Aritmetik Ortalama ve Medyan: Farkı Bilmek

Verileri yorumlarken, doğru merkezi eğilim ölçüsünü seçmek analizinizin kaderini belirleyebilir. En yaygın metrikler arasında aritmetik ortalama ve medyan bulunur; ilk bakışta basit görünen bu iki kavram, veri yorumunda derin etkiler taşır. Aritmetik ortalama bize sayısal ortalamayı verirken, medyan sıralanmış bir değer kümesinin tam ortasındaki noktadır; gözlemlerin yarısı bir yanında, yarısı diğer yanında kalır. Peki hangisi daha güvenilirdir? Yanıt çoğunlukla verinizin dağılımına, aykırı değerlerin varlığına ve anlatmak istediğiniz hikâyeye bağlıdır.

Bu yazıda, aritmetik ortalama ile medyan arasındaki farkları, güçlü ve zayıf yönlerini ve farklı durumlar için doğru seçimi nasıl yapacağınızı açıklayacağım. Ayrıca çarpık dağılımların ve aykırı değerlerin bu ölçüler üzerindeki etkisini pratik örnekler ve görsellerle inceleyerek bu temel kavramları anlamanıza yardımcı olacağım. Biraz da ileri fikirlere değineceğiz.

Aritmetik Ortalama ve Medyan Tanımları

Aritmetik ortalama ile medyan arasındaki farkları tam olarak kavramak için her bir ölçüye ayrı ayrı bakıp temel özelliklerini vurgulayalım.

Aritmetik ortalama nedir?

Aritmetik ortalama verinin “denge noktası” (veya kütle merkezi) olarak görülebilir. Veri kümesindeki tüm noktalara bakar ve ortalamayı temsil eden tek bir değer sunar. Daha açık biçimde, aritmetik ortalama, bir veri kümesindeki tüm değerlerin toplanıp değer sayısına bölünmesiyle hesaplanır.

Medyan nedir?

Medyan, veriler sıralandığında ortada kalan değerdir. Aritmetik ortalamadan farklı olarak aykırı değerlere karşı daha dayanıklıdır; çarpık veriler için merkezi eğilimin daha iyi bir ölçüsünü sağlar.

Mod nedir?

Mod, merkezi eğilimin bir başka ölçüsüdür ve bir veri kümesinde en sık görülen değeri temsil eder. Bir örneğe bakalım:

3, 3, 6, 8, 9

Burada mod 3’tür; çünkü iki kez görünürken diğer tüm değerler yalnızca bir kez görünmektedir.

Aritmetik Ortalama ve Medyan Nasıl Hesaplanır

Tanımı okumak bir şeydir, hesaplamak başka bir şey. Bu bölümde, her ölçünün hesaplama adımlarını parçalara ayırıp hesaplama farklarını vurgulayacağım.

Aritmetik ortalama nasıl bulunur

Aritmetik ortalama, bir veri kümesinin sayısal ortalamasıdır ve şu şekilde hesaplanır:

1. Değerleri toplayın: Veri kümenizdeki tüm sayıları toplayın.
2. Toplamı değer sayısına bölün: Toplamı alın ve değerlerin sayısına bölün.

Süreç genel bir denklem olarak şöyle gösterilebilir:

Aritmetik ortalama nasıl bulunur. Görsel: Yazar

Örneğin bir sınav notları veri kümesini ele alalım:

78, 85, 92, 88, 70

1. Adım 1 (Toplam): 78 + 85 + 92 + 88 + 70 = 413
2. Adım 2 (Bölme): 413 ÷ 5 = 82,6 

Ortalama not 82,6’dır.

Medyan nasıl bulunur

Medyan, veriler artan sıraya dizildiğinde ortada kalan değerdir. Şu adımlarla bulunur:

1. Veriyi sıralayın: Değerleri küçükten büyüğe dizin.
2. Ortadaki değeri belirleyin: Veri kümesindeki değer sayısı tek ise ortadaki değer medyandır; çift ise ortadaki iki değerin ortalaması medyandır.

Bu adımlar denklemlerle şöyle ifade edilir: 

Medyan formülü. Görsel: Yazar

Süreci vurgulamak için bir görsel de hazırladım.

Medyan nasıl bulunur. Görsel: Yazar

İşte tek sayıda değere sahip bir örnek veri kümesi:

70, 78, 85, 88, 92

1. Adım 1 (Sıralama): Zaten sıralı.
2. Adım 2 (Ortadaki değer): Üçüncü değer 85.

Medyan 85’tir.

Bir başka örnek; bu kez çift sayıda değer var:

70, 78, 85, 88

1. Adım 1 (Sıralama): Zaten sıralı.
2. Adım 2 (Ortadaki değerlerin ortalaması): (78 + 85) ÷ 2 = 81,5

Medyan 81,5’tir.

