Einführung in nichtlineare Modelle und Insights mit R

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Nichtlineare Modelle sind längst nicht mehr so populär wie früher. Viele Bücher lassen das Thema heute ganz weg oder behandeln es nur am Rande. Dafür gibt es einige gute Gründe. Erstens lässt sich eine nichtlineare Kurve auch mit linearer Regression annähern, zum Beispiel über Polynomterme höherer Ordnung oder durch Basisfunktionen (also Log- oder Wurzel-Transformationen der erklärenden Variablen). Zweitens setzen viele aus Gründen der Einfachheit auf lineare Modelle, weil sie sich leichter interpretieren und erklären lassen.

Zudem ist es für nichtlineare Modelle wichtig, die Daten zu visualisieren und ein Gefühl für den Verlauf zu bekommen – das ist in multivariaten Settings nicht ohne Weiteres möglich. Und nichtlineare Modelle eignen sich besonders für mechanistische Zusammenhänge, bei denen die Phänomene physikalisch bzw. deterministisch sind – was bei Big Data mit maschinell protokollierten Nutzeraktivitäten oft nicht zutrifft.

Trotz all dieser Punkte ist nichtlineares Modellieren eine faszinierende Disziplin, die man erkunden und mit der linearen Alternative vergleichen sollte.

Nichtlineares Regressionsmodell

Schätzverfahren für nichtlineare Modelle sind explizit iterativ. Außerdem gibt es einen grundlegenden Unterschied in der Anwendung der Formel: Sie funktioniert nicht wie eine lineare Formel. Die folgenden drei Gleichungen gelten alle als linear, weil die Beziehung zwischen y und B₀, B₁ und B₂ jeweils eine Gerade ist.

Nichtlinear wird eine Formel zum Beispiel so:

Die Verwendung von B₀ oder B₁ ist dabei beliebig. In den beiden letzten Gleichungen ist die Beziehung zwischen y und B₀ jedoch keine Gerade.

Das erschwert leider die Berechnungen, und eine erfolgreiche numerische Lösung des Schätzproblems ist nicht garantiert. Nichtlineare Modelle kommen daher mit dem Warnhinweis, dass Ergebnisse nicht immer intuitiv oder präzise sind.

Spezialisierte Modelle

In der Praxis nutzt man für nichtlineare Modelle häufig spezialisierte Typen. Das macht das Fitten bequemer bzw. numerisch stabiler, sollte aber fachlich begründet und mit den Daten abgestimmt sein. Mit „spezialisiert“ meinen wir vordefinierte mathematische Gleichungen. Hier ist eine Auswahl häufig genutzter nichtlinearer Gleichungen (einige der Vollständigkeit halber weggelassen):

Vorgehen beim nichtlinearen Regressionsmodell

1. Visualisiere die Daten und prüfe, ob eine spezielle mathematische Funktion die Daten am besten beschreibt.
2. Wähle Startwerte für die Parameter, entweder per Augenmaß aus dem Plot oder über eine Self-Starter-Funktion (siehe unten).
3. Fitte das Modell und untersuche die Ergebnisse.
4. Führe eine statistische Analyse des gefitteten Modells durch: Konfidenzintervalle der Parameter, Residuenfehler und aufgeklärte Varianz.
5. Ergänze bei Bedarf weitere Parameter, wenn sich dadurch der Residuenfehler reduziert.
6. Fitte immer auch ein lineares Modell und vergleiche die Ergebnisse mit dem nichtlinearen Modell.

Das nichtlineare Modell am Beispiel erklärt

Wir fitten ein spezialisiertes nichtlineares Modell auf dem bekannten Datensatz Puromycin. Er enthält Reaktionsgeschwindigkeit und Konzentration für eine enzymatische Reaktion in Zellkulturen mit dem Wirkstoff Puromycin. Es gibt zwei Zellklassen: behandelt mit Puromycin und unbehandelt.

names(Puromycin)Puromycin'conc''rate''state'Bereitgestellt von

Die drei Variablen sind die Substratkonzentration, die anfängliche Reaktionsgeschwindigkeit und ein Indikator für behandelt vs. unbehandelt.

