Modelos em espaço de estados: como funcionam e onde são usados

Imagine um navio navegando em meio à neblina. O GPS tem ruído, a correnteza é desconhecida e a posição exata não pode ser medida diretamente. Ela só pode ser aproximada a partir dos sensores. Os modelos em espaço de estados foram feitos para esse tipo de problema: sistemas em que o que importa está oculto e tudo o que você tem são medições imperfeitas dele.

Este artigo apresenta a estrutura dos modelos em espaço de estados, como estimar estados ocultos por meio de filtragem e suavização, onde entra o filtro de Kalman e como implementar esses modelos em Python e R.

O que é um modelo em espaço de estados?

Um modelo em espaço de estados é um arcabouço matemático para descrever um sistema que muda ao longo do tempo por meio de estados que você não consegue observar diretamente. Duas quantidades estão em jogo: o estado, que é a informação subjacente verdadeira que descreve o sistema a cada momento, e a observação, que é a medida indireta e ruidosa que você de fato obtém.

O modelo especifica duas coisas: como o estado oculto evolui de um instante para o outro e como esse estado gera as observações que você vê. Essa separação é o que torna o arcabouço tão geral. Ele aparece em processamento de sinais, econometria, sistemas de controle e aprendizado de máquina — muitas vezes sem que as pessoas percebam que estão usando a mesma estrutura formal.

Como funcionam os modelos em espaço de estados

A lógica central segue uma sequência simples a cada passo de tempo:

Estado anterior → Estado atual → Observação

O sistema passa de seu estado oculto anterior para um novo. Essa transição pode incluir aleatoriedade, já que sistemas reais não são perfeitamente previsíveis. O novo estado então gera uma medida observável, que vem com seu próprio ruído. Você nunca vê o estado diretamente; você vê o que ele produz — de forma imperfeita.

O que você pode fazer é usar cada nova observação para atualizar sua melhor estimativa do estado oculto. Esse é o problema de inferência, e é para isso que serve a maior parte da maquinaria algorítmica em torno de modelos em espaço de estados.

Estados ocultos geram observações ruidosas ao longo do tempo. Imagem do autor.

Equações de estado e de observação

A estrutura do modelo se resume a duas equações: uma para como o estado se move e outra para o que você consegue medir.

Equação de estado

A equação de estado descreve como o estado oculto evolui. Na forma escalar:

Aqui, zₜ é o estado oculto atual, a captura a dinâmica de transição (o quanto o estado anterior se mantém), e wₜ é o ruído de processo — a aleatoriedade em como o sistema se move. Na formulação matricial para sistemas multivariados, a vira uma matriz de transição, mas a ideia é idêntica.

Equação de observação

A equação de observação conecta o estado oculto ao que você mede:

yₜ é a medida observada, c define a relação de observação e vₜ é o ruído de medição. Comece por versões escalares como estas antes de se preocupar com a forma matricial geral. As matrizes trazem generalidade, não novas ideias.

Um exemplo simples de modelo em espaço de estados

Pense em um carro se movendo ao longo de uma estrada. Sua posição e velocidade verdadeiras são o estado oculto. Você não consegue observá-las diretamente. O que você tem é a leitura do GPS, que é ruidosa. A equação de estado modela como posição e velocidade mudam entre instantes (o carro continua se movendo a aproximadamente a mesma velocidade). A equação de observação conecta a posição verdadeira à leitura do GPS, que pode errar alguns metros.

Uma boa visualização disso mostra três linhas: a posição verdadeira (suave), as leituras do GPS (dispersas em torno da verdade) e a posição estimada pelo modelo (próxima da verdade, um pouco mais suave que o GPS bruto). Obter essa terceira linha é todo o trabalho do modelo.

Como os estados são estimados

Definir o modelo é só metade do problema. Você também precisa inferir os estados ocultos a partir das observações que tem. Três tarefas cobrem o cenário:

Filtragem estima o estado atual usando apenas as observações até agora — inferência em tempo real, útil para rastreamento e controle. Suavização revisita e corrige essas estimativas usando observações tanto de antes quanto de depois de um ponto — geralmente mais precisa, mas exige a sequência completa. Previsão extrapola para frente para estimar estados futuros antes das observações chegarem.

A maioria das aplicações usa filtragem. Suavização aparece quando você está fazendo análise retrospectiva e a precisão importa mais do que a velocidade.

Filtro de Kalman e modelos em espaço de estados

O filtro de Kalman é o algoritmo de filtragem para modelos lineares gaussianos em espaço de estados. Vale ser preciso: o modelo em espaço de estados é o modelo; o filtro de Kalman é um método de inferência que se aplica a uma classe específica desses modelos.

O filtro funciona em duas etapas alternadas. Na etapa de previsão, ele usa a equação de estado para projetar a estimativa atual no tempo, junto com uma medida da incerteza dessa estimativa. Na etapa de atualização, chega uma nova observação e a estimativa é corrigida. O quanto ela muda depende da incerteza relativa entre a previsão e a medição. Se a previsão do modelo é confiável, a observação pesa menos. Se o sinal de GPS está limpo e o modelo está incerto, a observação domina. Essa combinação ponderada pela incerteza é o que faz o filtro de Kalman funcionar na prática.

Existem extensões para cenários não lineares ou não gaussianos: o filtro de Kalman estendido lineariza a dinâmica, o filtro de Kalman unscented usa uma aproximação mais esperta e filtros de partículas lidam com o caso totalmente geral por amostragem. Esses são tópicos para outros artigos.

Tipos de modelos em espaço de estados

O arcabouço cobre uma variedade de cenários dependendo do que você está disposto a assumir sobre a dinâmica e o ruído.

