Güven Aralıkları ve Tahmin Aralıkları: Farkı Anlamak

Tahmin Aralıkları ve Güven Aralıkları Arasındaki Farklar

Tahmin aralıkları ve güven aralıkları birbirine yakından ilişkilidir. Aynı analizde çoğu zaman her iki tür aralık da kullanılabilir. Bu nedenle, bunları doğrudan karşılaştırmak faydalıdır. 

Amaç ve yorum

Bir anakütle parametresini, örneğin bir ortalamayı bilmeniz gerektiğinde, bu parametreyi tahmin etmek için bir örneklem kullanırsınız. Örneklem büyüklüğü genellikle anakütleden çok daha küçük olduğundan, örneklemin parametre tahmini kusursuz değildir. Güven aralığı, (örneklem tahmininin) anakütle parametresini içermesi beklenen aralıktır. 

Regresyon katsayıları da anakütle parametreleri olarak kabul edilir. Tüm anakütle yerine bir örnekleme dayanarak tahmin edildikleri için bu parametrelere gömülü bir hata vardır. Bu nedenle, regresyon katsayıları da bir güven aralığıyla ifade edilebilir. 

Ayrıca, regresyonu şu ikisinden birini tahmin etmek için kullanabilirsiniz:

• Bağımlı değişkenin ortalama değerini (örneğin 2 yaşındaki köpeklerin ortalama ağırlığı) veya
• Tekil bir veri noktasının değerini (örneğin tek bir 2 yaşındaki köpek). 

İlki güven aralığı, ikincisi tahmin aralığı kullanır. Aşağıdaki bölüm bu farkı daha ayrıntılı açıklar.

Aralığın hesaplanması ve genişliği

Çıkarımsal istatistik için güven aralığının hesaplanması 

Daha önce açıklandığı gibi, güven aralığı standart sapma ile doğru orantılı, örneklem büyüklüğü ile ters orantılıdır. Anakütle ortalaması 𝛍’nin güven aralığı şöyle ifade edilir:

Yukarıdaki ifadede:

• x ölçebileceğiniz, tahmin olan örneklem ortalamasıdır
• 𝛍, tahmin etmek istediğiniz anakütle ortalamasıdır. 
• n örneklem büyüklüğüdür
• s örneklemin standart sapmasıdır
• t değeri, aşağıdaki koşullardaki Student’ın t-dağılımının kritik değeridir
• Anlamlılık düzeyi 1 - α
• n-1  serbestlik derecesi
• t değerlerini standart tablolardan bulabilirsiniz — “Student’s T table” şeklinde aratın. 

Dolayısıyla, 𝛍’nin aralığı şöyledir:

Güven düzeyleri ve anlamlılık düzeylerini anlamak 

Ayrıca, aralığın genişliğinin t-değeri ile orantılı olduğuna dikkat edin. Gerçek değerin verilen aralıkta yer aldığından aşırı yüksek bir güven (kesinlik) istiyorsanız, aralığın çok geniş olması gerekir. Güven düzeyi düştükçe aralık daralır. Ancak çok düşük bir güven düzeyi pek kullanışlı değildir. Bu nedenle pratikte %90, %95, %99 gibi güven düzeyleri seçmek yaygındır. 

%95 güven düzeyiniz varsa, bu %5 anlamlılık düzeyine karşılık gelir. İki taraflı bir aralık varsayımıyla, %2,5’te (0,025) t-kritik değerini bulmanız gerekir. 

Kavramsal olarak, tüm aralıklar şu şekilde ifade edilir:

Tüm durumlarda, hata ne kadar büyükse aralığın o kadar geniş olduğuna dikkat edin. Bu hata, kullanım durumuna bağlı olarak farklı şekilde hesaplanır. Çıkarım için hata, standart sapmadır. Regresyon için hata, sonraki bölümlerde gösterilmiştir. 