Wenn wir Rate gegen Konzentration plotten und die beiden Behandlungsstufen kennzeichnen, erkennen wir ein Muster: Die Kurven verlaufen asymptotisch und unterscheiden sich deutlich zwischen den Kohorten.

plot(Puromycin$conc, Puromycin$rate, type="n", xlab = "conc", ylab = "rate")text(Puromycin$conc, Puromycin$rate,      ifelse(Puromycin$state == "treated", "T", "U"))Bereitgestellt von

Da die Daten eine ausgeprägte Michaelis-Menten-Beziehung zwischen Reaktionsgeschwindigkeit und Konzentration zeigen, liegt folgende Gleichung nahe:

Dabei steht E für den Versuchsfehler. Analog zur linearen Regression schätzen wir in einem spezialisierten nichtlinearen Modell die Parameter Vmax und K so, dass die Summe der quadrierten Residuen minimiert wird (es gibt auch alternative Schätzmethoden):

Ein nichtlineares Modell fitten

Auch wenn wir die Beziehung kennen, ist das Fitten nicht ganz trivial, denn das Modell braucht Startwerte für V_max und K. Sind die Startwerte schlecht gewählt, kann das Fit scheitern oder ungenau werden. Es gibt zwei Optionen:

• Startwerte per Augenmaß aus dem Plot ableiten.
• Eine Self-Starter-Funktion verwenden (siehe unten).

Zu jedem Modelltyp gibt es eine passende Self-Starter-Funktion für die Startwertschätzung.

Modellfit mit Startwerten

Mit den Startwerten Vmax = 160, K = 0.05 (per Augenmaß) lässt sich die R-Funktion nls() zum Fitten nutzen. Bei linearer Regression müssen wir Parameter wie Vm oder K nicht angeben, beim nichtlinearen Modell ist das anders. Jeder iterative Algorithmus braucht einen guten Startpunkt, sonst konvergiert er möglicherweise nicht. So fitten wir Puromycin mit Startwerten:

Purboth_1 <- nls(rate ~ (Vm)*conc/(K+conc), Puromycin, list(Vm=160, K=0.05))summary(Purboth_1)Formula: rate ~ (Vm) * conc/(K + conc)Parameters:Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)Vm 190.80624 8.76459 21.770 6.84e-16 ***K 0.06039 0.01077 5.608 1.45e-05 ***---Signif. codes: 0 ‘***’ 0.001 ‘**’ 0.01 ‘*’ 0.05 ‘.’ 0.1 ‘ ’ 1Residual standard error: 18.61 on 21 degrees of freedomNumber of iterations to convergence: 5Achieved convergence tolerance: 5.121e-06Bereitgestellt von

Residuenfehler berechnen

Den Residuenfehler berechnen wir so:

sse <- Purboth_1$m$deviance()sse7276.54697931423Bereitgestellt von

Aufgeklärte Varianz berechnen

Um die aufgeklärte Varianz zu bestimmen (analog zum R-Quadrat in der linearen Regression), fitten wir ein Nullmodell, schätzen den Gesamtmittelwert, entnehmen die totale Quadratsumme sst aus der ANOVA-Zusammenfassung des Nullmodells und berechnen daraus den Prozentsatz aufgeklärter Varianz.

sse <- Purboth_1$m$deviance()null <- lm(rate~1, Puromycin)sst <- data.frame(summary.aov(null)[[1]])$Sum.Sqpercent_variation_explained = 100*(sst-sse)/sstpercent_variation_explained85.3488323994681Bereitgestellt von

Dieses Modell erklärt 85,34 % der Variation in den Daten.

Fit mit Self-Starter-Funktion

Da wir das Michaelis-Menten-Modell verwenden, können wir stattdessen die Self-Starter-Funktion SSmicmen() nutzen. Das liefert hier identische Ergebnisse.

