Tutorial: distribuições de probabilidade em Python

Função da distribuição uniforme

Uma das distribuições mais simples e úteis é a uniforme. A função de distribuição de probabilidade da distribuição uniforme contínua é:

Como qualquer intervalo de mesma largura tem a mesma probabilidade de ser observado, a curva que descreve a distribuição é um retângulo: altura constante no intervalo e 0 fora dele. Como a área sob a curva deve ser 1, o comprimento do intervalo define a altura da curva. A figura a seguir mostra uma distribuição uniforme no intervalo (a,b). Note que, como a área precisa ser $1$, a altura é $1/(b-a)$.

Distribuição uniforme em Python

Você pode visualizar a distribuição uniforme em Python usando um gerador de números aleatórios em um intervalo (a,b). Importe a função uniform do módulo scipy.stats.

# import uniform distribution
from scipy.stats import uniform

A função uniform gera uma variável contínua uniforme entre o intervalo especificado via os argumentos loc e scale. A distribuição é constante entre loc e loc + scale. O argumento size indica a quantidade de variáveis aleatórias. Para reprodutibilidade, inclua um random_state com um número fixo.

# random numbers from uniform distribution
n = 10000
start = 10
width = 20
data_uniform = uniform.rvs(size=n, loc = start, scale=width)

Você pode usar o distplot do Seaborn para plotar o histograma da distribuição criada. O distplot aceita vários argumentos para personalização. Primeiro, crie um objeto de plotagem ax. Nele, você pode definir o número de bins do histograma, a color do gráfico, ativar a densidade com kde e ajustar a largura de linha com hist_kws. Também dá para definir os rótulos dos eixos x e y com xlabel e ylabel.

ax = sns.distplot(data_uniform,
                  bins=100,
                  kde=True,
                  color='skyblue',
                  hist_kws={"linewidth": 15,'alpha':1})
ax.set(xlabel='Uniform Distribution ', ylabel='Frequency')

[Text(0,0.5,u'Frequency'), Text(0.5,0,u'Uniform Distribution ')]

Função da distribuição normal

A distribuição normal, também chamada de Gaussiana, é onipresente em ciência de dados. Você vai encontrá-la em vários tópicos de inferência estatística. Ela também é suposição de muitos algoritmos.

Uma distribuição normal tem formato de sino, descrita por sua média $μ$ e desvio padrão $σ$. A curva é simétrica, centrada na média, e a dispersão é determinada pelo desvio padrão, mostrando que valores próximos da média ocorrem com mais frequência que valores distantes dela. A função de distribuição de probabilidade de uma curva normal com média $μ$ e desvio padrão $σ$ em um ponto $x$ é dada por:

Abaixo, uma figura ilustrando o aspecto da distribuição:

Quase 68% dos dados ficam a uma distância de um desvio padrão da média (para ambos os lados) e 95% dentro de dois desvios padrão. Vale citar que a distribuição com média $0$ e desvio padrão $1$ é a normal padrão.

Distribuição normal em Python

Você pode gerar uma variável aleatória normal usando o método norm.rvs() do módulo scipy.stats. O argumento loc corresponde à média; scale, ao desvio padrão; e size, à quantidade de amostras. Para reprodutibilidade, inclua random_state com um número.

from scipy.stats import norm
# generate random numbers from N(0,1)
data_normal = norm.rvs(size=10000,loc=0,scale=1)

A visualização é análoga à da distribuição uniforme, usando o distplot do Seaborn. Os argumentos têm o mesmo significado.

ax = sns.distplot(data_normal,
                  bins=100,
                  kde=True,
                  color='skyblue',
                  hist_kws={"linewidth": 15,'alpha':1})
ax.set(xlabel='Normal Distribution', ylabel='Frequency')

[Text(0,0.5,u'Frequency'), Text(0.5,0,u'Normal Distribution')]

Função da distribuição gama

A distribuição gama é uma família de distribuições contínuas de dois parâmetros. Embora raramente usada em sua forma bruta, outras distribuições populares — como exponencial, qui-quadrado e Erlang — são casos especiais da gama. Ela pode ser parametrizada por um parâmetro de forma $α = k$ e um parâmetro de escala inversa $β = 1/θ$, chamado de taxa. O símbolo $Γ(n)$ é a função gama e é definida como $(n-1)!$ :

