers dari fungsi ini adalah 

Dengan alasan yang sama, fungsi invers didefinisikan untuk semua masukan kecuali 0. 

Hal lain yang perlu diwaspadai adalah bahwa invers yang dihasilkan mungkin bukan suatu fungsi karena memiliki banyak keluaran untuk satu masukan. Pertimbangkan fungsi y = x2. Kebalikannya adalah:

Seperti yang terlihat dari tanda plus/minus, invers memiliki dua keluaran untuk satu masukan, sehingga bukan fungsi kecuali kita membatasi domain (misalnya, ke x ≥ 0)

Secara grafis, sebuah fungsi dan inversnya (jika ada) adalah bayangan cermin terhadap garis y=x. Pertimbangkan fungsi y = x3. Grafik fungsi ini dan inversnya adalah:

Fungsi asli (berwarna biru) memiliki invers (berwarna oranye) yang dipantulkan terhadap garis y = x.