R में ऑटोकॉरिलेशन

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Autocorrelations की गणना

Autocorrelations या lagged correlations इस बात का आकलन करने के लिए उपयोग होती हैं कि कोई time series अपने अतीत पर निर्भर है या नहीं। लंबाई n वाली time series x के लिए, हम एक-एक समय इकाई के अंतर पर मौजूद n-1 अवलोकन युग्मों पर विचार करते हैं। पहला युग्म (x[2],x[1]) होता है, और अगला (x[3],x[2])। प्रत्येक ऐसा युग्म (x[t],x[t-1]) के रूप में होता है, जहाँ t अवलोकन सूचकांक है, जिसे इस मामले में हम 2 से n तक बदलते हैं। x का lag-1 autocorrelation इन (x[t], x[t-1]) युग्मों के नमूना सहसंबंध के रूप में अनुमानित किया जा सकता है।

आम तौर पर, हम इन अवलोकन युग्मों को मैन्युअल रूप से बना सकते हैं। सबसे पहले, लंबाई n-1 वाले दो वेक्टर x_t0 और x_t1 बनाएं, ताकि पंक्तियाँ (x[t], x[t-1]) युग्मों के अनुरूप हों। फिर lag-1 autocorrelation का अनुमान लगाने के लिए cor() फ़ंक्शन लागू करें।

खुशकिस्मती से, acf() कमांड एक शॉर्टकट देता है। किसी series x पर acf(..., lag.max = 1, plot = FALSE) लगाने से lag-1 autocorrelation स्वतः ही गणना हो जाता है।

अंत में, ध्यान दें कि दोनों अनुमानों में थोड़ा अंतर आता है क्योंकि वे sample covariance की गणना में अलग-अलग स्केलिंग का उपयोग करते हैं, 1/(n-1) बनाम 1/n। यद्यपि बाद वाला एक biased अनुमान देगा, यह time series analysis में पसंद किया जाता है, और परिणामस्वरूप autocorrelation अनुमान केवल (n-1)/n गुणांक से भिन्न होते हैं।

इस अभ्यास में, आप lag-1 autocorrelation की मैन्युअल और स्वचालित दोनों गणनाओं का अभ्यास करेंगे। time series x और इसकी लंबाई n (150) पहले से लोड हैं। श्रेणी दाईं ओर के प्लॉट में दिखाई गई है।

निर्देश

• लंबाई n-1 वाले दो वेक्टर x_t0 और x_t1 बनाएं ताकि पंक्तियाँ (x[t], x[t-1]) युग्मों के अनुरूप हों।
• पूर्व-लिखित कोड का उपयोग कर पुष्टि करें कि x_t0 और x_t1 (x[t], x[t-1]) युग्म हैं।
• plot() का उपयोग कर x_t0 और x_t1 का scatterplot देखें।
• cor() का उपयोग कर x_t0 और x_t1 के बीच correlation देखें।
• x के साथ acf() का उपयोग कर lag-1 autocorrelation स्वतः गणना करें। एक ही lag अवधि के लिए lag.max आर्गुमेंट को 1 पर सेट करें और plot आर्गुमेंट को FALSE पर सेट करें।
• पूर्व-लिखित कोड का उपयोग कर पुष्टि करें कि अंतर का गुणांक (n-1)/n है।

# Define x_t0 as x[-1]
x_t0 <- 

# Define x_t1 as x[-n]
x_t1 <- 

# Confirm that x_t0 and x_t1 are (x[t], x[t-1]) pairs  
head(cbind(x_t0, x_t1))
  
# Plot x_t0 and x_t1
plot(___, ___)

# View the correlation between x_t0 and x_t1
cor(___, ___)

# Use acf with x
acf(___, lag.ax = ___, plot = ___)

# Confirm that difference factor is (n)-1)/n
cor(x_t1, x_t0) * (n-1)/n

यदि यह समझ में आ गया हो, तो अगले अभ्यास पर बढ़ें! यदि नहीं, तो यहाँ एक ओवरव्यू वीडियो है।