Uma distribuição gama típica se parece com isto:

Distribuição gama em Python

Você pode gerar uma variável aleatória com distribuição gama usando o método gamma.rvs() do módulo scipy.stats, que recebe o parâmetro de forma $a$. Quando $a$ é inteiro, a gama se reduz à distribuição de Erlang; quando $a=1$, à distribuição exponencial. Para deslocar a distribuição, use loc; para escalá-la, scale; size define o número de amostras. Para reprodutibilidade, inclua random_state com um número.

from scipy.stats import gamma
data_gamma = gamma.rvs(a=5, size=10000)

A visualização segue o mesmo padrão da seção de distribuição uniforme, usando o distplot do Seaborn. Os argumentos têm o mesmo significado.

ax = sns.distplot(data_gamma,
                  kde=True,
                  bins=100,
                  color='skyblue',
                  hist_kws={"linewidth": 15,'alpha':1})
ax.set(xlabel='Gamma Distribution', ylabel='Frequency')

[Text(0,0.5,u'Frequency'), Text(0.5,0,u'Gamma Distribution')]

Função da distribuição exponencial

A distribuição exponencial descreve o tempo entre eventos em um processo de Poisson, isto é, um processo no qual eventos ocorrem continuamente e de forma independente a uma taxa média constante. Ela tem um parâmetro $λ$, chamado de taxa, e sua equação é:

Uma distribuição exponencial decrescente se parece com isto:

Distribuição exponencial em Python

Você pode gerar uma variável aleatória exponencial usando o método expon.rvs() do módulo scipy.stats, que recebe o parâmetro scale, equivalente a 1/lambda na equação. Para deslocar a distribuição, use loc; size define o número de amostras. Para reprodutibilidade, inclua random_state com um número.

from scipy.stats import expon
data_expon = expon.rvs(scale=1,loc=0,size=1000)

Visualizando a distribuição com Seaborn, obtemos a curva abaixo:

ax = sns.distplot(data_expon,
                  kde=True,
                  bins=100,
                  color='skyblue',
                  hist_kws={"linewidth": 15,'alpha':1})
ax.set(xlabel='Exponential Distribution', ylabel='Frequency')

[Text(0,0.5,u'Frequency'), Text(0.5,0,u'Exponential Distribution')]

Distribuição de Poisson

A variável aleatória de Poisson é tipicamente usada para modelar o número de vezes que um evento ocorre em um intervalo de tempo. Por exemplo, o número de usuários que visitam um site em um intervalo pode ser modelado por um processo de Poisson. A distribuição de Poisson é descrita em termos da taxa ($μ$) a que os eventos acontecem. Um evento pode ocorrer 0, 1, 2, … vezes em um intervalo. O número médio de eventos no intervalo é designado por $λ$ (lambda). Lambda é a taxa do evento, também chamada de parâmetro de taxa. A probabilidade de observar $k$ eventos em um intervalo é dada por:

Observação: a distribuição normal é um caso limite da Poisson quando $λ →∞$. Além disso, se os tempos entre eventos aleatórios seguem uma distribuição exponencial com taxa $λ$, então o número total de eventos em um período de duração $t$ segue a distribuição de Poisson com parâmetro $λt$.

A figura a seguir mostra uma distribuição de Poisson típica:

Distribuição de Poisson em Python

Você pode gerar uma variável aleatória discreta de Poisson usando o método poisson.rvs() do módulo scipy.stats, que recebe $μ$ como parâmetro de forma (equivalente a $λ$ na fórmula). Para deslocar a distribuição, use loc. size define o número de amostras. Para reprodutibilidade, inclua random_state com um número.

from scipy.stats import poisson
data_poisson = poisson.rvs(mu=3, size=10000)

A visualização segue o mesmo padrão da distribuição uniforme, usando o distplot do Seaborn. Os argumentos têm o mesmo significado.

ax = sns.distplot(data_poisson,
                  bins=30,
                  kde=False,
                  color='skyblue',
                  hist_kws={"linewidth": 15,'alpha':1})
ax.set(xlabel='Poisson Distribution', ylabel='Frequency')

[Text(0,0.5,u'Frequency'), Text(0.5,0,u'Poisson Distribution')]

