Zaman Serisi Ayrıştırması: Trendleri, Mevsimselliği ve Gürültüyü Anlayın

Ayrıştırma, veri biliminin en ilginç konularından biridir. Özünde ayrıştırma, karmaşık olan bir şeyi daha basit, daha yorumlanabilir parçalara ayırmaktır. Bu, bir matrise, bir modele veya bir sinyale uygulanabilir. 

Genel bir fikir olduğu için birçok biçime bürünebilir. Lineer cebirde QR ayrıştırması, özdeğer ayrıştırması, tekil değer ayrıştırması ve Cholesky ayrıştırması gibi yöntemler vardır. Başka alanlarda Fourier dönüşümü, temel bileşen analizi ve hatta LDA gibi yöntemlerle konu modellemesi bulunur. Regresyon modellerindeki değişkenlik, kareler toplamı bileşenlerine: SST, SSR ve SSE ayrıştırılabilir. Hatta karar ağaçlarını da bir tür ayrıştırma olarak düşünebiliriz. 

Burada favorilerimizden birini gözden geçireceğiz: zaman serisi ayrıştırması. Yazının sonunda ilginizi çekerse, Prof. Rob Hyndman ile R ile Tahminleme kursumuzu alın.

Zaman Serisi Ayrıştırması Nedir?

Zaman serisi ayrıştırması, bir zaman serisini trend veya trend-döngü, mevsimsellik ve artık (residual) olarak adlandırılan ayrı bileşenlere ayırmak için kullanılan bir yöntemdir. Amaç, alttaki desenleri daha iyi anlamak ve tahmin doğruluğunu artırmaktır.

Bir Zaman Serisinin Bileşenleri Nelerdir?

Zaman serisi bileşenlerine bir göz atalım. Kavramı anlamanın en iyi yolu bu olabilir.

Trend bileşeni

Bir zaman serisinin trendi (adı üzerinde) uzun vadeli hareketidir. Trend bileşeninin çoğu zaman aslında trend-döngü olarak düşünüldüğünü söylemeliyiz; döngüler, uzun ve düzensiz desenler olarak anlaşılır. Otomobil satışlarının tarihsel olarak yedi yıllık döngülerle hareket ettiği düşünülürdü (her ne sebepleyse); ancak muhtemelen elektrikli araçlara geçişle birlikte artık böyle değil.

Trendden insanların genelde çıkardığı ana sonuç şudur: Veri uzun vadede artıyor mu, azalıyor mu, yoksa sabit mi kalıyor? Son birkaç on yılda okyanus sıcaklıklarındaki küresel artış, açık (maalesef kötü) bir trende örnektir.

Mevsimsel bileşen

Mevsimsel bileşeni açıklamak biraz daha uzun sürecek çünkü biraz daha karmaşıktır. Bir zaman serisinin mevsimsel bileşeni, düzenli aralıklarla tekrarlayan kısa vadeli döngülerdir. Günlük, aylık, haftalık, üç aylık gibi düşünün. Buradaki kilit nokta aralıkların oldukça düzenli olmasıdır. Örneğin, insanlar pazar günleri evde kahve yapmayı seviyorsa, kahve dükkanı siparişlerinin haftalık bir mevsimselliği izlediğini görebilirsiniz. (Bu kahve dükkanı siparişleriyle ilgili soruyu bir sonraki bölümde inceleyeceğiz.)

Mevsimsellik göründüğünden daha karmaşık olabilir. Bir yıldaki hafta sayısının tam sayı olmamasını (~52,18) düşünün. Ya da ayların eşit aralıklı olmamasını: Şubat 28 (veya 29) gündür, ama Temmuz her zaman 31 gündür.

Dahası, her yıl 52 haftadan biraz fazla olduğu ve aylar da değiştiği için çoğu ayı haftalara eşit bölmek mümkün değildir. Takvime bakınca bu barizdir. Ancak bir veri analisti için daha az bariz olan şudur: Verilere haftalık düzeyde bakıp sonra aylık düzeye topladığınızda, bir Ocak ayında dört Pazartesi varken bir sonrakinde beş Pazartesi olması gibi tutarsızlıklar görebilirsiniz.

Artık / düzensiz / kalıntı bileşeni

Trend-döngü ve mevsimsel bileşen çıkarıldıktan sonra geriye kalan her şeye, uygun biçimde, artık bileşen deriz; buna verideki büyük bir olay gibi anormal durumlar ve rastgele gürültü dahildir. İsminin çağrıştırdığının aksine, artık bileşen işe yaramaz bir artifakt değildir. Tüm verilerde açıklanamayan bir değişkenlik vardır ve bu değişkenliğin büyüklüğünü nicelleştirmek önemlidir. İlginç bir şekilde, artıklar iyi huylu bir seride sıklıkla bir Gauss dağılımı şekline bürünür; bu durumda kara kuğu olaylarını hipotez testleri ile değerlendirebiliriz.

