Comprendre la distance de Chebyshev : guide complet

La data science et l’analyse spatiale s’appuient fortement sur différents métriques de distance pour résoudre des problèmes complexes. Si les distances Manhattan et euclidienne sont largement connues, une autre métrique tout aussi intéressante mérite l’attention : la distance de Chebyshev. Cette mesure offre un angle unique sur les relations spatiales, en particulier dans les environnements en grille et les espaces de données multidimensionnels.

Dans ce guide, nous allons présenter les fondamentaux de la distance de Chebyshev, examiner ses propriétés mathématiques et explorer ses applications concrètes. Nous fournirons également des exemples de code pratiques en Python et en R, afin que vous puissiez implémenter ce calcul dans vos propres projets. Par ailleurs, si vous souhaitez mieux comprendre comment ces métriques s’intègrent dans des workflows de data science plus larges, notre cours Designing Machine Learning Workflows in Python propose des pistes pour intégrer différentes techniques d’analyse, dont l’apprentissage basé sur les distances.

« Distance d’échiquier ». Image par Dall‑E.

Qu’est‑ce que la distance de Chebyshev ?

La distance de Chebyshev, nommée d’après le mathématicien russe Pafnouti Chebyshev, est définie comme la différence maximale entre les coordonnées de deux points le long d’un même axe. Mathématiquement, pour deux points P = (x1, y1, ..., z1) et Q = (x2, y2, ..., z2) dans un espace à n dimensions, la distance de Chebyshev s’exprime ainsi :

Cette définition distingue la distance de Chebyshev d’autres métriques courantes comme la distance Manhattan (qui somme les différences absolues) et la distance euclidienne (la distance « à vol d’oiseau »).

Comment fonctionne la distance de Chebyshev

Voyons comment fonctionne la distance de Chebyshev pour en développer l’intuition.

Interprétation géométrique

La distance de Chebyshev met l’accent sur le décalage maximal selon une direction de coordonnée, ce qui est déterminant lorsque le déplacement n’est pas limité aux axes horizontal ou vertical, mais peut suivre n’importe quelle direction directe.

Considérez deux points en 2D : le point A de coordonnées (1, 1) et le point B de coordonnées (4, 5). Pour trouver la distance de Chebyshev entre ces deux points, on se concentre sur la différence maximale le long d’un axe de coordonnées.

• Différence selon l’axe x : |4 - 1| = 3
• Différence selon l’axe y : |5 - 1| = 4

Ici, la distance de Chebyshev est 4, car distance de Chebyshev = max(3, 4) = 4.

Le visuel ci‑dessous illustre ces points sur une grille et met en évidence la zone située à une distance de Chebyshev de 4 du point A. La zone jaune indique toutes les positions atteignables selon cette métrique.

La distance de Chebyshev illustrée dans un repère 2D. Image de l’auteur.

Interprétation sur une grille

La distance de Chebyshev est aussi appelée distance d’échiquier, car elle se comprend aisément aux échecs : la distance de Chebyshev entre deux cases équivaut au nombre de coups de roi nécessaires pour aller de l’une à l’autre. On peut la visualiser sur une grille où chaque nombre représente la distance de Chebyshev entre la case centrale (où se trouve le roi) et les autres cases.

Distance de Chebyshev visualisée sur un échiquier. Image de l’auteur.

Dans notre modèle, le roi est placé en c5. Les nombres sur l’échiquier indiquent la distance de Chebyshev entre c5 et chaque case. Par exemple, la distance de c5 à e7 est de 2, car le roi peut atteindre e7 en deux coups : un coup diagonal vers d6, puis un autre vers e7. De même, la distance jusqu’aux cases du bord les plus proches (comme c8 ou h5) se compte simplement en nombre de déplacements horizontaux ou verticaux directs.

Cette approche par la grille illustre l’utilité de la distance de Chebyshev dans des jeux comme les échecs, mais aussi dans les algorithmes de recherche de chemin utilisés en robotique et en intelligence artificielle, où l’objectif est de trouver le trajet le plus efficace entre des points d’une grille.

Applications de la distance de Chebyshev

Les propriétés de la distance de Chebyshev la rendent précieuse dans de nombreux domaines, notamment lorsque les structures en grille ou les déplacements simultanés le long de différents axes entrent en jeu. Voici quelques applications :

Robotique et logistique d’entrepôt

Dans des environnements où des robots ou systèmes automatisés se déplacent sur des schémas en grille, la distance de Chebyshev permet d’optimiser la planification de trajectoire. Pensez, par exemple, à des robots agricoles se déplaçant dans des champs de culture ou à des véhicules autonomes en environnements structurés.