Modelos lineares gaussianos em espaço de estados são o cenário clássico: equações de transição e observação lineares, ruído gaussiano. A filtragem de Kalman se aplica diretamente e a inferência exata é viável.

Modelos não lineares em espaço de estados surgem quando a transição de estado ou a relação de observação não é linear — pense em um pêndulo ou em um modelo no qual os efeitos de preço se atenuam. A inferência exata deixa de estar disponível.

Modelos não gaussianos em espaço de estados abandonam a suposição de que o ruído segue uma distribuição normal. Dados de contagem, desfechos binários e processos com caudas pesadas entram aqui.

Modelos em espaço de estados vs. modelos de séries temporais relacionados

Algumas comparações valem ser explicitadas, já que os limites aqui são mais difusos do que parecem.

Modelos em espaço de estados vs. ARIMA

ARIMA modela diretamente os valores observados e seus erros passados, sem introduzir estado oculto. Modelos em espaço de estados trazem estados latentes explicitamente. Dito isso, modelos ARIMA podem ser reformulados na forma de espaço de estados — então eles não são tão separados quanto parecem, e softwares frequentemente usam representações em espaço de estados internamente para ajustar ARIMA mesmo assim.

Modelos em espaço de estados vs. modelos de Markov ocultos

Ambos envolvem estados ocultos. HMMs clássicos usam estados latentes discretos (o sistema está em um de k modos), enquanto a maioria dos modelos em espaço de estados usa estados contínuos. Para reconhecimento de voz, modos discretos fazem sentido; para rastrear um objeto físico, estados contínuos são a escolha natural.

Modelos em espaço de estados vs. modelos estruturais de séries temporais

Modelos estruturais de séries temporais (que decompõem uma série em tendência, sazonalidade e componente irregular) geralmente são formulados como modelos em espaço de estados, e não competem com eles. São um caso de uso específico do arcabouço.

Modelos em espaço de estados em Python e R

O fluxo de trabalho é semelhante em ambas as linguagens — defina o modelo, ajuste-o e extraia as estimativas dos estados ocultos.

Modelos em espaço de estados em Python

A biblioteca statsmodels oferece uma interface simples para ajustar modelos em espaço de estados. Aqui vai um modelo de nível local (o modelo estrutural mais simples, com estado passeio aleatório e observações ruidosas) ajustado a uma série temporal:

import statsmodels.api as sm

# Fit a local level (random walk plus noise) model
model = sm.tsa.UnobservedComponents(time_series, level='local level')
result = model.fit(disp=False)

# Filtered state estimates (the hidden level at each time step)
print(result.filtered_state[0])

# Forecast the next 10 periods
forecast = result.forecast(10)

A estimativa filtrada do estado dá a melhor estimativa do nível oculto em cada ponto no tempo. É o principal resultado de interesse — mais do que os próprios parâmetros.

Modelos em espaço de estados em R

Em R, o pacote KFAS lida com modelos gaussianos em espaço de estados e vale a pena conhecer se você trabalha com isso com frequência. O fluxo de trabalho espelha o do Python: defina um objeto de modelo, ajuste-o e extraia os estados suavizados ou filtrados. Interprete as estimativas do estado oculto, não apenas as estatísticas de ajuste.

library(KFAS)

# Fit a local level (random walk plus noise) model
model <- SSModel(time_series ~ SSMtrend(1, Q = NA), H = NA)
fit <- fitSSM(model, inits = c(log(1), log(1)))
out <- KFS(fit$model)

# Filtered state estimates (the hidden level at each time step)
out$att

# Forecast the next 10 periods
predict(fit$model, n.ahead = 10)

Vantagens e limitações dos modelos em espaço de estados

Como em qualquer arcabouço de modelagem, os pontos fortes e fracos vêm do mesmo lugar: você precisa se comprometer com uma estrutura desde o início.

Vantagens: eles representam processos ocultos de forma explícita, em vez de encobri-los. Lidam naturalmente com sistemas que mudam ao longo do tempo. A incerteza de medição faz parte do modelo, não é um detalhe posterior. E o mesmo arcabouço suporta filtragem, suavização e previsão sem mudar a estrutura do modelo.

Limitações: especificar o modelo pode ser difícil. Você precisa decidir o que o estado oculto significa e como ele evolui — o que exige julgamento de domínio. Para sistemas não lineares ou não gaussianos, a inferência fica cara. E, se suas suposições sobre a dinâmica ou o ruído estiverem erradas, as estimativas também estarão — e nem sempre de forma óbvia.

Conclusão

Um modelo em espaço de estados descreve duas coisas: como um estado não observado evolui no tempo e como esse estado produz as observações que você consegue medir. Essas são a equação de estado e a equação de observação. Todo o resto (filtro de Kalman, suavização, previsão) trata de inferir o estado oculto a partir dos dados que o modelo gera.

O que acho útil nesse arcabouço é que ele obriga você a ser explícito sobre o que não sabe. Em vez de modelar as observações diretamente (como o ARIMA faz), você precisa se comprometer com uma história sobre o processo subjacente. Isso é uma restrição, mas também uma forma de esclarecer. Depois de escrever o que você acha que é o estado oculto e como ele se move, o problema de inferência vira mecânico. A parte difícil já foi a modelagem.

Se você vem de métodos clássicos de séries temporais, vale entender modelos em espaço de estados pelos seus próprios termos, e não apenas como uma generalização do que você já conhece. Nosso curso de Time Series com Python cobre o conjunto de ferramentas mais amplo e, se modelos de Markov ocultos ou o filtro de Kalman forem seu próximo passo, a base conceitual aqui se transfere diretamente.