R में काई-स्क्वेयर (Chi-Square) टेस्ट: संपूर्ण मार्गदर्शिका

डेटा का विश्लेषण और उसकी व्याख्या करना डेटा पेशेवरों के लिए एक अमूल्य कौशल है। अलग-अलग उद्देश्यों के लिए कई प्रकार के सांख्यिकीय परीक्षण उपयोग किए जाते हैं। काई-स्क्वेयर (chi-square) टेस्ट एक सामान्य परीक्षण है जिसका उपयोग एक विशिष्ट संदर्भ में किया जाता है: जब आपको श्रेणीबद्ध चरों (categorical variables) के बीच सह-संबंध निर्धारित करने हों। शोधकर्ताओं के लिए यह एक आम आवश्यकता है, इसलिए काई-स्क्वेयर टेस्ट सबसे व्यापक रूप से उपयोग किए जाने वाले सांख्यिकीय परीक्षणों में से एक है।

यह ट्यूटोरियल काई-स्क्वेयर टेस्ट, उसके विभिन्न प्रकार, और R प्रोग्रामिंग भाषा का उपयोग करके इसे करने के चरणों का परिचय देता है। इस गाइड के अंत तक, आप अपने डेटा पर आत्मविश्वास के साथ काई-स्क्वेयर टेस्ट लागू करने और परिणामों की व्याख्या करने के लिए आवश्यक ज्ञान और कौशल हासिल कर लेंगे।

यदि आप R प्रोग्रामिंग भाषा में नए हैं, तो हाथ-से-हाथ डेटा विश्लेषण उदाहरणों के माध्यम से भाषा से परिचित होने के लिए शुरुआती-अनुकूल Data Analyst with R करियर ट्रैक देख सकते हैं।

मुख्य चरण: R में काई-स्क्वेयर टेस्ट कैसे करें

R में काई-स्क्वेयर टेस्ट करने के लिए ये चरण अपनाएँ:

• चरण 1: अपने डेटा को कंटिजेंसी टेबल प्रारूप में तैयार करें।

• चरण 2: काई-स्क्वेयर टेस्ट लागू करने के लिए chisq.test() फ़ंक्शन का उपयोग करें।

यहाँ नमूना डेटा का उपयोग करते हुए एक त्वरित उदाहरण है:

# Step 1: Creating a contingency table
data <- matrix(c(10, 20, 30, 40), nrow = 2)

# Step 2: Applying the chi-square test function
result <- chisq.test(data)

# Viewing the result
print(result)संचालित द्वारा

यह कोड स्निपेट 2x2 कंटिजेंसी टेबल बनाता है और काई-स्क्वेयर टेस्ट करता है। परिणाम में टेस्ट सांख्यिकीय मान, डिग्री ऑफ फ्रीडम, और p-वैल्यू प्रदर्शित होगी।

काई-स्क्वेयर टेस्ट क्या है?

काई-स्क्वेयर टेस्ट एक सांख्यिकीय परीक्षण है जिसका उपयोग यह निर्धारित करने के लिए किया जाता है कि क्या श्रेणीबद्ध चरों के बीच कोई महत्वपूर्ण सह-संबंध है। यह विभिन्न श्रेणियों में देखे गए आवृत्तियों (observed frequencies) की तुलना उन अपेक्षित आवृत्तियों (expected frequencies) से करता है जो तब होतीं यदि चरों के बीच कोई सह-संबंध न होता।

काई-स्क्वेयर टेस्ट के प्रकार

काई-स्क्वेयर टेस्ट के दो मुख्य प्रकार होते हैं:

1. स्वतंत्रता का काई-स्क्वेयर टेस्ट (Chi-Square Test of Independence): यह तय करने में मदद करता है कि चर स्वतंत्र हैं या उनके बीच कोई संबंध है। उदाहरण के लिए, आप जानना चाह सकते हैं कि क्या लिंग मतदान वरीयता को प्रभावित करता है।
2. गुडनेस ऑफ फिट का काई-स्क्वेयर टेस्ट (Chi-Square Test of Goodness of Fit): यह परीक्षण जाँचता है कि नमूना डेटा किसी आबादी वितरण में फिट बैठता है या नहीं। उदाहरण के लिए, आप यह देखना चाह सकते हैं कि कोई पासा निष्पक्ष है या नहीं, इसके प्रत्येक फेस की देखी गई आवृत्ति की तुलना उस अपेक्षित आवृत्ति से करके जो पासा निष्पक्ष होने पर होती।

काई-स्क्वेयर टेस्ट की मान्यताएँ

काई-स्क्वेयर टेस्ट की वैधता सुनिश्चित करने के लिए कुछ मान्यताओं का पूरा होना आवश्यक है:

• डेटा मामलों की आवृत्तियों या गणनाओं (counts) के रूप में होना चाहिए।
• श्रेणियाँ परस्पर अनन्य (mutually exclusive) होनी चाहिए।
• स्वतंत्रता के काई-स्क्वेयर टेस्ट के लिए प्रत्येक श्रेणी में अपेक्षित आवृत्ति कम से कम 5 होनी चाहिए।
• गुडनेस ऑफ फिट टेस्ट में न्यूनतम अपेक्षित आवृत्ति 1 होनी चाहिए, और 5 से कम अपेक्षित आवृत्तियों का अनुपात 20% से अधिक नहीं होना चाहिए।

काई-स्क्वेयर टेस्ट के व्यावहारिक उपयोग

काई-स्क्वेयर टेस्ट का व्यापक रूप से अकादमिक और उद्योग में उपयोग होता है, विशेषकर श्रेणीबद्ध चरों की स्वतंत्रता के बारे में परिकल्पनाओं की जाँच के लिए। इनके कुछ व्यावहारिक उपयोग इस प्रकार हैं:

• मार्केट रिसर्च: जैसे विभिन्न आयु समूहों और आय स्तरों में किसी उत्पाद के प्रति ग्राहक वरीयताओं में अंतर का विश्लेषण करना, या यह निर्धारित करना कि अलग-अलग मार्केटिंग अभियानों की प्रभावशीलता विभिन्न जनसांख्यिकीय खंडों में समान है या नहीं।
• मेडिकल रिसर्च: जैसे जीवनशैली कारकों (उदा., धूम्रपान, व्यायाम) और रोगों (उदा., फेफड़ों का कैंसर, हृदय रोग) की घटनाओं के बीच संबंध का अध्ययन करना, या नैदानिक परीक्षणों में अलग-अलग उपचार समूहों की रिकवरी दरों में अंतर का मूल्यांकन करना।
• क्वालिटी कंट्रोल: जैसे उत्पाद दोषों का निर्माण प्रक्रियाओं या विशिष्ट उत्पादन लाइनों से स्वतंत्र होना, और अलग-अलग आपूर्तिकर्ताओं के उत्पादों की गुणवत्ता की तुलना करके दोष दरों में किसी महत्वपूर्ण अंतर का निर्धारण करना।
• शिक्षा: जैसे अलग-अलग विद्यालयों या शिक्षण विधियों के विद्यार्थियों के पास दरों में महत्वपूर्ण अंतर का निर्धारण करना, और नए पाठ्यक्रम की शुरुआत से विषयों में विद्यार्थी प्रदर्शन में सुधार का मूल्यांकन करना।

ध्यान देने योग्य है कि ये अकादमिक और उद्योग में अनेक उपयोगों में से कुछ हैं और इन्हें अन्य डोमेन व क्षेत्रों तक भी बढ़ाया जा सकता है।

R में काई-स्क्वेयर टेस्ट करना: एक उदाहरण

काई-स्क्वेयर टेस्ट करना सीखने का सबसे अच्छा तरीका है किसी डेटासेट पर इसे लागू करते हुए उदाहरण देखना। हम Anemia Levels in Nigeria डेटासेट का उपयोग करेंगे, जिसे Kaggle से डाउनलोड किया जा सकता है। यह डेटासेट 2018 Nigeria Demographic and Health Surveys (NDHS) से लिया गया है। यह माताओं की आयु और सामाजिक-आर्थिक कारकों का 0–59 महीनों की आयु के बच्चों में एनीमिया स्तरों पर प्रभाव की पड़ताल करता है, जो नाइजीरिया के 36 राज्यों और फेडरल कैपिटल टेरिटरी में फैला है। 

आइए डेटासेट को R में लोड करें और डेटा को बेहतर समझने के लिए उसका एक नमूना देखें। R में CSV फाइलें पढ़ने के लिए आपको readr नामक पैकेज इंस्टॉल करना होगा।

# Load the necessary libraries
install.packages('readr')
library(readr)

# Load the dataset from the CSV file
dataset <- read_csv("children anemia.csv")

# Display the first few rows of the dataset
head(dataset)

# Rename a column
colnames(dataset)[colnames(dataset) == "Anemia level...8"] <- "Anemia level"

# Display the column names
colnames(dataset)संचालित द्वारा

डेटासेट के नमूने के अलावा, हम नीचे डेटासेट के कॉलम भी देखेंगे:

डेटासेट के कॉलम। चित्र: लेखक द्वारा।

इनमें से, हम यह जाँचने के लिए दो कॉलम चुनेंगे कि क्या उनके बीच कोई संबंध है।

• Highest educational level: यह कॉलम माँ की शिक्षा को “No education”, “Primary”, “Secondary” और “Higher” स्तरों में वर्गीकृत करता है।

• Anemia level: यह कॉलम बच्चे के एनीमिया स्तर को दर्शाता है, जैसे “Moderate”, “Severe” या “No Anemia”.