Purboth_self <- nls(rate~SSmicmen(conc,Vm,K), Puromycin)summary(Purboth_self)Formula: rate ~ SSmicmen(conc, Vm, K)Parameters:Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)Vm 190.80667 8.76462 21.770 6.84e-16 ***K 0.06039 0.01077 5.608 1.45e-05 ***---Signif. codes: 0 ‘***’ 0.001 ‘**’ 0.01 ‘*’ 0.05 ‘.’ 0.1 ‘ ’ 1Residual standard error: 18.61 on 21 degrees of freedomNumber of iterations to convergence: 4Achieved convergence tolerance: 6.745e-06Bereitgestellt von

Residuenfehler berechnen

sse <- Purboth_self$m$deviance()sse7276.54697947673Bereitgestellt von

Aufgeklärte Varianz berechnen

Wir prüfen die aufgeklärte Varianz des Modells.

sse <- Purboth_self$m$deviance()null <- lm(rate~1, Puromycin)sst <- data.frame(summary.aov(null)[[1]])$Sum.Sqpercent_variation_explained = 100*(sst-sse)/sstpercent_variation_explained85.348832399141Bereitgestellt von

Allgemein ergibt sich für die Beziehung Rate vs. Konzentration folgende Gleichung:

Fit visualisieren

Wie gut das Modell passt, siehst du, wenn du die gefittete Kurve über die Daten legst – der Verlauf ist deutlich nichtlinear.

plot(Puromycin$conc, Puromycin$rate, xlab="conc", ylab = "rate")lines(Puromycin[Puromycin$state == "treated",]$conc,       predict(Purboth_1, Puromycin[Puromycin$state == "treated",]), col=2)lines(Puromycin[Puromycin$state != "treated",]$conc,       predict(Purboth_1, Puromycin[Puromycin$state != "treated",]), col=2)Bereitgestellt von

Besseres Modell wählen

Wir können das Modell weiter abstimmen, indem wir Parameter ergänzen. Betrachtet man den Plot Rate vs. Konzentration, sieht man unterschiedliche Verläufe für die Klassen (behandelt vs. unbehandelt); der Abstand zwischen den Klassen auf der y-Achse liegt etwa bei 40.

plot(Puromycin$conc, Puromycin$rate, type="n", xlab = "conc", ylab = "rate")text(Puromycin$conc, Puromycin$rate,      ifelse(Puromycin$state == "treated", "+", "*"))Bereitgestellt von

Wir konditionieren also auf die Zustandsvariable und erhalten folgende nichtlineare Gleichung:

Mit dem zusätzlichen Parameter delV performt das Modell besser. Wir setzen delV initial auf 40 und fitten mit nls drei Parameter.

Purboth <- nls(rate ~ (Vm + delV*(state=="treated"))*conc/(K+conc), Puromycin,                list(Vm=160, delV=40, K=0.05))summary(Purboth)Formula: rate ~ (Vm + delV * (state == "treated")) * conc/(K + conc)Parameters:      Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)    Vm   166.60397    5.80742  28.688  < 2e-16 ***delV  42.02591    6.27214   6.700 1.61e-06 ***K      0.05797    0.00591   9.809 4.37e-09 ***---Signif. codes:  0 ‘***’ 0.001 ‘**’ 0.01 ‘*’ 0.05 ‘.’ 0.1 ‘ ’ 1Residual standard error: 10.59 on 20 degrees of freedomNumber of iterations to convergence: 5 Achieved convergence tolerance: 8.93e-06Bereitgestellt von

Die Summary zeigt, dass alle drei Parameter statistisch signifikant sind.

Residuenfehler berechnen

Bei diesem Modell sinkt der Residuenfehler deutlich:

sse <- Purboth$m$deviance()sse2240.89143883885Bereitgestellt von

Aufgeklärte Varianz berechnen

Dieses Modell erklärt mehr Varianz.

sse <- Purboth$m$deviance()null <- lm(rate~1, Puromycin)sst <- data.frame(summary.aov(null)[[1]])$Sum.Sqpercent_variation_explained = 100*(sst-sse)/sstpercent_variation_explained95.4880142822744Bereitgestellt von

AIC-Prüfung

Man kann auch den AIC beider Modelle vergleichen. Heute nutzt man zwar oft Cross-Validation, das erfordert aber generell mehr Daten. Grundsätzlich gilt: Je niedriger der AIC, desto besser das Modell.