Dans les entrepôts automatisés, les robots suivent souvent des chemins en grille. La distance de Chebyshev aide à optimiser leurs mouvements, surtout s’ils peuvent se déplacer en diagonale. Cette optimisation peut améliorer nettement l’efficacité des processus de prélèvement et de rangement.

Traitement d’images

En analyse d’images numériques, la distance de Chebyshev intervient dans des opérations au niveau des pixels. Elle permet de définir le voisinage d’un pixel pour diverses transformations et filtres, notamment en détection de contours ou en reconnaissance de formes.

Le fait de considérer aussi facilement les pixels diagonaux que les pixels horizontaux ou verticaux la rend particulièrement utile dans ces usages.

Systèmes d’information géographique (SIG)

Les urbanistes et services d’urgence peuvent utiliser la distance de Chebyshev pour estimer le nombre minimal de mouvements entre deux points d’une carte en grille. C’est utile pour optimiser les itinéraires d’urgence dans des villes au maillage orthogonal ou planifier des lignes de transport public efficaces.

Dans ces contextes, la distance de Chebyshev fournit une estimation rapide du temps ou de la distance de trajet lorsque les déplacements diagonaux sont possibles.

Machine learning et data science

En machine learning et en data science, la distance de Chebyshev est utilisée dans certains algorithmes de clustering ou de détection d’anomalies.

Elle est particulièrement pertinente lorsque l’écart maximal sur une dimension importe plus que l’écart global. Par exemple, en détection d’anomalies, un point de données qui s’écarte fortement sur une seule caractéristique peut être jugé anormal, quels que soient ses autres valeurs.

Développement de jeux

Au‑delà des échecs, la distance de Chebyshev s’applique plus largement au développement de jeux, notamment sur grille. Elle permet de modéliser le coût de déplacement pour des entités pouvant se déplacer en diagonale aussi aisément qu’horizontalement ou verticalement. C’est particulièrement utile dans les jeux de stratégie, les roguelike ou tout jeu à déplacements sur grille.

En l’intégrant, les développeurs peuvent concevoir des mécaniques de mouvement plus fines et réalistes, améliorant le gameplay et la profondeur stratégique.

Propriétés mathématiques de la distance de Chebyshev

La distance de Chebyshev vérifie toutes les propriétés d’un espace métrique, ce qui est essentiel pour ses applications. Vérifions‑les :

1. Non‑négativité : pour deux points x et y, d(x, y) ≥ 0
   La distance de Chebyshev est toujours non négative, car elle est définie comme le maximum de différences absolues, elles‑mêmes non négatives.

2. Identité des indiscernables : d(x, y) = 0 si et seulement si x = y
   La distance de Chebyshev d’un point à lui‑même est toujours nulle. Si elle est nulle, cela signifie que la différence maximale sur toute dimension est nulle ; les points sont donc identiques.

3. Symétrie : d(x, y) = d(y, x)
   L’ordre des points n’importe pas dans le calcul ; le maximum des différences absolues reste identique.

4. Inégalité triangulaire : d(x, z) ≤ d(x, y) + d(y, z)
   Cette propriété est vérifiée pour la distance de Chebyshev. Intuitivement, la différence maximale entre x et z sur une dimension ne peut dépasser la somme des différences maximales de x à y et de y à z.

Ces propriétés garantissent un comportement cohérent et intuitif de la distance de Chebyshev dans de nombreuses applications, théoriques comme pratiques.

Comparer Chebyshev aux autres métriques de distance

Le visuel ci‑dessous met en évidence les différences entre les distances Manhattan, euclidienne et de Chebyshev :

Comparaison des distances de Chebyshev, Manhattan et euclidienne. Image de l’auteur.

