सैंपल मानक विचलन: प्रमुख अवधारणाएँ

सैंपल मानक विचलन एक सांख्यिकीय माप है जिसका उपयोग किसी डेटासेट के भीतर परिवर्तन की मात्रा निर्धारित करने के लिए किया जाता है। विशेष रूप से, यह बताता है कि सैंपल में व्यक्तिगत डेटा बिंदु सैंपल के औसत से कितने अलग हैं।

अनुमानात्मक सांख्यिकी में सैंपल मानक विचलन महत्वपूर्ण होता है जब आप किसी जनसंख्या के बारे में निष्कर्ष निकालना चाहते हैं, या जैसा कि सांख्यिकीविद् कहते हैं, सैंपल से जनसंख्या के लिए अनुमान लगाना चाहते हैं। इन विभेदों को समझने के लिए, मैं DataCamp के Introduction to Statistics और Basic Statistics पाठ्यक्रम लेने की सलाह देता/देती हूँ ताकि आप सांख्यिकी की अवधारणाओं से परिचित हो सकें। अंत में, यदि आप सांख्यिकी के प्रति गंभीर हैं और इस क्षेत्र में करियर बनाना चाहते हैं, तो DataCamp की यह गाइड देखें: How to Become a Statistician।

सैंपल मानक विचलन क्या है?

सैंपल मानक विचलन एक सांख्यिकीय माप है जो किसी डेटासेट में परिवर्तन या प्रसार को मापता है। सैंपल मानक विचलन सैंपल वैरिएंस के वर्गमूल के रूप में गणना किया जाता है, जहाँ सैंपल वैरिएंस औसत से विचलनों के वर्गों के योग को सैंपल आकार माइनस एक से विभाजित करके प्राप्त होता है। हम सैंपल मानक विचलन का उपयोग तब करते हैं जब हम जानना चाहते हैं कि सैंपल के डेटा बिंदु सैंपल औसत से कितने भिन्न हैं।

सैंपल मानक विचलन कैसे गणना करें

सैंपल मानक विचलन की गणना करते समय हम एक विशिष्ट सूत्र का उपयोग करते हैं।

सैंपल मानक विचलन का सूत्र

यह रहा सैंपल मानक विचलन का सूत्र:

सैंपल मानक विचलन का सूत्र। चित्र: लेखक द्वारा।

जहाँ:

• s = सैंपल मानक विचलन
• n = सैंपल में डेटा बिंदुओं की संख्या
• x = व्यक्तिगत डेटा बिंदु
• x̄ = सैंपल औसत
• n-1 = सैंपल डेटा के लिए सुधार कारक

ध्यान दें कि सैंपल मानक विचलन की गणना करते समय, हम हर में n-1 का उपयोग सैंपल बायस को सुधारने के लिए करते हैं। इसे Bessel का सुधार कहा जाता है। यदि हमें जनसंख्या मानक विचलन में रुचि होती, तो हम हर में n का उपयोग करते। 

हाथ से सैंपल मानक विचलन कैसे निकालें

आइए निम्नलिखित उदाहरण से गुजरते हैं ताकि देखें कि सूत्र का उपयोग करके सैंपल मानक विचलन कैसे निकाला जाए। मान लीजिए आपके पास निम्न मानों वाला डेटा उपसैंपल है:

आपको ये चरण अपनाने चाहिए:

चरण 1: सैंपल औसत की गणना करें

डेटा बिंदुओं का औसत निकालें।

चरण 2: औसत से वर्गित अंतर निकालें

प्रत्येक डेटा बिंदु से औसत घटाएँ और प्राप्त परिणाम का वर्ग कर दें।

चरण 3: वर्गित विचलनों का योग लें

औसत से प्राप्त वर्गित अंतरों को जोड़ें।

चरण 4: गणना किए गए चर सूत्र में रखें

सूत्र में मान प्रतिस्थापित करें ताकि सैंपल मानक विचलन प्राप्त हो सके।

उपरोक्त गणना से, हम देखते हैं कि डेटा का मानक विचलन लगभग 2.28 है। अब, यदि हाथ से सैंपल मानक विचलन निकालना व्यावहारिक या सहायक नहीं है और आपको Excel जैसे टूल का उपयोग करना है, तो हमारा ट्यूटोरियल देखें: How to Calculate Standard Deviation in Excel।

सैंपल मानक विचलन का उपयोग क्यों करें?