चरण 1: कंटिजेंसी टेबल बनाना

कंटिजेंसी टेबल, जिसे क्रॉस-टैबुलेशन या क्रॉस-टैब भी कहा जाता है, यह दिखाती है कि दो या अधिक श्रेणीबद्ध चरों के मान अपनी-अपनी श्रेणियों में कैसे वितरित हैं। 

हम डेटासेट से ये दो चयनित कॉलम लेंगे और उन्हें आवश्यक कंटिजेंसी टेबल प्रारूप में बदलेंगे। इसके लिए हम dplyr नामक आमतौर पर उपयोग किए जाने वाले पैकेज का इस्तेमाल करेंगे।

# Install and load the package
install.packages('dplyr')

library(dplyr)

# Select the columns of interest
selected_data <- dataset %>% select(Highest educational level, Anemia level)

# Create a contingency table for Highest educational level and Anemia level
contingency_table <- table(selected_data$Highest educational level, selected_data$Anemia level)

# View the contingency table
print(contingency_table)संचालित द्वारा

बनी हुई कंटिजेंसी टेबल कुछ इस तरह दिखती है:

कंटिजेंसी टेबल। चित्र: लेखक द्वारा।

चरण 2: काई-स्क्वेयर टेस्ट फ़ंक्शन लागू करना

चूँकि हमारे पास डेटा इच्छित कंटिजेंसी टेबल प्रारूप में है, हम सीधे chisq.test() फ़ंक्शन लागू कर सकते हैं। इस फ़ंक्शन को कॉल करने के लिए किसी लाइब्रेरी को लोड करने की आवश्यकता नहीं है, क्योंकि यह बेस R पैकेज में उपलब्ध है।

# Perform chi-square test
chi_square_test <- chisq.test(contingency_table)

# View the results
print(chi_square_test)संचालित द्वारा

आउटपुट इस तरह दिखेगा:

पियरसन का काई-स्क्वेयर टेस्ट परिणाम। चित्र: लेखक द्वारा।

बस इतना ही! हमने दो सरल चरणों में काई-स्क्वेयर टेस्ट कर लिया। अब, हम परिणामों की व्याख्या कैसे करें?

परिकल्पना बनाना और परिणामों की व्याख्या

परिकल्पनाएँ स्पष्ट करती हैं कि हम क्या जाँच रहे हैं और परिणामों की व्याख्या के लिए एक ढांचा स्थापित करती हैं। सरल शब्दों में, जो परिकल्पना हम बनाते हैं वह हमें एक स्पष्ट प्रश्न देती है, और काई-स्क्वेयर टेस्ट यह निर्धारित करने में मदद करता है कि देखे गए डेटा उस दावे का समर्थन करता है या उसे खारिज करता है।

काई-स्क्वेयर टेस्ट के लिए परिकल्पनाएँ

काई-स्क्वेयर टेस्ट करते समय, हम आमतौर पर दो परिकल्पनाएँ स्थापित करते हैं:

• शून्य परिकल्पना (H0): शून्य परिकल्पना कहती है कि जाँचे जा रहे दो श्रेणीबद्ध चरों के बीच कोई सह-संबंध नहीं है। यह मानती है कि डेटा में देखे गए किसी भी अंतर का कारण वास्तविक संबंध नहीं बल्कि यादृच्छिक संयोग है।
• वैकल्पिक परिकल्पना (H1): वैकल्पिक परिकल्पना कहती है कि दोनों चरों के बीच एक महत्वपूर्ण सह-संबंध है। यह सुझाव देती है कि देखे गए अंतर महज संयोग नहीं हैं और चरों के बीच संबंध मौजूद है।

जिन चरों पर हमने काई-स्क्वेयर टेस्ट किया है, उन पर शून्य और वैकल्पिक परिकल्पना की अवधारणाएँ लागू करते हुए, हम परिकल्पना इस प्रकार बना सकते हैं:

• शून्य परिकल्पना (H0): माँ की उच्चतम शैक्षिक योग्यता और बच्चे के एनीमिया स्तर के बीच कोई सह-संबंध नहीं है। अर्थात, हम मानते हैं कि बच्चे में एनीमिया होने की संभावना माँ की शिक्षा के स्तर से स्वतंत्र है।
• वैकल्पिक परिकल्पना (H1): माँ की उच्चतम शैक्षिक योग्यता और बच्चे के एनीमिया स्तर के बीच सह-संबंध है। इसका तात्पर्य है कि माँ की शिक्षा का स्तर बच्चे में एनीमिया होने की संभावना को प्रभावित करता है।

काई-स्क्वेयर टेस्ट के आउटपुट की व्याख्या

अब जब हमने परिकल्पना बना ली है, तो हम परिणामों की व्याख्या परिकल्पना के संदर्भ में कर सकते हैं:

• काई-स्क्वेयर सांख्यिकीय मान (X-squared): काई-स्क्वेयर टेस्ट का सांख्यिकीय मान 142.86 है। यह मान कंटिजेंसी टेबल में देखी गई आवृत्तियों और उन अपेक्षित आवृत्तियों के बीच अंतर मापता है जो तब होतीं जब चरों के बीच कोई सह-संबंध न होता।

• डिग्री ऑफ फ्रीडम (df): इस परीक्षण के लिए डिग्री ऑफ फ्रीडम 9 है। इसका सूत्र है (पंक्तियों की संख्या - 1) * (स्तंभों की संख्या - 1)।

• P-वैल्यू: p-वैल्यू 2.2e-16 से कम है, जो अत्यंत छोटी है। यह p-वैल्यू उस संभावना को दर्शाती है कि यदि शून्य परिकल्पना सही हो, तो 142.86 जितना या उससे अधिक चरम काई-स्क्वेयर सांख्यिकीय मान देखने को मिले।

क्योंकि p-वैल्यू सामान्य महत्व स्तरों (जैसे 0.05, 0.01, या 0.001) से कहीं छोटी है, हम शून्य परिकल्पना को अस्वीकार करते हैं। यह माँ की शिक्षा के स्तर और बच्चे की एनीमिया स्थिति के बीच एक महत्वपूर्ण सह-संबंध के प्रबल प्रमाण प्रदान करता है। दूसरे शब्दों में, काई-स्क्वेयर टेस्ट के परिणाम संकेत देते हैं कि बच्चे में एनीमिया होने की संभावना माँ की शिक्षा के स्तर से महत्वपूर्ण रूप से जुड़ी है।

अतिरिक्त विश्लेषण: chisq.test() से मान प्राप्त करना

परिकल्पना परीक्षण से आगे, हम chisq.test() फ़ंक्शन द्वारा लौटाए गए ऑब्जेक्ट से कुछ मान निकाल सकते हैं:

Observed counts

ये अलग-अलग मातृ शिक्षा स्तरों में बच्चों के विभिन्न एनीमिया स्तरों के वास्तविक काउंट दर्शाते हैं। Observed counts निम्न कोड से प्राप्त किए जा सकते हैं:

# Observed counts
observed_counts <- chi_square_test$observed

print(observed_counts)संचालित द्वारा

आउटपुट इस प्रकार है:

Observed counts. चित्र: लेखक द्वारा।

Expected counts

ये काउंट उस धारणा के तहत गणना किए जाते हैं कि माँ की शिक्षा का स्तर और बच्चे की एनीमिया स्थिति के बीच कोई सह-संबंध नहीं है। Expected counts निम्न कोड से प्राप्त किए जा सकते हैं:

# Expected counts
expected_counts <- chi_square_test$expected
print(round(expected_counts, 2))संचालित द्वारा

आउटपुट इस प्रकार है:

Expected counts. चित्र: लेखक द्वारा।

पियरसन रेजिडुअल्स

ये रेजिडुअल्स observed और expected काउंट के बीच सबसे बड़े अंतर की पहचान करने में मदद करते हैं, और बताते हैं कि कौन-से सेल काई-स्क्वेयर सांख्यिकीय मान में सबसे अधिक योगदान देते हैं। पियरसन रेजिडुअल्स निम्न कोड से प्राप्त किए जा सकते हैं:

# Pearson residuals
pearson_residuals <- chi_square_test$residuals
print(round(pearson_residuals, 2))संचालित द्वारा

आउटपुट इस प्रकार है:

Residuals output. चित्र: लेखक द्वारा।

आइए समझने की कोशिश करें कि ये रेजिडुअल मान क्या दर्शाते हैं:

• सकारात्मक रेजिडुअल्स: सकारात्मक रेजिडुअल्स इंगित करते हैं कि observed काउंट अपेक्षित से अधिक है। उदाहरण के लिए, “Higher” शिक्षा समूह में "Not anemic" के लिए 5.96 का रेजिडुअल यह दर्शाता है कि उच्च-शिक्षित माताओं में अपेक्षा से कहीं अधिक बच्चे एनीमिक नहीं हैं।