Função da distribuição binomial

Uma distribuição em que só existem dois resultados possíveis — por exemplo, sucesso ou fracasso, ganho ou perda, vitória ou derrota — e em que a probabilidade de sucesso e fracasso é a mesma em todas as tentativas é chamada de distribuição binomial. No entanto, os resultados não precisam ser equiprováveis, e cada tentativa é independente das demais. Os parâmetros da binomial são $n$ e $p$, onde $n$ é o número total de tentativas e $p$ é a probabilidade de sucesso em cada uma. Sua função de distribuição de probabilidade é:

em que:

Distribuição binomial em Python

Você pode gerar uma variável aleatória discreta binomial usando o método binom.rvs() do módulo scipy.stats, que recebe $n$ (número de tentativas) e $p$ (probabilidade de sucesso) como parâmetros de forma. Para deslocar a distribuição, use loc. size define quantas vezes repetir as tentativas. Para reprodutibilidade, inclua random_state com um número.

from scipy.stats import binom
data_binom = binom.rvs(n=10,p=0.8,size=10000)

Visualizando a distribuição criada com o distplot do Seaborn, obtemos o histograma abaixo:

ax = sns.distplot(data_binom,
                  kde=False,
                  color='skyblue',
                  hist_kws={"linewidth": 15,'alpha':1})
ax.set(xlabel='Binomial Distribution', ylabel='Frequency')

[Text(0,0.5,u'Frequency'), Text(0.5,0,u'Binomial Distribution')]

Observação: como a probabilidade de sucesso foi maior que $0.5$, a distribuição é inclinada para a direita. Além disso, a distribuição de Poisson é um caso limite da binomial sob as condições:

1. O número de tentativas é indefinidamente grande, $n → ∞$.
2. A probabilidade de sucesso em cada tentativa é a mesma e indefinidamente pequena, $p → 0$.
3. $np = λ$ é finito.

A distribuição normal é outro caso limite da binomial quando:

1. O número de tentativas é indefinidamente grande, $n → ∞$.
2. Ambos $p$ e $q$ não são indefinidamente pequenos.

Função da distribuição de Bernoulli

Uma distribuição de Bernoulli tem apenas dois resultados possíveis, $1$ (sucesso) e $0$ (fracasso), e uma única tentativa — por exemplo, o lançamento de uma moeda. Assim, a variável aleatória $X$ com distribuição de Bernoulli pode assumir valor $1$ com probabilidade de sucesso $p$, e valor $0$ com probabilidade de fracasso $q$ ou $1-p$. As probabilidades de sucesso e fracasso não precisam ser iguais. A distribuição de Bernoulli é um caso especial da binomial em que há uma única tentativa ($n=1$). Sua função massa de probabilidade é:

Distribuição de Bernoulli em Python

Você pode gerar uma variável aleatória discreta de Bernoulli usando o método bernoulli.rvs() do módulo scipy.stats, que recebe $p$ (probabilidade de sucesso) como parâmetro de forma. Para deslocar a distribuição, use loc. size define quantas vezes repetir as tentativas. Para reprodutibilidade, inclua random_state com um número.

from scipy.stats import bernoulli
data_bern = bernoulli.rvs(size=10000,p=0.6)

Visualizando a distribuição, dá para observar que existem apenas dois possíveis resultados:

ax= sns.distplot(data_bern,
                 kde=False,
                 color="skyblue",
                 hist_kws={"linewidth": 15,'alpha':1})
ax.set(xlabel='Bernoulli Distribution', ylabel='Frequency')

[Text(0,0.5,u'Frequency'), Text(0.5,0,u'Bernoulli Distribution')]

Conclusão

Parabéns por chegar até o fim! Neste tutorial, você explorou distribuições de probabilidade muito usadas e aprendeu a criá-las e plotá-las em Python. Embora existam muitas outras, isso já é suficiente para começar. Não deixe de conferir a biblioteca scipy do Python, que traz vários recursos estatísticos interessantes. Boa exploração!

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Confira também nosso tutorial Poker Probability and Statistics with Python.

Referências

• Random Variables (Yale)
• Poisson distribution
• 6 Common Probability Distributions every data science professional should know (By Radhika Nijhawan)