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Excel 数据分析
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在解读数据时，选择合适的集中趋势度量会直接影响您的分析结果。在最常见的度量中，平均数（mean）和中位数（median）看似简单，却在数据解读中蕴含深远意义。平均数给出的是算术平均，而中位数是在排序后位于正中间的值，使得一半观测在其两侧。那么哪个更可靠？答案通常取决于数据的分布、是否存在离群值，以及您希望传达的故事。
本文将分解平均数与中位数的差异、各自的优缺点，以及在不同场景下如何选择。此外，我还会讨论偏态分布和离群值如何影响这些度量，并提供实用示例与可视化，帮助您理解这些基础概念。我们也会浅尝一些更进阶的思想。
平均数与中位数的定义
要全面理解平均数与中位数的区别，我们先分别看看它们的定义与关键性质。
什么是平均数？
平均数可被视为数据的“平衡点”（或质心）。它考虑了数据集中所有的数据点，并给出一个代表整体平均水平的单一数值。更严格地说，平均数通过将数据集中所有数值相加，再除以数值个数得到。
什么是中位数？
中位数是在数据排序后处于中间位置的数值。与平均数不同，它对离群值更具鲁棒性，因此在偏态数据中能更好地反映集中趋势。
什么是众数？
众数是另一种集中趋势度量，表示数据集中出现频率最高的数值。来看一个例子：
3, 3, 6, 8, 9这里的众数是3，因为它出现了两次，而其他值各出现一次。
如何计算平均数与中位数
读懂定义是一回事，算出来又是另一回事。本节将分步讲解各自的计算方法，并强调它们在计算上的差异。
如何求平均数
平均数是一个数据集的算术平均，计算方法如下：
- 求和： 将数据集中所有数字相加。
- 除以数量： 用总和除以数值的个数。
下面用通用公式表示该过程：
如何求平均数。图片作者自制
举个例子，考虑一组考试分数：
78, 85, 92, 88, 70- 步骤 1（求和）： 78 + 85 + 92 + 88 + 70 = 413
- 步骤 2（相除）： 413 ÷ 5 = 82.6
平均分为82.6。
如何求中位数
中位数是把数据按升序排列后位于中间的数值。计算步骤如下：
- 排序数据： 将数值从小到大排列。
- 确定中间值： 若数据个数为奇数，中位数是中间那个值；若为偶数，中位数是中间两个值的平均。
下面用公式表示这些步骤：
中位数公式。图片作者自制
我还制作了一个可视化图来强调这一过程。
如何求中位数。图片作者自制
下面是一个含奇数个值的数据集示例：
70, 78, 85, 88, 92- 步骤 1（排序）： 已经排好序。
- 步骤 2（中间值）： 第三个值是 85。
中位数为85。
再看一个含偶数个值的示例：
70, 78, 85, 88- 步骤 1（排序）： 已经排好序。
- 步骤 2（中间值平均）： (78 + 85) ÷ 2 = 81.5
中位数为81.5。
为何差异重要：离群值与偏态
虽然平均数和中位数都描述数据集的中心，但在存在离群值和偏态分布时，它们的表现差异显著。理解这一点对于准确解读数据、避免误导性结论至关重要。
离群值的影响
离群值是远高于或远低于其余数据的数值。它们可能强烈影响平均数，但对中位数影响甚微。
来看一组月收入（单位：千）：
3, 3.5, 4, 4.5, 5, 6, 50该组数据的平均收入是10.85k，被50k这一极端值严重拉高。
而中位数为4.5k，这更能代表该群体的典型收入水平。
偏态分布
在偏态分布（即非对称分布）中，平均数与中位数对数据的刻画也不同。
例如，在右偏分布（如收入或房价）中，多数数值集中在较低端，少量极端值将尾部拉向右侧。
- 平均数： 向长尾方向偏移，通常高于中位数。
- 中位数： 更接近典型值的簇，更能反映“常见”情形。
以收入为例：
30k, 35k, 40k, 45k, 50k, 100k, 200k- 平均数： 71.4k（被 100k 和 200k 拉高）。
- 中位数： 45k（更接近大多数收入）。
为何重要
- 在偏态数据中： 中位数往往更能代表“典型”数据点，因为它不受极端值牵引。
- 在对称数据中： 平均数和中位数几乎相同，二者皆可作为集中趋势度量。
需要牢记的一点是：在决定使用平均数还是中位数之前，务必检查数据分布。直方图和箱线图等工具有助于可视化偏态并识别离群值。我们稍后会介绍。此外，比较平均数与中位数的差异也是评估偏态的一种方法。
何时使用平均数或中位数
在分析数据时，选择平均数还是中位数取决于数据集的特征以及您希望获得的洞见。下表提供一个快速参考：
| 在以下情况使用平均数 | 在以下情况使用中位数 |
|---|---|
| 数据分布近似正态（对称）。 | 数据高度偏态（如收入、房产价值）。 |
| 离群值很少或与分析无关。 | 存在离群值，纳入后可能扭曲结果。 |
| 需要对每个数据点都敏感的度量，如预测建模或计算总量。 | 希望反映“典型”值，而非数据集的“数学中心”。 |
一个非常实用的建议：先进行数据的可视化分析（如直方图或箱线图），检查是否对称、是否偏态以及是否存在离群值。这将帮助您判断平均数或中位数哪个更适合当前场景。
可视化平均数与中位数
可视化是理解平均数与中位数在不同数据集上行为的有力工具。它们能清楚展示这两种度量如何响应离群值与偏态，从而支持更好的数据驱动决策。
