Wahrscheinlichkeitsdiagramme in R

Dieser Abschnitt beschreibt die Erstellung von Wahrscheinlichkeitsdiagrammen in R sowohl für didaktische Zwecke als auch für die Datenanalyse.

Wahrscheinlichkeitsdarstellungen für Unterricht und Demonstration

Als ich als College-Professor Statistik unterrichtete, musste ich früher Normalverteilungen von Hand zeichnen. Sie sahen immer wie Kaninchen aus. Was soll ich sagen?

R macht es einfach, Wahrscheinlichkeitsverteilungen zu zeichnen und statistische Konzepte zu demonstrieren. Im Folgenden findest du einige der gängigsten Wahrscheinlichkeitsverteilungen, die in R verfügbar sind.

Eine umfassende Liste findest du unter Statistische Verteilungen im R-Wiki. Die für jede Verteilung verfügbaren Funktionen folgen diesem Format:

Zum Beispiel: pnorm(0) =0,5 (die Fläche unter der Standardnormalkurve links von Null). qnorm(0,9) = 1,28 (1,28 ist das 90. Perzentil der Standardnormalverteilung). rnorm(100) erzeugt 100 zufällige Abweichungen von einer Standardnormalverteilung.

Jede Funktion hat spezifische Parameter für diese Verteilung. Zum Beispiel erzeugt rnorm(100, m=50, sd=10) 100 Zufallsabweichungen von einer Normalverteilung mit Mittelwert 50 und Standardabweichung 10.

Du kannst diese Funktionen nutzen, um verschiedene Aspekte von Wahrscheinlichkeitsverteilungen zu demonstrieren. Im Folgenden werden zwei gängige Beispiele genannt.

# Display the Student's t distributions with various
# degrees of freedom and compare to the normal distribution

x <- seq(-4, 4, length=100)
hx <- dnorm(x)

degf <- c(1, 3, 8, 30)
colors <- c("red", "blue", "darkgreen", "gold", "black")
labels <- c("df=1", "df=3", "df=8", "df=30", "normal")

plot(x, hx, type="l", lty=2, xlab="x value",
  ylab="Density", main="Comparison of t Distributions")

for (i in 1:4){
  lines(x, dt(x,degf[i]), lwd=2, col=colors[i])
}

legend("topright", inset=.05, title="Distributions",
  labels, lwd=2, lty=c(1, 1, 1, 1, 2), col=colors)

# Children's IQ scores are normally distributed with a
# mean of 100 and a standard deviation of 15. What
# proportion of children are expected to have an IQ between
# 80 and 120?

mean=100; sd=15
lb=80; ub=120

x <- seq(-4,4,length=100)*sd + mean
hx <- dnorm(x,mean,sd)

plot(x, hx, type="n", xlab="IQ Values", ylab="",
  main="Normal Distribution", axes=FALSE)

i <- x >= lb & x <= ub
lines(x, hx)
polygon(c(lb,x[i],ub), c(0,hx[i],0), col="red")

area <- pnorm(ub, mean, sd) - pnorm(lb, mean, sd)
result <- paste("P(",lb,"< IQ <",ub,") =",
  signif(area, digits=3))
mtext(result,3)
axis(1, at=seq(40, 160, 20), pos=0)

Einen umfassenden Überblick über die Erstellung von Wahrscheinlichkeitsgrafiken in R findest du in Vincent Zonekynds Probability Distributions.

Anpassen von Verteilungen

Es gibt verschiedene Methoden zur Anpassung von Verteilungen in R. Hier sind einige Optionen.

Mit der Funktion qqnorm( ) kannst du eine Quantil-Quantil-Darstellung erstellen, die die Anpassung der Stichprobendaten an die Normalverteilung bewertet. Allgemeiner ausgedrückt: Die Funktion qqplot( ) erstellt ein Quantil-Quantil-Diagramm für jede theoretische Verteilung.

# Q-Q plots
par(mfrow=c(1,2))

# create sample data
x <- rt(100, df=3)

# normal fit
qqnorm(x);
qqline(x)

# t(3Df) fit
qqplot(rt(1000,df=3), x, main="t(3) Q-Q Plot",
  ylab="Sample Quantiles")
abline(0,1)

Die Funktion fitdistr( ) im MASS-Paket ermöglicht die Anpassung von univariaten Verteilungen mit maximaler Wahrscheinlichkeit. Das Format ist fitdistr(x, Dichtefunktion), wobei x die Stichprobendaten sind und die Dichtefunktion eine der folgenden ist: "beta", "cauchy", "chi-squared", "exponentiell", "f", "gamma", "geometrisch", "log-normal""lognormal", "logistisch", "negativ binomial", "normal", "Poisson", "t" oder "weibull".

# Estimate parameters assuming log-Normal distribution

# create some sample data
x <- rlnorm(100)

# estimate paramters
library(MASS)
fitdistr(x, "lognormal")

Schließlich verfügt R über eine breite Palette von Anpassungsfähigkeitstests, mit denen du prüfen kannst, ob es sinnvoll ist, anzunehmen, dass eine Stichprobe aus einer bestimmten theoretischen Verteilung stammt. Dazu gehören Chi-Quadrat, Kolmogorov-Smirnov und Anderson-Darling.

Weitere Details zur Anpassung von Verteilungen findest du in Vito Riccis Fitting Distributions with R.

Zum Üben

Probiere diesen interaktiven Kurs zur explorativen Datenanalyse aus.