Spearman Korelasyonu: Doğrusal Olmayan İlişkileri Nasıl Ölçersiniz

Tüm ilişkiler düz bir çizgiyi takip etmez.

Pazarlama bütçesi arttıkça müşteri dönüşümünün de iyileşme eğiliminde olduğunu görebilirsiniz, ancak sabit bir hızda değil. Ya da belki gelir arttıkça mutluluk çoğu zaman artar, ardından sabitlenir. Desen belirgindir ama doğrusal değildir. Bunu nasıl nicel hale getirebilirsiniz?

Korelasyon, iki değişkenin birlikte nasıl hareket ettiğini tanımlamak için kullanılır. Sıkça göreceğiniz yaygın bir korelasyon Pearson Korelasyon Katsayısıdır; bu, doğrusal ilişkiler için oldukça iyi çalışır. Ancak, gerçek dünyadaki pek çok ilişki doğrusal değildir. Eğri çizebilir, plato yapabilir veya düz bir çizgi oluşturmadan tutarlı bir eğilimi izleyebilirler. Bazı durumlarda, tam değerlerden çok gerçekleşme sırası önemlidir. İşte burada Spearman Sıra Korelasyon Katsayısı devreye girer.

Spearman korelasyonu, ham değerler yerine sıralarla çalışır ve iki değişkenin birlikte tutarlı biçimde artma veya azalma eğiliminde olup olmadığını ölçer. Bu, onu monoton ilişkiler için oldukça uygun kılar. Ayrıca aykırı değerler veya düzensiz aralıklar gibi bazı veri tuhaflıklarına karşı daha dayanıklıdır.

Spearman Sıra Korelasyonu nedir?

Spearman Sıra Korelasyon Katsayısı, iki değişken arasındaki ilişkinin gücünü ve yönünü ölçer. Değerlerin kendileri yerine sıralarına dayanır.

Bunun nasıl çalıştığını görmek için bir yayın platformundaki şarkıları analiz ettiğinizi hayal edin. Bir şarkının çalınma sayısını “Top 100” listesinde nasıl sıralandığıyla karşılaştırabilirsiniz. İlişki mükemmel şekilde doğrusal olmayabilir; dinlenme sayısını ikiye katlamak, şarkının sırasını mutlaka ikiye katlamaz. Ancak genel olarak, daha çok dinlenen şarkılar daha üst sıralarda yer alma eğilimindedir.

Spearman korelasyonu, tam değerler yerine verilerin sırasına odaklanarak bu tür bir deseni yakalar.

Bu, ilişki doğrusal olmadığında ancak yine de net bir eğilimi izlediğinde, veriler doğası gereği sıralamalarla ifade edildiğinde veya doğrusal bir ölçümü bozabilecek aykırı değerler içerdiklerinde özellikle kullanışlıdır.

Ham değerlerle doğrudan çalışan Pearson korelasyonunun aksine, Spearman korelasyonu önce verileri sıralara dönüştürür ve sonra bu sıralamaların ne kadar örtüştüğünü ölçer.

Teknik olarak, Spearman korelasyonu monoton ilişkileri ölçer. Bir ilişki, bir değişken artarken diğerinin de artma veya azalırken diğerinin de azalma eğiliminde olması ve yön değiştirmemesi durumunda monotoniktir.

Monotonik ve doğrusal ilişkiler

Peki doğrusal ve monotonik ilişkiler arasındaki fark tam olarak nedir?

Doğrusal bir ilişki, verilerin düz bir çizgi desenini takip ettiği durumdur. Verileri çizdiğinizde, noktaların kabaca bir çizgi oluşturduğunu görürsünüz.

Monotonik bir ilişki ise daha az katıdır. İlişkinin tek bir yönde ilerlediği anlamına gelir. Özünde, iki değişken birlikte hareket eder, ancak mutlaka düz bir çizgide değil. Desen eğri çizebilir, düzleşebilir veya hız değiştirebilir; yeter ki yön tersine dönmesin.

