कॉन्फिडेंस बनाम प्रेडिक्शन इंटरवल: अंतर समझें

प्रेडिक्शन इंटरवल और कॉन्फिडेंस इंटरवल में अंतर

ये दोनों अवधारणाएँ—प्रेडिक्शन इंटरवल और कॉन्फिडेंस इंटरवल—काफी संबंधित हैं। एक ही विश्लेषण में अक्सर दोनों प्रकार के इंटरवल का उपयोग हो सकता है। इसलिए, इन्हें आमने-सामने तुलना करना उपयोगी है। 

उद्देश्य और व्याख्या

जब आपको किसी जनसंख्या पैरामीटर, जैसे औसत, का मान चाहिए, तो आप इस पैरामीटर का अनुमान लगाने के लिए नमूना लेते हैं। क्योंकि नमूना आकार सामान्यतः जनसंख्या से बहुत छोटा होता है, नमूने का पैरामीटर अनुमान अपूर्ण होता है। कॉन्फिडेंस इंटरवल वह दायरा है (नमूना अनुमान के आसपास) जिसमें जनसंख्या पैरामीटर आने की अपेक्षा होती है। 

रिग्रेशन गुणांक भी जनसंख्या पैरामीटर माने जाते हैं। क्योंकि वे पूरे जनसंख्या के बजाय नमूने पर आधारित होकर अनुमानित होते हैं, इन पैरामीटर में कुछ त्रुटि निहित होती है। अतः रिग्रेशन गुणांकों को भी कॉन्फिडेंस इंटरवल के साथ प्रकट किया जा सकता है। 

इसके अलावा, आप रिग्रेशन का उपयोग दो में से किसी एक के लिए कर सकते हैं:

• आश्रित चर का औसत मान (जैसे 2-वर्षीय कुत्तों का औसत वजन) या
• किसी व्यक्तिगत डेटा बिंदु का मान (जैसे कोई विशिष्ट 2-वर्षीय कुत्ता)। 

पहले मामले में कॉन्फिडेंस इंटरवल और दूसरे में प्रेडिक्शन इंटरवल का उपयोग होता है। अगले खंड में इस अंतर को और विस्तार से समझाया गया है।

गणना और इंटरवल की चौड़ाई

सांख्यिकीय अनुमान के लिए कॉन्फिडेंस इंटरवल की गणना 

जैसा पहले बताया गया, कॉन्फिडेंस इंटरवल मानक विचलन के अनुक्रमानुपाती और नमूना आकार के व्युत्क्रमानुपाती होता है। जनसंख्या औसत 𝛍 का कॉन्फिडेंस इंटरवल इस प्रकार व्यक्त किया जाता है:

उपरोक्त निरूपण में:

• x नमूना औसत है, यानी वह अनुमान जिसे आप माप सकते हैं
• 𝛍 जनसंख्या औसत है, यानी वह जनसंख्या पैरामीटर जिसे आप अनुमानित करना चाहते हैं। 
• n नमूना आकार है
• s नमूना मानक विचलन है
• t Student की T-वितरण का क्रिटिकल मान है,
• महत्त्व स्तर 1 - α पर
• n-1 डिग्री स्वतंत्रता के साथ
• मानक सारिणियों में T-मूल्य मिल जाते हैं—बस “Student’s T table” खोजें। 

अतः 𝛍 का दायरा इस प्रकार है:

कॉन्फिडेंस स्तर और महत्त्व स्तर समझना 

ध्यान दें कि इंटरवल का आकार t-मूल्य के अनुक्रमानुपाती है। यदि आप बहुत उच्च स्तर का विश्वास (निश्चितता) चाहते हैं कि वास्तविक मान दिए गए दायरे में है, तो वह दायरा बहुत बड़ा होना चाहिए। विश्वास का स्तर जितना कम होगा, इंटरवल उतना ही संकरा होगा। लेकिन बहुत कम विश्वास स्तर व्यावहारिक नहीं होता। इसलिए सामान्यतः 90%, 95%, 99% आदि कॉन्फिडेंस स्तर चुने जाते हैं। 

यदि आपका कॉन्फिडेंस स्तर 95% है, तो महत्त्व स्तर 5% होता है। दो-तरफा इंटरवल मानते हुए, आपको 2.5% (0.025) पर t-क्रिटिकल मान खोजना होगा। 

सैद्धांतिक रूप से, सभी इंटरवल इस प्रकार व्यक्त होते हैं:

देखें कि हर मामले में त्रुटि जितनी बड़ी होगी, इंटरवल उतना ही चौड़ा होगा। यह त्रुटि उपयोग-प्रकरण के अनुसार अलग तरह से निकाली जाती है। अनुमान में, त्रुटि मानक विचलन है। रिग्रेशन के लिए, त्रुटि अगले खंडों में दिखाई गई है। 

रिग्रेशन के लिए कॉन्फिडेंस इंटरवल की गणना 

जब आप आश्रित चर के औसत मान की भविष्यवाणी करते हैं, तो उसके दायरे का अनुमान कॉन्फिडेंस इंटरवल से लगाते हैं। उदाहरण के लिए, आप आयु के आधार पर 2-वर्षीय कुत्तों के औसत वजन का दायरा अनुमानित करना चाहते हैं। इसे mean response का कॉन्फिडेंस इंटरवल कहा जाता है। इसे जनसंख्या पैरामीटर भी माना जाता है क्योंकि यह पूरी जनसंख्या का गुण है। इंटरवल इस प्रकार व्यक्त होता है:

उपरोक्त निरूपण में:

• y0 भविष्यवाणी किए गए पैरामीटर का वास्तविक मान है। 
• y0  रिग्रेशन संबंध का उपयोग करके भविष्यवाणी किया गया मान है। 
• क्रिटिकल t-मूल्य पिछली धारा में समझाया गया है
• n नमूना आकार है
• (x0  - x) x के औसत मान और x0 (जिसके लिए आप y0 की भविष्यवाणी करना चाहते हैं) के बीच का अंतर है। ध्यान दें कि यह अंतर जितना बड़ा होगा, इंटरवल उतना ही बड़ा होगा। अतः नमूना औसत के करीब x के मानों के लिए आपको संकरे इंटरवल (और अधिक सटीक भविष्यवाणी) मिलती है। 
• SSx x मानों के नमूने का वर्ग विचलन है। इसे इस प्रकार व्यक्त किया जाता है:

• SE अनुमान की मानक त्रुटि है। यह mean square error (MSE) का वर्गमूल है। MSE त्रुटि का विचरण है। अतः SE, त्रुटि के मानक विचलन के समरूप है। MSE अवशिष्ट त्रुटि पर आधारित होता है। इसे इस प्रकार व्यक्त किया जाता है: 

उपरोक्त निरूपण में, सिग्मा का योगफल पद अवशिष्टों के वर्गों के योग के रूप में भी जाना जाता है। अवशिष्ट y के वास्तविक मान और y के अनुमानित मान के बीच का अंतर है। 

SE के बजाय MSE का उपयोग करके, mean response का कॉन्फिडेंस इंटरवल इस तरह भी लिखा जा सकता है:

ऊपर के निरूपण की तुलना पहले दिखाए गए सैद्धांतिक संबंध से करें। 

ध्यान दें कि त्रुटि में शामिल हैं:

• y के वास्तविक और अनुमानित मानों के बीच का अंतर। 
• x के औसत मान और उस x के मान के बीच का अंतर xo, जिसके लिए आप भविष्यवाणी करना चाहते हैं
• x मानों का समग्र प्रसरण (उनके औसत के सापेक्ष) 

रिग्रेशन के लिए प्रेडिक्शन इंटरवल की गणना 

किसी व्यक्तिगत डेटा बिंदु (औसत नहीं) का सटीक मान भविष्यवाणी करने के लिए, उसके दायरे का अनुमान प्रेडिक्शन इंटरवल से लगाते हैं। उदाहरण के लिए, आप आयु के आधार पर किसी एक विशिष्ट 2-वर्षीय कुत्ते के वास्तविक वजन का दायरा अनुमानित करना चाहते हैं। इसे प्रेडिक्शन इंटरवल कहते हैं, और यह इस प्रकार व्यक्त होता है:

इसे पहले दिखाए गए कॉन्फिडेंस इंटरवल से तुलना करें:

ध्यान दें कि दोनों निरूपण काफी समान हैं। अंतर केवल यह है कि प्रेडिक्शन इंटरवल में एक अतिरिक्त त्रुटि पद होता है। प्रेडिक्शन इंटरवल में वर्गमूल के भीतर कॉन्फिडेंस इंटरवल की तुलना में अतिरिक्त MSE पद होता है। यह y मानों की परिवर्तनशीलता का हिसाब रखने के लिए है, जिनकी आप भविष्यवाणी करना चाहते हैं। इससे प्रेडिक्शन इंटरवल, कॉन्फिडेंस इंटरवल से चौड़ा हो जाता है। 