जब किसी सैंपल के आधार पर जनसंख्या मानक विचलन का अनुमान चाहिए होता है, तो परिवर्तनशीलता के माप के रूप में सैंपल मानक विचलन को प्राथमिकता दी जाती है। सूत्र में Bessel का सुधार (n−1) बायस को समायोजित करता है और अनुमान की शुद्धता बढ़ाता है क्योंकि सैंपल जनसंख्या का पूर्ण प्रतिनिधित्व नहीं कर सकता। हर को छोटा करने से गणितीय वैरिएंस और मानक विचलन बढ़ जाते हैं। यह छोटे सैंपलों में परिवर्तनशीलता को कम आँकने की प्रवृत्ति की भरपाई करता है।

सैंपल मानक विचलन का महत्व

जनसंख्या मापदंडों के आकलन में सैंपल मानक विचलन महत्वपूर्ण है। आइए देखें।

विश्वास अंतराल की गणना 

विश्वास अंतराल की गणना सैंपल मानक विचलन या जनसंख्या मानक विचलन, जो भी उपलब्ध हो, से की जा सकती है। यदि जनसंख्या मानक विचलन अज्ञात है, तो सैंपल मानक विचलन का उपयोग किया जाता है और t-वितरण लागू करके उस मान-परास का आकलन किया जाता है जिसमें जनसंख्या औसत आने की संभावना है। सैंपल या जनसंख्या से छोटा मानक विचलन एक संकरा विश्वास अंतराल देता है, जो अनुमान में अधिक परिशुद्धता को दर्शाता है।

परिकल्पना परीक्षण 

परिकल्पना परीक्षण में, ज्ञात होने पर सैंपल या जनसंख्या मानक विचलन में से किसी का भी उपयोग किया जा सकता है। यदि जनसंख्या मानक विचलन अज्ञात है, तो सैंपल मानक विचलन लागू किया जाता है और सामान्यतः परीक्षण सांख्यिकी का मूल्यांकन करने के लिए t-वितरण का उपयोग होता है। जब जनसंख्या मानक विचलन ज्ञात होता है, तो इसके स्थान पर z-वितरण का उपयोग किया जाता है, जो अधिक परिशुद्धता प्रदान करता है। सैंपल या जनसंख्या में से किसी का भी छोटा मानक विचलन एक अधिक संवेदनशील परीक्षण देता है, जिससे महत्वपूर्ण अंतर का पता लगाना आसान हो जाता है।

सैंपल मानक विचलन और संबंधित शब्द

आइए सैंपल मानक विचलन से संबंधित कुछ शब्दों पर नज़र डालें। इन शब्दों में भ्रम सामान्य गलतियों का कारण बन सकता है। 

मानक विचलन बनाम वैरिएंस

सैंपल मानक विचलन और वैरिएंस दोनों ही किसी डेटासेट में परिवर्तनशीलता को मापते हैं। हालाँकि, वे परिवर्तनशीलता को अलग-अलग तरीके से व्यक्त करते हैं। किसी डेटासेट का वैरिएंस प्रत्येक डेटा बिंदु और औसत के बीच वर्गित अंतरों के औसत को मापता है। इसलिए, वैरिएंस वर्ग इकाइयों में व्यक्त होता है। दूसरी ओर, मानक विचलन वैरिएंस के वर्गमूल के रूप में गणना किया जाता है, इसलिए मानक विचलन डेटा की ही इकाइयों में व्यक्त होता है।

सैंपल मानक विचलन बनाम जनसंख्या मानक विचलन

सैंपल मानक विचलन और जनसंख्या मानक विचलन में अंतर समझने के लिए दो परिदृश्य देखते हैं।