Zaman Serisi Ayrıştırma Modelleri

Artık bir zaman serisinin bileşenlerini ele aldığımıza göre, aslında iki genel tür zaman serisi ayrıştırması olduğunu belirtmeliyiz. Toplamsal modelle başlayacağız.

Toplamsal ayrıştırma

Toplamsal ayrıştırmanın formülü şöyledir:

Artı işaretlerine dikkat edin. Bu formül, trendi alıp mevsimsel bileşene eklediğinizde ve buna artıkları eklediğinizde, orijinal zaman serisini geri elde edeceğinizi söyler. Genel olarak, mevsimsel değişimin zaman içinde sabit olduğu durumlarda toplamsal ayrıştırma kullanırız.

Çarpımsal ayrıştırma

Çarpımsal ayrıştırmanın formülü şöyledir. Bu sürümdeki çarpma işaretlerine dikkat edin. 

Mevsimsel değişim trendle birlikte ölçeklendiğinde çarpımsal bir model kullanırız. Yani, serinin genel seviyesi yukarı veya aşağı hareket ettikçe mevsimsel etkilerin büyüklüğünün de büyüdüğünü gördüğünüzde. Burada tarif ettiğimiz şey aslında bir tür değişen varyans (heteroskedastisite).

Zaman Serisi Ayrıştırma Teknikleri

Şimdiye kadar, bir zaman serisi ayrıştırmasına nelerin girdiğini ve iki ana genel türü ele aldık. İlerlerken, en yaygın iki yöntemden bahsetmemiz gerekiyor. Her ikisi de toplamsal veya çarpımsal model olarak uygulanabilir. 

Klasik ayrıştırma

Klasik ayrıştırma anlaşılması daha kolay olandır. 1920’lerden kalmadır ama bugün de geçerlidir. Klasik ayrıştırmayı göstermek için Excel kullanalım. Klasik ayrıştırma, bir sonraki bölümde göstereceğimiz STL gibi, toplamsal veya çarpımsal modelle yapılabilir. Bu örnekte toplamsal bir sürüm oluşturacağız.

Kendiniz denemek isterseniz, Kaggle’da bulabileceğiniz bu çok ilginç kahve satış verisetindeki index_1 CSV’sini kullanın. Referans olması için, satışları güne göre topladık ve özetledik.

• İlk olarak trend-döngüyü hesaplarız. Haftalık bir mevsimsellik belirliyoruz ve bir haftada yedi gün olduğuna göre mevsimsel periyot tektir; bu da hareketli ortalamanın simetrik bir pencere ile ortalanması gerektiği anlamına gelir. Yani, 7 günlük hareketli ortalama. Excel sayfasında hizalama ve ortalamaya dikkat edin.

• Sonra, trendi orijinal seriden çıkararak detrend edilmiş seriyi buluruz.

• Ardından, mevsimsel bileşeni bulmak için her mevsimsel periyot için detrend edilmiş değerlerin ortalamasını alırız. Önemli bir ek: Mevsimsel bileşenin tam olarak sıfıra toplamlanmadığını göreceksiniz. Bunu normalizasyon ile düzelttiğinizden emin olun:

  • Mevsimsel bileşeninizin ortalamasını hesaplayın.

  • Her mevsimsel değerden mevsimsel ortalamayı çıkarın.

• Son olarak, kalıntı için, orijinal seriden trend ve mevsimsel periyodu çıkarırız. 

Serimizin veri seviyesiyle birlikte değişen bir mevsimsel etkisi olduğunu görseydik, bunun yerine çarpımsal ayrıştırmayı düşünürdük. Çarpımsal ayrıştırmanın adımları büyük ölçüde aynıdır, yalnızca çıkarma yerine bölme kullanırız. Özellikle, detrend edilmiş seriyi, orijinal seriyi trend-döngüye bölerek buluruz. Daha sonra, kalıntıyı bulmak için, orijinal seriyi trend ve mevsimsel bileşenlerin çarpımına böleriz. (Alternatif olarak, orijinal serinin doğal logaritmasını alıp toplamsal bir ayrıştırma uygulayabilirdik. İşlevsel olarak aynı olurdu.)