Regresyon için güven aralığının hesaplanması 

Bağımlı değişkenin ortalama değerini tahmin ettiğinizde, aralığını güven aralığı ile tahmin edersiniz. Örneğin, 2 yaşındaki köpeklerin ortalama ağırlığını yaşlarına göre tahmin etmek istiyorsunuz. Bu, ortalama yanıtın güven aralığı olarak adlandırılır. Tüm anakütlenin bir özelliği olduğundan bir anakütle parametresi olarak da kabul edilir. Aralık şu şekilde ifade edilir:

Yukarıdaki ifadede:

• y0 tahmin edilen parametrenin gerçek değeridir. 
• y0  regresyon ilişkisi kullanılarak tahmin edilen değerdir. 
• Kritik t-değeri önceki bölümde açıklanmıştır
• n örneklem büyüklüğüdür
• (x0  - x) x’in ortalama değeri ile x ve y0’ı tahmin etmeye çalıştığınız x0 arasındaki farktır. Bu fark ne kadar büyükse aralığın da o kadar büyük olduğuna dikkat edin. Dolayısıyla, örneklem ortalamasına yakın x değerleri için daha dar aralıklar (ve daha doğru tahminler) elde edersiniz. 
• SSx x değerleri örnekleminin kareler toplamı (ortalamadan sapmaların karelerinin toplamı) olup şu şekilde ifade edilir:

• SE, tahminin standart hatasıdır. Ortalama kare hata (MSE)’nın kareköküdür. MSE hata varyansıdır. Dolayısıyla SE, hatanın standart sapmasına benzer. MSE artık hata temel alınarak hesaplanır. Şu şekilde ifade edilir: 

Yukarıdaki ifadede toplam terimi, artıkların kareler toplamı olarak da adlandırılır. Artık, y’nin gerçek değeri ile tahmin edilen değeri arasındaki farktır. 

SE yerine MSE kullanılarak, ortalama yanıtın güven aralığı şu şekilde de yazılabilir:

Yukarıdaki ifadeyi, daha önce gösterilen kavramsal ilişki ile karşılaştırın. 

Hatanın şunları hesaba kattığına dikkat edin:

• y’nin gerçek ve tahmin edilen değerleri arasındaki fark. 
• x’in ortalama değeri ile xo değeri (tahmin üretmek istediğiniz) arasındaki fark
• x değerlerinin genel yayılımı (ortalamasına göre) 

Regresyon için tahmin aralığının hesaplanması 

Tekil bir veri noktasının (ortalama değil) tam değerini tahmin etmek için aralığını tahmin aralığıyla belirlersiniz. Örneğin, yaştan hareketle belirli bir 2 yaşındaki köpeğin gerçek ağırlığı için aralığı tahmin etmek istiyorsunuz. Buna tahmin aralığı denir ve şu şekilde ifade edilir:

Bunu, daha önce gösterilen güven aralığıyla karşılaştırın:

Her iki ifadenin de oldukça benzer olduğuna dikkat edin. Tek fark, tahmin aralığındaki ek hata terimidir. Tahmin aralığında, karekök içinde güven aralığına kıyasla ilave bir MSE terimi vardır. Bu, tahmin etmek istediğiniz y değerlerindeki değişkenliği dikkate almak içindir. Bu durum tahmin aralığını güven aralığından daha geniş yapar. 

Aşağıdaki şema, nokta tahmini (tahmin edilen değer) ile ilişkili güven ve tahmin aralıklarını göstermektedir.

Bir nokta tahmininin güven ve tahmin aralıklarının karşılaştırılması. Görsel: yazar.

Aşağıdaki şematik çizim, regresyonla ilişkili güven ve tahmin aralıklarını gösterir — ayrıca aralıkların ortalama bölgesinde en dar olduğuna dikkat edin. 

Regresyonda güven ve tahmin aralıklarının gösterimi. Görsel: yazar.

Güven Aralığı Ne Zaman Kullanılır?

Önceki bölümlerde güven ve tahmin aralıklarının temelleri, kullanım alanları ve bunları hesaplamak için kullanılan formüller ele alındı. Bu bölümde güven ve tahmin aralıklarının ne zaman kullanılacağına ilişkin pratik örnekler verilmektedir. 

