Teorema del limite centrale: un concetto chiave di statistica spiegato

Se prendiamo molti campioni casuali da quasi qualsiasi tipo di distribuzione dei dati, succede qualcosa di sorprendente. La media di quei campioni inizia ad assomigliare a una distribuzione normale – la classica curva a campana. Questo è, in sintesi, il teorema del limite centrale (TLC).

È fondamentale in probabilità e statistica perché significa che possiamo fare previsioni accurate e trarre conclusioni su intere popolazioni, anche guardando soltanto piccoli campioni.

Ciò che rende il TLC ancora più utile è che funziona anche se i dati originali non sono distribuiti normalmente. Vediamolo nel dettaglio e come possiamo calcolarlo. 

Cos'è il teorema del limite centrale?

Il teorema del limite centrale, o TLC, è un concetto di statistica secondo cui, se prendiamo un certo numero di campioni casuali da qualsiasi popolazione e osserviamo le medie di quei campioni, tali medie inizieranno a formare una curva normale, a campana, anche se la popolazione originale non è affatto normale.

Questo è collegato alla legge dei grandi numeri, che ci dice che man mano che raccogliamo più dati, la media campionaria si avvicina sempre di più alla vera media dell'intera popolazione. Il TLC fa un passo in più — ci dice che la media campionaria diventa più accurata e che l'andamento di quelle medie diventa prevedibile. Il nostro corso Intro to Statistics ha esercizi pratici per familiarizzare con la relazione e le differenze tra il TLC e la legge dei grandi numeri, se vuoi approfondire questo aspetto.

Un ottimo modo per vederlo in azione è lanciare un dado. Se lo lanciamo una sola volta, otteniamo un numero casuale tra 1 e 6. Ma dopo un numero sufficiente di lanci, la media si assesterà intorno a 3,5 (il valore medio vero di un dado equo). Ripetendo l'esperimento, la distribuzione di quelle medie inizia ad assomigliare a una curva normale.

Formula del teorema del limite centrale

Ecco la formula di base del teorema del limite centrale:

In questa formula:

• X è la distribuzione campionaria della media campionaria, che segue una distribuzione normale. 

• N è la distribuzione normale.

• 𝜇 è la media della popolazione.

• σ è la deviazione standard della popolazione.

• n è la dimensione del campione.

All'aumentare della dimensione del campione, la deviazione standard della distribuzione campionaria si riduce. Più dati raccogliamo, più le nostre medie campionarie si raggrupperanno attorno alla vera media della popolazione.

Condizioni del teorema del limite centrale

Affinché il teorema del limite centrale funzioni come ci aspettiamo, ci sono alcune condizioni da considerare:

• Dimensione del campione sufficientemente grande: La dimensione del campione deve essere abbastanza grande. Di solito 30 o più è considerato adeguato. Ma se la popolazione da cui campioniamo è asimmetrica o ha molti outlier, potremmo aver bisogno di un campione più grande per vedere comparire quella bella curva a campana.
• Campioni indipendenti e identicamente distribuiti (i.i.d.): I campioni che prendiamo devono essere indipendenti e identicamente distribuiti (i.i.d.). Significa che ogni campione è scelto casualmente e proviene dalla stessa popolazione. Se non è così, i risultati potrebbero non essere affidabili.
• Varianza di popolazione finita: La popolazione da cui campioniamo deve avere varianza finita. Se i dati provengono da una distribuzione con varianza infinita, come la distribuzione di Cauchy, il TLC non si applica.

Esempi di teorema del limite centrale

Supponiamo di voler sapere quante tazze di caffè vengono vendute al giorno in una caffetteria locale. Nel corso degli anni, il numero di tazze vendute ogni giorno potrebbe seguire una distribuzione simile a quella che includo qui. La maggior parte dei giorni vendono tra 80 e 120 tazze. Ma nei giorni affollati, come festività o eventi speciali, ne vendono 150 o anche 180. In questo caso i dati sono un po' asimmetrici (non uniformi).

Grafico irregolare. Immagine dell'autore.

Prendiamo un piccolo campione. Selezioniamo casualmente 5 giorni dall'anno e osserviamo quante tazze sono state vendute in quei giorni. 

95, 102, 85, 110, 120Offerto da

La media ottenuta da questo campione è:

Mean = 95+102+85+110+1205 = 102.4 cupsOfferto da

Grafico di 5 tazze. Immagine dell'autore.

Questo ci dà una stima della media della popolazione, ma dato che il campione è piccolo, potrebbe non essere precisa. Se ripetiamo il processo 10 volte, selezioniamo casualmente 5 giorni ogni volta, calcoliamo la media e annotiamo i risultati, le 10 medie campionarie sarebbero: 

97.6, 105.8, 93.4, 110.2, 99.0, 102.4, 101.2, 107.5, 96.3, 94.1Offerto da

Se tracciamo questi valori in un istogramma, vedremo una forma a campana approssimativa, ma potrebbe apparire ancora irregolare. E la dispersione di queste medie è inferiore alla dispersione nella popolazione. 

Grafico di 10 tazze. Immagine dell'autore.

