Entender la distancia de Chebyshev: guía completa

La ciencia de datos y el análisis espacial dependen en gran medida de distintos métricos de distancia para resolver problemas complejos. Aunque las distancias Manhattan y Euclídea son ampliamente conocidas, hay otra métrica muy interesante que merece atención: la distancia de Chebyshev. Esta medida ofrece una perspectiva distinta sobre las relaciones espaciales, especialmente en entornos basados en cuadrículas y en espacios de datos multidimensionales.

En esta guía, exploraremos los fundamentos de la distancia de Chebyshev, analizaremos sus propiedades matemáticas e investigaremos sus aplicaciones en el mundo real. También te daremos ejemplos prácticos de código en Python y R para que puedas implementar cálculos de distancia de Chebyshev en tus propios proyectos. Además, si quieres profundizar en cómo encajan estas métricas en flujos de trabajo más amplios de ciencia de datos, nuestro curso Designing Machine Learning Workflows in Python ofrece ideas valiosas para integrar distintas técnicas analíticas, incluido el aprendizaje basado en distancias.

«Distancia de tablero de ajedrez». Imagen de Dall-E.

¿Qué es la distancia de Chebyshev?

La distancia de Chebyshev, que lleva el nombre del matemático ruso Pafnuty Chebyshev, se define como la diferencia máxima entre las coordenadas de dos puntos a lo largo de cualquiera de los ejes. Matemáticamente, para dos puntos P = (x1, y1, ..., z1) y Q = (x2, y2, ..., z2) en un espacio n-dimensional, la distancia de Chebyshev se expresa así:

Esta definición diferencia la distancia de Chebyshev de otras métricas comunes como la Manhattan (que suma las diferencias absolutas) y la Euclídea (que calcula la distancia en línea recta). 

Cómo funciona la distancia de Chebyshev

Veamos cómo funciona la distancia de Chebyshev para afianzar la intuición. 

Interpretación geométrica 

La distancia de Chebyshev enfatiza el mayor desplazamiento en cualquier dirección de las coordenadas, algo clave en escenarios donde el movimiento no se limita a trayectorias horizontales o verticales, sino que incluye cualquier línea directa.

Considera dos puntos en un espacio bidimensional: el punto A en (1, 1) y el punto B en (4, 5). Para hallar la distancia de Chebyshev entre estos dos puntos, nos fijamos en la diferencia máxima a lo largo de cualquiera de los ejes de coordenadas.

• Diferencia en el eje x: |4 - 1| = 3
• Diferencia en el eje y: |5 - 1| = 4

Aquí, la distancia de Chebyshev es 4 porque distancia de Chebyshev = max(3, 4) = 4.

La ilustración correspondiente marca estos puntos en una cuadrícula y resalta el área que queda dentro de una distancia de Chebyshev de 4 desde el punto A. La zona amarilla muestra todas las posiciones alcanzables con esta métrica.

Distancia de Chebyshev demostrada en un sistema de coordenadas 2D. Imagen del autor. 

Interpretación en cuadrícula

La distancia de Chebyshev también se conoce como distancia de tablero de ajedrez porque se entiende fácilmente en el contexto del ajedrez: la distancia de Chebyshev entre dos casillas equivale al número de movimientos de rey necesarios para ir de una a otra. Esta interpretación puede visualizarse en nuestra cuadrícula, donde cada número representa la distancia de Chebyshev desde la casilla central (donde está el rey) hasta el resto de casillas del tablero.

Distancia de Chebyshev visualizada sobre un tablero de ajedrez. Imagen del autor. 

En nuestro modelo visual, el rey está situado en c5. Los números del tablero representan la distancia de Chebyshev desde c5 al resto de casillas. Por ejemplo, la distancia de c5 a e7 es 2 porque el rey puede llegar en dos movimientos: uno diagonal a d6 y otro diagonal a e7. Del mismo modo, la distancia a las casillas más cercanas del borde (como c8 o h5) se cuenta simplemente por el número de movimientos horizontales o verticales directos.

Este enfoque basado en cuadrículas para explicar la distancia de Chebyshev pone de relieve su aplicación práctica en juegos como el ajedrez y también es relevante en algoritmos de búsqueda de rutas usados en robótica e inteligencia artificial, donde el objetivo es encontrar el camino más eficiente entre puntos en una malla.

Aplicaciones de la distancia de Chebyshev

Las propiedades de la distancia de Chebyshev la hacen valiosa en distintos ámbitos, especialmente donde hay estructuras en cuadrícula o movimientos simultáneos a lo largo de diferentes ejes. Veamos algunas aplicaciones:

Robótica y logística en almacenes

En entornos donde robots o sistemas automatizados se mueven siguiendo patrones de cuadrícula, la distancia de Chebyshev puede optimizar la planificación de rutas. Imagina, por ejemplo, robots agrícolas desplazándose entre cultivos o vehículos autónomos en entornos estructurados. 