Güven aralığı, bir anakütle parametresi tahmin edilirken kullanılır. Anakütle parametresini tahmin etmek için ya:

1. Rassal bir örnekleme dayalı doğrudan ölçümler kullanırsınız
2. Rassal bir örnekleme dayalı bir regresyon modeli kullanırsınız

Güven aralığına ilişkin bazı örnek kullanım durumları şunlardır:

• Rassal bir örneklem ölçülerek bir anakütle parametresinin tahmin edilmesi. Örneğin, yeni doğan bebeklerin ortalama boy ve ağırlığını tahmin etmek için rastgele bir yeni doğan örnekleminin ölçümlerini alırsınız. 
• Rassal bir örneklem incelenerek bir anakütlenin davranışının tahmin edilmesi. Bu kullanım durumu, bir ilacın etkilerini rastgele bir örneklem üzerinde inceleyerek anakütle üzerindeki etkilerini tahmin etmeye çalıştığınız klinik deneylerde yaygındır. 
• Rassal bir örneklem üzerinde yapılan regresyon analizine dayanarak bağımlı değişkenin ortalama yanıtının tahmin edilmesi. Örneğin, her 15 günde bir ölçülen yavru köpek ağırlıklarından oluşan bir örnekleme dayanarak 55 günlük yavru köpeklerin ortalama ağırlığını tahmin etmek istersiniz. 
• Üretim süreçlerinde tolerans limitlerinin belirlenmesi. Örneğin, bir makine belirli bir ağırlıkta parçalar üretiyorsa, her parça spesifikasyona tam olarak aynı ağırlıkta olmayacaktır. Her parçanın ağırlığı, belirtilen ağırlığın bir güven aralığı içinde yer alır. Bu aralık tolerans limitidir. Tolerans sınırlarının dışında kalan parça ağırlıkları reddedilir. Makinenin, çoğunlukla tolerans sınırları içinde parçalar üretmesi beklenir. 
• Kalite kontrol. Bir makinenin ürettiği parçaların tolerans sınırları içinde olup olmadığını tespit etmek istediğinizi varsayalım. Her bir parçayı ölçmek mümkün değildir. Rassal örneklemler almaya, bunları ölçmeye ve ardından örneklem tahminlerini kullanarak anakütle parametrelerini değerlendirmeye güvenmek zorundasınız. 
• Hipotezlerin test edilmesi. Güven düzeyleri ve anlamlılık düzeyleri aynı madalyonun iki yüzüdür. Anlamlılık düzeyi = 1 - Güven düzeyi.  Belirli bir güven düzeyine sahip bir güven aralığı, sıfır hipotezinin (belirtilen güven düzeyinin 1 eksi değerindeki) anlamlılık düzeyinde doğru olduğu veri noktalarını içerir. 

Tahmin Aralığı Ne Zaman Kullanılır?

Tahmin aralıkları, rassal bir örneklem üzerindeki gözlemlere (ve regresyon analizine) dayanarak tekil bir veri noktasının beklenen değerini tahmin ettiğiniz her durumda kullanılır. 

Bazı pratik örnekler şunlardır: 