AIC(Purboth)AIC(Purboth_1)178.591273238391203.680274951742Bereitgestellt von

Fit visualisieren

Wie gut das getunte Modell passt, zeigen gefittete Linien für beide Klassen – wenig überraschend liefert das getunte Modell die bessere Anpassung.

plot(Puromycin$conc, Puromycin$rate, xlab="conc", ylab = "rate")lines(Puromycin[Puromycin$state == "treated",]$conc, predict(Purboth, Puromycin[Puromycin$state == "treated",]), col=2)lines(Puromycin[Puromycin$state != "treated",]$conc, predict(Purboth, Puromycin[Puromycin$state != "treated",]), col=3)legend(0, 200, legend = c("treated", "untreated"), fill = c(2,3))Bereitgestellt von

Konfidenzintervalle der Parameter

Verlass dich nicht nur auf p-Werte. Das 95%-Konfidenzintervall gibt für jeden signifikanten Koeffizienten die Werte bei 2,5 % und 97,5 % an. Keines der Intervalle enthält 0.

confint(Purboth)Bereitgestellt von

Mit dem Konfidenzintervall kann man statistisch sagen, dass mit 95 % Wahrscheinlichkeit der wahre Parameterwert, z. B. Vmax, im angegebenen Bereich liegt – für Vmax also zwischen 154,62 und 179,25.

Profiling

Über ein Profiling des Modells lässt sich die Unsicherheit der Parameterschätzung untersuchen, indem man die Zielfunktion direkt betrachtet. In unserem Modell haben wir drei Parameter Vmax, delV, K, die wir profilieren können:

• Um Konfidenzintervalle zu erhalten.
• Und über die Profilfunktion t, die dem t-Statistikansatz in linearen Modellen ähnelt. Plots der Profil-t-Funktion liefern Likelihood-Intervalle für einzelne Parameter und zeigen, wie nichtlinear die Schätzung ist.

Konfidenzintervalle plotten

Diese Plots zeigen die Konfidenzintervalle der Parameter für verschiedene Werte von , was verschiedenen Konfidenzniveaus (99 %, 95 %, 90 %, 80 % und 50 %) entspricht. Das ist ähnlich zum 95%-Intervall aus confint(object, parm, level = 0.95, ...)function.

Purbothpf = profile(Purboth)par( mfrow= c(2,2) )plot(Purbothpf)Bereitgestellt von

Plot von _T vs. Parameter

Die Plots der drei Parameter Vmax, delV, K gegen _T zeigen, ob der Fit eher linear oder nichtlinear ist. Man erkennt: für delV und Vm wirkt die Linie linear, für K leicht gekrümmt. Das ist zu erwarten, da K eine nichtlineare Beziehung aufweist.

dataVm = data.frame(Purbothpf$Vm$par.vals)datadelV = data.frame(Purbothpf$delV$par.vals)dataK = data.frame(Purbothpf$K$par.vals)par( mfrow= c(2,2) )plot(dataVm$Vm,Purbothpf$Vm$tau, type="l", xlab = "Vm", ylab = "Tau")plot(datadelV$delV,Purbothpf$delV$tau, type="l", xlab = "delV", ylab = "Tau")plot(dataK$K,Purbothpf$K$tau, type="l", xlab = "K", ylab = "Tau")Bereitgestellt von

Lineares Modell fitten

Mit nls() lässt sich auch ein lineares Modell fitten, wie unten gezeigt. Aus Interpretations- und Vergleichsgründen ist es generell sinnvoll, stets auch ein lineares Modell zu testen.

PurbothRealLinear <- nls(rate ~ i + m*conc, Puromycin, list(i=160, m=0.05) )summary(PurbothRealLinear)Formula: rate ~ i + m * concParameters:  Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)    i    93.92       8.00   11.74 1.09e-10 ***m   105.40      16.92    6.23 3.53e-06 ***---Signif. codes:  0 ‘***’ 0.001 ‘**’ 0.01 ‘*’ 0.05 ‘.’ 0.1 ‘ ’ 1Residual standard error: 28.82 on 21 degrees of freedomNumber of iterations to convergence: 2 Achieved convergence tolerance: 2.571e-09Bereitgestellt von

Obwohl die Parameter signifikant wirken, ist der Fit schwach. Der Residual Standard Error ist hoch.