नीचे का स्केच बिंदु अनुमान (अनुमानित मान) के संबंध में कॉन्फिडेंस और प्रेडिक्शन इंटरवल दिखाता है।

बिंदु अनुमान के कॉन्फिडेंस और प्रेडिक्शन इंटरवल की तुलना। लेखक द्वारा छवि।

नीचे की योजनाबद्ध आकृति रिग्रेशन के संदर्भ में कॉन्फिडेंस और प्रेडिक्शन इंटरवल दिखाती है—ध्यान दें कि औसत के आसपास इंटरवल सबसे संकरे होते हैं। 

रिग्रेशन में कॉन्फिडेंस और प्रेडिक्शन इंटरवल का चित्रण। लेखक द्वारा छवि।

कॉन्फिडेंस इंटरवल का उपयोग कब करें

पिछले खंडों में कॉन्फिडेंस और प्रेडिक्शन इंटरवल, उनके उपयोग और उन्हें निकालने के सूत्रों की बुनियाद पर चर्चा हुई। इस खंड में बताया गया है कि व्यवहार में इन्हें कब उपयोग करना चाहिए। 

कॉन्फिडेंस इंटरवल का उपयोग तब होता है जब आप किसी जनसंख्या पैरामीटर का अनुमान लगा रहे हों। जनसंख्या पैरामीटर का अनुमान लगाने के लिए, आप या तो:

1. यादृच्छिक नमूने पर आधारित प्रत्यक्ष माप का उपयोग करें
2. यादृच्छिक नमूने पर आधारित रिग्रेशन मॉडल का उपयोग करें

कॉन्फिडेंस इंटरवल के कुछ उपयोग मामलों के उदाहरण:

• यादृच्छिक नमूना मापकर जनसंख्या पैरामीटर का अनुमान लगाना। जैसे, नवजात शिशुओं की औसत लंबाई और वजन का अनुमान लगाने के लिए आप नवजातों के यादृच्छिक नमूने के माप लेते हैं। 
• यादृच्छिक नमूना का अध्ययन करके किसी जनसंख्या के व्यवहार का अनुमान लगाना। यह उपयोग मामला नैदानिक परीक्षणों में आम है, जहाँ आप यादृच्छिक नमूने पर दवा के प्रभाव का अध्ययन करके पूरी जनसंख्या पर उसके प्रभाव का अनुमान लगाते हैं। 
• यादृच्छिक नमूने पर किए गए रिग्रेशन के आधार पर आश्रित चर की mean response की भविष्यवाणी करना। उदाहरण के लिए, आप हर 15 दिन पर मापे गए पिल्लों के नमूने के आधार पर 55-दिन पुराने पिल्लों के औसत वजन की भविष्यवाणी करना चाहते हैं। 
• निर्माण प्रक्रियाओं में टॉलरेंस लिमिट निर्धारित करना। उदाहरण के लिए, यदि कोई मशीन एक निर्दिष्ट वजन के पुर्जे बनाती है, तो हर पुर्जे का वजन स्पेसिफिकेशन के बिल्कुल बराबर नहीं होता। प्रत्येक पुर्जे का वजन निर्दिष्ट वजन के कॉन्फिडेंस इंटरवल के भीतर होता है। यही इंटरवल टॉलरेंस लिमिट है। जिन पुर्जों का वजन टॉलरेंस लिमिट से बाहर होता है, उन्हें खारिज कर दिया जाता है। मशीन से अपेक्षा होती है कि वह अधिकांश पुर्जे टॉलरेंस लिमिट के भीतर बनाए। 
• गुणवत्ता नियंत्रण। मान लीजिए आप स्थापित करना चाहते हैं कि किसी मशीन द्वारा बनाए गए पुर्जे टॉलरेंस लिमिट के भीतर हैं। हर पुर्जे को मापना संभव नहीं। आपको यादृच्छिक नमूने लेने, उन्हें मापने, और फिर नमूना अनुमानों का उपयोग करके जनसंख्या पैरामीटर का आकलन करने पर निर्भर रहना होगा। 
• परिकल्पनाओं का परीक्षण। कॉन्फिडेंस स्तर और महत्त्व स्तर एक ही सिक्के के दो पहलू हैं। महत्त्व स्तर = 1 - कॉन्फिडेंस स्तर। किसी निर्दिष्ट कॉन्फिडेंस स्तर वाला कॉन्फिडेंस इंटरवल उन डेटा बिंदुओं को समाहित करता है जिनके लिए शून्य परिकल्पना (1 - निर्दिष्ट कॉन्फिडेंस स्तर) के महत्त्व स्तर पर सत्य होती है। 