• Regresyon analizine dayanarak tekil bir veri noktasının aralığının tahmin edilmesi. Tekil veri noktaları (örneklem ortalamasına kıyasla) daha yüksek değişkenliğe sahip olabileceğinden, daha geniş bir tahmin aralığına ihtiyaç duyarsınız. Örneğin, her 15 günde bir ölçülen yavru köpek ağırlıklarından oluşan rassal bir örnekleme dayanarak 55 günlük tek bir yavru köpeğin ağırlığını tahmin etmek istersiniz. 
• Bilinmeyen bir değişkenin değerini tahmin etmek için Monte Carlo benzetimleri kullanabilirsiniz. Monte Carlo yöntemleri olasılıksal olduğu için, modeli her çalıştırdığınızda çıktılar biraz farklı olur. Farklı çıktılar arasındaki bu farklılıklar, kavramsal olarak bir tahmin aralığına benzeyen Monte Carlo Belirsizlik Aralığı’nda kodlanır. 
• Standart regresyonda, bir parametrenin ortalama değerini tahmin etmek için bir ilişki kurarsınız. Çeyrek regresyonda, hedef parametrenin her bir çeyreğini tahmin etmek için farklı modeller kurarsınız. Bu da daha ayrıntılı tahmin aralıkları oluşturmanıza olanak tanır. 
• Makine öğrenimi modelleri, bilinmeyen bir parametrenin değerini tahmin etmeye odaklanır. Bu modeller genellikle istatistiksel yöntemlere dayalıdır ve dolayısıyla bilinmeyen niceliğin ortalama değerini tahmin eder. Bu nedenle model çıktısı, hem beklenen (ortalama) değeri hem de tahmin aralığını içerir. 
• Derin öğrenme modelleri, tahmin yapmak için bir dizi sinir ağı kullanır. Çıktıdaki belirsizliği değerlendirmek için, çıktının değişkenliğini incelemek üzere farklı nöronların rastgele düşürülmesi yaygındır. Bu tahminlerdeki varyans, tahmin aralığını oluşturmak için kullanılır. 
• Zaman serisi tahminlerinde amaç, gelecekteki bir zaman adımında bir gözlemin değerini tahmin etmektir. Tahminler, ARIMA gibi istatistiksel modellere dayanır; bu model, hareketli ortalama üzerinde otoregresyon yapar. Dolayısıyla beklenen değeri tahmin eder. Gerçekte gözlenen değerler, beklenen değerin bir tahmin aralığı içinde yer alır. Bu tahmin aralığı, standart sapmanın bir fonksiyonu olarak hesaplanır. Örneğin, %95 güven düzeyi için tahmin aralığı beklenen değerin 1,96 standart sapması içindedir. Ayrıca, daha uzun bir tahmin ufku içeren çok adımlı tahminler, daha geniş bir tahmin aralığını da beraberinde getirir. Zaman serileri hakkında daha fazla bilgi için DataCamp’in zaman serisi analizi kursuna bakın. 

Güven Aralığı ve Tahmin Aralığı: Özet

Güven aralıkları ve tahmin aralıkları sıklıkla aynı bağlamda kullanılır; bu nedenle aralarındaki farkı anlamak önemlidir. 

Aşağıdaki tablo, önceki bölümlerdeki tartışmaya dayanarak farkları özetler:

R’de Güven ve Tahmin Aralıklarının Uygulanması

Bu bölüm, R programlama dilini kullanarak güven ve tahmin aralıklarını tahmin etmeye yönelik uygulamalı örnekler sunar. R, istatistiksel uygulamalar için tasarlanmış bir dildir ve yerleşik veri kümeleri ve istatistiksel fonksiyonlarla birlikte gelir. 

R kullanarak regresyonlar hakkında daha fazla bilgi edinmek için DataCamp’in R’de doğrusal regresyonlar rehberini takip edin.

Aşağıdaki örneklerde yerleşik Orange veri kümesi kullanılır. Bu veri kümesi, portakal ağaçlarının çevresini (milimetre cinsinden) ve yaşını (gün cinsinden) takip eder. Doğal olarak, ağaç yaşlandıkça çevresinin büyümesi beklenir. 

R’de güven aralıklarının uygulanması

Aşağıdaki örnekler, özet istatistikler ve regresyon analizleri için güven aralıklarının nasıl tahmin edileceğini gösterir. 