STL ayrıştırması 

STL ayrıştırması, “seasonal and trend decomposition using LOESS” ifadesinin kısaltmasıdır ve daha modern bir ayrıştırma türüdür. Açıklaması daha zordur, ancak genelde klasik yönteme kıyasla daha esnektir. STL, verinin üst üste binen küçük parçalarına basit regresyon modelleri uyduran LOESS adlı bir yöntemi kullanır. Bu yerel ağırlıklı regresyonu ayrı ayrı uygulayarak trend ve mevsimsel bileşenleri izole eder.

Bu yöntem, klasik ayrıştırmadaki belirli eksiklikleri giderir; özellikle, klasik sürümde ilk ve son gözlemler için trend-döngü veya kalıntı tahminleri bulunmaz. Bunu yukarıdaki Excel’de 3, 4, 5 ve 20, 21, 22. satırlardaki boş alanlarda görebilirsiniz.

Ayrıca şunu da söylemeliyiz: Klasik ayrıştırmanın belirlediği trend-döngü, ani yükseliş ve düşüşleri yumuşatır; bu nedenle serideki önemli şeyleri gözden kaçırabilir. Son olarak, klasik ayrıştırma mevsimsel bir desen olduğu varsayımına dayanır; ancak yeterince veri olduğunda, mevsimsel desenin değiştiğini bazen görebiliriz.

Önce, orijinal serinin bir zaman grafiğini oluşturalım. Daha önce olduğu gibi, ilk adım olarak, ilgilendiğimiz seriyi elde etmek için Kaggle verisetini topluyor ve özetliyoruz.

coffee_sales_data <- read.csv("/Users/x/Desktop/index_1.csv")
coffee_sales_data <- as.data.frame(coffee_sales_data)Altyapı:

library(dplyr)
library(ggplot2)

coffee_sales_data |>
  group_by(date) |>
  summarize(money = sum(money)) |>
  ggplot(aes(x = as.Date(date), y = money)) +
  geom_line(color = '#01ef63') +
  labs(title = "Coffee Sales") +
  labs(subtitle = "Time series")Altyapı:

Sonraki adımda, serimizi trend, mevsimsel ve kalıntı bileşenlerine ayırıyoruz. Ayrıştırma grafiğinin üstündeki kutu, biraz sıkıştırılmış olsa da orijinal seriyi gösterir.

coffee_sales_data |>
  group_by(date) |>
  summarize(money = sum(money)) |>
  mutate(date = as.Date(date)) |>
  as_tsibble() |>
  filter(date > '2024-02-28') |>
  filter(date < '2024-05-01') |>
  model(
      STL(money ~ season(window = "periodic"))
  ) |>
  components() |>
  autoplot(color = '#203147') +
  labs(title = "Coffee Sales") +
  labs(subtitle = "Classical additive decomposition")

coffee_sales_data |>
  group_by(date) |>
  summarize(money = sum(money)) |>
  mutate(date = as.Date(date)) |>
  as_tsibble() |>
  filter(date > '2024-02-28') |>
  filter(date < '2024-05-01') |>
  model(
      STL(money ~ season(window = "periodic"))
  ) |>
  components() -> ts_components

ts_components |>
  autoplot(color = '#203147') +
  labs(title = "Coffee Sales") +
  labs(subtitle = "Classical additive decomposition")Altyapı:

Klasik ayrıştırmadan farklı olarak, elde ettiğimiz veri çerçevesinin başında veya sonunda boşluk olmadığını fark edin.  

print(ts_components)Altyapı:

STL ayrıştırmanın da bazı sakıncaları vardır; ilgileniyorsanız, bu bilgileri SSS bölümümüze ekledik. 

Zaman Serisi Ayrıştırması ve Mevsimsel Düzeltmeler

Çoğu zaman, verinin mevsimselliği düzeltilmiş bir sürümünü oluşturmak faydalıdır. Zaman serisi ayrıştırması bu konuda yardımcı olur. Mevsimsel düzeltilmiş sürümü oluşturmak için basitçe trend ile kalıntı bileşenlerini toplarız. Ya da orijinal seriden mevsimsel bileşeni çıkarabiliriz; her ikisi de aynı sonuca ulaşır.

seasonally_adjusted <- components |>
  mutate(seasonally_adjusted = money - season_week)

season_adjust_data <- seasonally_adjusted |>
  select(date, money, season_adjust) |>
  pivot_longer(cols = c(money, season_adjust), names_to = "series", values_to = "value")

season_adjust_data |>
  autoplot() + facet_wrap(~series) +
  scale_color_manual(values = c(
    "money" = '#203147',          # blue
    "season_adjust" = '#01ef63'   # orange
  )) +
  facet_wrap(~series) +
  labs(title = "Coffee Sales: Original vs Seasonally Adjusted")Altyapı:

Bu özel verisetinde çok güçlü bir mevsimsellik olmadığını görüyoruz; bu da kendi başına ilginçtir.