ऑटोकॉरिलेशन पर ओवरव्यू वीडियो

ऑटोकॉरिलेशन फ़ंक्शन

Autocorrelations को कई lags पर अनुमानित किया जा सकता है ताकि यह बेहतर तरीके से आंका जा सके कि कोई time series अपने अतीत से कैसे जुड़ी है। हम आम तौर पर इस बात में सबसे अधिक रुचि रखते हैं कि कोई series अपने हालिया अतीत से कैसे संबंधित है।

acf(..., lag.max = ..., plot = FALSE) फ़ंक्शन 0, 1, 2, ... से लेकर lag.max आर्गुमेंट द्वारा निर्दिष्ट मान तक सभी autocorrelations का अनुमान लगाएगा। पिछले अभ्यास में, आपने lag.max आर्गुमेंट को 1 पर सेट कर lag-1 autocorrelation पर ध्यान केंद्रित किया था।

इस अभ्यास में, आप acf() कमांड के कुछ और उपयोगों की जाँच करेंगे। एक बार फिर, time series x आपके लिए पहले से लोड है और दाईं ओर के प्लॉट में दिखाई गई है।

निर्देश

• सीरीज़ x के 0 से 10 तक के autocorrelations देखने के लिए acf() का उपयोग करें। lag.max आर्गुमेंट को 10 पर सेट करें और plot आर्गुमेंट को FALSE रहने दें।
• lag-10 पर autocorrelation estimate (ACF) को कॉपी-पेस्ट करें।
• lag-5 पर autocorrelation estimate (ACF) को कॉपी-पेस्ट करें।

# Generate ACF estimates for x up to lag-10
acf(___, lag.max = ___, plot = FALSE)

# Type the ACF estimate at lag-10 


# Type the ACF estimate at lag-5

ऑटोकॉरिलेशन फ़ंक्शन का विज़ुअलाइज़ेशन

कई lags पर autocorrelation function (ACF) का अनुमान लगाना हमें यह आकलन करने देता है कि time series x अपने अतीत से कैसे संबंधित है। संख्यात्मक अनुमान विस्तृत गणनाओं के लिए महत्वपूर्ण होते हैं, लेकिन lag के एक फ़ंक्शन के रूप में ACF को विज़ुअलाइज़ करना भी उपयोगी है।

वास्तव में, acf() कमांड डिफ़ॉल्ट रूप से एक फ़िगर बनाता है। यह lag.max के लिए, यानी प्रदर्शित किए जाने वाले अधिकतम lags की संख्या के लिए, एक डिफ़ॉल्ट विकल्प भी चुनता है।

तीन time series x, y, और z आपके R environment में लोड की गई हैं और दाईं ओर प्लॉट की गई हैं। time series x मजबूत persistence दिखाती है, यानी वर्तमान मान उससे पहले वाले मानों से काफ़ी नज़दीकी संबंध रखता है। time series y लगभग चार अवलोकनों की cycle length के साथ एक आवधिक पैटर्न दिखाती है, यानी वर्तमान मान लगभग चार पहले के अवलोकन के क़रीब होता है। time series z कोई स्पष्ट पैटर्न प्रदर्शित नहीं करती।

इस अभ्यास में, आप प्रत्येक time series के लिए अनुमानित autocorrelation function प्लॉट करेंगे। acf() द्वारा बनाए गए प्लॉट्स में, प्रत्येक autocorrelation estimate का lag क्षैतिज अक्ष पर दर्शाया जाता है और प्रत्येक autocorrelation estimate को ऊर्ध्वाधर बार की ऊँचाई से दर्शाया जाता है। याद रखें कि lag-0 पर ACF हमेशा 1 होता है।

अंत में, प्रत्येक ACF फ़िगर में नीली, क्षैतिज, dashed रेखाओं की एक जोड़ी होती है जो शून्य पर केंद्रित lag-वार 95% confidence intervals का प्रतिनिधित्व करती है। इनका उपयोग किसी दिए गए lag पर व्यक्तिगत autocorrelation estimate की सांख्यिकीय महत्ता को शून्य के null मान, अर्थात उस lag पर कोई autocorrelation न होने, के विरुद्ध निर्धारित करने के लिए किया जाता है।

निर्देश

फ़ंक्शन acf() के तीन कॉल्स का उपयोग कर अपनी तीनों time series (x, y, और z) के अनुमानित ACFs प्रदर्शित करें। acf() के कॉल्स में अतिरिक्त आर्गुमेंट्स निर्दिष्ट करने की आवश्यकता नहीं है।

# View the ACF of x
acf(___)

# View the ACF of y


# View the ACF of z

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हमारा Time Series Analysis using R: Tutorial देखें।