• नकारात्मक रेजिडुअल्स: नकारात्मक रेजिडुअल्स इंगित करते हैं कि observed काउंट अपेक्षित से कम है। उदाहरण के लिए, “Higher” शिक्षा समूह में "Moderate" एनीमिया के लिए -5.74 का रेजिडुअल यह सुझाव देता है कि उच्च-शिक्षित माताओं में अपेक्षा से काफी कम बच्चे मध्यम एनीमिक हैं।

• बड़े रेजिडुअल्स: बड़े सकारात्मक या नकारात्मक रेजिडुअल्स अपेक्षित मान से महत्वपूर्ण विचलन का संकेत देते हैं। ये सेल काई-स्क्वेयर सांख्यिकीय मान में सबसे अधिक योगदान देते हैं। उदाहरण के लिए, “Higher” शिक्षा समूह में “Not anemic” के लिए बड़ा सकारात्मक रेजिडुअल और उसी समूह में “Moderate” एनीमिया के लिए बड़ा नकारात्मक रेजिडुअल, माँ की शिक्षा के आधार पर बच्चों के एनीमिया स्तरों में मजबूत विचलन दर्शाते हैं।

• छोटे रेजिडुअल्स: छोटे रेजिडुअल्स (0 के करीब) संकेत देते हैं कि observed काउंट अपेक्षित काउंट के करीब हैं, जो कम विचलन दर्शाता है। उदाहरण के तौर पर, “Primary” शिक्षा के लिए एनीमिया स्तरों में रेजिडुअल्स अपेक्षाकृत छोटे हैं, जो इस समूह के लिए observed और expected काउंट के अधिक निकट होने का संकेत है।

कॉन्ट्रिब्यूशन डायग्राम

ऊपर निकाले गए मानों के आधार पर, प्रत्येक सेल का काई-स्क्वेयर सांख्यिकीय मान में योगदान नीचे दिए गए कोड से निकाला जा सकता है और उसे प्रतिशत में बदला जा सकता है:

# Calculate contribution to chi-square statistic
contributions <- (observed_counts - expected_counts)^2 / expected_counts

# Calculate percentage contributions
total_chi_square <- chi_square_test$statistic
percentage_contributions <- 100 * contributions / total_chi_square

# Print percentage contributions
print("Percentage Contributions:")
print(round(percentage_contributions, 2))संचालित द्वारा

हमें जो आउटपुट दिखाई देगा, वह इस प्रकार है:

Percentage contributions. चित्र: लेखक द्वारा।

गणना किए गए योगदान को हीटमैप के रूप में विज़ुअलाइज़ किया जा सकता है। इसके लिए हम pheatmap नामक पैकेज का उपयोग करेंगे, जिसे इंस्टॉल और लोड करने के बाद प्रयोग करेंगे।

# Install and load heatmap package
install.packages("pheatmap")
library(heatmap)

# Create heatmap for percentage contributions
pheatmap(percentage_contributions,
        display_numbers = TRUE,
        cluster_rows = FALSE,
        cluster_cols = FALSE,
        main = "Percentage Contribution to Chi-Square Statistic")संचालित द्वारा

प्राप्त आउटपुट इस प्रकार है:

काई-स्क्वेयर सांख्यिकीय मान में प्रतिशत योगदान का हीटमैप। चित्र: लेखक द्वारा।

ऊपर जैसा योगदान वाला हीटमैप तब उपयोगी हो सकता है जब आप आगे का विश्लेषण करना चाहें ताकि काई-स्क्वेयर टेस्ट के परिणामों के आधार पर मौजूद सह-संबंधों की प्रकृति को समझा जा सके।

निष्कर्ष

इस ट्यूटोरियल में आपने काई-स्क्वेयर टेस्ट, उसके प्रकार और आधारभूत मान्यताओं के बारे में जाना। आगे हमने R में उदाहरण सहित यह परीक्षण कैसे करें और परिणामों की व्याख्या के साथ विज़ुअलाइज़ेशन कैसे जोड़ें, यह भी सीखा। 

काई-स्क्वेयर टेस्ट का प्रयोग परिकल्पना परीक्षण और सामान्यतः सांख्यिकी में व्यापक है। R का उपयोग करके डेटा एनालिटिक्स और सांख्यिकी की समझ मजबूत करने के लिए इन पाठ्यक्रमों पर विचार करें:

• Introduction to Statistics in R कोर्स
• Exploratory Data Analysis in R कोर्स
• Hypothesis Testing in R कोर्स