Mevsimsel olarak düzeltilmiş verinin gücü, serimizin belirli özelliklerini anlamamıza yardımcı olabilmesidir. Örneğin, alttaki trendin mevsimsellikten kaynaklanıp kaynaklanmadığını görebiliriz. İkincisi, verideki olağandışı olayları daha yakından inceleyebiliriz. Cuma kampanyamızın işe yaradığını Cuma olduğu için mi, yoksa kampanya olduğu için mi düşünüyoruz? Zaman serisi ayrıştırması ve mevsimsel düzeltmelerle bu tür soruları test edebiliriz.

Zaman Serisi Ayrıştırması ve Tahminleme

Zaman serisi ayrıştırmasının tahminlemede de yardımcı olduğunu duymak sizi şaşırtabilir. Bunu iki ana şekilde düşünürüz. İlk olarak, hangi tahmin modelini kullanacağımıza karar vermemize yardımcı olması için zaman serisi bileşenlerimizi anlamak isteriz. Güçlü bir mevsimsellik görürsek, hem trend hem de mevsimsel bileşenleri ele almak için özel olarak tasarlanmış Holt-Winters üstel düzeltme veya ETS yöntemleri gibi modellere yönelebiliriz.

İkincisi, ayrıştırılmış verileri tahminimizin bir parçası olarak bile kullanabiliriz; bu bize seçenekler sunar. Örneğin, verimizin mevsimsel düzeltilmiş bir sürümünde mevsimsel olmayan bir tahmin modeli çalıştırabiliriz. (Mevsimsel bileşeni daha sonra yeniden ekleyebiliriz.) Mevsimsel düzeltme, özellikle esnek modeller kullanmak istediğimizde, standart ARIMA ve doğrusal regresyon gibi durumlarda faydalıdır. 

Burada, mevsimsel olarak düzeltilmiş veriyi tahmin etmek için basit bir ARIMA modeli oluşturuyoruz. 

season_adjust_data_filtered <- season_adjust_data |>
  filter(series == "season_adjust") |>
  as_tsibble(index = date)

seasonal_adjust_arima_model <- season_adjust_data_filtered |>
  model(
    ARIMA(value)
  )

seasonal_adjust_arima_model |>
  forecast(h = "14 days") |>  
  autoplot(season_adjust_data_filtered, color = '#01ef63') +
  labs(title = "Forecast of Seasonally Adjusted Coffee Sales",
       subtitle = "Simple ARIMA Model",
       y = "Money (Seasonally Adjusted)",
       x = "Date")Altyapı:

Ayrıca mevsimsel olarak düzeltilmiş seriyi tahmin edip mevsimsel bileşeni geri ekleyebiliriz; bu da etkili bir şekilde bize mevsimsel bir tahmin verir. Tüm bunlar ilk ayrıştırmamız sayesinde mümkün olmuştur.

# Build tagged historical and forecast data
historical_data <- components |>
  as_tibble() |>
  select(date, money) |>
  mutate(source = "historical")

forecast_data <- final_forecast |>
  as_tibble() |>
  transmute(date, money = money_forecast) |>
  mutate(source = "forecast")

# Bind and create tsibble
full_data <- bind_rows(historical_data, forecast_data) |>
  as_tsibble(index = date, validate = FALSE)

# Plot with color by source
full_data |>
  ggplot(aes(x = date, y = money, color = source)) +
  geom_line() +
  scale_color_manual(values = c(
    "historical" = "#203147",   # dark blue for real data
    "forecast" = "#01ef63"      # green for forecast
  )) +
  labs(
    title = "Coffee Sales: Actual and Forecast",
    subtitle = "Historical vs Forecast",
    y = "Money",
    x = "Date"
  )Altyapı:

Son Düşünceler

Zaman serisi ayrıştırmasıyla ilgili yazımızdan keyif aldığınızı umarım! Unutmayın ki ayrıştırma, zaman serisi analizinin sadece bir parçasıdır; bu alanda uzmanlaşmak için, görsellerimizde kullandığımız R paketlerinin geliştirilmesine katkıda bulunan Prof. Rob Hyndman ile R ile Tahminleme kursumuza kaydolun. Ayrıca, bu yazıdaki fikirleri ilginç bulduysanız ama Python’u tercih ediyorsanız, Python ile Zaman Serisi Verilerini Görselleştirme kursumuz da var; bu tür işler için o da oldukça iyidir.