प्रेडिक्शन इंटरवल का उपयोग कब करें

जब भी आप यादृच्छिक नमूने के अवलोकनों (और उन पर किए गए रिग्रेशन विश्लेषण) के आधार पर किसी व्यक्तिगत डेटा बिंदु के अपेक्षित मान की भविष्यवाणी करते हैं, तब प्रेडिक्शन इंटरवल उपयोग में आता है। 

कुछ व्यावहारिक उदाहरण: 

• रिग्रेशन विश्लेषण के आधार पर किसी व्यक्तिगत डेटा बिंदु के दायरे की भविष्यवाणी करना। क्योंकि व्यक्तिगत डेटा बिंदुओं में (नमूना औसत की तुलना में) अधिक परिवर्तनशीलता हो सकती है, प्रेडिक्शन इंटरवल का दायरा व्यापक चाहिए। उदाहरण के लिए, आप हर 15 दिन पर मापे गए पिल्लों के यादृच्छिक नमूने के आधार पर किसी व्यक्तिगत 55-दिन पुराने पिल्ले का वजन भविष्यवाणी करना चाहते हैं। 
• अज्ञात चर के मान की भविष्यवाणी के लिए Monte Carlo सिमुलेशन का उपयोग। क्योंकि Monte Carlo विधियाँ प्रायिकत्मक होती हैं, प्रत्येक रन पर आपको थोड़ा भिन्न आउटपुट मिलता है। विभिन्न आउटपुट के बीच ये फर्क Monte Carlo Uncertainty Interval में एन्कोड होता है, जो वैचारिक रूप से प्रेडिक्शन इंटरवल जैसा ही है। 
• मानक रिग्रेशन में, आप किसी पैरामीटर के औसत मान की भविष्यवाणी के लिए संबंध बनाते हैं। क्वांटाइल रिग्रेशन में, आप लक्ष्य पैरामीटर के प्रत्येक क्वांटाइल की भविष्यवाणी हेतु अलग-अलग मॉडल बनाते हैं। इससे अधिक सूक्ष्म प्रेडिक्शन इंटरवल बनाना संभव होता है। 
• मशीन लर्निंग मॉडल अज्ञात पैरामीटर के मान की भविष्यवाणी से संबंधित होते हैं। ये मॉडल आमतौर पर सांख्यिकीय तरीकों पर आधारित होते हैं और इसलिए अज्ञात मात्रा का औसत मान अनुमानित करते हैं। अतः मॉडल के आउटपुट में अपेक्षित (औसत) मान और प्रेडिक्शन इंटरवल दोनों शामिल होते हैं। 
• डीप लर्निंग मॉडल भविष्यवाणियाँ करने के लिए न्यूरल नेटवर्क की शृंखला का उपयोग करते हैं। आउटपुट में अनिश्चितता का आकलन करने के लिए, अलग-अलग न्यूरॉनों को यादृच्छिक रूप से ड्रॉप करना आम है ताकि आउटपुट की परिवर्तनशीलता का अध्ययन हो सके। इन भविष्यवाणियों के विचरण का उपयोग प्रेडिक्शन इंटरवल बनाने में होता है। 
• टाइम सीरीज़ फोरकास्टिंग में लक्ष्य भविष्य के समय चरण में किसी प्रेक्षणीय का मान भविष्यवाणी करना होता है। भविष्यवाणियाँ आधारित होती हैं ARIMA जैसे सांख्यिकीय मॉडलों पर, जो मूविंग एवरेज पर ऑटो-रिग्रेशन करते हैं। इसलिए ये अपेक्षित मान का अनुमान लगाते हैं। वास्तविक प्रेक्षित मान अपेक्षित मान के प्रेडिक्शन इंटरवल के भीतर होते हैं। यह प्रेडिक्शन इंटरवल मानक विचलन का फलन होता है। उदाहरण के लिए, 95% कॉन्फिडेंस स्तर के लिए, प्रेडिक्शन इंटरवल अपेक्षित मान से 1.96 मानक विचलन के भीतर होता है। साथ ही, बहु-चरणीय भविष्यवाणियाँ, जिनमें लंबा फोरकास्ट क्षितिज शामिल होता है, बड़े प्रेडिक्शन इंटरवल को शामिल करती हैं। टाइम सीरीज़ के बारे में और जानने के लिए DataCamp के टाइम सीरीज़ विश्लेषण कोर्स को देखें। 

