Modèles d'état-espace : fonctionnement et cas d'usage

Imaginez un navire qui avance dans le brouillard. Son GPS est bruyant, le courant marin est inconnu et sa position exacte ne peut pas être mesurée directement. Elle ne peut être qu’estimée à partir de capteurs. Les modèles d'état-espace ont été conçus précisément pour ce type de problème : des systèmes où ce qui vous intéresse est caché et où vous n’avez accès qu’à des mesures imparfaites.

Cet article présente la structure des modèles d'état-espace, comment estimer les états cachés par filtrage et lissage, où se place le filtre de Kalman, et comment implémenter ces modèles en Python et en R.

Qu'est-ce qu'un modèle d'état-espace ?

Un modèle d'état-espace est un cadre mathématique pour décrire un système qui évolue dans le temps au travers d’états que vous ne pouvez pas observer directement. Deux grandeurs entrent en jeu : l’état, qui est l’information véritable décrivant le système à un instant donné, et l’observation, qui est la mesure indirecte et bruitée que vous obtenez réellement.

Le modèle spécifie deux éléments : comment l’état caché évolue d’un pas de temps au suivant, et comment cet état caché produit les observations que vous voyez. Cette séparation rend le cadre très général. On la retrouve en traitement du signal, économétrie, systèmes de contrôle et apprentissage automatique, souvent sans que l’on réalise que tous travaillent dans la même structure formelle.

Comment fonctionnent les modèles d'état-espace

La logique centrale suit une séquence simple à chaque pas de temps :

État précédent → État courant → Observation

Le système passe d’un état caché à un autre. Cette transition peut inclure de l’aléa, car les systèmes réels ne sont pas parfaitement prédictibles. Le nouvel état génère ensuite une mesure observable, avec son propre bruit. Vous ne voyez jamais l’état directement ; vous voyez ce qu’il produit, de manière imparfaite.

Ce que vous pouvez faire, c’est utiliser chaque nouvelle observation pour mettre à jour votre meilleure estimation de l’état caché. C’est le problème d’inférence, au cœur de l’outillage algorithmique des modèles d’état-espace.

Des états cachés génèrent des observations bruitées au fil du temps. Image de l’auteur.

Équations d’état et d’observation

La structure du modèle se résume à deux équations : l’une pour l’évolution de l’état, l’autre pour ce que vous pouvez mesurer.

Équation d’état

L’équation d’état décrit l’évolution de l’état caché. En forme scalaire :

Ici, zₜ est l’état caché courant, a capture la dynamique de transition (le degré de persistance de l’état précédent) et wₜ est le bruit de processus — l’aléa dans le mouvement du système. En formulation matricielle pour les systèmes multivariés, a devient une matrice de transition, mais l’idée reste identique.

Équation d’observation

L’équation d’observation relie l’état caché à ce que vous mesurez :

yₜ est la mesure observée, c définit la relation d’observation, et vₜ est le bruit de mesure. Commencez par ces versions scalaires avant de vous soucier de la forme matricielle générale. Les matrices apportent de la généralité, pas de nouvelles idées.

Un exemple simple de modèle d'état-espace

Pensez à une voiture qui se déplace sur la route. Sa position et sa vitesse réelles constituent l’état caché. Vous ne pouvez pas les observer directement. Vous disposez d’un relevé GPS, qui est bruité. L’équation d’état modélise l’évolution de la position et de la vitesse entre deux instants (la voiture continue à peu près à la même vitesse). L’équation d’observation relie la position réelle au relevé GPS, qui peut être décalé de plusieurs mètres.

Une bonne visualisation montre trois courbes : la position réelle (lisse), les relevés GPS (dispersés autour de la vérité) et la position estimée par le modèle (proche de la vérité, plus lisse que le GPS brut). Obtenir cette troisième courbe, c’est tout l’enjeu du modèle.

Comment les états sont estimés

Définir le modèle n’est que la moitié du travail. Il faut aussi inférer les états cachés à partir des observations réelles. Trois tâches couvrent le sujet :

Filtrage : estimer l’état courant en utilisant uniquement les observations jusqu’à maintenant — inférence en temps réel, utile pour le suivi et le contrôle. Lissage : revenir en arrière et réviser ces estimations à l’aide des observations d’avant et d’après un point donné — en général plus précis, mais requiert la séquence complète. Prédiction : extrapoler pour estimer des états futurs avant l’arrivée des observations.

La plupart des usages reposent sur le filtrage. Le lissage intervient pour des analyses rétrospectives où la précision prime sur la rapidité.

Filtrage de Kalman et modèles d'état-espace

Le filtre de Kalman est l’algorithme de filtrage pour les modèles d'état-espace linéaires gaussiens. Précisons-le : le modèle d'état-espace est le modèle ; le filtre de Kalman est une méthode d’inférence qui s’applique à une classe spécifique de ces modèles.

Le filtre alterne deux étapes. À l’étape de prédiction, il projette dans le temps l’estimation actuelle via l’équation d’état, avec une mesure d’incertitude. À l’étape de mise à jour, une nouvelle observation arrive et l’estimation est corrigée. L’ampleur du ajustement dépend de l’incertitude relative de la prédiction face à la mesure. Si la prédiction du modèle est fiable, l’observation pèse moins. Si le signal GPS est propre et le modèle incertain, l’observation domine. Ce mélange pondéré par l’incertitude fait la force du filtre de Kalman en pratique.

Des extensions existent pour les contextes non linéaires ou non gaussiens : le filtre de Kalman étendu linéarise la dynamique, le filtre de Kalman unscented propose une meilleure approximation, et les filtres particulaires traitent le cas général par échantillonnage. Ce seront d’autres articles.