En almacenes automatizados, los robots suelen moverse por caminos en cuadrícula. La distancia de Chebyshev ayuda a optimizar sus trayectorias, especialmente cuando pueden moverse en diagonal. Esta optimización puede mejorar significativamente la eficiencia en los procesos de recogida y almacenamiento.

Procesamiento de imágenes

En el análisis digital de imágenes, la distancia de Chebyshev se usa en operaciones basadas en píxeles. Ayuda a definir vecindarios alrededor de un píxel para diversas transformaciones y filtros. Suele emplearse en tareas como la detección de bordes o el reconocimiento de patrones.

La capacidad de considerar píxeles diagonales con la misma facilidad que los horizontales o verticales hace que esta métrica sea especialmente útil en estas aplicaciones.

Sistemas de información geográfica (SIG)

Urbanistas y servicios de emergencia pueden usar la distancia de Chebyshev para calcular el número mínimo de movimientos entre dos puntos en un mapa en cuadrícula. Esto es útil para optimizar rutas de emergencia en ciudades con trazados en retícula o para planificar rutas de transporte público eficientes.

En estos escenarios, la distancia de Chebyshev puede dar una estimación rápida del tiempo o la distancia de viaje en entornos donde es posible el movimiento en diagonal.

Machine learning y ciencia de datos

En machine learning y ciencia de datos, la distancia de Chebyshev encuentra aplicaciones en ciertos algoritmos de clustering o sistemas de detección de anomalías.

Es especialmente útil cuando la diferencia máxima en alguna dimensión importa más que la diferencia global. Por ejemplo, en detección de anomalías, un punto de datos que se desvía notablemente en una sola característica puede considerarse anómalo, independientemente de sus valores en el resto de dimensiones.

Desarrollo de videojuegos

Más allá del ajedrez, la distancia de Chebyshev tiene aplicaciones más amplias en el desarrollo de juegos, sobre todo los basados en cuadrículas. Puede modelar costes de movimiento para entidades que se desplazan en diagonal con la misma facilidad que en horizontal o vertical. Es especialmente útil en juegos de estrategia, roguelikes o cualquier juego con movimiento sobre cuadrícula. 

Además, al incorporar la distancia de Chebyshev, los desarrolladores pueden crear mecánicas de movimiento más detalladas y realistas, mejorando la jugabilidad y la profundidad estratégica.

Propiedades matemáticas de la distancia de Chebyshev

La distancia de Chebyshev cumple todas las propiedades de un espacio métrico, algo crucial para su aplicación en distintos campos. Verifiquemos estas propiedades:

1. No negatividad: para cualesquiera dos puntos x e y, d(x, y) ≥ 0
   La distancia de Chebyshev siempre es no negativa porque se define como el máximo de diferencias absolutas, que nunca son negativas.

2. Identidad de los indistinguibles: d(x, y) = 0 si y solo si x = y
   La distancia de Chebyshev entre un punto y sí mismo es siempre 0. Si la distancia es 0, significa que la diferencia máxima en cualquier dimensión es 0, lo que implica que los puntos son idénticos.

3. Simetría: d(x, y) = d(y, x)
   El orden de los puntos no importa en el cálculo: la diferencia absoluta máxima es la misma independientemente de cuál se considere primero.

4. Desigualdad triangular: d(x, z) ≤ d(x, y) + d(y, z)
   Esta propiedad se cumple para la distancia de Chebyshev. De forma intuitiva, la diferencia máxima entre x y z en cualquier dimensión no puede ser mayor que la suma de las diferencias máximas de x a y y de y a z.

Estas propiedades garantizan que la distancia de Chebyshev se comporte de forma coherente e intuitiva en múltiples aplicaciones matemáticas y prácticas.

Comparación con otras métricas de distancia

En la imagen siguiente, comparamos las distancias Manhattan, Euclídea y Chebyshev: 

Comparación de las distancias Chebyshev, Manhattan y Euclídea. Imagen del autor. 

