Kurs
Einführung in R
4 Std.
3.1M
So erstellst du eine Tabelle
Starten wir mit einigen Daten. Das Paket MASS enthält Informationen zu 93 Autos, die 1993 in den USA verkauft wurden. Sie sind im Objekt Cars93 gespeichert und umfassen 27 Merkmale pro Auto, von denen einige kategorial sind. Laden wir also das Paket MASS und schauen uns an, welche Fahrzeugtypen in cars93 enthalten sind:
library(MASS)
Cars93$Type
## [1] Small Midsize Compact Midsize Midsize Midsize Large Large
## [9] Midsize Large Midsize Compact Compact Sporty Midsize Van
## [17] Van Large Sporty Large Compact Large Small Small
## [25] Compact Van Midsize Sporty Small Large Small Small
## [33] Compact Sporty Sporty Van Midsize Large Small Sporty
## [41] Sporty Small Compact Small Small Sporty Midsize Midsize
## [49] Midsize Midsize Midsize Large Small Small Compact Van
## [57] Sporty Compact Midsize Sporty Midsize Small Midsize Small
## [65] Compact Van Midsize Compact Midsize Van Large Sporty
## [73] Small Compact Sporty Midsize Large Compact Small Small
## [81] Small Compact Small Small Sporty Midsize Van Small
## [89] Van Compact Sporty Compact Midsize
## Levels: Compact Large Midsize Small Sporty VanEs gibt dort 6 Fahrzeugtypen. Die Funktion table zeigt, wie oft jeder Typ vorkommt:
table(Cars93$Type)
##
## Compact Large Midsize Small Sporty Van
## 16 11 22 21 14 9prop.table wandelt das in Anteile um:
prop.table(table(Cars93$Type))
##
## Compact Large Midsize Small Sporty Van
## 0.17204301 0.11827957 0.23655914 0.22580645 0.15053763 0.09677419Dasselbe für die Herkunft der Autos:
table(Cars93$Origin)
##
## USA non-USA
## 48 45
prop.table(table(Cars93$Origin))
##
## USA non-USA
## 0.516129 0.483871So erstellst du eine Kreuztabelle
Gut, wir haben gesehen, dass unser Datensatz ähnlich viele US- wie Nicht-US-Autos enthält und dass Midsize und Small die häufigsten Typen sind. Aber unterscheiden sich US- und Nicht-US-Autos vielleicht in ihrer Verteilung der Typen?
Schauen wir uns die Fahrzeugtypen in Abhängigkeit von ihrer Herkunft an. Wir können wieder table verwenden, diesmal aber mit zwei Argumenten. Das erste wird zur Zeilenvariable, das zweite zur Spaltenvariable:
table(Cars93$Type, Cars93$Origin)
##
## USA non-USA
## Compact 7 9
## Large 11 0
## Midsize 10 12
## Small 7 14
## Sporty 8 6
## Van 5 4Jetzt sehen wir, was alle wissen: Amerikaner lieben große Fahrzeuge! Die obige Tabelle zeigt die gemeinsame Verteilung zweier kategorialer Variablen (Type und Origin). Solche Tabellen heißen Kreuztabellen.
So erhältst du Randverteilungen aus der Kreuztabelle
Die Funktionen rowSums und colSums erklären sich von selbst:
(tab1<-table(Cars93$Type, Cars93$Origin))
##
## USA non-USA
## Compact 7 9
## Large 11 0
## Midsize 10 12
## Small 7 14
## Sporty 8 6
## Van 5 4
rowSums(tab1)
## Compact Large Midsize Small Sporty Van
## 16 11 22 21 14 9
colSums(tab1)
## USA non-USA
## 48 45So berechnest du Prozente aus der Kreuztabelle
prop.table verschachtelt mit table liefert Häufigkeiten:
prop.table(table(Cars93$Type, Cars93$Origin))
##
## USA non-USA
## Compact 0.07526882 0.09677419
## Large 0.11827957 0.00000000
## Midsize 0.10752688 0.12903226
## Small 0.07526882 0.15053763
## Sporty 0.08602151 0.06451613
## Van 0.05376344 0.04301075Die Umrechnung in Prozente ist einfach eine Multiplikation mit 100:
prop.table(table(Cars93$Type, Cars93$Origin))*100
##
## USA non-USA
## Compact 7.526882 9.677419
## Large 11.827957 0.000000
## Midsize 10.752688 12.903226
## Small 7.526882 15.053763
## Sporty 8.602151 6.451613
## Van 5.376344 4.301075Beachte: Das ist eine gemeinsame Wahrscheinlichkeitsverteilung, aus der wir z. B. sehen, dass etwa 7,5% der Autos klein und amerikanischen Ursprungs sind.