Types de modèles d'état-espace

Le cadre couvre divers contextes selon les hypothèses posées sur la dynamique et le bruit.

Modèles d'état-espace linéaires gaussiens : cadre classique avec équations de transition et d’observation linéaires, bruit gaussien. Le filtrage de Kalman s’applique directement et l’inférence exacte est traitable.

Modèles d'état-espace non linéaires : la transition d’état ou la relation d’observation n’est pas linéaire — pensez à un pendule, ou à un modèle où l’effet prix s’atténue. L’inférence exacte n’est plus disponible.

Modèles d'état-espace non gaussiens : on abandonne l’hypothèse de bruit normal. Données de comptage, issues binaires et processus à queues épaisses entrent dans cette catégorie.

Modèles d'état-espace vs. modèles de séries temporelles apparentés

Quelques comparaisons utiles, car les frontières sont plus floues qu’il n’y paraît.

Modèles d'état-espace vs. ARIMA

ARIMA modélise directement les valeurs observées et leurs erreurs passées, sans introduire d’état caché. Les modèles d'état-espace introduisent explicitement des états latents. Cela dit, les modèles ARIMA peuvent être reformulés en état-espace — les deux ne sont donc pas aussi distincts qu’on le pense, et les logiciels utilisent souvent des représentations état-espace pour ajuster ARIMA.

Modèles d'état-espace vs. modèles de Markov cachés

Les deux impliquent des états cachés. Les HMM classiques utilisent des états latents discrets (le système est dans l’un de k modes), tandis que la plupart des modèles d'état-espace utilisent des états continus. Pour la reconnaissance vocale, des modes discrets ont du sens ; pour le suivi d’un objet physique, des états continus sont plus naturels.

Modèles d'état-espace vs. modèles structurels de séries temporelles

Les modèles structurels (qui décomposent une série en tendance, saisonnalité et composante irrégulière) sont généralement formulés comme des modèles d'état-espace plutôt que de leur faire concurrence. Ce sont un cas d’usage spécifique du cadre.

Modèles d'état-espace en Python et R

Le flux de travail est similaire dans les deux langages — définir le modèle, l’ajuster et extraire les estimations d’état caché.

Modèles d'état-espace en Python

La bibliothèque statsmodels propose une interface claire pour ajuster des modèles d'état-espace. Voici un modèle à niveau local (le plus simple des modèles structurels, avec une marche aléatoire pour l’état et des observations bruitées) ajusté à des données de séries temporelles :

import statsmodels.api as sm

# Fit a local level (random walk plus noise) model
model = sm.tsa.UnobservedComponents(time_series, level='local level')
result = model.fit(disp=False)

# Filtered state estimates (the hidden level at each time step)
print(result.filtered_state[0])

# Forecast the next 10 periods
forecast = result.forecast(10)Propulsé par

L’état filtré fournit la meilleure estimation par le modèle du niveau caché à chaque instant. C’est la sortie principale qui compte, plus que les paramètres eux-mêmes.

Modèles d'état-espace en R

En R, le package KFAS gère les modèles d'état-espace gaussiens et vaut la peine d’être connu si vous travaillez régulièrement sur ce sujet. Le flux de travail reflète celui de Python : définir un objet modèle, l’ajuster, puis extraire les états lissés ou filtrés. Interprétez les estimations d’état caché, pas seulement les statistiques d’ajustement.

library(KFAS)

# Fit a local level (random walk plus noise) model
model <- SSModel(time_series ~ SSMtrend(1, Q = NA), H = NA)
fit <- fitSSM(model, inits = c(log(1), log(1)))
out <- KFS(fit$model)

# Filtered state estimates (the hidden level at each time step)
out$att

# Forecast the next 10 periods
predict(fit$model, n.ahead = 10)Propulsé par

Atouts et limites des modèles d'état-espace

Comme pour la plupart des cadres de modélisation, forces et faiblesses découlent du même point : il faut s’engager sur une structure dès le départ.

Atouts : ils représentent explicitement les processus cachés plutôt que de les masquer. Ils gèrent naturellement des systèmes qui évoluent dans le temps. L’incertitude de mesure est intégrée au modèle, pas traitée après coup. Et le même cadre permet filtrage, lissage et prévision sans changer la structure du modèle.

Limites : la spécification du modèle peut être difficile. Vous devez décider ce que signifie l’état caché et comment il évolue, ce qui exige une vraie expertise métier. Pour les systèmes non linéaires ou non gaussiens, l’inférence devient coûteuse. Et si vos hypothèses sur la dynamique ou le bruit sont erronées, les estimations le seront aussi, parfois de manière peu évidente.

Conclusion

Un modèle d'état-espace décrit deux choses : comment un état non observé évolue dans le temps, et comment cet état produit les observations mesurables. Ce sont l’équation d’état et l’équation d’observation. Tout le reste (filtre de Kalman, lissage, prédiction) concerne l’inférence de l’état caché à partir des données générées par le modèle.

L’intérêt de ce cadre est qu’il vous oblige à expliciter ce que vous ne savez pas. Plutôt que de modéliser les observations directement (comme ARIMA), vous devez vous engager sur une histoire du processus sous-jacent. C’est une contrainte, mais aussi une clarification. Une fois que vous avez posé ce qu’est l’état caché et comment il évolue, l’inférence devient mécanique. Le plus dur était déjà la modélisation.

Si vous venez des méthodes classiques de séries temporelles, les modèles d'état-espace méritent d’être compris pour eux-mêmes plutôt que comme une généralisation de ce que vous savez déjà. Notre cours Time Series with Python couvre la boîte à outils plus large, et si les modèles de Markov cachés ou le filtrage de Kalman sont votre prochaine étape, les bases conceptuelles présentées ici s’y transfèrent directement.