शुरुआती लोगों के लिए R में सर्वाइवल एनालिसिस

बायोमेडिकल रिसर्च के शुरुआती चरणों में अक्सर डेटा माइनिंग या मशीन लर्निंग तकनीकों का इस्तेमाल बड़े डेटासेट का विश्लेषण करने के लिए किया जा सकता है, जैसे हाई-थ्रूपुट सीक्वेंसिंग डेटासेट में कैंडिडेट जीन्स या प्रिडिक्टिव डिजीज बायोमार्कर्स की पहचान में मदद करना। हालांकि, क्लिनिकल ट्रायल्स के डेटा में आम तौर पर “सर्वाइवल डेटा” होता है, जिसके विश्लेषण के लिए बिलकुल अलग दृष्टिकोण की आवश्यकता होती है।

इस तरह के विश्लेषण में किसी विशिष्ट घटना, जैसे मृत्यु या रोग की वापसी, तक का समय महत्वपूर्ण होता है और इस समय के संदर्भ में दो (या अधिक) रोगी समूहों की तुलना की जाती है। ऐसे डेटासेट से सार्थक परिणाम पाने के लिए तीन मुख्य अवधारणाएँ काम आती हैं, और इस ट्यूटोरियल का उद्देश्य इन्हीं सांख्यिकीय अवधारणाओं, उनकी व्याख्या, तथा इन विधियों के R में कार्यान्वयन के साथ एक वास्तविक दुनिया के अनुप्रयोग का परिचय कराना है:

इस ट्यूटोरियल में आप R के survival और survminer पैकेज तथा ovarian डेटासेट (Edmunson J.H. et al., 1979) का उपयोग भी करेंगे, जो survival पैकेज के साथ आता है। इस डेटासेट के बारे में आप आगे और पढ़ेंगे!

टिप: यह survminer चीट शीट देखें

इस ट्यूटोरियल के बाद, आप ऐसे प्रश्नों के उत्तर खोजने के लिए इन डाटा का उपयोग कर पाएंगे: क्या रोगियों को रेजिमेन A की तुलना में रेजिमेन B से लाभ होता है? क्या रोगियों की आयु और फिटनेस परिणाम को महत्वपूर्ण रूप से प्रभावित करते हैं? क्या रेजिडुअल डिजीज सर्वाइवल के संदर्भ में एक प्रोग्नोस्टिक बायोमार्कर है?

सर्वाइवल एनालिसिस: सांख्यिकी

सांख्यिकी के विवरण में जाने से पहले, कुछ उपयोगी शब्दावली जान लेना उपयोगी होगा:

“Censoring” शब्द का अर्थ है अपूर्ण डेटा। यद्यपि इसके कई प्रकार होते हैं, इस समय आप खुद को राइट-सेंसर्ड डेटा तक सीमित रखना चाहेंगे क्योंकि सर्वाइवल डेटासेट्स में यही सबसे सामान्य प्रकार है।

कुछ रोगियों के लिए, आपको यह पता हो सकता है कि एक निश्चित समय तक फॉलो-अप हुआ और कोई “इवेंट” नहीं हुआ, परंतु यह न पता हो कि अंततः रोगी जीवित रहा या नहीं। ऐसा तब हो सकता है जब रोगी फॉलो-अप में खो गया हो या अध्ययन से बाहर हो गया हो। ऐसे रोगी का डेटा उस अंतिम समय-बिंदु के बाद “सेंसर्ड” माना जाएगा, जब तक आपको निश्चित रूप से पता था कि वांछित “इवेंट” नहीं हुआ। इवेंट आपके अध्ययन का पूर्व-निर्धारित एंडपॉइंट है, जैसे मृत्यु या रोग की वापसी। साथ ही, वे सभी रोगी जिन्हें अध्ययन समाप्ति तक “इवेंट” नहीं हुआ, उन्हें उस अंतिम समय-बिंदु पर सेंसर्ड माना जाएगा।

मूलतः, ये तीन कारण हैं जिनकी वजह से डेटा सेंसर्ड हो सकता है।

इस प्रकार, सेंसर्ड अवलोकनों की संख्या हमेशा n >= 0 होती है। ये सभी उदाहरण “राइट-सेंसोरिंग” के हैं, और इन्हें आगे फिक्स्ड या रैंडम टाइप I सेंसरिंग और टाइप II सेंसरिंग में वर्गीकृत किया जा सकता है, लेकिन ये वर्गीकरण मुख्यतः स्टडी-डिज़ाइन के दृष्टिकोण से प्रासंगिक हैं और इस प्रारंभिक ट्यूटोरियल में इन पर चर्चा नहीं की जाएगी।