कॉन्फिडेंस इंटरवल बनाम प्रेडिक्शन इंटरवल: एक सार

कॉन्फिडेंस इंटरवल और प्रेडिक्शन इंटरवल अक्सर एक ही सन्दर्भ में उपयोग होते हैं, इसलिए उनका अंतर समझना महत्वपूर्ण है। 

पिछले खंडों की चर्चा के आधार पर यह तालिका अंतरों का सार देती है:

R में कॉन्फिडेंस और प्रेडिक्शन इंटरवल लागू करना

यह खंड R प्रोग्रामिंग भाषा का उपयोग करके कॉन्फिडेंस और प्रेडिक्शन इंटरवल का अनुमान लगाने के हाथ-से-हाथ उदाहरण दिखाता है। R सांख्यिकीय अनुप्रयोगों के लिए डिज़ाइन की गई भाषा है, और यह अंतर्निर्मित डेटासेट और सांख्यिकीय फ़ंक्शनों के साथ आती है। 

R का उपयोग करके रिग्रेशन के बारे में अधिक जानने के लिए DataCamp का R में रैखिक रिग्रेशन पर ट्यूटोरियल देखें।

नीचे दिए गए उदाहरण अंतर्निर्मित Orange डेटासेट का उपयोग करते हैं। यह डेटासेट संतरों के पेड़ों की परिधि (मिलीमीटर में) और आयु (दिनों में) को ट्रैक करता है। स्वाभाविक रूप से, जितना पेड़ पुराना होगा, उसकी परिधि उतनी बड़ी होने की अपेक्षा है। 

R में कॉन्फिडेंस इंटरवल लागू करना

नीचे दिए उदाहरण सार-सांख्यिकी और रिग्रेशन विश्लेषण के लिए कॉन्फिडेंस इंटरवल का अनुमान कैसे लगाएँ, यह दिखाते हैं। 

सार-सांख्यिकी में कॉन्फिडेंस इंटरवल

औसत के लिए कॉन्फिडेंस इंटरवल पाने हेतु, डेटासेट पर t.test() फ़ंक्शन का उपयोग करके मानक T-परीक्षण चलाएँ:

t.test(Orange$circumference)संचालित द्वारा

आउटपुट नीचे दिए उदाहरण जैसा दिखता है:

t = 11.923, df = 34, p-value = 1.076e-13 
alternative hypothesis: true mean is not equal to 0 
95 percent confidence interval:
   96.10926 135.60502 
sample estimates: 
mean of x
   115.8571 संचालित द्वारा

यह आपको औसत का अनुमान और 95% कॉन्फिडेंस इंटरवल देता है। डिफ़ॉल्ट रूप से, T-टेस्ट फ़ंक्शन 95% कॉन्फिडेंस स्तर उपयोग करता है। conf.level पैरामीटर का उपयोग करके 99% जैसा अलग कॉन्फिडेंस इंटरवल निर्दिष्ट करें। 

> t.test(Orange$circumference, conf.level = 0.99)संचालित द्वारा

यह आदेश निम्नलिखित आउटपुट देता है:

t = 11.923, df = 34, p-value = 1.076e-13 
alternative hypothesis: true mean is not equal to 0
99 percent confidence interval:
   89.34458 142.36970 
sample estimates: 
mean of x
   115.8571 संचालित द्वारा

ध्यान दें कि अनुमानित औसत दोनों ही मामलों में समान है। हालांकि, उच्चतर कॉन्फिडेंस स्तर के लिए इंटरवल अधिक चौड़ा होना चाहिए। डेटा के आधार पर, मैं 99% आश्वस्त हूँ कि औसत 89.3 और 142.4 के बीच है, लेकिन केवल 95% आश्वस्त हूँ कि वह 96.1 और 135.6 के बीच है। किसी दिए गए नमूने से अनुमानित पैरामीटर के लिए, इंटरवल जितना संकरा होगा, कॉन्फिडेंस स्तर उतना ही कम होगा। 