Özet istatistiklerde güven aralığı

Ortalama için güven aralığını elde etmek üzere, veri kümesi üzerinde t.test() fonksiyonunu kullanarak standart T testini çalıştırın:

t.test(Orange$circumference)Altyapı:

Çıktı aşağıdaki örneğe benzer görünür:

t = 11.923, df = 34, p-value = 1.076e-13 
alternative hypothesis: true mean is not equal to 0 
95 percent confidence interval:
   96.10926 135.60502 
sample estimates: 
mean of x
   115.8571 Altyapı:

Bu size ortalama tahminini ve %95 güven aralığını verir. Varsayılan olarak, T Testi fonksiyonu %95 güven düzeyi kullanır. %99 gibi farklı bir güven aralığı belirtmek için conf.level parametresini kullanın. 

> t.test(Orange$circumference, conf.level = 0.99)Altyapı:

Bu komut aşağıdaki çıktıyı üretir:

t = 11.923, df = 34, p-value = 1.076e-13 
alternative hypothesis: true mean is not equal to 0
99 percent confidence interval:
   89.34458 142.36970 
sample estimates: 
mean of x
   115.8571 Altyapı:

Her iki durumda da tahmin edilen ortalamanın aynı olduğuna dikkat edin. Ancak, daha yüksek bir güven düzeyine sahip olmak için aralığın daha geniş olması gerekir. Verilere dayanarak, ortalamanın 89,3 ile 142,4 arasında olduğundan %99, 96,1 ile 135,6 arasında olduğundan ise yalnızca %95 eminim. Belirli bir örneklemden tahmin edilen bir parametre için, güven aralığı ne kadar dar olursa güven düzeyi o kadar düşük olur. 

Regresyonda güven aralığı 

Regresyon analizlerinde, regresyon katsayıları ve tahmin edilen değerler için güven aralıklarına ihtiyaç duyarsınız. 

R’de regresyonların nasıl yapılacağına derinlemesine hakim olmak için DataCamp’in R’de Doğrusal Regresyon için Çıkarım kursunu takip edin.

Regresyon katsayılarının güven aralığı 

Regresyon katsayıları rassal bir örneklem analiz edilerek tahmin edilir. Bu nedenle, tüm anakütle için gerçek katsayılar değildir. Regresyon parametrelerinin tahminlerinin bir miktar hatası vardır. Tahmin edilen değerlerine ek olarak, parametreler için bir güven aralığı vermek faydalıdır. 

Orange veri kümesine dayalı olarak, yaşı (gün) verilen portakal ağaçlarının çevresini (mm) tahmin etmek için lm() fonksiyonunu kullanarak bir doğrusal model kurun:

model_orange <- lm(circumference ~ age, data = Orange)Altyapı:

Bu doğrusal modelin katsayılarını kontrol edin:

model_orangeAltyapı:

Bu komut, modelin parametrelerini (kesişim ve eğim) aşağıdaki gibi gösterir:

Coefficients: (Intercept)          age
                              17.3997       0.1068  Altyapı:

%95 güven aralıklarını hesaplamak için confint() fonksiyonunu kullanın:

confint(model_orange, level = 0.95)Altyapı:

Artık modelin tahmin ettiği eğim ve kesişimin %95 güven aralıklarını görebilirsiniz:

                          2.5 %                   97.5 %
(Intercept)     -0.14328303       34.9425835 
age                  0.08993141          0.1236092Altyapı:

Ortalama yanıt tahmininin güven aralığı 

Yukarıda oluşturulan regresyon modelini kullanarak 900 günlük ağaçların beklenen ortalama çevresini tahmin edin. Güven aralığını belirtmek için interval parametresini kullanın. 

predict(model_orange, data.frame(age = 900), interval = "confidence", level = 0.95)  Altyapı:

Çıktı, aşağıda gösterildiği gibi tahmini (fit) ve güven aralığını (lwr ve upr, alt ve üst sınırlar) içerir:

       fit                    lwr              upr
 1     113.4929        105.3211       121.6647Altyapı:

R’de tahmin aralıklarının uygulanması

Aynı modeli kullanarak 900 günlük tek bir portakal ağacının özgül çevresini tahmin edin. Tahmin aralığını istediğinizi belirtmek için interval parametresini kullanın. 