सैंपल डेटा के साथ कार्य करना

सैंपल मानक विचलन का उपयोग तब किया जाता है जब आप एक बड़ी जनसंख्या के उपसमुच्चय के साथ काम करते हैं। कल्पना करें कि आप किसी रिटेल कंपनी के लिए ग्राहक संतुष्टि सर्वेक्षण कर रहे हैं। आप लगभग 200 ग्राहकों से प्रतिक्रियाएँ एकत्र करते हैं ताकि रिटेल चेन के ग्राहक आधार की संतुष्टि के बारे में अनुमान लगा सकें। इस स्थिति में, आप सैंपल मानक विचलन का उपयोग करेंगे क्योंकि आप बड़ी जनसंख्या के उपसमुच्चय के साथ काम कर रहे हैं।

जनसंख्या डेटा के साथ कार्य करना

जनसंख्या मानक विचलन तब उपयुक्त होता है जब आपके पास पूरी जनसंख्या के लिए संपूर्ण डेटा हो। इस स्थिति में आपको बायस के लिए समायोजन करने की आवश्यकता नहीं होगी, क्योंकि हर डेटा बिंदु शामिल है। अब कल्पना करें कि आप 50 कर्मचारियों वाली कंपनी के HR हैं और उनके वेतनों की परिवर्तनशीलता निकालना चाहते हैं। चूँकि आपको प्रत्येक कर्मचारी का वेतन पता है, आप जनसंख्या मानक विचलन का उपयोग करेंगे।

Python और R में सैंपल मानक विचलन

R में मानक विचलन की गणना करते समय, sd() फ़ंक्शन डिफ़ॉल्ट रूप से हर में n−1 के साथ सैंपल मानक विचलन देता है। 

# Sample standard deviation
data <- c(10, 12, 15, 18, 20)
sample_sd <- sd(data)
print(round(sample_sd, 2))संचालित द्वारा

4.12संचालित द्वारा

हालाँकि, Python के पैकेज जैसे NumPy और Pandas, जब तक अलग से न बताया जाए, जनसंख्या मानक विचलन मानते हैं। उदाहरण के लिए, numpy.std() डिफ़ॉल्ट रूप से हर में n का उपयोग करता है और डेटा को जनसंख्या मानता है। 

# Import numpy library
import numpy as np
data = [10, 12, 15, 18, 20]
population_sd = np.std(data)  # Population standard deviation
print(round(population_sd, 2))संचालित द्वारा

3.69संचालित द्वारा

यदि आप इसके बजाय सैंपल मानक विचलन चाहते हैं, तो डिग्रीज़ ऑफ़ फ़्रीडम को समायोजित करने के लिए ddof=1 पास कर सकते हैं।

sample_sd = np.std(data, ddof=1)  # Sample standard deviation
print(round(sample_sd, 2))संचालित द्वारा

4.12संचालित द्वारा

यदि आप किसी प्रोग्रामिंग वातावरण में सांख्यिकी के साथ काम कर रहे हैं, तो मैं हमारे Statistical Inference with R स्किल ट्रैक या Foundations of Inference in Python पाठ्यक्रम की सिफारिश करता/करती हूँ ताकि आप मुख्य कौशल विकसित कर सकें। 

निष्कर्ष

सैंपल मानक विचलन परिवर्तन को मापने और अनुमान लगाने के लिए एक महत्वपूर्ण सांख्यिकीय माप है। यदि आप सांख्यिकी और डेटा विश्लेषण में अपना ज्ञान बढ़ाना चाहते हैं, तो DataCamp के Data Analyst with R और Data Analyst with Python करियर ट्रैक देखें, जो व्यापक और उद्योग-प्रासंगिक कौशल प्रदान करते हैं। हमारा Data Analysis in Excel कोर्स भी उपयुक्त है यदि आप डेटा-आधारित निर्णय लेने पर केंद्रित बिज़नेस एनालिस्ट बनना चाहते हैं।