Fark Neden Önemlidir: Aykırı Değerler ve Çarpıklık

Aritmetik ortalama da medyan da bir veri kümesinin merkezini tanımlar; ancak aykırı değerler ve çarpık dağılımlar söz konusu olduğunda davranışları ciddi biçimde ayrışır. Bu farkı anlamak, verileri doğru yorumlamak ve yanıltıcı sonuçlardan kaçınmak için çok önemlidir.

Aykırı değerlerin etkisi

Aykırı değerler, verinin geri kalanından önemli ölçüde yüksek ya da düşük olan değerlerdir. Aritmetik ortalamayı güçlü biçimde etkileyebilirler; medyan üzerinde ise çok az etkileri vardır ya da hiç yoktur.

Aylık gelirlerden oluşan bir veri kümesini (binlerle) düşünelim:

3, 3.5, 4, 4.5, 5, 6, 50

Burada ortalama gelir 10,85 bindir ve 50 binlik aşırı değer tarafından güçlü biçimde yukarı çekilmiştir.

Öte yandan medyan değer 4,5 bindir ve bu grubun tipik gelirini, kanaatimce, çok daha iyi yansıtır.

Çarpık dağılımlar

Aritmetik ortalama ile medyan, çarpık dağılımlarda (simetrik olmayan veri kümelerinde) veriyi temsil etme biçimleri bakımından da farklılaşır.

Örneğin, sağa çarpık dağılımlarda (ör. gelir veya konut fiyatları), değerlerin çoğu alt uçta toplanır ve birkaç aşırı değer kuyruğu sağa çeker.

• Aritmetik ortalama: Kuyruğa doğru kayar; bu da medyandan daha büyük bir değere yol açar.
• Medyan: Tipik değerlerin kümelenmesine daha yakın kalır; “tipik” durumu daha iyi yansıtır.

Gelirleri düşünün: 

30k, 35k, 40k, 45k, 50k, 100k, 200k

• Aritmetik ortalama: 71,4 bin (100 bin ve 200 bin tarafından yukarı çekiliyor).
• Medyan: 45 bin (gelirlerin çoğunluğuna daha yakın).

Neden önemlidir

• Çarpık veride: Medyan, aşırı değerlerden etkilenmediği için çoğu zaman “tipik” veri noktasını daha iyi temsil eder.
• Simetrik veride: Aritmetik ortalama ve medyan neredeyse özdeştir; merkezi eğilim ölçüsü olarak her ikisi de kullanılabilir.

Buradan çıkarılması gereken bir şey şu: Aritmetik ortalama mı medyan mı kullanacağınıza karar vermeden önce verinizin dağılımını mutlaka inceleyin. Histogramlar ve kutu grafikleri, çarpıklığı görselleştirmenize ve aykırı değerleri belirlemenize yardımcı olabilir. Bunları ileride ele alacağız. Ayrıca, aritmetik ortalama ile medyan arasındaki farkı incelemek de çarpıklığı değerlendirmenin bir yoludur.

Aritmetik Ortalama mı Medyan mı Ne Zaman Kullanılır

Veri analizi yaparken aritmetik ortalama ile medyan arasında seçim, veri kümenizin özelliklerine ve elde etmek istediğiniz içgörülere bağlıdır. Aşağıda seçiminizi yönlendirecek hızlı bir başvuru tablosu yer alıyor:

Aritmetik Ortalama ve Medyanı Görselleştirmek

Görselleştirmeler, aritmetik ortalama ile medyanın farklı veri kümelerindeki davranışlarını anlamak için güçlü araçlardır. Bu ölçülerin aykırı değerlere ve çarpık dağılımlara nasıl tepki verdiğini açıkça göstererek daha iyi veri odaklı kararlar almanıza yardımcı olur.

sütun grafik örneği

Binlerle ifade edilen küçük bir gelir veri kümesi hayal edin:

30, 35, 40, 45, 50, 55, 1000

Aşağıdaki sütun grafik, tek bir aşırı değerin aritmetik ortalamayı nasıl dramatik biçimde etkileyip medyanı nispeten sabit bıraktığını gösterir. Bu durumda, veri noktalarının çoğu 30 ile 55 arasında kümelenirken, aykırı bir değerin (1000) varlığı ortalamayı yukarı çeker.

Aykırı değerin ortalama ve medyan üzerindeki etkisini gösteren sütun grafik. Görsel: Yazar

Histogram örneği

Sağa çarpık bir dağılımda (gelirler veya konut fiyatları gibi), ortalama genellikle yüksek değerlerin uzun kuyruğuna doğru çekilirken, medyan “tipik” veri noktasına daha yakın kalır. Bu da bu gibi durumlarda medyanı daha iyi bir merkezi eğilim ölçüsü yapar.