Yukarıdaki grafiklerde, yalnızca ilki doğrusal olan dört farklı monotonik ilişki örneğini görebilirsiniz. Son grafik monotonik değildir; desen yön değiştirir, pozitif bir ilişki olarak başlayıp negatif bir ilişkiyle biter.

Spearman Sıra Korelasyonunu Adım Adım Nasıl Bulursunuz

Genel hatlarıyla, Spearman Sıra Korelasyon Katsayısı verilerinizi sıralara dönüştürür ve ardından değişkenler arasındaki sıralamaların ne kadar benzer olduğunu ölçer.

Küçük bir örnek üzerinden gidelim. Bir müzik enstrümanı çalışmaya harcanan saatler ile bir yarışmadaki performans sıralaması arasındaki ilişkiye baktığımızı varsayalım.

Önce, verileri görselleştirelim.

Gözleme dayalı olarak, daha fazla çalışma daha yüksek performans puanlarıyla sonuçlanıyor gibi görünüyor, ancak desen mükemmel şekilde doğrusal değil. Aşırı çalışmanın azalan getirileri olabileceği görülüyor. Bu ilişkiyi nicelleştirmek için Spearman Sıra metodunu uygulamayı deneyelim.

Adım 1: verileri sıralara dönüştürün

Öncelikle her değere sırasını atayalım. Her değişken içinde, en küçükten en büyüğe doğru her değere bir sıra veririz. Bir değişkendeki en küçük değer 1. sırayı, ikinci en küçük 2. sırayı vb. alır.

Dikkat ederseniz, Y için sıralamalar X’ten biraz farklı bir düzendedir. Spearman korelasyonunun ölçeceği varyasyon budur.

Adım 2: sıralardaki farkları hesaplayın

Sonraki adımda, her gözlem için sıralar arasındaki farkı hesaplarız.

Ardından her farkı karesini alın:

Şimdi tablomuzun son sütunundaki karesel farkları toplayalım.

Adım 3: formülü uygulayın

Son olarak, değerleri Spearman korelasyon formülüne yerleştirmemiz gerekir.

Daha önceki hesaplamalarımızdan (di)2=4 olduğunu biliyoruz. Paydadaki n örneklem büyüklüğüdür; bizim için 8. Bunu yerleştirdiğimizde şu sonucu elde ederiz:

Sonucun yorumlanması

Nihai sonucumuz ρ ~ 0.95. Bu değer +1’e yakın olduğundan, çalışma süresi ile performans arasında güçlü bir pozitif ilişki olduğunu gösterir. İlişki mükemmel şekilde doğrusal olmasa da sıralamalar oldukça benzerdir. Bu, x değeri değiştiğinde y değerinin de tutarlı bir şekilde onunla birlikte değişme eğiliminde olduğu anlamına gelir.

Gerçek hayatta bunu elle hesaplamak oldukça nadirdir. Çoğu yazılım sıralama, bağlar ve hesaplamayı otomatik olarak halleder; bu da iyidir çünkü genellikle çok daha büyük örneklemlerle çalışırız!

Spearman Korelasyonunu Yazılımla Hesaplama

Günümüzde çoğu istatistik yazılımı bu hesaplamayı saniyeler içinde yapabilir. En yaygın yazılımlardan bazılarını kısaca ele alalım.

Python

Python’da, iş akışınıza bağlı olarak genellikle scipy veya pandas kullanırsınız. Dizilerle veya listelerle çalışıyorsanız, scipy Spearman korelasyonunu doğrudan hesaplamanın bir yolunu sunar.

py
corr, p_value = spearmanr(x, y)
print(corr, p_value)

Bu, korelasyon katsayısını ve istatistiksel test yapıyorsanız faydalı olan bir p-değerini döndürür.

Tablo verileriyle çalışıyorsanız, pandas genellikle daha kullanışlıdır.

corr_matrix = df.corr(method="spearman")
print(corr_matrix)

Bu, korelasyon matrisini hesaplar ve birden çok değişkeni aynı anda karşılaştırmayı kolaylaştırır.