• Distancia Manhattan (D=7): ilustrada por la línea discontinua magenta, esta métrica suma las diferencias absolutas de las coordenadas cartesianas. Suele visualizarse como un recorrido a lo largo de líneas de cuadrícula en un patrón rectilíneo, reflejando su analogía con las distancias en manzanas de ciudad donde solo puedes desplazarte por calles ortogonales. Para una explicación más a fondo, puedes consultar nuestro tutorial, What is Manhattan Distance? 
• Distancia euclídea (D=5): mostrada por la línea verde continua, es la distancia «en línea recta» entre dos puntos en el espacio euclídeo. Es la forma más intuitiva de distancia: el camino directo que conecta dos puntos.
• Distancia de Chebyshev (D=4): representada por el área sombreada en amarillo, esta métrica se define como el máximo de las diferencias absolutas entre las coordenadas de un par de objetos. Es especialmente útil en escenarios donde puedes moverte en cualquier dirección desde un punto de la cuadrícula, permitiendo movimientos en diagonal.

Relación con la distancia de Minkowski

La distancia de Chebyshev está estrechamente relacionada con una familia más amplia de métricas conocida como distancias de Minkowski. De hecho, la distancia de Chebyshev es un caso particular de la distancia de Minkowski.

La distancia de Minkowski de orden p entre dos puntos x = (x₁, ..., xn) e y = (y₁, ..., yn) se define como:

Donde:

• p ≥ 1 es un número real
• n es el número de dimensiones

La distancia de Chebyshev surge como caso particular cuando p tiende a infinito. Matemáticamente, podemos expresarlo así:

Esta relación sitúa la distancia de Chebyshev en contexto con otras métricas conocidas:

• Cuando p = 1, obtenemos la distancia Manhattan.
• Cuando p = 2, obtenemos la distancia euclídea.
• Cuando p → ∞, obtenemos la distancia de Chebyshev.

Entender esta relación ayuda a elegir la métrica adecuada para cada aplicación, ya que cada una enfatiza aspectos distintos de la distancia entre puntos.

Distancia de Chebyshev en Python y R

Para que puedas implementar cálculos de distancia de Chebyshev en tus proyectos, veamos cómo hacerlo en dos lenguajes muy populares: Python y R. Estos ejemplos muestran cómo calcular la distancia de Chebyshev entre dos puntos en 2D.

Ejemplo en Python

Python ofrece una forma sencilla de calcular la distancia de Chebyshev con la librería SciPy. Así puedes hacerlo:

from scipy.spatial import distance

# Define points
point_A = (1, 1)
point_B = (4, 5)

# Calculate Chebyshev distance
chebyshev_dist = distance.chebyshev(point_A, point_B)

print(f"The Chebyshev distance between {point_A} and {point_B} is {chebyshev_dist}.")

The Chebyshev distance between (1, 1) and (4, 5) is 4.

En este ejemplo en Python usamos la función distance.chebyshev() del módulo spatial de SciPy. Esta función toma dos puntos como argumentos y devuelve su distancia de Chebyshev. Los puntos se representan como tuplas, lo que facilita trabajar con coordenadas en cualquier dimensión.

Ejemplo en R

Para quienes usan R, podemos calcular la distancia de Chebyshev con el paquete philentropy. Así se hace:

# Install and Load the philentropy package
# install.packages("philentropy")
library(philentropy)

# Define points
point_A <- c(1, 1)
point_B <- c(4, 5)

# Bind points into a matrix
points_matrix <- rbind(point_A, point_B)

# Calculate Chebyshev distance
chebyshev_dist <- distance(points_matrix, method = "chebyshev")

# Print the result
print(paste("The Chebyshev distance between points is:", chebyshev_dist))

The Chebyshev distance between points is: 4

En este ejemplo en R, primero cargamos philentropy. Definimos los puntos como vectores y luego los apilamos en una matriz. La función distance() de philentropy calcula la distancia de Chebyshev; solo hay que indicar chebyshev en el argumento method.

Estos fragmentos de código son un buen punto de partida para aplicar la distancia de Chebyshev en tus proyectos de ciencia de datos o machine learning.

Conclusión

A lo largo del artículo, hemos visto la distancia de Chebyshev y su valiosa forma de medir relaciones espaciales. Su capacidad para capturar la diferencia máxima en cualquier dimensión la hace especialmente adecuada cuando moverse en cualquier dirección cuesta lo mismo o es igual de sencillo, como en robótica, logística de almacenes y algoritmos de ajedrez.

A medida que sigas explorando métricas espaciales y análisis de datos, recuerda que la distancia de Chebyshev te ofrece un enfoque distinto para entender y resolver problemas espaciales complejos. Considera explorar nuestro itinerario de habilidades Machine Learning in Production para ayudarte a salvar la brecha entre la teoría y la puesta en producción de modelos de machine learning, incluyendo la aplicación de métricas de distancia en entornos productivos. Si quieres validar tu experiencia en estas áreas, la Data Scientist Certification ofrece una credencial reconocida que demuestra dominio de habilidades esenciales de ciencia de datos, incluido el uso de diferentes métricas de distancia y sus aplicaciones.