Aşağıdaki histogram, çarpıklık nedeniyle ortalamanın (kırmızı kesik çizgi) medyandan (yeşil kesik çizgi) belirgin biçimde daha büyük olduğu simüle bir gelir dağılımını gösteriyor.

Sağa çarpık bir dağılımı gösteren histogram. Görsel: Yazar

Sağ çarpıklığın kuyruğu nasıl uzattığını ve ortalama ile medyan arasında belirgin bir fark yarattığını fark edebilirsiniz.

Kutu grafik (box plot) örneği

Kutu grafiği, aykırı değerlerin medyan üzerindeki etkisini görselleştirmenin mükemmel bir yoludur. Aşağıda, aykırı değer içeren bir grup ile içermeyen bir grup karşılaştırılıyor. Medyan (kutunun içindeki dikey çizgi) aşırı değerler olsa bile stabil kalırken, verinin genel aralığı aykırı değer tarafından ciddi biçimde etkilenir.

Aykırı değerlerin medyan üzerindeki etkisini gösteren kutu grafiği. Görsel: Yazar

Bu görselleştirmeler, aritmetik ortalama ile medyanın farklı veri özelliklerine nasıl tepki verdiğini vurgulayarak hangisini ne zaman kullanmanız gerektiğine dair netlik sağlar. İster çarpık verileri, ister aykırı değerlere açık veri kümelerini analiz edin ya da grupları karşılaştırın; bu tür görseller karmaşık ilişkileri çok daha kolay kavranır hâle getirir.

İleri Konular ve Modern En İyi Uygulamalar

Daha fazlasını merak ediyorsanız şimdi bazı ileri fikirlere bakalım.

Ortalama ve medyan ile atama (imputation)

Bir veri bilimciyseniz ve verinizdeki boşlukları doldurmanız gerekiyorsa, bir atama yöntemi seçmeniz gerekebilir. Şimdi aklınıza şu soru gelebilir: Ortalama ataması ile medyan ataması arasında pratik fark nedir?

Tahmin edeceğiniz üzere, ortalama ataması, eksik değerleri mevcut verilerin ortalamasıyla değiştirir ve belirttiğimiz gibi bu ortalama aşırı değerler tarafından çarpıtılabilir. Medyan ataması ise eksik değerleri veri kümesinin ortanca (orta) değeriyle değiştirir.

Kullanışlı bir kural, verinizin dağılımına bakmaktır. Eğer veri dağılımınız çarpıksa ve çok sayıda eksik değer varsa; ortalama atamasını kullanmış olsaydınız, verinizin dağılımını değiştirmiş olabilirdiniz!

Ama şunu da unutmayın: Tek değerle atama (ortalama veya medyan) varyansı küçültebilir ve değişkenler arası ilişkileri zayıflatabilir. Eksiklik ciddi boyuttaysa, belirsizliği ve yapıyı daha iyi korumak için çoklu atama veya modele dayalı atamayı düşünün.

Parametrik ve sıralamaya dayalı yöntemler

Birçok parametrik yöntemde ortalama (ve varyans) temel parametrelerdir. Örneğin, basit doğrusal regresyon modeli hataların bir ortalama etrafında normal dağıldığını varsayar. Veriniz normallik varsayımını sağladığında, örnek ortalama doğal bir kestiricidir ve parametrik çerçevelere iyi uyar.

Medyan ise genellikle sağlam (robust) ve parametrik olmayan ortamlarda kullanılır; veriler çarpık olduğunda veya aykırı değerler içerdiğinde yaygın bir tercihtir. Mann–Whitney testi gibi birçok test sıralamaya dayalıdır ve ortalamaları değil (varsayımlar altında sıklıkla konum kayması olarak yorumlanan) dağılımları karşılaştırır; her zaman medyandaki bir farkı sınamazlar.

Tüm bunlar, aritmetik ortalama ile medyan ayrımını anlamanın yalnızca veriyi doğru betimlemekle ilgili olmadığını; aynı zamanda hipotez testinde de önemli olduğunu söylemek içindir. 

Ortalama ve medyan için bootstrap kararlılığı

Aritmetik ortalama mı medyan mı kullanılacağına karar verirken temel sorulardan biri, belirli bir veri kümesi için istatistiklerin ne kadar kararlı olduğudur. Bootstrap, özgün veriden (yerine koyarak) tekrar tekrar örnekleme yaparak hem ortalamanın hem medyanın örnekleme dağılımını ampirik olarak kestirmemize imkân veren bir seçenektir.