Alternatif olarak, yalnızca iki belirli sütun arasındaki korelasyonu istiyorsanız, bunu kolayca belirtebilirsiniz.

corr=df["column_1"].corr(df["column_2"],method="spearman")

R

R’de Spearman korelasyonu temel istatistiksel işlevlerin içine yerleşiktir.

Hızlı bir hesaplama için cor() fonksiyonunu kullanabilir ve Spearman yöntemini istediğinizi belirtebilirsiniz.

cor(x, y, method = "spearman")

Ayrıca bir p-değeri ve ek istatistiksel ayrıntılar istiyorsanız, cor.test() bunu kolayca sağlar.

cor.test(x,y,method="spearman")

Excel

Excel’de yerleşik bir Spearman işlevi yoktur, ancak iki hızlı adımda hesaplayabilirsiniz: önce verileri sırala, sonra bu sıraların korelasyonunu alın.

İşte küçük bir örnek:

Sıraları (C ve D sötünleri) RANK.AVG işlevini kullanarak oluşturabilirsiniz. Örneğin:

=RANK.AVG(A2, $A$2:$A$6,1)
=RANK.AVG(B2, $B$2:$B$6,1)

Ardından, Spearman korelasyonunu basitçe hesaplayın.

=CORREL(C2:C6, D2:D6)

Tüm bu araçlarda, temel süreç aynıdır: değerleri sıralara dönüştürün ve ardından bu sıraların korelasyonunu hesaplayın.

Spearman Sıra Korelasyonunu Nasıl Yorumlamalı

Daha önce Pearson Korelasyonu kullandıysanız, Spearman Sıra Korelasyonunu nasıl yorumlayacağınıza dair iyi bir sezginiz vardır; yorum temelde aynıdır.

Spearman Sırası size -1 ile 1 arasında bir değer verir. Bu, monoton bir ilişkinin hem yönünü hem de gücünü söyler.

+1 değeri, mükemmel artan bir monoton ilişkiyi gösterir; bir değişken artarken diğeri her zaman artar. Bu, her değer çiftinin sıralamalarının tam olarak aynı olduğu durumlarda görülür.

-1 değeri, mükemmel azalan bir monoton ilişkiyi gösterir; bir değişken artarken diğeri her zaman azalır. Bu, her değer çiftinin sıralamalarının tamamen ters olduğu durumlarda görülür.

0 değeri, monoton bir ilişki olmadığını gösterir. Bu, sıralamalarda tutarlı bir eğilim olmadığında görülür.

Pearson Korelasyon Katsayısından önemli bir fark, Spearman korelasyonunun, verilerin sırasının ne kadar iyi örtüştüğünü yansıtmasıdır; gerçek değerlerin düz bir çizgiyi ne kadar yakından takip ettiğini değil. Bu, güçlü bir Spearman korelasyonunun sıralamalarda net bir eğilimi gösterdiği, ancak ilişkinin doğrusal veya eşit aralıklı olması gerekmediği anlamına gelir.

Bu nedenle, temel deseni en iyi şekilde anlamak için korelasyon değerlerini her zaman hızlı bir görselleştirme ile birlikte kullanmak iyi bir fikirdir.

Sıralamalardaki Bağlarla Başa Çıkma

Her şey yolunda giderken, aynı değere sahip birden çok gözlemin olduğu bir veri kümesiyle karşılaşabilirsiniz. Peki o zaman ne yapmalısınız? Bunlara bağ (tie) denir ve sıraları atarken küçük bir ayarlama gerektirirler.

Örneğin, 10, 20, 20, 30 değerlerini düşünün. İki adet 20 değeri normalde 2. ve 3. sıraları işgal ederdi. Ancak aynı oldukları için, onlara farklı sıralar atamak yerine, bu sıraların ortalamasını atarız; her iki 20 de 2,5 sırasını alır. Bu yaklaşım, bağlı değerlerin adil şekilde ele alınmasını ve genel sıralamanın tutarlı kalmasını sağlar.