यह ध्यान रखना चाहिए कि सेंसरिंग हमेशा नॉन-इन्फॉर्मेशन का मामला है और यह कभी भी उस “इवेंट” के कारण नहीं होती जो आपके अध्ययन के एंडपॉइंट को परिभाषित करता है। इसका यह भी अर्थ है कि ovarian डेटासेट में कोई भी सेंसर्ड रोगी इसलिए सेंसर्ड नहीं हुआ कि उसकी मृत्यु हो गई थी।

Kaplan-Meier विधि और लॉग-रैंक टेस्ट

अब, ऐसा सर्वाइवल फंक्शन जो समय के साथ रोगी की सर्वाइवल को दर्शाता है, वह कैसा दिखता है?

Edward Kaplan और Paul Meier द्वारा स्वतंत्र रूप से वर्णित और 1958 में Journal of the American Statistical Association में संयुक्त रूप से प्रकाशित Kaplan-Meier इस्टीमेटर एक नॉन-पैरामेट्रिक सांख्यिकी है, जो सर्वाइवल फंक्शन का अनुमान लगाने की अनुमति देता है।

ध्यान रखें कि नॉन-पैरामेट्रिक सांख्यिकी किसी अध्यारोपित प्रायिकता वितरण के अनुमान पर आधारित नहीं होती, जो तर्कसंगत है क्योंकि सर्वाइवल डेटा का वितरण तिरछा होता है।

यह सांख्यिकी यह प्रायिकता देती है कि कोई विशेष रोगी किसी निश्चित समय t के बाद तक जीवित रहेगा। t = 0 पर Kaplan-Meier इस्टीमेटर 1 होता है और t अनंत की ओर बढ़ने पर यह 0 की ओर जाता है। सैद्धांतिक रूप से, अनंत बड़े डेटासेट और सेकंड स्तर पर मापे गए t के साथ, t बनाम सर्वाइवल प्रायिकता का फलन स्मूथ होता है। आगे आप देखेंगे कि व्यवहार में यह कैसा दिखता है।

यह आगे इस धारणा पर आधारित है कि किसी निश्चित समय-बिंदु t के बाद तक जीवित रहने की प्रायिकता समय-बिंदु t तक देखे गए सर्वाइवल रेट्स के गुणनफल के बराबर होती है। अधिक सटीक रूप से, S(t) #समय t पर सर्वाइवल प्रायिकता को S(t) = p.1 * p.2 * … * p.t से परिभाषित किया जाता है, जहाँ p.1 पहले समय-बिंदु के बाद तक जीवित बचे सभी रोगियों का अनुपात है, p.2 दूसरे समय-बिंदु के बाद तक जीवित बचे रोगियों का अनुपात है, और इसी प्रकार समय-बिंदु t तक।

यह ध्यान देने योग्य है कि p.2 से लेकर p.t तक, हर अगले समय-बिंदु के लिए अनुपात की गणना करते समय आप केवल उन रोगियों को शामिल करते हैं जो पिछले समय-बिंदु के बाद तक जीवित रहे; अतः p.2, p.3, …, p.t पिछले अनुपातों पर सशर्त अनुपात हैं।

व्यवहार में, आप सबसे पहले सर्वाइवल समयों को बढ़ते क्रम में व्यवस्थित करना चाहेंगे। इसमें सेंसर्ड मान भी शामिल हैं। फिर ऊपर बताए अनुसार अनुपातों की गणना करें और उन्हें गुणित करके S(t) निकालेँ। सेंसर्ड रोगियों को सेंसरिंग के समय-बिंदु के बाद हटा दिया जाता है, इसलिए वे जीवित रोगियों के अनुपात को प्रभावित नहीं करते। विधि के विस्तृत विवरण के लिए (Swinscow and Campbell, 2002) देखें।