Ortalama ile medyanın kararlılık farklarını ampirik olarak vurgulayabilirsiniz. Bir veri kümesine birkaç aykırı değer ekleyip ardından bir bootstrap prosedürünü yeniden çalıştırarak, ortalamanın dağılımının medyana kıyasla nasıl daha dramatik biçimde kaydığını görsel olarak gösterebilirsiniz. Ayrıca bootstrap, gerçekçi senaryolarda güven aralıklarınızın ne kadar geniş ya da dar olabileceğini somutlaştırabilir. Daha fazlası için bootstrap yöntemleri uygulama eğitimimizi okuyun.

Kare kayıp ve mutlak kayıp

Şimdi eşdeğer ama farklı bir tanım verelim: Aritmetik ortalama, veriden sapmaların karelerinin toplamını en aza indiren değerdir; medyan ise mutlak sapmaların toplamını en aza indiren değerdir.

Şu denkleme bakın:

Türevini $m$’ye göre alıp sıfıra eşitler ve çözersek, en küçükleyen değerin basit aritmetik ortalama olduğunu buluruz. Bu önemlidir; çünkü EKK regresyonu gibi birçok istatistiksel yöntemde, matematiksel kolaylık ve hataların normal dağılması varsayımına uymak için kare hataları en aza indiririz.

Şimdi farklı bir fikri düşünün: Her sapmayı karesiyle ölçmek yerine, mutlak hatayı, yani m ile her veri noktası arasındaki farkın mutlak değerini ölçelim:

Burada toplam mutlak sapmayı en aza indiren m’yi bulmak istiyoruz. Görülüyor ki (mutlak kaybın türevini analiz ederek ya da geometrik bir argümanla) çözüm, veri kümesinin medyanıdır. (Ve gözlem sayısı çift olduğunda, ortadaki iki nokta arasındaki herhangi bir değer toplam mutlak sapmayı en aza indirir — dolayısıyla en küçükleyici tekil olmayabilir.)

Sezgisel olarak, $m$ medyanın solunda ise sağ tarafta daha fazla veri noktası vardır ve onu sağa doğru çeker. Yalnızca medyanda sol ve sağdan gelen çekim dengelenir ve toplam mutlak mesafe en aza iner.

Büyük ölçekte aritmetik ortalama ve medyan

Son olarak, şunu söyleyeyim: Aritmetik ortalama, büyük ölçekte hesaplama açısından daha basittir. Yani veri akarken artımsal olarak hesaplanabilir; sıralama gerekmez.

Uygulamada medyan çoğunlukla sıralayarak hesaplanır; bu da büyük ölçekte maliyetli olabilir. Ancak medyan doğası gereği tam sıralama gerektirmez (seçim algoritmaları vardır) ve çok büyük ya da akış hâlindeki veri kümeleri için, medyanı verimli biçimde kestirmek üzere yaklaşık çeyreklik (quantile) özet algoritmaları yaygın biçimde kullanılır. Bu konuları öğrenmek için Bilgisayar Biliminde Kavramlar kursumuz harika bir kaynaktır.

Sonraki Adımlar

Gördüğünüz gibi, aritmetik ortalama bir veri kümesinin sayısal ortalamasıdır ve bu, onu aşırı değerlere karşı hassas kılar; medyan ise sıralı bir veri kümesindeki orta değeri temsil eder. Doğru seçim büyük fark yaratabilir; ancak şunu da söylemek gerekir ki gerçek dünyadaki analizlerde çoğu zaman aritmetik ortalama ve medyanı, mod, standart sapma ve yüzdelikler gibi ek istatistiklerle birlikte raporlamak en iyisidir. Bu, en kapsamlı resmi sunar.

İstatistiksel kavramlara daha derin dalmak istiyorsanız odaklanmaya değer birkaç alan var. kırpılmış ortalama, geometrik ortalama ve ağırlıklı ortalama gibi ortalamanın daha gelişmiş türleriyle ilgili okumalarla başlayın; her birinin kendine özgü amacı vardır.  Ayrıca teknoloji bağımsız İstatistiğe Giriş kursumuzu da almanızı öneririm. 

Daha da uzmanlaşmak için bir araç seçip ona hâkim olmak isteyeceksiniz. R ile İstatistiğe Giriş kursumuz ve R ile İstatistikçi kariyer yolu, veri bilimi ve istatistik için popüler bir dil olan R’ı kullanmak istiyorsanız çok bilgilendirici başlangıç noktalarıdır. Eğer hesap tablolarıyla ve Python gibi bir programlama diliyle çalışmayı tercih ediyorsanız, Google Sheets ile İstatistiğe Giriş kursumuz ve Python ile İstatistiğe Giriş kursumuz, formüller ve güçlü kütüphaneler kullanarak uygulamalı bir istatistiksel analiz yaklaşımı sunar.