Häufiger interessiert uns die Verteilung einer Variablen innerhalb von Gruppen, die durch eine andere gebildet werden. Hier wirkt die Verteilung der Fahrzeugtypen unter US- bzw. getrennt davon Nicht-US-Autos spannend. Dafür nutzen wir das Argument margin der Funktion prop.table. Es gibt an, ob die Gruppierungsvariable in den Zeilen (margin=1) oder in den Spalten (margin=2) steht:
prop.table(table(Cars93$Type, Cars93$Origin), margin=2)*100
##
## USA non-USA
## Compact 14.583333 20.000000
## Large 22.916667 0.000000
## Midsize 20.833333 26.666667
## Small 14.583333 31.111111
## Sporty 16.666667 13.333333
## Van 10.416667 8.888889Jetzt sehen wir klar, dass kleine Autos im Nicht-US-Teil unseres Datensatzes doppelt so häufig sind wie im US-Teil.
Außerdem addieren sich die Prozente in den Spalten zu 100, während in der gemeinsamen Verteilung (ohne margin-Argument) die Summe der ganzen Tabelle 100 ergab.
(tab2<-prop.table(table(Cars93$Type, Cars93$Origin), margin=2)*100)
##
## USA non-USA
## Compact 14.583333 20.000000
## Large 22.916667 0.000000
## Midsize 20.833333 26.666667
## Small 14.583333 31.111111
## Sporty 16.666667 13.333333
## Van 10.416667 8.888889
colSums(tab2)
## USA non-USA
## 100 100Chi-Quadrat-Test
Die häufigste Frage bei Kreuztabellen ist, ob Zeilen- und Spaltenvariable unabhängig sind. Der grundlegendste Ansatz ist der Chi-Quadrat-Test. Er wird ausführlich in diesem Tutorial behandelt. Prüfen wir, ob Type und Origin unabhängig sind:
chisq.test(Cars93$Type, Cars93$Origin)
## Warning in chisq.test(Cars93$Type, Cars93$Origin): Chi-squared
## approximation may be incorrect
##
## Pearson's Chi-squared test
##
## data: Cars93$Type and Cars93$Origin
## X-squared = 14.08, df = 5, p-value = 0.01511Offenbar sind sie es nicht, allerdings erhalten wir auch die Warnung Chi-squared approximation may be incorrect. Das liegt daran, dass die Chi-Quadrat-Statistik der Chi-Quadrat-Verteilung nur näherungsweise folgt. Je mehr Beobachtungen wir haben, desto besser ist die Approximation. Die Funktion chisq.test gibt diese Warnung aus, sobald einer der erwarteten Häufigkeiten unter 5 liegt (was eine „erwartete Häufigkeit“ ist, steht im oben verlinkten Tutorial).
Fishers Exakter Test
Fishers exakter Test ist eine Alternative zum Chi-Quadrat-Test, vor allem wenn die Chi-Quadrat-Approximation unzureichend ist. Führen wir ihn aus:
fisher.test(Cars93$Type, Cars93$Origin)
##
## Fisher's Exact Test for Count Data
##
## data: Cars93$Type and Cars93$Origin
## p-value = 0.007248
## alternative hypothesis: two.sidedDie Ergebnisse ähneln denen des Chi-Quadrat-Tests, was aber nicht immer so sein muss. Ein wesentlicher Nachteil von Fishers Test ist, dass er für große Tabellen (oder Stichproben) rechnerisch aufwendig wird.