अंतिम रूप से, आप दो समूहों की सर्वाइवल कर्व्स की तुलना के लिए लॉग-रैंक टेस्ट का उपयोग कर सकते हैं। लॉग-रैंक टेस्ट एक सांख्यिकीय हाइपोथिसिस टेस्ट है, जो इस शून्य परिकल्पना की जाँच करता है कि दो आबादियों की सर्वाइवल कर्व्स में अंतर नहीं है। एक विशिष्ट प्रायिकता वितरण, अर्थात ची-स्क्वेयर वितरण, से p-वैल्यू निकाली जा सकती है। संक्षेप में, p-वैल्यू का उपयोग सांख्यिकीय हाइपोथिसिस टेस्टिंग में सांख्यिकीय महत्त्व को मापने के लिए किया जाता है। सामान्यतः, p < 0.05 को महत्त्वपूर्ण माना जाता है। हमारे मामले में, p < 0.05 यह दर्शाएगा कि दोनों उपचार समूह सर्वाइवल की दृष्टि से महत्त्वपूर्ण रूप से भिन्न हैं।

Cox प्रपोर्शनल हैजर्ड्स मॉडल

सर्वाइवल विश्लेषणों के संदर्भ में एक और उपयोगी फलन है हैजर्ड फंक्शन h(t)। यह किसी इवेंट की प्रायिकता या उसका हैजर्ड h (यहाँ भी, सर्वाइवल के संदर्भ में) का वर्णन करता है, बशर्ते सब्जेक्ट उस समय-बिंदु t तक जीवित रहा हो। इसे Kaplan-Meier इस्टीमेटर से थोड़ा कठिन प्रदर्शित किया जा सकता है क्योंकि यह मृत्यु के तात्कालिक जोखिम को मापता है। फिर भी, जब आप रोगी समूहों की सर्वाइवल की तुलना करते समय सह-चर (covariates) पर विचार करना चाहते हैं, तब हैजर्ड फंक्शन आवश्यक हो जाता है। रिग्रेशन विश्लेषण में सह-चर, जिन्हें व्याख्यात्मक या स्वतंत्र चर भी कहा जाता है, ऐसे चर हैं जो किसी आउटकम की भविष्यवाणी कर सकते हैं या जिनके लिए आप वेरिएबल्स के बीच परस्पर क्रियाओं का हिसाब रखने हेतु समायोजन करना चाहेंगे।

जहाँ लॉग-रैंक टेस्ट दो Kaplan-Meier सर्वाइवल कर्व्स की तुलना करता है, जो कि किसी रोगी आबादी को उपचार उपसमूहों में बाँटकर प्राप्त किए जा सकते हैं, वहीं Cox प्रपोर्शनल हैजर्ड्स मॉडल संबंधित रोगी आबादियों के अंडरलाइनिंग बेसलाइन हैजर्ड फंक्शन्स और किसी भी संख्या में डाइकोटोमाइज़्ड सह-चरों से व्युत्पन्न होते हैं। फिर से, यह कोई अध्यारोपित प्रायिकता वितरण नहीं मानता, पर यह मानता है कि जिन रोगी समूहों की आप तुलना कर रहे हैं, उनके हैजर्ड्स समय के साथ स्थिर अनुपात में हैं। यही कारण है कि इसे “प्रपोर्शनल हैजर्ड्स मॉडल” कहा जाता है। आगे आप इन सैद्धांतिक बातों को दर्शाने वाला एक उदाहरण देखेंगे।

अब, आइए ovarian डेटासेट का विश्लेषण करने की कोशिश करें!

R में सर्वाइवल एनालिसिस का कार्यान्वयन

इन अवधारणाओं के साथ, अब आप किसी वास्तविक डेटासेट का विश्लेषण शुरू कर सकते हैं और ऊपर दिए गए कुछ प्रश्नों के उत्तर खोज सकते हैं। चलिए, विश्लेषण के लिए आवश्यक दो पैकेज और डेटा फ्रेम प्रबंधन के लिए उपयोगी फ़ंक्शनों वाला dplyr पैकेज लोड करके शुरू करते हैं।

# Load required packages
library(survival)
library(survminer)
library(dplyr)संचालित द्वारा

टिप: जो पैकेज आपके वर्कस्पेस में अभी नहीं हैं, उन्हें इंस्टॉल करने के लिए install.packages() का उपयोग करना न भूलें!