Ora prendiamo un campione più grande. Questa volta selezioniamo casualmente 50 giorni e calcoliamo il numero medio di tazze vendute:

98, 104, 87, 112, 105, 100, 108, 95, 102, 106,
92, 115, 97, 101, 109, 103, 96, 110, 104, 98,
100, 102, 89, 107, 94, 111, 108, 90, 100, 103,
106, 99, 96, 112, 105, 97, 100, 104, 93, 110,
107, 102, 95, 101, 99, 103, 109, 98, 94, 100Offerto da

Quando calcoliamo la media di questo campione, otteniamo:

Mean = 101.2 cupsOfferto da

Questa stima è molto più vicina alla media della popolazione, pari a 100, e poiché la dimensione del campione è maggiore, è una stima più precisa.

Se ripetiamo questo processo molte volte, selezionando ogni volta casualmente 50 giorni, calcolando la media e tracciando queste medie in un istogramma, anche se i dati originali erano asimmetrici, vedremo comparire una curva a campana evidente e regolare. Ecco il potere del teorema del limite centrale.

Grafico regolare. Immagine dell'autore.

Possiamo anche calcolare quella dispersione usando questa formula:

Qui:

• µ (media della popolazione) = 100

• σ (deviazione standard della popolazione) = 15

• n (dimensione del campione) = 50

Quindi, la deviazione standard delle nostre medie campionarie è:

Questo ci dice che le medie campionarie saranno molto vicine a 100 tazze con solo una piccola variazione (circa 2,12 tazze).

Perché il teorema del limite centrale è importante

Sappiamo che i dati nel mondo reale possono essere strani e imprevedibili. Ma il teorema del limite centrale ci offre un modo affidabile per capire cosa succede e prendere decisioni migliori di conseguenza. Vediamone l'importanza più nel dettaglio. 

Inferenza statistica

In statistica, il teorema del limite centrale è il motivo per cui test parametrici come i t-test, l'ANOVA e la regressione funzionano come fanno. Questi test si basano sull'idea che i dati campionari provengano da una popolazione con caratteristiche fisse.

Senza il teorema del limite centrale, non potremmo fare affidamento su questi test. E grazie a questo teorema, i test parametrici sono spesso più potenti di quelli non parametrici, che non fanno assunzioni sulla distribuzione dei dati.

Applicazioni industriali

Compare anche in molte situazioni reali. In finanza, gli analisti lo usano per stimare i rendimenti medi azionari basandosi sulle performance passate. Nei sondaggi e nelle indagini, consente di fare previsioni sull'intera popolazione raccogliendo un campione di risposte. Nel machine learning e nel big data, lo utilizziamo quando i modelli sono addestrati su campioni. Per esempio, un'app di film può usare un campione dell'attività degli utenti per costruire il suo sistema di raccomandazione.

Calcolatore del teorema del limite centrale

La deviazione standard è un numero che ci dice quanto i valori si discostano dalla media. Quando osserviamo le medie campionarie (le medie di campioni diversi), vogliamo sapere quanto variano tra loro. Per questo, possiamo usare questa formula:

Questo ci dice che quando dividiamo la deviazione standard della popolazione per la radice quadrata della dimensione del campione, otteniamo la deviazione standard della distribuzione campionaria. All'aumentare della dimensione del campione, il valore complessivo diminuisce. 

Vediamo un rapido esempio:

Puoi vedere che la media rimane la stessa, ma la deviazione standard continua a ridursi. Questo mostra che più grande è il campione, più accurato e coerente è.

Il teorema del limite centrale nella data science

Nella data science lavoriamo di solito con campioni, non con intere popolazioni. Il TLC ci aiuta a capire come si comportano quei risultati campionari e ci dice che, se prendiamo abbastanza campioni, le loro medie inizieranno ad assomigliare a una distribuzione normale, anche se i dati originali sono tutt'altro.

Questo ha anche grandi vantaggi pratici. Nel machine learning usiamo spesso tecniche come il bootstrapping per stimare valori. Grazie al TLC, possiamo essere fiduciosi che tali stime siano accurate.

È anche un attore chiave nell'A/B testing. Quando un'azienda prova due versioni di una pagina web o di una funzionalità, il TLC ci aiuta a capire se i risultati sono significativi o solo rumore casuale.

Anche nel reinforcement learning, dove i sistemi apprendono per tentativi ed errori, il TLC smussa il caos. Con l'arrivo di più dati, le medie diventano più stabili, il che aiuta il sistema a imparare più velocemente e meglio.

Infine, troverai il TLC anche nel test d'ipotesi e nell'analisi delle serie temporali. Aiuta i data scientist a testare idee e monitorare tendenze con maggiore sicurezza.

Considerazioni finali

Il teorema del limite centrale può sembrare tecnico se sei alle prime armi con la statistica, ma è uno dei motivi per cui possiamo fare cose intelligenti con i dati. Trasforma la casualità in qualcosa che possiamo capire e a cui possiamo affidarci. Di fatto, è uno dei mattoni fondamentali della modellazione statistica ed è imprescindibile per chiunque lavori con i dati. 

Se vuoi approfondire, leggi la legge dei grandi numeri e le distribuzioni di probabilità — sono tutti concetti collegati.