G-Test
Eine weitere Alternative ist der sogenannte G-Test. Seine Statistik ist ebenfalls näherungsweise Chi-Quadrat-verteilt, aber bei kleinen Stichproben ist diese Approximation oft besser als die des Chi-Quadrat-Tests. Für den G-Test können wir die Funktion GTest aus dem Paket DescTools verwenden. Die Ergebnisse ähneln erneut den beiden vorherigen Tests: Type und Origin sind nicht unabhängig.
library(DescTools)
GTest(Cars93$Type, Cars93$Origin)
##
## Log likelihood ratio (G-test) test of independence without
## correction
##
## data: Cars93$Type and Cars93$Origin
## G = 18.362, X-squared df = 5, p-value = 0.002526Yates-Korrektur
Bei 2x2-Kreuztabellen kann der Chi-Quadrat-Test mit Yates’ Stetigkeitskorrektur verbessert werden. Sie zieht schlicht 0,5 von jedem | Observed - Expected | Term in der Chi-Quadrat-Statistik ab. Wenn dir das gerade nichts sagt, schau wieder in dieses Tutorial. Außerdem wendet R die Yates-Korrektur automatisch an, wenn sie nötig ist. Betrachten wir die Verfügbarkeit von Schaltgetriebe-Versionen bei US- und Nicht-US-Autos:
(tab3<-table(Cars93$Man.trans.avail, Cars93$Origin))
##
## USA non-USA
## No 26 6
## Yes 22 39
chisq.test(tab3)
##
## Pearson's Chi-squared test with Yates' continuity correction
##
## data: tab3
## X-squared = 15.397, df = 1, p-value = 8.712e-05Die Yates-Korrektur wurde automatisch angewendet, und R weist uns darauf hin.
Dreidimensionale (oder höhere) Tabelle
Betrachten wir Man.trans.avail, Origin und Type gleichzeitig. table teilt den Datensatz nach der als drittes übergebenen Variable auf:
table(Cars93$Man.trans.avail, Cars93$Origin, Cars93$Type)
## , , = Compact
##
##
## USA non-USA
## No 2 0
## Yes 5 9
##
## , , = Large
##
##
## USA non-USA
## No 11 0
## Yes 0 0
##
## , , = Midsize
##
##
## USA non-USA
## No 9 4
## Yes 1 8
##
## , , = Small
##
##
## USA non-USA
## No 0 0
## Yes 7 14
##
## , , = Sporty
##
##
## USA non-USA
## No 0 0
## Yes 8 6
##
## , , = Van
##
##
## USA non-USA
## No 4 2
## Yes 1 2ftable liefert eine kompaktere Ansicht:
ftable(Cars93$Man.trans.avail, Cars93$Origin, Cars93$Type)
## Compact Large Midsize Small Sporty Van
##
## No USA 2 11 9 0 0 4
## non-USA 0 0 4 0 0 2
## Yes USA 5 0 1 7 8 1
## non-USA 9 0 8 14 6 2Cochran-Mantel-Haenszel-Test
An den table-Ergebnissen oben sollte klar werden, dass die Beziehung zwischen Origin und Man.trans.avail je nach Type variiert. Bei kleinen und sportlichen Autos gibt es etwa keinen Zusammenhang: Sowohl jedes US- als auch jedes Nicht-US-Auto dieser Typen gibt es mit Schaltgetriebe. Andererseits haben die meisten mittelgroßen US-Autos keine Schaltversion, während die meisten Nicht-US-Autos dieses Typs eine haben. Um für unterschiedlich starke Zusammenhänge in Schichten zu berücksichtigen, kann der Cochran-Mantel-Haenszel-Test verwendet werden:
mantelhaen.test(Cars93$Man.trans.avail, Cars93$Origin, Cars93$Type)
##
## Mantel-Haenszel chi-squared test with continuity correction
##
## data: Cars93$Man.trans.avail and Cars93$Origin and Cars93$Type
## Mantel-Haenszel X-squared = 8.0153, df = 1, p-value = 0.004638
## alternative hypothesis: true common odds ratio is not equal to 1
## 95 percent confidence interval:
## 2.226531 76.891307
## sample estimates:
## common odds ratio
## 13.08438Das dritte Argument von mantelhaen.test identifiziert die Schichten. Vergleiche die obigen Ergebnisse mit denen ohne Schichtung (Yates-Korrektur-Beispiel oben). Der Zusammenhang bleibt bestehen, die Evidenz dafür ist jedoch deutlich schwächer.
Zusammenhangsmaße
Haben wir Zusammenhänge zwischen Variablen entdeckt, wollen wir ihre Stärke messen. Es gibt eine Fülle möglicher Maße. Viele davon sind hier beschrieben. Im Folgenden konzentriere ich mich auf zwei der am häufigsten verwendeten.