Spearman Sıra Korelasyon Katsayısı tamamen sıralara dayandığından, bağlar doğru şekilde ele alınmazsa korelasyon bozulabilir.

Spearman Korelasyonunun Sınırlamaları

Spearman Sıra Korelasyon Katsayısı esnek ve yaygın olarak kullanılan bir ölçü olsa da bazı sınırlamaları vardır.

En önemlisi, yalnızca monoton ilişkileri yakalayabilir. İlişki yön değiştiriyorsa, örneğin U-şekilli bir desen veya sinüs dalgası gibi, belirgin bir desen olsa bile korelasyon sıfıra yakın olabilir. Bu durumlarda, polinom regresyon gibi doğrusal olmayan bir model kullanmak daha uygundur.

Ayrıca, Spearman korelasyonu sıralara dayandığından, değerler arasındaki gerçek uzaklıkları göz ardı eder. Bu, aykırı değerlere karşı daha dayanıklı olmasını sağlar, ancak aynı zamanda bazı bilgilerin kaybolduğu anlamına gelir. Bu nedenle ilişkinin büyüklüğünü yorumlamak Spearman Korelasyonunda Pearson Korelasyonuna kıyasla daha zordur. Size değişkenlerin sırayla birlikte hareket edip etmediğini söyler, ancak birinin diğerine göre ne kadar değiştiğini söylemez.

Son olarak, çok sayıda değerin bağlı olduğu durumlarda sıralama süreci daha az kesin hale gelir. Bu, ilişkiyi tam olarak yansıtmayabilecek daha zayıf bir korelasyon değerine yol açabilir.

Spearman ve Pearson: Hangisini Ne Zaman Kullanmalı

En yaygın kullanılan korelasyon muhtemelen Pearson Korelasyon Katsayısıdır. İlk bakışta, Spearman Korelasyon Katsayısıyla oldukça benzer bir istatistik gibi görünebilir. Hatta isimleri bile neredeyse aynıdır! Ancak aslında biraz farklı soruları yanıtlarlar.

Pearson şunu sorar: “Bu değişkenler düz bir çizgi ilişkisini mi takip ediyor?”, Spearman ise şunu sorar: “Bu değişkenler aynı sırada mı hareket ediyor?”

Verileriniz kabaca düz bir çizgi deseni izliyorsa ve değerler arasındaki gerçek uzaklıklar anlamlıysa, genellikle doğru tercih Pearson Korelasyonudur. Ancak ilişki eğri çiziyor veya plato yapıyorsa, Spearman çoğu zaman daha iyi uyum sağlar.

Spearman ayrıca daha affedicidir. Ham değerler yerine sıralarla çalıştığı için aykırı değerlere karşı daha az hassastır ve veriye ilişkin varsayımlara o kadar dayanmaz. Bunun bedeli, değerler arasındaki büyüklük farklarını yakalamada o kadar iyi olmamasıdır.

Pratikte iyi bir kural şudur: İlişki doğrusal ise Pearson’ı; monotonik ancak doğrusal değilse Spearman’ı kullanın. Ve her zaman olduğu gibi, karar vermeden önce verilerinizi görselleştirin.

Sonuç

Spearman Korelasyon Katsayısı, özellikle Pearson Korelasyonunun iyi hizmet edemediği veri kümelerinde monotonik desenleri yakalamak için harika bir araçtır. Sıralarla çalışarak aykırı değerlere karşı daha az hassastır ve doğrusal olmayan verilere daha uyumludur.

Veri kümeniz için en iyi korelasyonu seçme hakkında daha fazla bilgiyi Korelasyonu Anlamak: Verilerde İlişkileri Ölçmek başlıklı yazımızda okuyabilirsiniz. Ayrıca şunu da ilgi çekici bulabilirsiniz: Kovaryansı Anlamak: Giriş Düzeyinde Bir Rehber.