> predict(model, data.frame(age = 900), interval = "prediction", level = 0.95)  Altyapı:

Çıktı aşağıdaki örneğe benzer:

       fit                    lwr              upr
1      113.4929        64.5118        162.4741Altyapı:

Her iki durumda da tahmin edilen çevre değerinin aynı olduğuna — 113,49 — dikkat edin. Ancak tahmin aralığı, güven aralığından çok daha geniştir. Tahminin güven aralığı, 900 günlük ağaçların ortalama çevresini içermesi beklenen aralıktır. Tahmin aralığı ise 900 günlük tek bir ağacın çevresinin beklenen aralığıdır. Bunun nedeni, tekil ağaçlarda, ortalama değer dikkate alındığında düzleşen çok daha fazla varyasyon olabilmesidir. 

Yaygın Yanılgılar ve Tuzaklar

İstatistiksel aralıklar, veri analizi, ilaç endüstrisi, ekonometri gibi uygulamalı istatistik alanlarında yaygın olarak kullanılır. İstatistik alanında akademik geçmişi olmayanlar için güven aralıkları ile tahmin aralıklarını karıştırmak kolaydır. 

Bazı yaygın yanılgılar aşağıda tartışılmaktadır: 

• Tahmin aralığı dikkate alınmadan tahmin yapılması. 
• Belirli bir bağımsız değişken değeri için bağımlı değişkenin değerini tahmin etmek üzere bir regresyon modeli kullandığınızda, regresyon denklemi size bağımlı değişkenin beklenen değerini verir. Gerçek değer nadiren beklenen değerle aynıdır; tahmin aralığı ile belirtilen beklenen değerin belli bir aralığı içinde yer alır. 
• Bir regresyon analizinin yalnızca tahmin aralıklarını içerdiğinin varsayılması.
• Regresyon modellerini kullanarak iki tür tahmin yaparsınız — 1) gelecekteki bir değeri tahmin etmek ve 2) ortalama yanıtı tahmin etmek. Portakal ağacı örneğinde, 1) 900 günlük belirli bir portakal ağacının çevresini veya 2) 900 günlük tüm ağaçların ortalama çevresini tahmin etmeye çalışabilirsiniz. Her iki durumda da beklenen değer aynıdır. Ancak ilki tahmin aralığını, ikincisi güven aralığını içerir. 
• Daha dar aralığın daha iyi olduğuna inanmak.
• Bazen bir regresyon çalışmasının sonucunu kullanırken yalnızca daha dar olan aralığı kullanma cazibesine kapılabilirsiniz. Güven aralığı, daha dar olduğu için “daha iyi” değildir. Daha dardır çünkü tahmin aralığının yaptığından farklı bir şey için aralık verir. Bağımlı değişkenin ortalama değerini mi tahmin etmeye çalıştığınızı yoksa tekil bir veri noktasını mı tahmin etmek istediğinizi düşünün.
• Güven aralığını tahmin aralığıyla karıştırmak. 
• Tahmininiz, bir örneklemden anakütle parametresinin değerini belirlemeyi veya bir regresyondan ortalama yanıtı (ortalama değeri) tahmin etmeyi içeriyorsa güven aralığını kullanırsınız. Bir regresyona dayanarak tekil bir veri noktasının bazı özelliklerini tahmin etmeye çalışıyorsanız, tahmin aralığını kullanın. 

Sonuç

Bu makale, güven aralıkları ve tahmin aralıklarına genel bir bakış sundu. Ayrıca benzer şekilde kulağa gelen bu kavramların farkını açıkladı ve her aralık türünün ne zaman kullanılacağına dair pratik örnekler verdi. Makale ayrıca R programlama dilini kullanarak tahmin ve güven aralıklarının nasıl hesaplanacağını gösterdi. 

İstatistiksel formülleri Python ile nasıl uygulayacağınızı öğrenmek için Python ile istatistik kursuna bakın. Son olarak, istatistiği içeren iş görüşmelerine hazırlanıyorsanız, Python ile istatistik mülakat soruları kursuna göz atın.