Cramers V
V basiert auf der Chi-Quadrat-Statistik:
$$ V = \sqrt{\frac{\chi^2/N}{\min(C-1, R-1)}}, $$ wobei:
- N die Gesamtsumme der Kreuztabelle ist (Summe aller Zellen),
- C die Anzahl der Spalten ist,
- R die Anzahl der Zeilen ist.
V ∈ [0; 1]. Je größer V, desto stärker der Zusammenhang zwischen den Variablen. V = 0 kann als Unabhängigkeit interpretiert werden (denn V = 0 genau dann, wenn χ2 = 0). Der Hauptnachteil von V ist die fehlende präzise Interpretation. Ist V = 0,6 ein starker, mittlerer oder schwacher Zusammenhang?
Die Funktion CramerV aus DescTools berechnet das für uns:
CramerV(Cars93$Type, Cars93$Origin)
## [1] 0.3890967Noch einmal die Frage: Ist das ein starker, mittlerer oder schwacher Zusammenhang?
Goodman- und Kruskal-Lambda
Goodman- und Kruskal-Lambda ist ein Beispiel für ein Maß, das auf der proportionalen Reduktion der Variation beruht. Diese Maße zielen darauf ab, das R2 – den Bestimmtheitskoeffizienten aus der linearen Regression – nachzuahmen:
- Sie nehmen Werte aus [0, 1] an,
- sie geben den Anteil der durch die unabhängige Variable erklärten Variation an.
Verwenden wir die Spaltenvariable als unabhängige. Die Formel für Goodman- und Kruskal-Lambda lautet dann: $$\lambda = \frac{L - \sum_j L_j}{L},$$ wobei:
- Lj die Summe der nicht-modalen Häufigkeiten in der j-ten Spalte ist,
- L die Summe der nicht-modalen Häufigkeiten in der „Gesamt“-Spalte ist.
Am besten versteht man das an einem Beispiel. Schauen wir auf Type und Origin, wobei Letzteres die unabhängige Variable ist:
table(Cars93$Type, Cars93$Origin)
##
## USA non-USA
## Compact 7 9
## Large 11 0
## Midsize 10 12
## Small 7 14
## Sporty 8 6
## Van 5 4Das Modalwert der US-Spalte ist 11, also ist L1 = 7 + 10 + 7 + 8 + 5 = 37. Das Modalwert der Nicht-US-Spalte ist 14, also ist L2 = 9 + 0 + 12 + 6 + 4 = 31. Die „Gesamt“-Spalte ist
rowSums(table(Cars93$Type, Cars93$Origin))
## Compact Large Midsize Small Sporty Van
## 16 11 22 21 14 9Der Modalwert ist 22, also ist L = 16 + 11 + 21 + 14 + 9 = 71 und $$\lambda = \frac{71 - (37+31)}{71}=0.042$$
Stattdessen können wir die Funktion Lambda aus dem Paket DescTools verwenden:
Lambda(Cars93$Type, Cars93$Origin, direction='row')
## [1] 0.04225352Der Parameter direction legt fest, wo sich die abhängige Variable befindet (row oder column).
Origin erklärt nur etwa 4% der Variation in Type. Beachte aus der Formel, dass Lambda Variation als Dichotomie zwischen Zugehörigkeit und Nicht-Zugehörigkeit zur größten Gruppe definiert.
Erwähnenswert ist, dass Lambda null ist, wann immer die modale Kategorie jeder Spalte dieselbe ist. Betrachte diese Tabelle:
(lambdaTab<-cbind(c(0,100), c(49,51)))
## [,1] [,2]
## [1,] 0 49
## [2,] 100 51
chisq.test(lambdaTab)
##
## Pearson's Chi-squared test with Yates' continuity correction
##
## data: lambdaTab
## X-squared = 62.279, df = 1, p-value = 2.981e-15Die modale Kategorie ist in jeder Spalte dieselbe (es ist die zweite Zeile). Daher muss Lambda null sein, trotz eines signifikanten und offensichtlichen Zusammenhangs:
Lambda(lambdaTab, direction='row')
## [1] 0Wenn du mehr über Statistik in R lernen möchtest, schau dir den DataCamp-Kurs Statistical Modeling in R (Part 1) an.
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