• Distance Manhattan (D = 7) : illustrée par la ligne magenta en pointillés, cette métrique somme les différences absolues des coordonnées cartésiennes. On la visualise souvent comme un trajet suivant les lignes d’une grille en motif rectiligne, à l’image des distances « de pâté de maisons » dans une ville où l’on circule sur des rues orthogonales. Pour aller plus loin, consultez notre tutoriel détaillé What is Manhattan Distance?
• Distance euclidienne (D = 5) : représentée par la ligne verte pleine, c’est la distance « à vol d’oiseau » entre deux points dans l’espace euclidien. C’est la forme la plus intuitive : le chemin direct reliant deux points.
• Distance de Chebyshev (D = 4) : figurée par la zone jaune, cette métrique est définie comme le maximum des différences absolues entre les coordonnées d’une paire d’objets. Elle est utile lorsque l’on peut se déplacer dans n’importe quelle direction depuis un point de grille, y compris en diagonale.

Lien avec la distance de Minkowski

La distance de Chebyshev appartient à la famille plus générale des distances de Minkowski. En réalité, c’est un cas particulier de la distance de Minkowski.

La distance de Minkowski d’ordre p entre deux points x = (x₁, ..., xn) et y = (y₁, ..., yn) est définie par :

Où :

• p ≥ 1 est un réel
• n est le nombre de dimensions

La distance de Chebyshev apparaît comme un cas limite lorsque p tend vers l’infini. Mathématiquement :

Ce lien situe la distance de Chebyshev par rapport à d’autres métriques bien connues :

• Quand p = 1, on obtient la distance Manhattan.
• Quand p = 2, on obtient la distance euclidienne.
• Quand p → ∞, on obtient la distance de Chebyshev.

Comprendre ce continuum aide à choisir la métrique appropriée selon l’application, chaque métrique mettant en avant un aspect différent de la distance entre points.

Distance de Chebyshev en Python et en R

Pour vous aider à l’implémenter, voyons comment calculer la distance de Chebyshev dans deux langages populaires : Python et R. Ces exemples montrent le calcul entre deux points en 2D.

Exemple Python

Python propose un calcul simple via la bibliothèque SciPy. Voici comment procéder :

from scipy.spatial import distance

# Define points
point_A = (1, 1)
point_B = (4, 5)

# Calculate Chebyshev distance
chebyshev_dist = distance.chebyshev(point_A, point_B)

print(f"The Chebyshev distance between {point_A} and {point_B} is {chebyshev_dist}.")

The Chebyshev distance between (1, 1) and (4, 5) is 4.

Dans cet exemple Python, nous utilisons la fonction distance.chebyshev() du module spatial de SciPy. Elle prend deux points en argument et renvoie leur distance de Chebyshev. Les points sont représentés sous forme de tuples, ce qui facilite la manipulation de coordonnées en toute dimension.

Exemple R

En R, on peut calculer la distance de Chebyshev avec le package philentropy. Voici comment faire :

# Install and Load the philentropy package
# install.packages("philentropy")
library(philentropy)

# Define points
point_A <- c(1, 1)
point_B <- c(4, 5)

# Bind points into a matrix
points_matrix <- rbind(point_A, point_B)

# Calculate Chebyshev distance
chebyshev_dist <- distance(points_matrix, method = "chebyshev")

# Print the result
print(paste("The Chebyshev distance between points is:", chebyshev_dist))

The Chebyshev distance between points is: 4

Dans cet exemple R, nous chargeons d’abord philentropy. Nous définissons les points comme vecteurs puis les empilons en matrice. La fonction distance() de philentropy calcule ensuite la distance de Chebyshev ; il suffit d’indiquer chebyshev dans l’argument method.

Ces extraits de code constituent un point de départ concret pour intégrer la distance de Chebyshev dans vos projets de data science ou de machine learning.

Conclusion

Tout au long de cet article, nous avons exploré la distance de Chebyshev et l’éclairage qu’elle apporte pour mesurer les relations spatiales. Sa capacité à capter l’écart maximal sur une dimension la rend particulièrement adaptée aux situations où se déplacer dans n’importe quelle direction a un coût équivalent, comme en robotique, en logistique d’entrepôt ou dans les algorithmes liés aux échecs.

À mesure que vous approfondissez les métriques spatiales et l’analyse de données, gardez à l’esprit que la distance de Chebyshev offre un regard complémentaire pour aborder des problèmes spatiaux complexes. Découvrez aussi notre parcours de compétences Machine Learning in Production pour passer de la théorie à la mise en production de modèles, y compris l’usage des métriques de distance en environnement réel. Et pour valider votre expertise, la Data Scientist Certification constitue un gage reconnu de maîtrise des compétences clés en data science, dont l’emploi de différentes métriques de distance et leurs applications.