अगला कदम डेटासेट लोड करना और उसकी संरचना की जाँच करना है। जैसा कि आपने इस ट्यूटोरियल की शुरुआत में पढ़ा, आप ovarian डेटा सेट के साथ काम करेंगे। यह डेटासेट ओवेरियन कैंसर रोगियों के एक कोहोर्ट और संबंधित क्लिनिकल जानकारी समेटे हुए है, जिसमें शामिल है वह समय जब तक रोगियों को ट्रैक किया गया—या तो उनकी मृत्यु तक या फॉलो-अप में खो जाने तक (futime), क्या रोगी सेंसर्ड थे या नहीं (fustat), रोगी की आयु, उपचार समूह असाइनमेंट, रेजिडुअल डिजीज की मौजूदगी और परफॉर्मेंस स्टेटस।

जैसा कि आप देख सकते हैं, कुछ वेरिएबल्स के नाम थोड़े गूढ़ हैं, आप हेल्प पेज भी देखना चाहेंगे।

# Import the ovarian cancer dataset and have a look at it
data(ovarian)
glimpse(ovarian)
## Observations: 26
## Variables: 6
## $ futime   <dbl> 59, 115, 156, 421, 431, 448, 464, 475, 477, 563, 638,...
## $ fustat   <dbl> 1, 1, 1, 0, 1, 0, 1, 1, 0, 1, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0,...
## $ age      <dbl> 72.3315, 74.4932, 66.4658, 53.3644, 50.3397, 56.4301,...
## $ resid.ds <dbl> 2, 2, 2, 2, 2, 1, 2, 2, 2, 1, 1, 1, 2, 2, 1, 1, 2, 1,...
## $ rx       <dbl> 1, 1, 1, 2, 1, 1, 2, 2, 1, 2, 1, 2, 2, 2, 1, 1, 1, 1,...
## $ ecog.ps  <dbl> 1, 1, 2, 1, 1, 2, 2, 2, 1, 2, 2, 1, 2, 1, 1, 2, 2, 1,...
help(ovarian)संचालित द्वारा

futime कॉलम में सर्वाइवल टाइम्स हैं। यह रिस्पॉन्स वेरिएबल है। दूसरी ओर, fustat आपको बताता है कि किसी रोगी का सर्वाइवल समय सेंसर्ड है या नहीं। स्पष्टतः, इस अध्ययन के 26 रोगियों को दो में से किसी एक थेरेपी रेजिमेन (rx) दिए गए थे, और किसी समय पर चिकित्सक ने ट्यूमर के रिग्रेशन (resid.ds) और रोगियों के परफॉर्मेंस (मानकीकृत ECOG मानदंड के अनुसार; ecog.ps) का आकलन किया।

साथ ही, आपको रोगियों की आयु की जानकारी मिलती है और यदि आप अंततः इसे एक प्रिडिक्टिव वेरिएबल के रूप में शामिल करना चाहते हैं, तो आपको निरंतर मानों को बाइनरी मानों में डाइकोटोमाइज़ करना होगा। पर इसके लिए कटऑफ क्या होना चाहिए? आइए आयु मानों के समग्र वितरण को देखें:

# Dichotomize age and change data labels
ovarian$rx <- factor(ovarian$rx, 
                     levels = c("1", "2"), 
                     labels = c("A", "B"))
ovarian$resid.ds <- factor(ovarian$resid.ds, 
                           levels = c("1", "2"), 
                           labels = c("no", "yes"))
ovarian$ecog.ps <- factor(ovarian$ecog.ps, 
                          levels = c("1", "2"), 
                          labels = c("good", "bad"))

# Data seems to be bimodal
hist(ovarian$age)  संचालित द्वारा

ovarian <- ovarian %>% mutate(age_group = ifelse(age >=50, "old", "young"))
ovarian$age_group <- factor(ovarian$age_group)संचालित द्वारा

स्पष्ट द्वि-शीर्षीय (बाइ-मोडल) वितरण 50 वर्ष का कटऑफ सुझाता है। आप mutate फ़ंक्शन का उपयोग करके डेटा फ्रेम में एक अतिरिक्त age_group कॉलम जोड़ सकते हैं, जो आगे काम आएगा। साथ ही, भविष्य के सह-चरों को फैक्टर्स में बदलना चाहिए।