Fit visualisieren

Das lineare Modell schneidet sichtbar schlechter ab. Der Plot der gefitteten Linie im Vergleich zum nichtlinearen Pendant macht das klar.

plot(Puromycin$conc, Puromycin$rate, xlab="conc", ylab = "rate")lines(Puromycin$conc, predict(PurbothRealLinear), col=4)Bereitgestellt von

Nichtlineares vs. lineares Modell analytisch vergleichen

Der obige Plot zeigt: Das lineare Modell leistet wenig. Wie vergleichen wir die Modelle fair? Ein direkter AIC-Vergleich ist hier nicht sinnvoll.

Goodness of Fit

Ein guter Fit bedeutet bei Regression: Vorhersage und Ist-Wert liegen möglichst dicht beieinander. Prüft man mit lm() die Qualität der Vorhersagen, lassen sich Modelle vergleichen. Je näher die Punkte an der Ideallinie liegen (100 % korrekte Vorhersage), desto besser.

Nichtlinearer Fit

Für jeden Datenpunkt sagen wir den Zielwert voraus und nutzen danach lm(). Im Scatterplot zwischen Ist-Rate (x) und Vorhersage (y) plus Ideallinie sieht man die Abweichungen.

nonLinear_df = data.frame("rate"=Puromycin$rate, "pred_rate"= predict(Purboth))fit_nonLinear = lm(nonLinear_df$rate ~ nonLinear_df$pred_rate)AIC(fit_nonLinear)plot(nonLinear_df$rate, nonLinear_df$pred_rate, xlab="actual_rate",      ylab = "pred_rate",      main = "Comparing Actual vs Predicted for Non Linear Model")lines(Puromycin$rate, Puromycin$rate)174.711198508104Bereitgestellt von

Linearer Fit

Der oben gezeigte nichtlineare Plot passt klar besser als der lineare Plot unten.

linear_df = data.frame("rate"=Puromycin$rate, "pred_rate"= predict(PurbothRealLinear))fit_linear = lm(linear_df$rate~linear_df$pred_rate)AIC(fit_linear)plot(linear_df$rate, linear_df$pred_rate, xlab="actual_rate", ylab = "pred_rate",      main= "Comparing Actual vs Predicted using lm()")lines(Puromycin$rate, Puromycin$rate)223.783416979551Bereitgestellt von

Lineares Modell verbessern

Dem linearen Modell tun wir etwas Unrecht, denn die Daten folgen erkennbar keiner Geraden. Wir können es daher mit transformierten Daten probieren. Mit sqrt() transformieren wir conc und fitten ein lineares Modell:

PurbothLinearSqrt = nls(rate ~ i + m*sqrt(conc), Puromycin, list(i=160, m=0.05) )summary(PurbothLinearSqrt)Formula: rate ~ i + m * sqrt(conc)Parameters:  Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)    i   60.961      8.758   6.961 7.11e-07 ***m  139.134     15.675   8.876 1.50e-08 ***---Signif. codes:  0 ‘***’ 0.001 ‘**’ 0.01 ‘*’ 0.05 ‘.’ 0.1 ‘ ’ 1Residual standard error: 22.31 on 21 degrees of freedomNumber of iterations to convergence: 2 Achieved convergence tolerance: 1.838e-09Bereitgestellt von

Tatsächlich sinkt der Residual Standard Error, aber weniger stark als erhofft.

Fit plotten

Die sqrt()-Transformation von conc verbessert das lineare Modell sichtbar. Gegenüber dem nichtlinearen Modell Purboth ist es jedoch weiterhin unterlegen. Der Residual Standard Error von PurbothLinearSqrt ist fast doppelt so hoch wie bei Purboth. Wir verfolgen dieses Modell daher nicht weiter. Höhere Polynomgrade (polynomielle Regression) wären möglich, erfordern aber deutlich mehr Feintuning – während ein nichtlineares Modell hier schneller zu besseren Ergebnissen führt.

plot(Puromycin$conc, Puromycin$rate, xlab="conc", ylab = "rate")lines(Puromycin[Puromycin$state != "treated",]$conc, predict(PurbothLinearSqrt, Puromycin[Puromycin$state != "treated",]), col=2)lines(Puromycin[Puromycin$state != "treated",]$conc, predict(PurbothLinearSqrt, Puromycin[Puromycin$state != "treated",]), col=3)Bereitgestellt von

Nichtlinearität „entwirren“

Man kann eine nichtlineare Funktion auch umformen und dann ein lineares Modell fitten. Diese Technik stammt aus Zeiten von Handrechnungen – in der Praxis überzeugt sie selten.