条形图示例
设想一组以千为单位的小型收入数据：
30, 35, 40, 45, 50, 55, 1000下方条形图演示了单个极端值如何显著影响平均数，而对中位数影响相对较小。本例中，大多数数据集中在 30 到 55 之间，但离群值（1000）会将平均数大幅拉高。
条形图展示离群值对平均数与中位数的影响。图片作者自制
直方图示例
在右偏分布（如收入或房价）中，平均数常被高值的长尾拉动，而中位数更接近“典型”数据点。因此在这类情形下，中位数通常是更合适的集中趋势度量。
下方直方图展示了一个模拟的收入分布，由于偏态，平均数（红色虚线）显著大于中位数（绿色虚线）。
右偏分布直方图。图片作者自制
可以看到右偏如何拉长尾部，从而造成平均数与中位数之间的明显差距。
箱线图示例
箱线图是可视化离群值对中位数影响的绝佳方式。下图比较了两个组：一个包含离群值，一个不包含。尽管存在极端值，中位数（箱体内的垂直线）仍相对稳定，但数据的整体范围会被离群值显著拉大。
箱线图展示离群值对中位数的影响。图片作者自制
这些可视化强调了平均数与中位数如何对不同数据特性作出响应，有助于明确在何时应选用哪种度量。无论是分析偏态数据、易受离群值影响的数据集，还是进行组间比较，这类可视化都能让复杂关系更易把握。
进阶主题与现代最佳实践
如果您有兴趣进一步学习，我们现在来看看一些更进阶的概念。
均值与中位数插补
如果您是数据科学家，需要填补数据中的缺失，可能需要选择一种插补方法。您或许会问，使用均值插补与中位数插补在实践中有什么区别？
顾名思义，均值插补用可用数据的平均值替代缺失值，但正如上文所述，它可能被极端值拉偏。中位数插补则用数据集的中间值替代缺失值。
一个有用的经验法则是观察数据的分布。如果数据分布存在偏态、且缺失较多，而您使用了均值插补，那么您可能会改变原有的数据分布！
但也要记住，单值插补（均值或中位数）会缩小方差并削弱变量间关系。若缺失严重，可考虑多重插补或基于模型的插补，以更好地保留不确定性与结构。
参数方法与秩（排名）方法
在许多参数方法中，平均数（与方差）是核心参数。例如，简单线性回归假设误差围绕某个均值呈正态分布。当您的数据满足正态性假设时，样本均值是自然的估计量，并与参数方法契合良好。
而中位数常用于稳健与非参数场景，在数据偏态或含离群值时尤为常见。许多检验（如 Mann–Whitney 检验）是基于秩的，比较的是分布（在一定假设下常被解读为位置差异），而非均值，它们并不总是在检验中位数差异。
总之，理解平均数与中位数的区分不仅有助于正确描述数据，也与假设检验密切相关。
平均数与中位数的自助法稳定性
在决定使用平均数还是中位数时，一个关键问题是：对于给定数据集，我们的统计量有多稳定。自助法（bootstrapping）是一种可行方法，可以通过对原始数据反复有放回抽样，经验性地估计平均数与中位数的抽样分布。
您可以用实证方式突出平均数与中位数稳定性的差异：向数据集中引入少量离群值，然后重新运行自助法流程，就能直观展示平均数的分布比中位数的分布变化更剧烈。自助法还可使置信区间在真实情境中的大小更加具体可见。阅读我们的自助法教程了解更多。
平方损失与绝对损失
换个但同样正确的角度来定义：平均数是使“与数据偏差的平方和”最小的值，而中位数是使“与数据偏差的绝对值之和”最小的值。
看看这条公式：
若对该式关于求导、令其为零并求解，可得最小化值正是算术平均。这一点之所以重要，是因为在许多统计方法（如最小二乘回归）中，我们为了数学上的便利以及符合误差正态分布的假设，往往最小化平方误差。
再看另一种思路：不再对偏差求平方，而是度量绝对误差，即m与每个数据点之间的绝对差：
此时我们要找到使该绝对偏差总和最小的m。结果（可通过分析绝对损失的导数或几何论证得到）表明，解就是数据集的中位数。（当观测数为偶数时，位于两个中间点之间的任意值都能最小化绝对偏差总和——因此极小值不一定唯一。）
直观地说，如果位于中位数左侧，右侧的数据点更多，会“拉动”它右移。只有在中位数处，来自左右两边的拉力才达到平衡，从而使绝对距离之和最小。
大规模计算下的平均数与中位数
最后要说的是，平均数在大规模场景下计算更为简便。也就是说，它可以在数据流入时增量计算，而无需排序。
实践中，中位数常通过排序计算，在大规模下成本较高。但中位数并不必然要求完全排序（存在选择算法）；对于超大规模或流式数据，常用近似分位数素描算法高效估计中位数。我们的计算机科学概念课程是学习这些内容的绝佳资源。
后续步骤
如您所见，平均数是数据集的算术平均，因而对极端值敏感；中位数是在有序数据中的中间值。选择得当至关重要。不过在实际分析中，通常最好同时报告平均数与中位数，并辅以众数、标准差和百分位数等统计量，以提供更全面的图景。
如果您希望更深入地探索统计概念，有几个方向值得关注。先阅读一些平均数的进阶变体，如截尾均值、几何平均数与加权平均数，它们各有用途。我也推荐我们与技术无关的统计学入门课程。
接着，要真正成为专家，您需要选择并掌握一款工具。若您想使用 R（数据科学与统计常用语言），我们的R 语言统计学入门课程和R 统计学家职业学习路径都是不错的起点。若您偏好用表格软件与 Python 编程，我们的Google 表格统计学入门课程和Python 统计学入门课程，提供基于公式与强大库的动手统计分析体验。