अब, आप सर्वाइवल ऑब्जेक्ट बनाने के लिए तैयार हैं। यह मूलतः futime और fustat कॉलम का एक संकलित रूप है, जिसे survfit फ़ंक्शन द्वारा इंटरप्रेट किया जा सकता है। सर्वाइवल समय के पीछे लगा + चिह्न सेंसर्ड डेटा पॉइंट को दर्शाता है।

# Fit survival data using the Kaplan-Meier method
surv_object <- Surv(time = ovarian$futime, event = ovarian$fustat)
surv_object 
##  [1]   59   115   156   421+  431   448+  464   475   477+  563   638 
## [12]  744+  769+  770+  803+  855+ 1040+ 1106+ 1129+ 1206+ 1227+  268 
## [23]  329   353   365   377+संचालित द्वारा

अगला कदम Kaplan-Meier कर्व्स फिट करना है। आप surv_object को survfit फ़ंक्शन में पास करके यह आसानी से कर सकते हैं। आप कर्व को उन उपचार रेजिमेन्स rx के अनुसार भी स्तरीकृत कर सकते हैं, जिनमें रोगियों को असाइन किया गया था। परिणामी fit1 ऑब्जेक्ट का summary() अन्य चीजों के साथ सर्वाइवल समय, हर समय-बिंदु पर जीवित रोगियों का अनुपात—यानी ऊपर दिए गए आपके p.1, p.2, ...—और उपचार समूह दिखाता है।

fit1 <- survfit(surv_object ~ rx, data = ovarian)
summary(fit1)
## Call: survfit(formula = surv_object ~ rx, data = ovarian)
## 
##                 rx=A 
##  time n.risk n.event survival std.err lower 95% CI upper 95% CI
##    59     13       1    0.923  0.0739        0.789        1.000
##   115     12       1    0.846  0.1001        0.671        1.000
##   156     11       1    0.769  0.1169        0.571        1.000
##   268     10       1    0.692  0.1280        0.482        0.995
##   329      9       1    0.615  0.1349        0.400        0.946
##   431      8       1    0.538  0.1383        0.326        0.891
##   638      5       1    0.431  0.1467        0.221        0.840
## 
##                 rx=B 
##  time n.risk n.event survival std.err lower 95% CI upper 95% CI
##   353     13       1    0.923  0.0739        0.789        1.000
##   365     12       1    0.846  0.1001        0.671        1.000
##   464      9       1    0.752  0.1256        0.542        1.000
##   475      8       1    0.658  0.1407        0.433        1.000
##   563      7       1    0.564  0.1488        0.336        0.946संचालित द्वारा

आप संबंधित सर्वाइवल कर्व को ggsurvplot फ़ंक्शन में सर्वाइवल ऑब्जेक्ट पास करके देख सकते हैं। pval = TRUE आर्गुमेंट बहुत उपयोगी है, क्योंकि यह लॉग-रैंक टेस्ट का p-वैल्यू भी प्लॉट करता है!

ggsurvplot(fit1, data = ovarian, pval = TRUE)संचालित द्वारा

परंपरा के अनुसार, ऊर्ध्वाधर रेखाएँ सेंसर्ड डेटा को दर्शाती हैं, और उनके संबंधित x मान वह समय दिखाते हैं जब सेंसरिंग हुई।

0.3 का लॉग-रैंक p-वैल्यू, यदि आप p < 0.05 को सांख्यिकीय महत्त्व का संकेत मानते हैं, तो एक गैर-महत्त्वपूर्ण परिणाम को दर्शाता है। इस अध्ययन में, जाँचे गए किसी भी उपचार को महत्त्वपूर्ण रूप से श्रेष्ठ नहीं पाया गया, यद्यपि फॉलो-अप के पहले महीने में उपचार B पाने वाले रोगियों का प्रदर्शन बेहतर दिखाई देता है। अन्य वेरिएबल्स का क्या?