Nichtlinear in lineare Form überführen

Zur Veranschaulichung invertieren wir die Michaelis-Menten-Gleichung und nutzen die modifizierte Form für ein lineares Modell.

Auch hier können wir nls() verwenden, um die neue Gleichung zu fitten.

PurbothPseudoLinear <- nls((1/rate) ~ K /(Vm*conc) + 1/Vm , Puromycin,                            list(Vm=160, K=0.05))summary(PurbothPseudoLinear)Formula: (1/rate) ~ K/(Vm * conc) + 1/VmParameters:    Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)    Vm 1.674e+02  1.362e+01  12.287 4.70e-11 ***K  3.900e-02  6.172e-03   6.318 2.89e-06 ***---Signif. codes:  0 ‘***’ 0.001 ‘**’ 0.01 ‘*’ 0.05 ‘.’ 0.1 ‘ ’ 1Residual standard error: 0.001786 on 21 degrees of freedomNumber of iterations to convergence: 3 Achieved convergence tolerance: 2.997e-09Bereitgestellt von

Der Residual Standard Error ist hier zwar niedrig, aber auf transformierten Daten – damit ist ein Vergleich mit den nichtlinearen Modellen auf Originalskala nicht zulässig. Am besten visualisieren wir die Performance auf dem Originaldatensatz.

Fit plotten

Wir vergleichen das Zwei-Parameter-Modell Purboth_1 (Vmax, K) mit PurbothPseudoLinear. Der Plot zeigt klar: Das nichtlineare Modell leistet mehr.

plot(Puromycin$conc, Puromycin$rate, xlab="conc", ylab = "rate",      main = "Scatterplot conc vs rate")lines(Puromycin[Puromycin$state == "treated",]$conc,       predict(Purboth_1, Puromycin[Puromycin$state == "treated",]), col=2)lines(Puromycin[Puromycin$state != "treated",]$conc,       predict(Purboth_1, Puromycin[Puromycin$state != "treated",]), col=2)lines(Puromycin[Puromycin$state == "treated",]$conc,       1/predict(PurbothPseudoLinear, Puromycin[Puromycin$state == "treated",])      , col=4)lines(Puromycin[Puromycin$state != "treated",]$conc,       1/predict(PurbothPseudoLinear, Puromycin[Puromycin$state != "treated",])      , col=4)legend(0, 200, legend = c("nls", "nls-turned-linear"), fill = c(2,4))Bereitgestellt von

Goodness of Fit

Wir vergleichen die Modellgüte.

nonLinear_df = data.frame("rate"=Puromycin$rate, "pred_rate"= predict(Purboth_1))fit_nonLinear = lm(nonLinear_df$rate ~ nonLinear_df$pred_rate)AIC(fit_nonLinear)203.017860461858Bereitgestellt von

linear_df = data.frame("rate"=Puromycin$rate,                        "pred_rate"= 1/predict(PurbothPseudoLinear))fit_linear = lm(linear_df$rate~linear_df$pred_rate)AIC(fit_linear)206.999538212925Bereitgestellt von

Das zeigt: Ein Modell mit nichtlinearer Funktion schneidet deutlich besser ab.

par( mfrow= c(1,2) )plot(nonLinear_df$rate, nonLinear_df$pred_rate, xlab="actual_rate",      ylab = "pred_rate",      main = "Non-Linear")lines(Puromycin$rate, Puromycin$rate)plot(linear_df$rate, linear_df$pred_rate, xlab="actual_rate", ylab = "pred_rate",      main = "Turned Linear")lines(Puromycin$rate, Puromycin$rate)Bereitgestellt von

Fazit

Das nichtlineare Modell ist dem linearen Pendant oft überlegen – besonders bei mechanistischen Daten. Aber: Nichtlineare Modelle garantieren keine numerische Lösung. Visualisiere die Daten und wähle eine passende mathematische Funktion für die Beziehung. In solchen Fällen ist das nichtlineare Modell seinem linearen Gegenstück meist überlegen.

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