रिग्रेशन में कॉन्फिडेंस इंटरवल 

रिग्रेशन विश्लेषणों में, आपको रिग्रेशन गुणांकों और अनुमानित मानों के लिए कॉन्फिडेंस इंटरवल चाहिए। 

R में रिग्रेशन कैसे करें, इसकी गहन समझ के लिए DataCamp का R में रैखिक रिग्रेशन के लिए अनुमान कोर्स देखें।

रिग्रेशन गुणांकों का कॉन्फिडेंस इंटरवल 

रिग्रेशन गुणांक यादृच्छिक नमूने का विश्लेषण करके अनुमानित किए जाते हैं। इसलिए, वे पूरी जनसंख्या के वास्तविक गुणांक नहीं होते। रिग्रेशन पैरामीटरों के अनुमानों से कुछ त्रुटि जुड़ी होती है। उनके अनुमानित मानों के अतिरिक्त, पैरामीटरों के लिए कॉन्फिडेंस इंटरवल देना उपयोगी होता है। 

Orange डेटासेट के आधार पर आयु (दिनों में) दिए जाने पर परिधि (मिमी में) की भविष्यवाणी करने के लिए lm() फ़ंक्शन का उपयोग कर एक रैखिक मॉडल बनाएँ:

model_orange <- lm(circumference ~ age, data = Orange)संचालित द्वारा

इस रैखिक मॉडल के गुणांक जाँचें:

model_orangeसंचालित द्वारा

यह आदेश मॉडल के पैरामीटर (इंटरसेप्ट और ढाल) नीचे की तरह दिखाता है:

Coefficients: (Intercept)          age
                              17.3997       0.1068  संचालित द्वारा

95% कॉन्फिडेंस इंटरवल की गणना के लिए confint() फ़ंक्शन का उपयोग करें:

confint(model_orange, level = 0.95)संचालित द्वारा

अब आप मॉडल द्वारा अनुमानित ढाल और इंटरसेप्ट के 95% कॉन्फिडेंस इंटरवल देख सकते हैं:

                          2.5 %                   97.5 %
(Intercept)     -0.14328303       34.9425835 
age                  0.08993141          0.1236092संचालित द्वारा

mean response भविष्यवाणी का कॉन्फिडेंस इंटरवल 

ऊपर बनाए गए रिग्रेशन मॉडल का उपयोग 900-दिन पुराने पेड़ों की अपेक्षित औसत परिधि की भविष्यवाणी के लिए करें। interval पैरामीटर का उपयोग करके कॉन्फिडेंस इंटरवल निर्दिष्ट करें। 

predict(model_orange, data.frame(age = 900), interval = "confidence", level = 0.95)  संचालित द्वारा

आउटपुट में भविष्यवाणी (fit) और कॉन्फिडेंस इंटरवल (lwr और upr क्रमशः निम्न और उच्च सीमाएँ) शामिल होते हैं, जैसा नीचे दिखाया गया है:

       fit                    lwr              upr
 1     113.4929        105.3211       121.6647संचालित द्वारा

R में प्रेडिक्शन इंटरवल लागू करना

उसी मॉडल का उपयोग 900 दिन पुराने किसी एक व्यक्तिगत संतरे के पेड़ की परिधि की भविष्यवाणी के लिए करें। interval पैरामीटर का उपयोग करके बताइए कि आपको प्रेडिक्शन इंटरवल चाहिए। 

> predict(model, data.frame(age = 900), interval = "prediction", level = 0.95)  संचालित द्वारा

आउटपुट नीचे दिए उदाहरण जैसा दिखता है:

       fit                    lwr              upr
1      113.4929        64.5118        162.4741संचालित द्वारा

ध्यान दें कि दोनों ही मामलों में, परिधि का अनुमानित मान समान है—113.49। हालांकि, प्रेडिक्शन इंटरवल, कॉन्फिडेंस इंटरवल की तुलना में काफी चौड़ा है। भविष्यवाणी का कॉन्फिडेंस इंटरवल वह दायरा है जिसमें 900-दिन पुराने पेड़ों की औसत परिधि आने की अपेक्षा है। प्रेडिक्शन इंटरवल किसी एक 900-दिन पुराने पेड़ की परिधि का अपेक्षित दायरा है। ऐसा इसलिए क्योंकि व्यक्तिगत पेड़ों में भिन्नता औसत मान पर विचार करने से अधिक होती है, जो औसत लेने पर स्मूद हो जाती है। 