# Examine prdictive value of residual disease status
fit2 <- survfit(surv_object ~ resid.ds, data = ovarian)
ggsurvplot(fit2, data = ovarian, pval = TRUE)संचालित द्वारा

रेजिडुअल डिजीज स्टेटस के अनुसार स्तरीकृत Kaplan-Meier प्लॉट कुछ अलग दिखते हैं: कर्व्स शुरुआती चरण में ही अलग हो जाती हैं और लॉग-रैंक टेस्ट लगभग महत्त्वपूर्ण है। आप तर्क दे सकते हैं कि बड़े सैंपल आकार वाले फॉलो-अप अध्ययन से इन परिणामों को वैध किया जा सकता है, यानी पॉज़िटिव रेजिडुअल डिजीज स्टेटस वाले रोगियों की प्रोग्नोसिस, रेजिडुअल डिजीज रहित रोगियों की तुलना में, महत्त्वपूर्ण रूप से खराब है।

लेकिन क्या विभिन्न सह-चरों को देखने का कोई अधिक व्यवस्थित तरीका है? जैसा कि आप पहले के किसी अनुच्छेद से याद करेंगे, Cox प्रपोर्शनल हैजर्ड्स मॉडल आपको सह-चर शामिल करने की अनुमति देते हैं। आप coxph फ़ंक्शन से Cox प्रपोर्शनल हैजर्ड्स मॉडल बना सकते हैं और ggforest से उन्हें विज़ुअलाइज़ कर सकते हैं। इस प्रकार के प्लॉट को फॉरेस्ट प्लॉट कहा जाता है। यह तथाकथित हैजर्ड रेशियो (HR) दिखाता है, जो coxph की फ़ॉर्मूला में शामिल सभी सह-चरों के लिए मॉडल से निकाले जाते हैं। संक्षेप में, HR > 1 दर्शाता है कि यदि कोई विशेष शर्त रोगी में पूरी होती है तो (परिभाषा के अनुसार h(t)) मृत्यु का जोखिम बढ़ जाता है। दूसरी ओर, HR < 1 घटे हुए जोखिम को दर्शाता है। आइए मॉडल के आउटपुट पर नज़र डालें:

# Fit a Cox proportional hazards model
fit.coxph <- coxph(surv_object ~ rx + resid.ds + age_group + ecog.ps, 
                   data = ovarian)
ggforest(fit.coxph, data = ovarian)संचालित द्वारा

प्रत्येक HR किसी बाइनरी फीचर की एक स्थिति की तुलना दूसरी स्थिति से करते हुए मृत्यु के सापेक्षिक जोखिम का प्रतिनिधित्व करता है। उदाहरण के लिए, उपचार समूहों के लिए 0.25 का हैजर्ड रेशियो बताता है कि उपचार B पाने वाले रोगियों में उपचार A पाने वालों (जो HR की गणना में संदर्भ के रूप में लिया गया) की तुलना में मृत्यु का जोखिम कम है। फॉरेस्ट प्लॉट में दर्शाए अनुसार, संबंधित 95% कॉन्फिडेंस इंटरवल 0.071 - 0.89 है और यह परिणाम महत्त्वपूर्ण है।

इस मॉडल का उपयोग करके, आप देखते हैं कि इस अध्ययन में उपचार समूह, रेजिडुअल डिजीज स्टेटस, और आयु समूह वेरिएबल्स रोगियों के मृत्यु-जोखिम को महत्त्वपूर्ण रूप से प्रभावित करते हैं। यह उस निष्कर्ष से काफी अलग है जो आपने Kaplan-Meier इस्टीमेटर और लॉग-रैंक टेस्ट के साथ देखा। जहाँ पहला सर्वाइवल प्रायिकता का अनुमान लगाता है, वहीं दूसरा मृत्यु-जोखिम और संबंधित हैजर्ड रेशियो की गणना करता है। आपके विश्लेषण से स्पष्ट होता है कि इन विधियों से प्राप्त परिणाम महत्त्व के संदर्भ में भिन्न हो सकते हैं।

निष्कर्ष

ऊपर दिए गए उदाहरण दिखाते हैं कि R में सर्वाइवल एनालिसिस की सांख्यिकीय अवधारणाओं को लागू करना कितना सरल है। इस परिचय में, आपने संबंधित मॉडल बनाना, उन्हें विज़ुअलाइज़ करना, और वह सांख्यिकीय पृष्ठभूमि भी सीखी जो आपके विश्लेषणों के परिणामों को समझने में मदद करती है। आशा है, अब आप इन तकनीकों का उपयोग अपने स्वयं के डेटासेट्स का विश्लेषण करने के लिए कर पाएँगे। इस ट्यूटोरियल को पढ़ने के लिए धन्यवाद!

हमारा R में लिनियर रिग्रेशन ट्यूटोरियल देखें।