सामान्य भ्रांतियाँ और सावधानियाँ

सांख्यिकीय इंटरवलों का उपयोग डेटा विश्लेषण, फार्मास्यूटिकल्स, इकोनोमेट्रिक्स आदि जैसे अनुप्रयुक्त क्षेत्रों में आम है। जिनके पास सांख्यिकी का शैक्षणिक पृष्ठभूमि नहीं है, उनके लिए कॉन्फिडेंस इंटरवल और प्रेडिक्शन इंटरवल में भ्रम होना आसान है। 

कुछ सामान्य भ्रांतियाँ नीचे चर्चा की गई हैं: 

• प्रेडिक्शन इंटरवल पर विचार किए बिना भविष्यवाणी करना। 
• जब आप दिए गए स्वतंत्र चर के लिए आश्रित चर का मान रिग्रेशन मॉडल से भविष्यवाणी करते हैं, तो रिग्रेशन समीकरण आपको आश्रित चर का अपेक्षित मान देता है। वास्तविक मान शायद ही कभी अपेक्षित मान से मेल खाता है, बल्कि प्रेडिक्शन इंटरवल द्वारा निर्दिष्ट किसी दायरे में आता है। 
• मान लेना कि रिग्रेशन विश्लेषण में केवल प्रेडिक्शन इंटरवल शामिल होता है।
• आप रिग्रेशन मॉडलों का उपयोग दो प्रकार की भविष्यवाणियों के लिए करते हैं—1) भविष्य का मान, और 2) mean response की भविष्यवाणी। संतरे के पेड़ के उदाहरण में, आप 1) किसी विशिष्ट 900-दिन पुराने पेड़ की परिधि या 2) सभी 900-दिन पुराने पेड़ों की औसत परिधि की भविष्यवाणी करने की कोशिश कर सकते हैं। दोनों ही मामलों में अपेक्षित मान समान है। लेकिन, पहला प्रेडिक्शन इंटरवल और दूसरा कॉन्फिडेंस इंटरवल से संबंधित है। 
• मान लेना कि संकरा इंटरवल ही बेहतर होता है।
• कभी-कभी आप रिग्रेशन अध्ययन के परिणाम का उपयोग करते समय केवल संकरा इंटरवल चुनने के लिए प्रेरित हो सकते हैं। कॉन्फिडेंस इंटरवल “बेहतर” नहीं है क्योंकि वह संकरा है। वह इसलिए संकरा है क्योंकि वह प्रेडिक्शन इंटरवल से अलग चीज़ के लिए दायरा देता है। विचार करें कि क्या आप आश्रित चर के औसत मान की भविष्यवाणी करना चाहते हैं या किसी व्यक्तिगत डेटा बिंदु की।
• कॉन्फिडेंस इंटरवल को प्रेडिक्शन इंटरवल समझ लेना। 
• यदि आपकी भविष्यवाणी नमूने से जनसंख्या पैरामीटर निर्धारित करने या रिग्रेशन से mean response (औसत मान) की भविष्यवाणी से जुड़ी है, तो आप कॉन्फिडेंस इंटरवल का उपयोग करेंगे। यदि आप रिग्रेशन के आधार पर किसी व्यक्तिगत डेटा बिंदु का कोई गुण भविष्यवाणी करना चाहते हैं, तो प्रेडिक्शन इंटरवल का उपयोग करें। 

निष्कर्ष

इस लेख में कॉन्फिडेंस इंटरवल और प्रेडिक्शन इंटरवल का अवलोकन दिया गया। इसमें इन समान-ध्वनि अवधारणाओं का अंतर भी समझाया गया और यह भी बताया गया कि किस प्रकार के इंटरवल का उपयोग कब करें। लेख में R प्रोग्रामिंग भाषा का उपयोग करके प्रेडिक्शन और कॉन्फिडेंस इंटरवल कैसे निकाले जाएँ, यह भी दिखाया गया। 

Python का उपयोग करके सांख्यिकीय सूत्र कैसे लागू करें, यह जानने के लिए Python में सांख्यिकी पर DataCamp कोर्स देखें। अंत में, यदि आप सांख्यिकी से जुड़े नौकरी साक्षात्कारों की तैयारी कर रहे हैं, तो Python में सांख्यिकीय साक्षात्कार प्रश्नों पर DataCamp कोर्स देखें।